Сравнение чисел при решении уравнений, неравенств и задач с модулями
При решении уравнений и неравенств, а также задач с модулями требуется расположить найденные корни на числовой прямой.
Как ты знаешь, найденные корни могут быть разными.
Они могут быть такими: \( 4\), \( -3\), \( 8\), \( 125\).
А могут быть и вот такими: \( \sqrt{6}\), \( \left( 4-\sqrt{3} \right)\), \( \frac{\sqrt[6]{6}}{\sqrt{13}+\frac{4}{13}}\).
Если числа не рациональные, а иррациональные, или представляют собой сложные математические выражения, то расположить их на числовой прямой весьма проблематично.
Для этого нужно уметь их сравнивать.
Калькуляторами на экзамене пользоваться нельзя, а приближенный подсчет не дает 100% гарантий, что одно число меньше другого (вдруг разница между сравниваемыми числами \( 0,000001\)?).
Что делать?
Прочитай эту статью и все поймешь!
Например, нам необходимо сравнить две дроби: \( 1,6\) и \( 1\frac{6}{13}\).
Давай разберем каждый вариант
Вариант 1. Сравнение дробей с помощью приведения к общему знаменателю
Запишем \( 1,6\) в виде обыкновенной дроби:
\( 1,6=1\frac{6}{10}=1\frac{3}{5}\) — (как ты видишь, я также сократила на \( 2\) числитель и знаменатель).
Теперь нам необходимо сравнить дроби:
\( 1\frac{3}{5}\) и \( 1\frac{6}{13}\)
Сейчас мы можем продолжить сравнивать также двумя способами. Мы можем:
Способ 1. Числитель больше знаменателя
Просто приведите все к общему знаменателю, представив обе дроби как неправильные (числитель больше знаменателя):
\( \frac{8}{5}\vee \frac{19}{13}\)
\( \frac{8\cdot 13}{5\cdot 13}\vee \frac{19\cdot 5}{13\cdot 5}\)
\( \frac{104}{65}\vee \frac{95}{65}\)
Какое число больше? Правильно, то, у которого числитель больше, то есть первое.
\( 1,6>1\frac{6}{13}\)
Способ 2.
Отбросьте единицу«Отбросьте» \( 1\) (считай, что мы из каждой дроби вычли единицу, и соотношение дробей друг с другом, соответственно, не изменилось) и будем сравнивать дроби:
\( \frac{3}{5}\vee \frac{6}{13}\)
Приводим их также к общему знаменателю:
\( \frac{3\cdot 13}{13\cdot 5}\vee \frac{6\cdot 5}{13\cdot 5}\)
Заметь, в принципе мы можем не считать знаменатель.
\( \frac{39}{13\cdot 5}\vee \frac{30}{13\cdot 5}\)
Мы получили абсолютно точно такой же результат, как и в предыдущем случае – первое число больше, чем второе:
\( 1,6>1\frac{6}{13}\)
Проверим также, правомерно ли мы вычли единицу? Посчитаем разницу в числителе при первом расчете и втором:
1) \( 104-95=9\)
2) \( 39-30=9\)
Итак, мы рассмотрели, как сравнивать дроби, приводя их к общему знаменателю.
Перейдем к другому методу – сравнение дробей приводя их к общему… числителю.
Вариант 2. Сравнение дробей с помощью приведения к общему числителю
Да, да. Это не опечатка. В школе редко кому рассказывают этот метод, но очень часто он весьма удобен. Чтобы ты быстро понял его суть, задам тебе только один вопрос – «в каких случаях значение дроби наибольшее?»
Конечно, ты скажешь «когда числитель максимально большой, а знаменатель максимально маленький».
Например, ты же точно скажешь, что \( \frac{8}{13}<\frac{12}{13}\) Верно?
А если нам надо сравнить такие дроби: \( \frac{6}{13}\vee \frac{6}{28}\)?
Думаю, ты тоже сразу верно поставишь знак, ведь в первом случае \( 6\) делят на \( 13\) частей, а во втором на целых \( 28\), значит, во втором случае кусочки получаются совсем маленькие, и соответственно: \( \frac{6}{13}>\frac{6}{28}\).
Как ты видишь, знаменатели здесь разные, а вот числители одинаковы.
Однако, для того, чтобы сравнить эти две дроби, тебе не обязательно искать общий знаменатель. Хотя… найди его и посмотри, вдруг знак сравнения все же неправильный?
\( \frac{6\cdot 28}{13\cdot 28}>\frac{6\cdot 13}{28\cdot 13}\)
\( \frac{168}{364}>\frac{78}{364}\)
А знак-то тот же.
Вернемся к нашему изначальному заданию – сравнить \( 1\frac{3}{5}\)и \( 1\frac{6}{13}\). Будем сравнивать \( \frac{3}{5}\) и \( \frac{6}{13}\).
