Рассуждая, как и для верхней стороны, получим, что в этом случае $\iint\limits_\sigma { R(x,y,z)dxdy } =-\iint\limits_ { D_ { xy } } { R(x,y,z(x,y)) } dxdy$. Окончательно, $\iint\limits_\sigma { R(x,y,z)dxdy } =\pm \iint\limits_ { D_ { xy } } { R(x,y,z(x,y)) } dxdy$, где знак «+» берётся для верхней стороны поверхности, знак «-» — для нижней стороны.
Аналогично изложенному, для других интегралов: $\iint\limits_\sigma { P(x,y,z)dydz } =\pm \iint\limits_ { D_ { yz } } { P(x(y,z),y,z) } dydz$, если поверхность однозначно проецируется в область $D_ { yz } $ на плоскости $\mathbf { \textit { Oyz } } $, при этом знак «+» берётся для «передней» стороны поверхности { где $\cos \alpha >0)$, для «задней» стороны, где $\cos \alpha <0$, берётся знак «-«; $\iint\limits_\sigma { Q(x,y,z)dxdz } =\pm \iint\limits_ { D_ { xz } } { Q(x,y(x,z),z) } dxdz$, если поверхность однозначно проецируется в область $D_ { xz } $ на плоскость $\mathbf { \textit { Oхz } } $, знак «+» берётся для «правой» стороны поверхности { где $\cos \beta >0$ } , для «левой» стороны, где $\cos \beta <0$, берётся знак «-«.
Окончательно $\mathbf { \textit { I } } = 328 — 928 = — 600$.
Пример 2
Вычислить $I=\iint\limits_\sigma { 3xdydz+zdxdz+5ydxdy } $, где $\sigma $ — часть плоскости $2x+3y-4z=12$, ограниченная координатными плоскостями $\mathbf { \textit { x } } =0, \mathbf { \textit { y } } =0, \mathbf { \textit { z } } =0$. Сторона поверхности выбирается так, чтобы нормаль образовывала острый угол с осью $\mathbf { \textit { Oz } } $.
Решение
Из двух направлений нормали к $\sigma \bar { n } =\pm \frac { 2\bar { i } +3\bar { j } -4\bar { k } } { \sqrt { 4+9+16 } } $ мы должны выбрать такое, для которого коэффициент при орте $\bar { k } $ { т.е. $\cos \gamma )$ положителен, поэтому выбираем знак «-«, тогда $\bar { n } =\frac { -2\bar { i } -3\bar { j } +4\bar { k } } { \sqrt { 29 } } $. В соответствии со знаками направляющих косинусов, $I=\iint\limits_\sigma { 3xdydz+zdxdz+5ydxdy } =-\iint\limits_ { D_ { yz } } { 3x(y,z)dydz } -\iint\limits_ { D_ { xz } } { zdxdz } + \iint\limits_ { D_ { xy } } { 5ydxdy } $.
Окончательно, $I=-36+9+80=53.$
В заключение, вычисление поверхностного интеграла второго рода всегда можно свести к вычислению поверхностного интеграла первого рода. Так, в последнем примере подынтегральное выражение равно
$\left( { \bar { v } (M)\cdot \bar { n } (M) }\right)d\sigma $, где $\bar { v } (M)=3x\bar { i } +z\bar { j } +5y\bar { k } $, $\bar { n } (M)=\cos \alpha \bar { i } +\cos \beta \bar { j } +\cos \gamma \bar { k } =\frac { -2\bar { i } -3\bar { j } +4\bar { k } } { \sqrt { 29 } } $. Поэтому $\bar { v } (M)\cdot \bar { n } (M)=\frac { -6x-3z+20y } { \sqrt { 29 } } $, и, проектируя $\sigma $ на плоскость $\mathbf { \textit { Oxy } } \left( { d\sigma =\frac { dxdy } { \vert \cos \gamma \vert } =\frac { \sqrt { 29 } } { 4 } dxdy }\right)$, получим $I=\iint\limits_\sigma { 3xdydz+zdxdz+5ydxdy } =\iint\limits_\sigma { \frac { -6x-3z+20y } { \sqrt { 29 } } d\sigma = } \iint\limits_ { D_ { xy } } { \left.
