Калькулятор онлайн формула муавра: Формула Муавра, возведение в степень комплексного числа

{i1{,}25\pi}}\]

В калькуляторе возможно использование констант, математических функций, дополнительных операций и более сложных выражений, ознакомиться с этими возможностями вы можете на странице общих правил использования калькуляторов на этом сайте.

Сайт находится в разработке, некоторые страницы могут быть недоступны.

Новости

07.07.2016
Добавлен калькулятор для решения систем нелинейных алгебраических уравнений: .

30.06.2016
На сайте реализован адаптивный дизайн, страницы адекватно отображаются как на больших мониторах, так и на мобильных устройствах.

Спонсор

РГРОнлайн.ru – мгновенное решение работ по электротехнике онлайн.

Начнем с любимого квадрата.

Пример 9

Возвести в квадрат комплексное число

Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения :

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:

Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба сумма и куба разности. Но эти формулы более актуальны длязадач комплексного анализа. Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде?

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра : Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степеньсправедлива формула:

Просто до безобразия.

Пример 10

Дано комплексное число , найти.

Что нужно сделать? Сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали:

Тогда, по формуле Муавра:

Упаси боже, не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляетрадиан или 360 градусов. Выясним сколько у нас оборотов в аргументе. Для удобства делаем дробь правильной:, после чего становится хорошо видно, что можно убавить один оборот:. Надеюсь всем понятно, чтои– это один и тот же угол.

Таким образом, окончательный ответ запишется так:

Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.

Пример 12

Возвести в степень комплексные числа ,,

Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.

Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:

Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень:

Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:

Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнями

Рассмотрим пример:

Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень – можно! А точнее, два корня:

Действительно ли найденные корни являются решением уравнения ? Выполним проверку:

Что и требовалось проверить.

Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: .

Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями .

Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно: ,,,,и т.д. Во всех случаях получаетсядва

сопряженных комплексных корня.

Пример 13

Решить квадратное уравнение

Вычислим дискриминант:

Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!

По известным школьным формулам получаем два корня: – сопряженные комплексные корни

Таким образом, уравнение имеет два сопряженных комплексных корня:,

Теперь вы сможете решить любое квадратное уравнение!

И вообще, любое уравнение с многочленом «энной» степени имеет ровнокорней, часть из которых может быть комплексными.

Простой пример для самостоятельного решения:

Пример 14

Найти корни уравнения и разложить квадратный двучлен на множители.

Разложение на множители осуществляется опять же по стандартной школьной формуле.

Начнем с любимого квадрата.

Пример 9

Возвести в квадрат комплексное число

Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения :

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:

Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба сумма и куба разности. Но эти формулы более актуальны длязадач комплексного анализа. Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде?

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра : Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степеньсправедлива формула:

Просто до безобразия.

Пример 10

Дано комплексное число , найти.

Что нужно сделать? Сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали:

Тогда, по формуле Муавра:

Упаси боже, не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляетрадиан или 360 градусов. Выясним сколько у нас оборотов в аргументе. Для удобства делаем дробь правильной:, после чего становится хорошо видно, что можно убавить один оборот:. Надеюсь всем понятно, чтои– это один и тот же угол.

Таким образом, окончательный ответ запишется так:

Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.

Пример 12

Возвести в степень комплексные числа ,,

Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.

Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:

Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень:

Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:

Извлечение корней из комплексных чисел.

Квадратное уравнение с комплексными корнями

Рассмотрим пример:

Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень – можно! А точнее, два корня:

Действительно ли найденные корни являются решением уравнения ? Выполним проверку:

Что и требовалось проверить.

Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: .

Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями

.

Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно: ,,,,и т.д. Во всех случаях получаетсядва сопряженных комплексных корня.

Примеры решения задач с комплексными числами с ответами

Алгоритм решения задач с комплексными числами

Теорема

Комплексным числом называется число вида: , являются действительными числами, – мнимая единица.

Алгебраическая форма комплексного числа:

   

Тригонометрическая форма комплексного числа:

   

Модуль комплексного числа:

   

Аргумент комплексного числа:

   

Формула Эйлера:

   

Формула Муавра:

   

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена работы

Примеры решений задач с комплексными числами

Пример 1

Задача

Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах

Решение

Найдём модуль комплексного числа:

   

Найдём аргумент комплексного числа:

   

Тригонометрическая форма комплексного числа:

   

Показательная форма комплексного числа:

   

Ответ

Пример 2

Задача

Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах

Решение

Найдём модуль комплексного числа:

   

Найдём аргумент комплексного числа:

   

Тригонометрическая форма комплексного числа:

   

Показательная форма комплексного числа:

   

Ответ

Пример 3

Задача

Найти сумму комплексных чисел и

Решение

   

Ответ

   

Пример 4

Задача

Найти разность комплексных чисел и

Решение

   

Ответ

   

Пример 5

Задача

Найти произведение комплексных чисел и

Решение

   

Ответ

   

Пример 6

Задача

Найти

Решение

Запишем комплексное число в тригонометрической форме:

   

   

   

По формуле Муавра получаем:

   

   

Ответ

   

Пример 7

Задача

Найти частное комплексных чисел и

Решение

   

Ответ

   

Пример 8

Задача

Найти частное комплексных чисел и

Решение

   

   

Ответ

   

Пример 9

Задача

Найти

Решение

Число в тригонометрической форме имеет вид:

   

   

При :

   

При :

   

При :

   

Ответ

при

при

при

Пример 10

Задача

Найти

Решение

Число в тригонометрической форме имеет вид:

   

   

При :

   

При :

   

Ответ

при

при

Средняя оценка 4. 5 / 5. Количество оценок: 10

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

28214

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Demoivres Калькулятор теорем

Demoivres Калькулятор теорем

---

9 Как работает калькулятор Demores2?

