Калькулятор определителя матрицы 4 порядка: Онлайн калькулятор. Определитель матрицы. Детерминант матрицы

Калькулятор определителя | Матрица | 3*3, 4*4, 5*5

Введите матрицу размера m x n ниже в форму

a11,a12,a13,...a1n
a21,a22,a23,...a2n
am1,am2,am3,...amn


Следующая статья расскажет вам о калькуляторах определителей и его использование. А также подробное описание решения проблемы. линейные и векторные уравнения будут упомянуты в статье. Решения матрицы det(A) 2×2, 3×3 и 4×4 также присутствуют в содержание.

Калькулятор и его использование упомянуты, если вы его найдете трудно решить их вручную. Также в статье рассказывается о как поступить с искателем det(A). Это учебный материал, который готовили для двенадцатых классов и даже для высших исследования. Прочтите статью, чтобы узнать больше об уравнениях и решения.

3,2,0,1 4,0,1,2 3,0,2,1 9,2,3,1

Итак, сегодня мы будем обсуждать матричный калькулятор определителей (расч.). Концепция определителей и матриц преуспела в каждой области науки.

Помогает в решении не только линейных уравнения, но и векторные и скалярные произведения. Мы все знаем о линейные уравнения, и они могут иметь единственное или бесконечное множество решений. Итак, что такое детерминанты? Что такое матрица определитель? Ответы на эти вопросы появятся позже в статья.

Определители эквивалентны квадратной матрице с вещественными элементы. Он обозначается det (A), |A| и det A. Они используются решить линейные уравнения и, следовательно, найти неопределенное переменные. Точно так же det(A) матрицы A 2×2 будет: , что соответствует

Теперь матрицы обозначены квадратными скобками, но определитель обозначает вертикальные полосы. det(A) будет одиночным число в массив цифр матриц. Также этот калькулятор получил предназначен для нахождения det(A) для таких значений матрицы, как 2×2, 3×3 и 4х4.

Как найти определитель матричного калькулятора?

Поскольку мы теперь знаем, что такое det(A), а теперь научимся находить определитель матрицы.

Следующие шаги расскажут вам, как включить ценности и найти решения. Это: · Во-первых, давайте возьмем пример для матрицы 2×2 для det A. Теперь, если
, тогда результат будет:

• Итак, как вы видите в приведенном выше примере, вы можете заметить, что Выполнено.
• Правило №1: Вы должны использовать несколько значений в первой строке и первый столбец к элементу во второй строке и второй столбец.
• Правило № 2: Затем было бы полезно, если бы вы умножили значение в вторая строка и второй столбец к первой строке и первому столбец.
• Вышеупомянутые точки могут быть простыми, определяемыми как разница между первым и вторым продуктом. Кроме того, это был пример значений матрицы 2×2.
• Теперь на очереди дет(А) 3×3 и 4×4 матрица.

Знай несовершеннолетних

Как узнать несовершеннолетних? Определены миноры для матрицы nxn det(A) как (n-1)x(n-1). Для лучшего понимания предположим, что у нас есть Матрица 3×3 det(A).

Теперь мы временно удалим третий столбец и row, то остальные элементы будут считаться второстепенными.

Теперь, чтобы вычислить матрицу nxn, нужно расширить det(A) минорами. Во-первых, что мы делаем, так это то, что мы выбираем строку, а затем начать умножение. Во-вторых, мы умножаем знак положения, миноры и элементы ряда, которые мы определили. В приведенных ниже примерах вы увидите, как увеличивать и оценивать решение. Что вам нужно помнить, так это то, что вы должны помните соглашения о знаках, которые также упоминаются позже в статья.

Как уже упоминалось, для 4×4 det(A) 3×3 det(A) является несовершеннолетние. После того, как вы выберете строку или столбец, каждый его элемент нужно умножить на -1 или +1. Они зависят от того, сумма элементов строки и столбца четная или нечетная. Следовательно, произведение младшего компонента и числа +1 или -1 равно известны как кофакторы.

