Возвести комплексное число в степень онлайн калькулятор. Возведение комплексных чисел в степень
Начнем с любимого квадрата.
Пример 9
Возвести в квадрат комплексное число
Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов.
Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения :
Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:
Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба сумма и куба разности. Но эти формулы более актуальны длязадач комплексного анализа. Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде?
И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра : Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степеньсправедлива формула:
Просто
до безобразия.
Пример 10
Дано комплексное число , найти.
Что нужно сделать? Сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали:
Тогда, по формуле Муавра:
Упаси боже, не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляетрадиан или 360 градусов. Выясним сколько у нас оборотов в аргументе. Для удобства делаем дробь правильной:, после чего становится хорошо видно, что можно убавить один оборот:. Надеюсь всем понятно, чтои– это один и тот же угол.
Таким образом, окончательный ответ запишется так:
Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.
Пример 12
Возвести в степень комплексные числа ,,
Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.
Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:
Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень:
Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:
Извлечение корней из комплексных чисел.
Квадратное уравнение с комплексными корнямиРассмотрим пример:
Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень – можно! А точнее, два корня:
Действительно ли найденные корни являются решением уравнения ? Выполним проверку:
Что и требовалось проверить.
Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: .
Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями .
Как
извлекать квадратные корни из отрицательных
чисел, думаю, всем понятно:
,,,,и
т.д. Во всех случаях получается
Начнем с любимого квадрата.
Пример 9
Возвести в квадрат комплексное число
Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов.
Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения :
Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:
Аналогичную формулу можно вывести для
квадрата разности, а также для куба
сумма и куба разности.
Но эти формулы
более актуальны длязадач
комплексного анализа. Что делать,
если комплексное число нужно возвести,
скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень?
Ясно, что в алгебраической форме проделать
такой трюк практически невозможно,
действительно, подумайте, как вы будете
решать пример вроде?
И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра : Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степеньсправедлива формула:
Просто до безобразия.
Пример 10
Дано комплексное число , найти.
Что нужно сделать? Сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали:
Тогда, по формуле Муавра:
Упаси
боже, не нужно считать на калькуляторе
,
а вот угол в большинстве случае следует
упростить. Как упростить? Образно
говоря, нужно избавиться от лишних
оборотов.
Один оборот составляетрадиан
или 360 градусов. Выясним сколько у нас
оборотов в аргументе.
Для удобства делаем дробь правильной:,
после чего становится хорошо видно, что
можно убавить один оборот:.
Надеюсь всем понятно, чтои–
это один и тот же угол.
Таким образом, окончательный ответ запишется так:
Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.
Пример 12
Возвести в степень комплексные числа ,,
Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.
Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:
Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень:
Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:
Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнями
Рассмотрим пример:
Нельзя
извлечь корень? Если речь идет о
действительных числах, то действительно
нельзя.
Действительно ли найденные корни являются решением уравнения ? Выполним проверку:
Что и требовалось проверить.
Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: .
Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями .
Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно: ,,,,и т.д. Во всех случаях получаетсядва сопряженных комплексных корня.
Пример 13
Решить квадратное уравнение
Вычислим дискриминант:
Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!
По известным школьным формулам получаем два корня: – сопряженные комплексные корни
Таким образом, уравнение имеет два сопряженных комплексных корня:,
Теперь вы сможете решить любое квадратное уравнение!
И
вообще, любое уравнение с многочленом
«энной» степени
имеет
ровнокорней,
часть из которых может быть комплексными.
Простой пример для самостоятельного решения:
Пример 14
Найти корни уравнения и разложить квадратный двучлен на множители.
Разложение на множители осуществляется опять же по стандартной школьной формуле.
Калькулятор Комплексных Чисел CaRevol Jet — Примеры использования Формульного калькулятора комплексных чисел CaRevol Jet | Siarion.net
Общий список вопросов про калькулятор комплексных чисел «CaRevol Jet» 1. Как выглядит калькулятор комплексных чисел «CaRevol Jet»? 8. А вдруг ваш калькулятор неправильно считает? 9.  Я уже вычислил большую формулу, Можно ли использовать ее результат в другой формуле?Как выглядит калькулятор комплексных чисел? скриншот калькулятора комплексных чисел «CaRevol Jet» Как указать мнимую часть комплексного числа? в калькуляторе комплексных чисел «CaRevol Jet» Для того чтобы указать мнимую часть комплексного числа перед цифрой необходимо поставить знак i.