Приведем данные дроби не к общему знаменателю, а к общему числителю.
Для этого просто числитель и знаменатель первой дроби умножим на \( 2\). Получим:
\( \frac{6}{10}\) и \( \frac{6}{13}\).
Какая дробь больше? Правильно, первая.
Вариант 3. Сравнение дробей с помощью вычитания
Как сравнивать дроби с помощью вычитания? Да очень просто.
Мы из одной дроби вычитаем другую. Если результат получается положительным, то первая дробь (уменьшаемое) больше второй (вычитаемое), а если отрицательным, то наоборот.
В нашем случае попробуем из второй вычесть первую дробь: \( 1\frac{6}{13}-1,6\).
Как ты уже понял, мы так же переводим \( 1,6\) в обыкновенную дробь и получаем тот же результат — \( 1\frac{3}{5}\) .
Наше выражение приобретает вид:
\( 1\frac{6}{13}-1\frac{3}{5}\)
Далее нам все равно придется прибегнуть к приведению к общему знаменателю.
Вопрос как: первым способом, преобразуя дроби в неправильные, или вторым, как бы «убирая» единицу? Кстати, это действие имеет вполне математическое обоснование. Смотри:
\( \left( 1+\frac{6}{13} \right)-\left( 1+\frac{3}{5} \right)=1+\frac{6}{13}-1-\frac{3}{5}=\frac{6}{13}-\frac{3}{5}\)
Мне больше нравится второй вариант, так как перемножение в числителе при приведении к общему знаменателю становится в разы проще.
Приводим к общему знаменателю:
\( \frac{6}{13}-\frac{3}{5}=\frac{6\cdot 5}{13\cdot 5}-\frac{3\cdot 13}{5\cdot 13}=\frac{30}{13\cdot 5}-\frac{39}{5\cdot 13}=-\frac{9}{5\cdot 13}\)
Здесь главное не запутаться, какое число и откуда мы отнимали.
Внимательно посмотреть ход решения и случайно не перепутать знаки. Мы отнимали от второго числа первое и получили отрицательный ответ, значит?..
Правильно, первое число больше второго.
\( 1,6>1\frac{6}{13}\)
Вариант 5. Сравнение дробей с помощью деления
Да, да. И так тоже можно.
Логика проста: когда мы делим большее число на меньшее, в ответе у нас получается число, больше единицы, а если мы делим меньшее число на большее, то ответ приходится на промежуток от \( 0\) до \( 1\).
Чтобы запомнить это правило, возьми для сравнения любые два простых числа, например, \( 6\) и \( 4\). Ты же знаешь, что \( 6\) больше \( 4\)?
Теперь разделим \( 6\) на \( 4\). Наш ответ — \( 1,5\). Соответственно, теория верна.
Если мы разделим \( \displaystyle 4\) на \( 6\), что мы получим \( 0,\left( 6 \right)\) – меньше единицы, что в свою очередь подтверждает, что \( \displaystyle 4\) на самом деле меньше \( 6\).
{3}}=6\)
А что больше? \( y\) или \( x\)? Это ты, конечно, сравнишь без всякого труда. Чем большее число мы возводим в степень, тем больше будет значение.
Итак. Выведем правило.
Если показатели степени корней одинаковы (в нашем случае это \( 3\)), то необходимо сравнивать подкоренные выражения (\( 4\) и \( 6\)) — чем больше подкоренное число, тем больше значение корня при равных показателях.
Сложно запомнить? Тогда просто держи в голове пример \( \sqrt{16}\) и \( \sqrt{4}\). Что больше?
\( \sqrt{16}=4\)
\( \sqrt{4}=2\)
\( 4\) больше \( 2\).
Показатели степени корней одинаковы, так как корень квадратный. Подкоренное выражение одного числа (\( 16\)) больше другого (\( 4\)), значит, правило действительно верное.
А что, если подкоренные выражения одинаковые, а вот степени корней разные? Например: \( \sqrt[4]{6}\vee \sqrt[3]{6}\).
Тоже вполне понятно, что при извлечении корня большей степени получится меньшее число.
{6}}=12\)
Ты без труда видишь, что в данных уравнениях \( a\) должно быть больше \( b\), следовательно:
\( \sqrt[3]{12}>\sqrt[6]{12}\).
Если подкоренные выражения одинаковы (в нашем случае \( 12\)), а показатели степени корней различны (в нашем случае это \( 3\) и \( 6\)), то необходимо сравнивать показатели степени
(\( 3\) и \( 6\)) — чем больше показатель, тем меньше данное выражение.
Изначально, обрати внимание на основание логарифма. Ты помнишь, что:
Если основание логарифма меньше \( 1\), то функция убывает, а если больше, то возрастает.