Калькулятор определителя 3х3

Калькуляторы определителя матрицы 3×3 определены как
, производное от

Как видите, вывод пусть Теперь посмотрим на пример, который находится ниже:
Far, после этого продлите второй столбец. Кроме того, помните, что вы должны получить второстепенные элементы, 2×2, во второй столбец, например
Теперь начните кофакторировать эти результаты, например

Калькулятор определителя 4×4

Выводы мы видели выше с примерами, конечно. Но сейчас мы увидим случай детерминантного решателя для 4×4.

Прежде всего, давайте посмотрим на примере, что нам нужно оценить:
, где вы расширяете четвертый строка с младшими, например

• Теперь каждый из определителей в приведенном выше примере должен получить расширен тремя минорами.
• Кроме того, обязательно сначала решите det(A) с большим количеством нулей, т.к. это может упростить решение уравнения.
• Хотя с определительным калькулятором легко рассчитаться.
• Определитель искателя также может иметь дело с реальным миром проблемные уравнения во всех областях науки. Как это может решить векторные и скалярные уравнения тоже.

Как пользоваться калькулятором определителя матрицы?

Следующие шаги подскажут вам, как использовать матрицу калькулятор определителя, а они следующие:

• Как было сказано выше, матрицы содержат действительные числа и поэтому поместите значения в расчет.
• Поместив все значения матрицы в поле, нажмите Кнопка «Создать работу», чтобы она начала решать.
• Результатом также будет реальное число, которое предоставит вам с большим количеством информации об уравнении.

Объяснение урока: Использование определителей для вычисления площадей

В этом объяснении мы узнаем, как использовать определители для вычисления площадей треугольники и параллелограммы по данным координатам их вершин.

Есть много полезных свойств матриц, которые мы можем использовать для решения задач. Мы можем использовать определитель матриц, чтобы помочь нам вычислить площадь многоугольника по его вершинам. Для этого начнем с формулы площадь треугольника с помощью определителей.

Теорема: площадь треугольника с использованием определителей

Площадь треугольника с вершинами (𝑥,𝑦), (𝑥,𝑦) и (𝑥,𝑦) дан кем-то areadet=12||||𝑥𝑦1𝑥𝑦1𝑥𝑦1||||.

Мы берем абсолютное значение этого определителя, чтобы убедиться, что площадь неотрицательный.

Существуют и другие методы нахождения площади треугольника. Например, мы знаем, что площадь треугольника равна половине длины основания раз больше высоты. Однако эта формула требует, чтобы мы знали эти длины а не просто координаты вершин.

Давайте рассмотрим пример использования этой формулы для оценки площади треугольника по координатам его вершин.

Пример 1. Нахождение площади треугольника в декартовой системе координат с помощью Определители

Найдите площадь приведенного ниже треугольника с помощью определителей.

Ответ

В этом вопросе мы могли бы найти площадь этого треугольника во многих различные пути. Например, мы могли бы использовать геометрию. Однако мы задача вычислить площадь треугольника с помощью определителей.

Для этого нам понадобится тот факт, что площадь треугольника с вершины (𝑥,𝑦), (𝑥,𝑦), и (𝑥,𝑦) определяется выражением areadet=12||||𝑥𝑦1𝑥𝑦1𝑥𝑦1||||.



Итак, нам нужно найти вершины нашего треугольника; мы можем это сделать используя наш эскиз.

Стоит отметить, что порядок, в котором мы помечаем вершины, не имеет значение, так как это приведет только к переключению строк нашей матрицы вокруг, что только меняет знак определителя.

Следовательно, площадь нашего треугольника равна аредет=12||||0514513−41||||.

Расширяя первый столбец, получаем areadetdet=12||0×51−41−4×51−41+3×5151||=12|−4(5×1−(−4)×1)+3(5× 1−5×1)|=12|−36|=18, что дает нам, что площадь нашего треугольника составляет 18 квадратных единиц.