Далее:
Класс $T_0$. Теорема о замкнутости класса $T_0$
Вычисление площадей плоских областей
Механические приложения криволинейного интеграла 1-го рода
Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры.
Лемма о построении множества $[F]_{x1,x2}$
Поверхностный интеграл второго рода и его свойства
Теорема о полныx системаx в Pk
Определение двойного интеграла
Поток векторного поля через поверхность
Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах
Свойства потока векторного поля
Криволинейный интеграл первого рода
СКНФ.
Теорема о представлении в виде СКНФ. Построение СКНФ по таблице
Несобственные интегралы по неограниченной области
Огравление $\Rightarrow $
23 сентября 2016, 12:19 проектирование км, кмд, кж Поверхностный интеграл 0 11236 0
Калькулятор определенных интегралов с шагами — Математический калькулятор
С помощью этого бесплатного калькулятора определенных интегралов можно вычислить значение интегральной функции на основе заданной функции, нижнего предельного значения и верхнего предельного значения. Это полезный инструмент для студентов-математиков, изучающих тему исчисления и интегралов. Это простой в использовании инструмент для всех.
Шаг 1: Введите функцию, т.е. f(x)
Шаг 2: Введите нижний предел, т.е. значение
Шаг 3: Введите верхний предел, т.е. значение b
Шаг 4: Нажмите кнопку «Рассчитать»
Ответ будет предоставлен на основе этой формулы: ∫ab f(x) dx
Использовать больше Математические калькуляторы, такие как калькулятор составных чисел, калькулятор сложных процентов, калькулятор процентов, калькулятор рациональных чисел и проверка простых чисел
Онлайн-курсы по математике > Математические калькуляторы > Калькулятор определенных интегралов
Определенный интеграл — это важное математическое понятие, которое включает в себя нахождение площади под кривой между двумя определенными точками на оси.
В исчислении интегралы используются для вычисления площади под кривыми, а также для вычисления объема трехмерных объектов. Определенный интеграл — это тип интеграла, который включает в себя нахождение площади между кривой и осью x между двумя конкретными точками. Это часто представляется как:
∫[a,b] f(x) dx
В этом выражении знак интеграла ( ∫ ) представляет процесс интегрирования, а [a,b] представляет интервал между двумя конкретными точками, a и b . Функция f(x) представляет интегрируемую кривую, а dx представляет собой бесконечно малое изменение значения x.
Процесс вычисления определенного интеграла может быть утомительным и трудоемким, особенно для сложных функций. Однако калькулятор определенного интеграла может упростить этот процесс, автоматически вычисляя значение интеграла. Некоторые калькуляторы позволяют вам вводить функцию и интервал, в то время как другие могут потребовать от вас ввода дополнительных параметров, таких как количество подразделений или желаемый уровень точности.
Существует множество различных типов калькуляторов определенных интегралов, от простых онлайн-калькуляторов до более сложных программ. Некоторые калькуляторы могут быть специализированы для определенных типов функций или приложений, таких как тригонометрические функции или инженерные приложения.
Одним из важных понятий, связанных с определенными интегралами, является идея сумм Римана. Сумма Римана — это метод аппроксимации площади под кривой с помощью прямоугольников. Чем больше прямоугольников используется, тем точнее аппроксимация. Это понятие важно для численных методов интегрирования, которые используются для аппроксимации значения определенных интегралов, когда точное решение не может быть найдено.
Методы численного интегрирования включают аппроксимацию площади под кривой путем деления интервала на меньшие подинтервалы и аппроксимацию площади под каждым подинтервалом с использованием суммы Римана. Затем значение определенного интеграла аппроксимируется суммированием площадей всех подинтервалов.