Именно на этом будет основаны наши суждения. Рассмотрим сравнение логарифмов, которые уже приведены к одинаковому основанию, либо аргументу.
Для начала упростим задачу: пусть в сравниваемых логарифмах равные основания.
Тогда:
Функция \( y={{\log }_{a}}x\), при \( a>0\) возрастает на промежутке от \( \left( 0;\ +\infty \right)\), значит по определению \( {{x}_{1}}<{{x}_{2}}\), то \( {{y}_{1}}<{{y}_{2}}\) («прямое сравнение»)
Пример: \( {{\log }_{3}}6\vee {{\log }_{3}}\frac{18}{21}\) — основания одинаковы, \( a>0\) ,соответственно сравниваем аргументы: \( 6>\frac{18}{21}\), следовательно: \( {{\log }_{3}}6>{{\log }_{3}}\frac{18}{21}\)
Функция \( y={{\log }_{a}}x\), при \( 0<a<1\), убывает на промежутке от \( \left( 0;\ +\infty \right)\), значит по определению \( {{x}_{1}}<{{x}_{2}}\), то \( {{y}_{1}}>{{y}_{2}}\) («обратное сравнение»).
\( {{\log }_{\frac{1}{3}}}12\vee {{\log }_{\frac{1}{3}}}24\) — основания одинаковы.
\( 0<a<1\), соответственно сравниваем аргументы: \( 12<24\). Однако, знак у логарифмов будет «обратный», так как функция убывает: \( {{\log }_{\frac{1}{3}}}12>{{\log }_{\frac{1}{3}}}24\).
Запишем все в общем табличном виде:
| \( a>1\), при этом \( {{a}_{1}}<{{a}_{2}}\) | \( 0<a<1\), при этом \( {{a}_{1}}>{{a}_{2}}\) |
| \( x>1\) | \( {{\log }_{{{a}_{1}}}}x>{{\log }_{{{a}_{2}}}}x\) |
| \( 0<x<1\) | \( {{\log }_{{{a}_{1}}}}x<{{\log }_{{{a}_{2}}}}x\) |
Соответственно, как ты уже понял, при сравнении логарифмов нам необходимо привести к одинаковому основанию, либо аргументу.
К одинаковому основанию мы приходим, используя формулу перехода от одного основания к другому.
Можно также сравнивать логарифмы с третьим числом и на основании этого делать вывод о том, что меньше, а что больше.
Например, подумай, как сравнить вот эти два логарифма?
\( {{\log }_{3}}5\vee {{\log }_{8}}26\)
Небольшая подсказка – для сравнения тебе очень поможет логарифм, аргумент которого будет равен \( 25\).
Подумал? Давай решать вместе.
Мы легко сравним с тобой эти два логарифма:
Не знаешь как? Смотри выше. Мы только что это разбирали. Какой знак там будет? Правильно:
\( {{\log }_{8}}26\vee {{\log }_{8}}25\)
\( {{\log }_{3}}5={{\log }_{9}}25\). Согласен?
Сравним между собой:
\( {{\log }_{8}}25\vee {{\log }_{9}}25\)
У тебя должно получиться следующее:
\( {{\log }_{8}}25>{{\log }_{9}}25\)
А теперь соедини все наши выводы в один. Получилось?
\( \left. \begin{array}{l}lo{{g}_{8}}26>{{\log }_{8}}25\\{{\log }_{8}}25>{{\log }_{3}}5\end{array} \right|\Rightarrow {{\log }_{8}}26>{{\log }_{3}}5\)
Как избавляться от логарифмов
Как избавляться от логарифмов, подробно описано в теме «Логарифмические неравенства».
b}\;{\rm{при}}\;0 < a < 1}\end{array}} \right. \) или \( {\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a > 1}\\{x \wedge y\;{\rm{при}}\;0 < a < 1}\end{array}} \right. \)
Также можем добавить правило про логарифмы с разными основаниями и одинаковым аргументом:
\( \displaystyle \begin{array}{l}a>b>1\ \ \Leftrightarrow \ \ {{\log }_{a}}x<{{\log }_{b}}x\\1>a>b>0\ \ \Leftrightarrow \ \ {{\log }_{a}}x>{{\log }_{b}}x\end{array}\)
Объяснить его можно так: чем больше основание, тем в меньшую степень его придется возвести, чтобы получить один и тот же \( x\). Если же основание меньше \( 1\), то все наоборот, так как соответствующая функция монотонно убывающая.
Пример.
Сравните числа: \( {{\log }_{3}}5\) и \( {{\log }_{8}}26\).
Решение:
Согласно вышеописанным правилам:
\( \displaystyle \left. \begin{array}{l}{{\log }_{8}}26>{{\log }_{8}}25\\{{\log }_{8}}25>{{\log }_{9}}25={{\log }_{3}}5\text{ }\end{array} \right|\Rightarrow \text{ }{{\log }_{8}}26>{{\log }_{3}}5\)
А теперь формула для продвинутых.