Мы можем проверить наш ответ, рассчитав площадь этого треугольника, используя другой метод. Например, площадь треугольника равна половине длины основания, умноженного на высоту, и мы можем найти оба значения из наш эскиз.

Приняв за основание горизонтальную сторону, получим, что длина основания равно 4, а высота треугольника равна 9.

Таким образом, мы можем использовать их для вычисления площадь треугольника: Areabaseheight=12××=12×4×9=18.

Это подтверждает наш ответ, что площадь нашего треугольника равна 18 квадратных единиц.

Мы можем использовать формулу площади треугольника, используя определители для найти возможные координаты вершины треугольника с заданной площадью, как мы увидим в нашем следующем примере.

Пример 2: Нахождение информации о вершинах треугольника по его площади

Заполните пропуск: Если площадь треугольника, вершины которого (ℎ,0), (6,0), и (0,3) равно 9квадратные единицы, тогда ℎ=.

1. 0 или −12
2. 0 или 12
3. −6 или 6
4. 12 или −12

Ответ

В этом вопросе нам дана площадь треугольника и координаты две его вершины, и нам нужно использовать это, чтобы найти координаты третья вершина. Мы могли бы найти выражение для площади нашего треугольника используя половину длины основания, умноженной на высоту.

Тогда это даст нам уравнение, которое мы могли бы решить для ℎ. Однако давайте работать из этого примера с помощью определителей.

Мы можем найти площадь треугольника, используя координаты его вершины. Треугольник с вершинами (𝑥,𝑦), (𝑥,𝑦), и (𝑥,𝑦) имеет площадь, заданную следующий: areadet=12||||𝑥𝑦1𝑥𝑦1𝑥𝑦1||||.

Подстановка в координаты вершин этого треугольника дает нам aredet=12||||ℎ01601031||||.

Эта площадь равна 9, и мы можем вычислить определитель, разложив над вторым столбцом: 9=12||||ℎ01601031||||=12||−0×6101+0×ℎ101−3×ℎ161||=12|−3(ℎ−6)|=32 |ℎ−6|.detdetdetdet

Таким образом, преобразование этого уравнения дает 6=|ℎ−6|.

Это дает нам два варианта: либо 6=ℎ−6 или −6=ℎ−6.

Мы можем решить оба этих уравнения, чтобы получить ℎ=0 или ℎ=12, что является вариантом B.

До сих пор мы обсуждали нахождение площади треугольников с помощью детерминанты. Эту идею можно распространить на полигоны с любым количеством стороны. Начнем с поиска формулы площади параллелограмма. Есть два разных способа сделать это.

Первый способ сделать это — рассмотреть параллелограмм как два конгруэнтных треугольники. Если мы выберем любые три вершины параллелограмма, мы получим треугольник.

Неважно, какие три вершины мы выберем, мы разделим параллелограмм на два треугольника. Длины сторон каждого из треугольников одинаковы, значит они конгруэнтны и имеют одинаковую площадь. Тогда мы можем найти площадь этого треугольника с помощью определителей: площадьпараллелограммаплощадьтреугольникdetdet()=2()=2×12||||𝑥𝑦1𝑥𝑦1𝑥𝑦1||||=||||𝑥1𝑥𝑦1𝑥𝑦1||||.0003

Мы можем обобщить это следующим образом.

Формула: площадь параллелограмма с использованием определителей

Площадь параллелограмма с любыми тремя вершинами на (𝑥,𝑦), (𝑥,𝑦) и (𝑥,𝑦) дан кем-то areadet=||||𝑥𝑦1𝑥𝑦1𝑥𝑦1||||. 