Как правильно составить формулу? в калькуляторе комплексных чисел «CaRevol Jet» При составлении формул действуют обычные правила приоритетов. Сначала считается то, что внутри самых глубоких скобок, постепенно раскрывая скобки все вычисления сводятся до одного уровня. Сначала выполняется деление и умножение потом сложение и вычитание. Например следующие формулы дадут разный результат: или деление Как пользоваться функциями? в калькуляторе комплексных чисел «CaRevol Jet» При использовании функций необходимо открывать функцию соответствующей кнопкой, и после ввода аргумента закрывать кнопкой CF (close function). В разных скинах она выглядит немного по разному, но в формуле на экране калькулятора функциональные скобки являются квадратными.
Например: Как вычислить модуль и аргумент комплексного числа в калькуляторе комплексных чисел «CaRevol Jet» Нажмите кнопочку «Vec» — в результате откроется окошко
векторные функции и константы Две большие оранжевые кнопки — mod и arg вычисляют модуль и аргумент комплексного числа. Остальные мелкие желтенькие кнопочки — это предопределенные константы для удобства вычислений. например: Аргумент вычисляется в радианах. Поэтому если вы хотите получить результат например в градусах, то нужно использовать функции преобразования мер углов. Например в радианах: И в градусах: Как я могу использовать константы? в калькуляторе комплексных чисел «CaRevol Jet» Просто нажмите на кнопку с нужной константой и она уже в формуле. А какие еще я могу использовать функции для расчетов с комплексными числами? Все функции, какие есть в калькуляторе вычисляются от комплексных чисел. Только функции преобразования углов используют исключительно реальное число в качестве аргумента. Вычисление квадратного корня от комплексного числа: Функции можно вкладывать друг в друга, Например вычисление аргумента комплексного числа полученного из корня квадратного -i9 в градусах: А вдруг ваш калькулятор неправильно считает? калькулятор комплексных чисел «CaRevol Jet» Вот для сравнения результаты пакета MathCad©. Возведение комплексного числа в комплексную степень: Гиперболический синус комплексного числа: Я уже вычислил большую формулу, Можно ли использовать ее результат в другой формуле? в калькуляторе комплексных чисел «CaRevol Jet» Да, можно. Подведем итоги того что было сказано выше и попробуем рассчитать первую космическую скорость. Вот формула из учебника: Здесь Rgeo встречается дважды. Чтобы не набирать дважды, сначала запомним это число в предыдущем результате. А сам расчет формулы станет возможен за один проход. Итак приступим. После выполнения расчета [ = ] результат запоминается в PR. Результат: первая космическая скорость вывода ИСЗ на высоту 10(км) |
Эти функции находятся в окошке Geo.
Для этого есть кнопка PR (previous result — предыдущий результат). Как это работает? как только вы нажали кнопку «=» результат вычислений записался в константу PR и теперь вы можете ее вставлять в последующие вычисления.
Теперь расчет формулы:Результаты
Экспоненциальная форма комплексного числа — dCode
Теги: Арифметика, Геометрия
Поделиться
dCode и другие с, геокэшинг, головоломки и задачи решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !
Преобразователь комплексных чисел
Из комплексного числа a+ib
Комплексный номер z (формат a+ib)Из декартовых координат (значения a и b в a+ib)
Значение а=Значение б=
Из полярных координат (модуль и аргумент)
Значение r (модуль)Значение θ (аргумент/угол)
См. также: Комплексное число Модуль/величина — Аргумент комплексного числа
Ответы на вопросы (FAQ)
Что такое экспоненциальная форма комплексного числа? (Определение)
Экспоненциальное представление комплексного числа $z$ аргумента $\theta$ и модуля $r$: $$z = r \operatorname{e}^{i \theta} $$ 9{i\theta } = \cos {\theta} + i \sin {\theta} $$ with $\theta \in \mathbb{R} $
Как преобразовать декартовы координаты в полярные координаты?
