исчисление — Расчет предела без правила Лопиталя
спросил
Изменено 2 года, 3 месяца назад
Просмотрено 16 тысяч раз
$\begingroup$
Я должен вычислить этот предел без использования правила Лопиталя или полиномов Тейлора:
$$\lim_{ x\to \pi/4 } \frac{1 — \tan(x)}{x-\frac{\pi}{4}}$$
Я знаю, как это сделать с помощью L’Hopital и что результат $-2$, но я ничего не получаю, когда пытаюсь без него. Любой совет?
- исчисление
- пределы
- пределы без капитала
$\endgroup$
0
$\begingroup$
Подсказка: как определяется производная от $\tan(x)$ при $x=\pi/4$? 92(\пи/4) = 2$.
Итак, $-2$ — это ответ на поставленный вами вопрос.
$\endgroup$
$\begingroup$
У нас есть тождества
$$\begin{align}\frac{1-\tan x}{x-\pi/4}&=-\frac{\tan(x-\pi/4)}{ х-\пи/4}(1+\тангенс х)\\\\ &=-\frac{\sin(x-\pi/4)}{x-\pi/4}\frac{1+\tan x}{\cos(x-\pi/4)} \end{align}$$
Вы можете закончить отсюда?
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Подсказка:
Пусть $t=x-\frac{\pi}{4}$, тогда $ $ \ frac {1- \ tan x} {x- \ frac {\ pi} {4}} = \ frac {1- \ tan \ left (t + \ frac {\ pi} {4} \ right)} { t} = \ frac {1} {t} \ cdot \ left (1- \ frac {\ tan t + \ tan \ frac {\ pi} {4}} {1- \ tan \ frac {\ pi} {4} \tan t}\right)=\frac{1}{t}\left(1-\frac{\tan t+1}{1-\tan t}\right)=\frac{-2\tan t} {т(1-\тангенс т)}$$ Теперь возьмем предел как $t\to 0$: \начать{выравнивать} \lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\frac{1-\tan x}{x-\frac{\pi}{4}}&=\lim_{t\to 0}\frac {-2\tan t}{t(1-\tan t)}\\ &=\lim_{t\to 0}\frac{-2\tan t\cos t}{t(1-\tan t)\cos t}\\ &=-2\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t(\cos t-\sin t)}\\ &=-2\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{1}{\cos t-\ грех т}\право)\\ &=-2(1)(1)\\ &=\цвет{синий}{-2} \end{выравнивание}
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Вы можете воспользоваться следующей подсказкой.
Попробуйте записать $\tan(x)$ в терминах $\sin(x) $ и $\cos(x)$. Небольшая перестановка, а затем используйте следующее:
$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x}=1$$
Небольшая работа дает результат.
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
Как найти пределы без правила Лопиталя?
спросил
Изменено 4 года, 1 месяц назад
Просмотрено 2к раз
$\begingroup$
Мой вопрос: как я могу оценить пределы без правила Лопиталя?
$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(\sqrt[3]{x})}{1-\cos x}$$
- пределы-без-lhopital
$\endgroup$
5
$\begingroup$ 92}$$
и вы увидите, что предела не существует.
$\endgroup$
$\begingroup$
Вы можете оценить пределы без правила Лопиталя, используя известные свойства пределов:
- $\lim_{x\to c}(f(x) + g(x)) = \lim_{x\to c}f (x)+\lim_{x\to c}g(x)$
- $\lim_{x\to c}(f(x)g(x)) = (\lim_{x\to c}f(x))\cdot (\lim_{x\to c} g(x) )$
- $\lim_{x\to c}(f(x)/g(x)) = (\lim_{x\to c}f(x))/ (\lim_{x\to c} g(x) )$
при условии, что все ограничения существуют (и знаменатель не равен $0$ в последнем).