Существует второй способ найти площадь параллелограмма, используя детерминанты. Так как при перемещении параллелограмма его площадь не меняется, мы можем перевести любой параллелограмм так, чтобы одна из его вершин находилась в источник. Таким образом, нам нужно только определить площадь такого параллелограмма. Рассмотрим параллелограмм с вершинами (0,0), (𝑎,𝑏), (𝑐,𝑑), и (𝑒,𝑓), как показано на следующем рисунке.

Мы можем найти площадь этого параллелограмма, разбив его на треугольники в двумя разными способами, и оба метода дадут одну и ту же площадь параллелограмм. Например, мы можем разделить параллелограмм пополам вдоль отрезок между (𝑎,𝑏) и (𝑐,𝑑).

Мы видим, что диагональная линия делит параллелограмм на два треугольника. Эти два треугольника равны, потому что у них одинаковые длины сторон. Следовательно, площадь параллелограмма в два раза больше площади треугольника, изображенного на рисунке. ниже.

Мы можем найти площадь этого треугольника, используя определители: areatriangledet()=12||||001𝑎𝑏1𝑐𝑑1||||.

Раскладывая по первой строке, получаем площадьтреугольникdetdetdet()=12|||0×𝑏1𝑑1−0×𝑎1𝑐1+1×𝑎𝑏𝑐𝑑|||=12|||𝑎𝑏𝑐𝑑|||.

Поскольку площадь параллелограмма в два раза больше этой величины, мы имеем areaparallelogramdet()=|||𝑎𝑏𝑐𝑑|||.

Мы могли бы также разделить параллелограмм вдоль отрезка между происхождение и (𝑒,𝑓), как показано ниже.

Опять же, это разбивает треугольник на два конгруэнтных треугольника, и мы можем вычислить площадь одного из этих треугольников как 12||||001𝑒𝑓1𝑐𝑑1||||=12|||𝑒𝑓𝑐𝑑|||.detdet

Площадь параллелограмма в два раза больше этой величины: areaparallelogramdet()=|||𝑒𝑓𝑐𝑑|||.

В любом случае площадь параллелограмма равна абсолютной величине определитель матрицы 2 × 2 со строками в качестве координаты любых двух его вершин не в начале координат. Мы резюмируем это результат следующим образом.

Теорема: площадь параллелограмма

Если параллелограмм имеет одну вершину в начале координат и две другие вершины в (𝑎,𝑏) и (𝑐,𝑑), то его площадь равна aredet=|||𝑎𝑏𝑐𝑑|||.

Давайте рассмотрим пример того, как мы можем применить эту формулу для определения площадь параллелограмма по координатам его вершин.

Пример 3. Вычисление площади параллелограмма с использованием матриц

Использование определителей для вычисления площади параллелограмма с вершинами (1,1), (−4,5), (−2,8) и (3,4).

Ответ

Начнем с того, что вспомним, как мы находим площадь параллелограмма по с помощью определителей. Площадь параллелограмма с любыми тремя вершинами (𝑥,𝑦), (𝑥,𝑦), и (𝑥,𝑦) задается выражением areadet=||||𝑥𝑦1𝑥𝑦1𝑥𝑦1||||.

Мы можем выбрать любые три из заданных вершин, чтобы вычислить площадь этого параллелограмм. Например, если мы выберем первые три точки, то aredet=||||111−451−281||||.

Расширение первой строки дает нам areadetdetsquareunits=||1×5181−1×−41−21+1×−45−28||=|(5−8)−(−4+2)+(−32+10) |=23.

Следовательно, площадь этого параллелограмма равна 23 квадратных единиц.

Мы могли бы также использовать тот факт, что если параллелограмм имеет одну вершину в начало координат и любые две другие его вершины в (𝑎,𝑏) и (𝑐,𝑑), то его площадь определяется выражением aredet=|||𝑎𝑏𝑐𝑑|||.