Точность аппроксимации можно повысить, увеличив количество подинтервалов, но это также может увеличить вычислительную сложность расчета.
Одним из распространенных методов численного интегрирования является правило трапеций, которое включает аппроксимацию площади под каждым подинтервалом с помощью трапеции. Площадь каждой трапеции вычисляется путем усреднения значений функции в концах подинтервала. Затем значение определенного интеграла аппроксимируется суммированием площадей всех трапеций.
Другим распространенным методом численного интегрирования является правило Симпсона, которое включает аппроксимацию площади под каждым подинтервалом с помощью параболической кривой. Площадь каждой параболической кривой рассчитывается путем подгонки квадратного уравнения к значениям функции в конечных точках и средней точке подинтервала. Затем значение определенного интеграла аппроксимируется суммированием площадей всех параболических кривых.
В целом, калькулятор определенного интеграла является полезным инструментом, который может упростить процесс вычисления площади под кривой между двумя конкретными точками.
Независимо от того, работаете ли вы над академическим заданием, проводите научные исследования или выполняете инженерные расчеты, калькулятор определенного интеграла поможет вам сэкономить время и избежать ошибок в расчетах.
Интегральный калькулятор в США
Что такое интегральный калькулятор?
Калькулятор интегралов — это инструмент, позволяющий выполнять расчеты интегралов. Он поддерживает определенные интегральные вычисления и неопределенные интегралы, а также другие функции нескольких переменных.
Вы можете проверить свои ответы по сложным задачам на интеграцию в упражнениях по математическому анализу или воспользоваться интерактивным интегральным калькулятором, чтобы лучше понять, как решать задачи на интегральное исчисление.
Определенный и неопределенный интеграл
Интегрирование — это процесс, обратный дифференцированию. В то время как дифференциальное исчисление изучает скорость изменения величин, интегральное исчисление фокусируется на свойствах интегралов.
Определенный интеграл — это число, представляющее площадь под кривой функции от x равно a до x равно b. Определенный интеграл имеет пределы, которые называются определенными, потому что они представлены определенным числом. Существует также несобственный интеграл, который в основном является пределом определенного интеграла, представленного либо заданным действительным числом, либо бесконечностью.
Неопределенный интеграл, в отличие от определенного интеграла, является функцией. Он не имеет верхнего граничного значения или нижнего граничного предела и дает ответ f(x).
Неопределенное интегральное решение может быть записано как F(x)=∫ƒ(x)dx или F=∫ƒ dx.
Как определенный интеграл, так и неопределенный интеграл описываются в теореме исчисления, которая утверждает, что для вычисления определенных интегралов необходимо найти неопределенные интегралы и предположить, что конечные точки x равны a, а x равны b.
Как работает интегральный калькулятор
Для вычисления интегралов необходимо заполнить данные в соответствующих полях интегрального калькулятора.
Затем нажмите кнопку рассчитать, и калькулятор покажет вам результаты расчета.
Для интегрального калькулятора с шагами инструмент сначала анализирует функцию. Затем он преобразуется в дерево, чтобы компьютер мог оценить эту функцию. Он принимает порядок операций и добавляет пропущенные знаки.
Затем калькулятор отправляет функцию на сервер, где она преобразуется и анализируется. Система автоматически выполняет необходимые формулы. После того, как все расчеты выполнены, результат показывается пользователю.
Для выполнения расчетов по интегральному и дифференциальному исчислению вы можете выбрать специальный интегральный онлайн-калькулятор, например, калькулятор определенного интеграла, калькулятор линейного интеграла, калькулятор двойного интеграла или калькулятор интегрального исчисления.
Калькулятор определенных интегралов возвращает результаты в виде числа после принятия нижнего и верхнего пределов под кривой.
Калькулятор линейного интеграла — это онлайн-инструмент, выполняющий вычисления интеграла, где функция оценивается по кривой.