Преобразование комплексных декартовых координат в комплексные полярные координаты для комплексных чисел $z = ai + b$ (с $(a,b)$ декартовыми координатами) как раз и состоит в том, чтобы записать это число в комплексно-показательной форме, чтобы получить модуль $r$ и аргумент $\theta$ (с $(r,\theta)$ полярными координатами).
9{i(-\pi/2)} = \cos{-\pi/2} + i\sin{-\pi/2} = -i $
Исходный код
Исходный код формы. За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (указано Creative Commons/бесплатно), алгоритма «Экспоненциальная форма комплексного числа», апплета или фрагмента (преобразователь, решатель, шифрование/дешифрование, кодирование/декодирование, шифрование/дешифрование, взломщик, транслятор) или Функции «Экспоненциальная форма комплексных чисел» (вычисление, преобразование, решение, расшифровка/шифрование, расшифровка/шифрование, декодирование/кодирование, перевод), написанные на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C#, Javascript, Matlab и т. д.) и все загрузки данных, сценарии или доступ к API для «Экспоненциальной формы сложного числа» не являются общедоступными, то же самое для автономного использования на ПК, мобильных устройствах, планшетах, iPhone или в приложении для Android!
Напоминание: dCode можно использовать бесплатно.
Цитировать dCode
Копирование и вставка страницы «Экспоненциальная форма комплексного числа» или любых ее результатов разрешена (даже в коммерческих целях), если вы цитируете dCode!
Бесплатный экспорт результатов в файл .
csv или .txt осуществляется нажатием значка export
Ссылка в качестве источника (библиография):
Экспоненциальная форма комплексного числа на dCode.fr [онлайн-сайт], получено 2023-06 -02, https://www.dcode.fr/complex-number-exponential-form
Сводка
- Преобразователь комплексных чисел
- Что такое экспоненциальная форма комплексного числа? (Определение)
- Что такое формула Эйлера?
- Как преобразовать декартовы координаты в полярные координаты?
- Каковы свойства комплексного возведения в степень?
Аналогичные страницы
- Комплексное число Модуль/Величина
- Комплексное число Аргумент
- Комплексный номер Аффикс
- Тройка Пифагора
- Квадратичная формула
- Недесятичная система счисления
- Модульное возведение в степень
- СПИСОК ИНСТРУМЕНТОВ DCODE
Поддержка
- Paypal
- Patreon
- Подробнее
Форум/Помощь
Ключевые слова
экспонента,обозначение,аргумент,модуль ,комплекс,число
Ссылки
▲
Калькулятор комплексных чисел — eMathHelp
Калькулятор попытается упростить любое сложное выражение с показанными шагами.
2=-1$$$: 92}=2 \sqrt{65}$$$
Кроме того, $$$\theta=\operatorname{atan}\left(\frac{16}{2}\right)=\operatorname{atan}{\left (8 \right)}$$$
Следовательно, $$$2 + 16 i=2 \sqrt{65} \left(\cos{\left(\operatorname{atan}{\left(8 \right)} \ right)} + i \sin{\left(\operatorname{atan}{\left(8 \right)} \right)}\right)$$$
Обратное
Обратное к $$$2 + 16 i$$$ равно $$$\frac{1}{2 + 16 i}$$$
В общем случае умножьте выражение $$$\frac{1}{a + i b}$$$ на сопряженное (сопряжение $$$a + i b$$$ равно $$$a — i b$$$): 9{2}}$$$
В нашем случае $$$a=2$$$ и $$$b=16$$$
Следовательно, $$$\color{red}{\left(\frac {1}{2 + 16 i}\right)}=\color{red}{\left(\frac{1}{130} — \frac{4 i}{65}\right)}$$$
Следовательно, $$$\frac{1}{2 + 16 i}=\frac{1}{130} — \frac{4 i}{65}$$$
Сопряжение
Сопряжение $$ $a + i b$$$ равно $$$a — i b$$$: сопряженное число $$$2 + 16 i$$$ равно $$$2 — 16 i$$$
Модуль
Модуль $$$a + i b$$$ равно $$$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$$$: модуль $$$2 + 16 i$$$ равен $$$2 \sqrt {65}$$$
Ответ
$$$\left(1 + 3 i\right) \left(5 + i\right)=2 + 16 i=2.