Чтобы использовать эту формулу, нам нужно перевести параллелограмм так, чтобы один из его вершины находятся в начале координат. Так как одна из вершин является точкой (1,1), мы сделаем это, переведя параллелограмм на одну единицу влево и на одну единицу вниз. Это дает нам следующее координаты его вершин: (1−1,1−1)=(0,0),(−4−1,5−1)=(−5,4),(−2−1,8−1)=(−3,7 ),(3−1,4−1)=(2,3).

Фактически мы можем использовать любые две вершины, не находящиеся в начале координат, чтобы определить площадь этого параллелограмма. Следовательно, aredet=||−54−37||=|−35−(−12)|=|−23|=23.

Следовательно, площадь этого параллелограмма равна 23 квадратных единиц.

Мы смогли найти площадь параллелограмма, разделив его на две части. равные треугольники. Точно так же мы можем найти площадь треугольника по формуле рассматривая его как половину параллелограмма, как мы увидим в нашем следующем примере.

Пример 4. Вычисление площади треугольника с помощью матриц

Использование определителей для определения площади треугольника с вершинами (2,−2), (4,−2), и (0,2) рассматривая треугольник как половину параллелограмма.

Ответ

Во-первых, мы хотим построить наш параллелограмм, используя два одинаковых треугольники, данные нам в вопросе. значит будет три различные способы создания этого параллелограмма, так как мы можем объединить два треугольники с любой стороны. Мы можем видеть это на следующих трех диаграммах.

Все три этих параллелограмма имеют одинаковую площадь, так как они сформированы теми же двумя равными треугольниками. Однако нам не нужны координаты четвертой точки, чтобы найти площадь параллелограмма, используя детерминанты. Напомним, что если параллелограмм имеет одну вершину в начале координат и две другие вершины в (𝑎,𝑏) и (𝑐,𝑑), то его площадь равна aredet=|||𝑎𝑏𝑐𝑑|||.

Мы можем использовать это, чтобы определить площадь параллелограмма, переведя фигуру так, что одна из ее вершин лежит в начале координат. Мы переводим точки (0,2) в начало координат путем перевода каждого из вершины вниз на две единицы; это дает нам (0,2−2)=(0,0),(2,−2−2)=(2,−4),(4,−2−2)=(4,−4).

Мы используем координаты двух последних точек, чтобы найти площадь параллелограмм: areaparallelogramdet()=||2−44−4||=|−8+16|=8.

Наконец, мы помним, что площадь нашего треугольника составляет половину этого значения, давая нам, что площадь треугольника с вершинами в (2,−2), (4,−2), и (0,2) составляет 4 кв. единицы.

Если мы можем вычислить площадь треугольника с помощью определителей, то мы можем вычислить площадь любого многоугольника, разбив его на треугольники (называемые триангуляция). Давайте посмотрим на пример, где нам поручено вычислить площадь четырехугольника с помощью определителей.

Пример 5. Вычисление площади четырехугольника с использованием определителей матриц

Рассмотрим четырехугольник с вершинами 𝐴(1,3), 𝐵(4,2), 𝐶(4.5,5), и 𝐷(2,6).

Разбив его на два треугольника, как показано, вычислите площадь этого четырехугольник с помощью определителей.

Ответ

Мы хотим найти площадь этого четырехугольника, разбив его на части. треугольники, как показано. Это означает, что нам нужно вычислить площадь этих двух треугольники с помощью определителей, а затем сложить результаты вместе. У нас есть два варианта нахождения площади треугольника с помощью определителей: Мы могли бы рассматривать треугольники как половину параллелограмма и использовать определитель матрицы 2 × 2, чтобы найти площадь этого параллелограмма, или мы могли бы использовать нашу формулу площади треугольника, используя определитель матрицы 3×3. Так как у нас есть схема с заданными вершинами воспользуемся формулой нахождения площадей прямо треугольники.

Начнем с треугольника 𝐴.