{2}14<2,25}}\end{array}\)
Сравнение тригонометрических выражений
Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс? Для чего нужна единичная тригонометрическая окружность и как на ней найти значение тригонометрических функций?
Если ты не знаешь ответы на эти вопросы, очень рекомендую тебе прочитать теорию по этой теме. А если знаешь, то сравнить тригонометрические выражения между собой для тебя не составляет труда!
Немного освежим память.
Нарисуем единичную тригонометрическую окружность и вписанный в нее треугольник. Справился?
Теперь отметь, по какой стороне у нас откладывается косинус, а по какой синус, используя стороны треугольника. (ты, конечно помнишь, что синус, это отношение противолежащей стороны к гипотенузе, а косинус прилежащей?). Нарисовал? Отлично!
Последний штрих – проставь, где у нас будет \( 0{}^\circ \) , где \( 90{}^\circ \)и так далее.
\circ }}\)
Как ты теперь понимаешь, сравнение котангенсов – то же самое, только наоборот: мы смотрим, как относятся друг к другу отрезки, определяющие косинус и синус.
Калькулятор дробей
Этот калькулятор дробей выполняет базовые и расширенные операции с дробями, выражения с дробями в сочетании с целыми, десятичными и смешанными числами. Он также показывает подробную пошаговую информацию о процедуре расчета дроби. Калькулятор помогает найти значение из операций с несколькими дробями. Решайте задачи с двумя, тремя и более дробями и числами в одном выражении.
Правила выражения с дробями:
Дроби — используйте косую черту для деления числителя на знаменатель, т.е. для пятисотых введите 5/100 . Если вы используете смешанные числа, оставьте пробел между целой и дробной частями.
Смешанные числа (смешанные числа или дроби) сохраняют один пробел между целым числом и дробью
и используют косую черту для ввода дробей, например, 1 2/3 .
Пример отрицательной смешанной дроби: -5 1/2 .
Поскольку косая черта одновременно является знаком дробной строки и деления, используйте двоеточие (:) в качестве оператора деления дробей, т. е. 1/2 : 1/3 .
Decimals (десятичные числа) вводятся с десятичной точкой . и они автоматически преобразуются в дроби — т.е. 1,45 .
Математические символы
| Символ | Название символа | Значение символа | Пример |
|---|---|---|---|
| + | плюс | дополнение | 1/2 + 1/3 |
| — | знак минус | вычитание | 1 1/2 — 2/3 |
| * | звездочка | умножение | 2/3 * 3/4 |
| × | знак умножения | умножение | 2 /3 × 5/6 |
| : | знак деления | деление | 1/2 : 3 |
| / | деление косая черта | деление | 1/3 / 5 1/2 • сложение дробей и смешанных чисел: 8/5 + 6 2/7 • деление целых чисел и дробей: 5 ÷ 1/2 • сложные дроби: 5/8 : 2 2/3 • десятичная дробь: 0,625 • Преобразование дроби в десятичную: 1/4 • Преобразование дроби в процент: 1/8 % • сравнение дробей: 1/4 2/3 • умножение дроби на целое число: 6 * 3/4 • квадратный корень дроби: sqrt(1/16) • уменьшение или упрощение дроби (упрощение) — деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число — эквивалентная дробь: 4/22 • выражение со скобками: 1/3 * (1/2 — 3 3/8) • составная дробь: 3/4 от 5/7 • кратные дроби: 2/3 от 3/5 • разделить, чтобы найти частное: 3/5 ÷ 2/3 Калькулятор следует известным правилам для порядка операций .
другие математические задачи »
Фракции с показателями калькулятора
Наши пользователи: Я получил пятерку в своем классе. Спасибо за помощь! ДААААААА… ЭТО ОТЛИЧНО РАБОТАЕТ! Это было очень полезно. это был отличный инструмент для проверки моих ответов. Я бы порекомендовал это программное обеспечение всем, независимо от того, на каком уровне они находятся в математике. Мой сын боролся с математикой все время, пока он был в школе. Это отличное программное обеспечение для репетиторства, оно действительно помогло мне поднять свои оценки, и оно настолько простое, что с ним справится даже полный болван вроде меня. Студенты, борющиеся со всевозможными задачами по алгебре, узнают, что наше программное обеспечение спасает им жизнь. Вот поисковые фразы, которые сегодняшние поисковики использовали, чтобы найти наш сайт. Сможете ли вы найти среди них свою?Поисковые фразы, использованные 27 августа 2013 г.:
|
Наиболее распространенные мнемоники для запоминания этого порядка операций: 
.. Все математические калькуляторы
Простые пошаговые решения Алгебратора заставили его учиться с удовольствием. Спасибо! 
60