Используя теорему Демоива, этот калькулятор выполняет следующие действия:
1) Вычисляет (acis(θ)) ⁿ
2) Преобразует a + bi в полярную форму
3) Преобразует полярную форму в прямоугольную (стандартную) форму
Этот калькулятор имеет 6 входов.

Какая 1 формула используется в Калькуляторе теоремы Демоива?

1. если z = rcis(θ), то z ⁿ = r ⁿ cis(n?)
   

Дополнительные математические формулы см. в нашем досье формул

Калькулятор теорем?

демонстрационная теорема

Формула, полезная для нахождения степеней и корней комплексных чисел
z = rcis(θ), тогда z n 93

4-7i

• Электронная почта: [email protected]
• Тел.: 800-234-2933

• Математическая тревога
• Судоку
• Раздор
• Информационный бюллетень о недобросовестном преимуществе
• Биографии математиков
• Подкаст цены за клик
• Математические Мемы
• Глоссарий по математике
• Предметы
• бейсбольная математика

• Друзья
• Спонсоры
• Связаться с нами
• Вакансии учителя математики
• Политика в отношении файлов cookie
• политика конфиденциальности
• Политика возврата

Найти указанную степень комплексного числа

Как найти указанную степень комплексного числа :

Мы используем теорему Де Муавра, чтобы найти указанную степень комплексного числа.

Определение теоремы Муавра :

Теорема Муавра утверждает, что степень комплексного числа в полярной форме равна возведению модуля в ту же степень и умножению аргумента на ту же степень.

Пусть z = r(cos θ + i sin θ) — полярная форма комплексного числа.

Согласно теореме Де Моивра,

Z ^N = [R (COS θ + I SIN θ)] ^N

Z ^N = R ^N (COS Nθ + I SIN) = R ^N (COS Nθ + I SIN)0030

Для всех натуральных чисел n.

Пример 1 :

(cos π/4 + i sin π/4) ³

Решение:

Дано, ) ³

Использование формулы DE Moivre:

Z ^N = R ^N (COS Nθ+ I SIN Nθ)

ЗДЕСЬ N = 3, R = 1 и θ = π/4

z ³    =  1 ³ (cos 3π/4 + i sin 3π/4) 9С помощью калькулятора получаем /2

Пример 2:

[3 (cos 3π/2 +i sin 3π/2)] ⁵

Решение:

. 2 + i sin 3π/2)] ⁵

Используя формулу Муавра:

z ⁿ    =  r ^N (cos nθ+ i sin nθ)

здесь n = 5, r = 3 и θ = 3π/2

z ⁵ = 3 ⁵ (cos 15π/2+ sin 15π/. 2)

С помощью калькулятора мы получаем

Z ⁵ = 243 (0 — I)

Z ⁵ = 243i

Пример 3:

[21/2123. 4 + i sin 3π/4)] ³

Решение:

Дано, z ³   =  [2(cos 3π/4 + i sin 3π/4)] ³

Использование формулы DE Moivre:

Z ^N = R ^N (COS Nθ+ I SIN Nθ)

здесь n = 3, R = 2 и θ = 3π/40030 3030

n = 3, R = 2 и θ = 3π/4003030 3030

.

Z ³ = 2 ³ (COS 9π/4 + I SIN 9π/4)

С помощью калькулятора мы получаем

Z ³ = 8 (√2/2 + I I √2/2)

z ³    =  [(8√2/2) + (i 8√2/2)]

z ³    = 4√2 + I 4√2

Пример 4:

(1 + I) ⁵

Решение:

. Форма комплексного числа z:

(1 + i) = r cos θ + i sin θ —-(1)  

Базовый	Преобразовать в полярную	Преобразовать в прямоугольную (стандартную)

Поиск r : r  =  √[(1) 2 + (1) 2 ] r  =  √2

Нахождение α : α = tan -1 (1/1) α = π/4

Поскольку комплексное число 1 + i положительно, z лежит в первом квадранте.

Итак, главное значение θ = π/4

Применяя значения r и θ к уравнению (1), получаем

1 + i = √2(cos π/4 + i sin π/4 )

Итак, полярная форма z равна √2(cos π/4 + i sin π/4)

Тогда

z ⁵  =  [√2(cos π/4 + i sin π/4 )] ⁵

Используя формулу де Муавра:

z ⁿ    =  r ⁿ (cos nθ + i sin nθ )

Here n  =  5, r  =  √2 and θ  ​​=  π/4

z ⁵    =  ( √2) ⁵ (cos 5. π/4 + i sin 5 . π/4)

z ⁵    =  4√2(cos 5π/4 + i sin 5π/4)

0 By с помощью калькулятора получаем

z ⁵    =    4√2(-√2/2 — i √2/2)

z ^{5    √} /4.