Из диаграммы видно, что 𝐴(1,3), 𝐵(4,2) и 𝐶(4.5,5). Напомним, что площадь треугольника с вершинами (𝑥,𝑦), (𝑥,𝑦), и (𝑥,𝑦) задается выражением areadet=12||||𝑥𝑦1𝑥𝑦1𝑥𝑦1||||.

Итак, мы можем найти площадь этого треугольника, используя нашу формулу определителя: аредет(𝐴𝐵𝐶)=12||||1314214,551||||.

Разложим этот определитель по первому столбцу, чтобы получить areadetdetsquareunits(𝐴𝐵𝐶)=12||1×2151−4×3151+4,5×3121||=12|1(2−5)−4(3−5)+4,5(3−2) |=12|−3+8+4,5|=4,75.

Аналогично, площадь треугольника 𝐴𝐶𝐷 определяется выражением areadetdetdetsquareunits(𝐴𝐶𝐷)=12||||1314,551261||||=12||1×5161−4,5×3161+2×3151||=12|1(5−6)− 4,5(3−6)+2(3−5)|=12|−1+13,5−4|=4,25.

Суммируя площади этих двух треугольников, мы видим, что площадь четырехугольника 9 кв.

Эти формулы дают нам еще одно полезное свойство. Поскольку det𝑥𝑦1𝑥𝑦1𝑥𝑦1 сообщает нам площадь со знаком параллелограмма с тремя вершинами в (𝑥,𝑦), (𝑥,𝑦), и (𝑥,𝑦), если этот определитель равен 0, треугольник с этими точками в качестве вершин также должен иметь нулевую площадь. Площадь этот треугольник может быть равен нулю только в том случае, если точки не различны или если точки все лежат на одной прямой (т. е. коллинеарны).

Теорема: Тест коллинеарных точек

Если у нас есть три различные точки (𝑥,𝑦), (𝑥,𝑦) и (𝑥,𝑦), где det𝑥𝑦1𝑥𝑦1𝑥𝑦1=0, то точки коллинеарны.

Давайте рассмотрим пример того, как это применить.

Пример 6. Определение того, является ли набор точек коллинеарным или нет, с использованием определителей

С помощью определителей определите, какой из следующих наборов точек коллинеарны.

1. 𝐴(−6,4), 𝐵(−8,4), 𝐶(3,10)
2. 𝐴(−10,−4), 𝐵(−8,−2), 𝐶(−5,1)
3. 𝐴(−3,6), 𝐵(8,−7), 𝐶(−3,−8)
4. 𝐴(−10,−6), 𝐵(−2,1), 𝐶(0,−9)

Ответ

Сначала напомним, что три различные точки (𝑥,𝑦), (𝑥,𝑦) и (𝑥,𝑦) коллинеарны, если det𝑥𝑦1𝑥𝑦1𝑥𝑦1=0.

Заметим, что каждая заданная тройка точек представляет собой множество из трех различных точек. Итак, мы можем вычислить определитель этой матрицы для каждой заданной тройки точек для определения их коллинеарности. Вычислим определители всех четыре матрицы путем расширения по первой строке.

Вариант А будет det−641−8413101=−6(4−10)−4(−8−3)+(−80−12)=−12.

Так как это не ноль, площадь треугольника с этими точками как вершины также ненулевые. Следовательно, эти точки не лежат на одной прямой.

Вариант Б был бы det−10−41−8−21−511=−10(−2−1)+4(−8+5)+(−8−10)=0.

Так как это равно нулю, площадь треугольника с этими точками как вершин равно 0. Следовательно, эти точки должны быть коллинеарны.

Вариант C будет det−3618−71−3−81=−3(−7+8)−6(8+3)+(−64−21)=−154.

Так как это не ноль, площадь треугольника с этими точками как вершины также ненулевые. Следовательно, эти точки не лежат на одной прямой.

Вариант D будет det−10−61−2110−91=−10(1+9)+6(−2−0)+(18−0)=−94.

Так как это не ноль, площадь треугольника с этими точками как вершины также ненулевые.