Как обозначается область определения функции и область значения: Какой буквой обозначается множество значений функции и область определения функции?

Функция, область определения, область значения и переменные. Алгебра 10-11 класс Мордкович. – Рамблер/класс

Функция, область определения, область значения и переменные. Алгебра 10-11 класс Мордкович. – Рамблер/класс

Интересные вопросы

Школа

Подскажите, как бороться с грубым отношением одноклассников к моему ребенку?

Новости

Поделитесь, сколько вы потратили на подготовку ребенка к учебному году?

Школа

Объясните, это правда, что родители теперь будут информироваться о снижении успеваемости в школе?

Школа

Когда в 2018 году намечено проведение основного периода ЕГЭ?

Новости

Будет ли как-то улучшаться система проверки и организации итоговых сочинений?

Вузы

Подскажите, почему закрыли прием в Московский институт телевидения и радиовещания «Останкино»?

Ребят, кто помнит что такое: Функция, область определения, область значения и переменные?

ответы

Если даны числовое множество X и прави-
ло А позволяющее поставить в соответствие каждому элементу х
из множества X определенное число у, то говорят, что задана
функция у = f(х) с областью определения X. Пишут: у = f(x),
х ϵ X. Для области определения функции используют обозначе-
ние D(f). Переменную х называют независимой переменной или
аргументом, а переменную у — зависимой переменной. Мно-
жество всех значений функции у = f(x), х ϵ X называют обла-
стью значений функции и обозначают E(f).
 

ваш ответ

Можно ввести 4000 cимволов

отправить

дежурный

Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия  пользовательского соглашения

похожие темы

Юмор

Олимпиады

ЕГЭ

9 класс

похожие вопросы 5

ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян. Гл.V №441. Докажите, что прямые,….

Не понимаю, как решить задачу Гл.V №441.
Докажите, что прямые, содержащие диагонали ромба, являются его осями симметрии.
  (Подробнее…)

11 класс8 классГеометрияАтанасян Л. С.

№ 59.8 ГДЗ Алгебра 10-11 класс Мордкович. Сколько решений имеет система уравнений?

Применяя графический метод, определите, сколько решений имеет система уравнений: (Подробнее…)

ГДЗАлгебра10 класс11 классМордкович А.Г.

Решите систему уравнений. Поможете? № 59.21 ГДЗ Алгебра 10-11 класс Мордкович.

Решите систему уравнений: (Подробнее…)

ГДЗАлгебра10 класс11 классМордкович А.Г.

№ 6.50 ГДЗ Алгебра 10-11 класс Мордкович. Помогите вычислить!

Вычислите: (Подробнее…)

ГДЗАлгебра10 класс11 классМордкович А.Г.

№ 11.15 ГДЗ Алгебра 10-11 класс Мордкович. Сколько решений имеет система уравнений?

Помогите определить!
Сколько решений имеет система уравнений: (Подробнее…)

ГДЗАлгебра10 класс11 классМордкович А.Г.

Чем отличается область определения от области значения функции?

Содержание

• — Как определяется область значения функции?
• — Чем область определения отличается от множества значений?
• — Чем отличается значение от определения?
• — Что является функцией?
• — Что значит что функция определена?
• — Как определить область значения функции параболы?
• — Как найти множество значений функции?
• — Что такое множество значений функции в алгебре?
• — Что считают областью определения функции Если она задана формулой и при этом не указана область определения?
• — Как найти область определения?
• — Как определить область допустимых значений?
• — Как определить вид определения?
• — Что значит определить понятие?
• — Что значит дать определение чему либо?

Множество всех допустимых значений аргумента называется областью определения функции и обозначается . … совпадающей с областью определения выражения . Множество всех значений, которые принимает зависимая переменная, называют областью значений функции и обозначается .

Как определяется область значения функции?

Областью значений функции y = f(x) называется множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех x из области определения .

• Область значений функции обозначают как E(f).
• Область значений функции и множество значений функции — это не одно и то же.

Чем область определения отличается от множества значений?

Зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если каждому значению x соответствует единственное значение y. … Все значения, которые принимает x, образуют область определения функции; все значения, которые принимает y, образуют множество значений функции.

Чем отличается значение от определения?

Понятие содержит смысл, а определение представляет собой действие, направленное на выявление этого смысла.

Что является функцией?

Функция – это зависимость одной переменной величины от другой. Другими словами, взаимосвязь между величинами.

Что значит что функция определена?

Это значит, что аргумент

функции может принимать только те действительные значения, при которых функция определена, т. … Множество X всех допустимых действительных значений аргумента x, при которых функция y = f ( x ) определена, называется областью определения функции.

Как определить область значения функции параболы?

Вершины графиков некоторых функций с корнями лежат выше или ниже оси Х. В этом случае область значений определяется координатой «у» вершины параболы. Если, например, координата «у» вершины параболы равна -4 (у = -4), а парабола возрастает, то область значений равна [-4,+∞).

Как найти множество значений функции?

Для нахождения множества значений функции сначала находят множество значений аргумента, затем, используя свойства неравенств, отыскивают соответствующие наименьше и наибольшее значения функции функции.

Что такое множество значений функции в алгебре?

Множество

чисел, пробегаемое функцией у, когда х принимает все возможные значения (т. … е. при всех значениях ), называется множеством значений функции, или областью значений функции, или областью изменения функции и обозначается через E(f).

Что считают областью определения функции Если она задана формулой и при этом не указана область определения?

Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции. … Если функция у = ƒ(x) задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений переменной х, при которых выражение ƒ(x) имеет смысл.

Как найти область определения?

Чтобы

найти область определения данного типа функции, знаменатель приравняйте к нулю и исключите найденные значения х. Функция с переменной внутри корня. Чтобы найти область определения данного типа функции, задайте подкоренное выражение больше или равно 0 и найдите значения х. Функция с натуральным логарифмом (ln).

Как определить область допустимых значений?

Найти ОДЗ — это значит, что нужно указать все допустимые значения переменных для выражения. Часто, чтобы найти ОДЗ, нужно выполнить преобразование выражения. Чтобы быстро и верно определять ОДЗ, запомните условия, при которых значение выражения не может быть найдено.

Как определить вид определения?

По способу выявления содержания понятия определения делятся на явные и неявные. 3) Явные – это определения, раскрывающие существенные признаки предмета. 4) Неявные – это определения

через отношение предмета к своей противоположности, контекстуальное, остенсивное и некоторые другие виды определений.

Что значит определить понятие?

Определить понятие – это значит перечислить его существенные признаки. … А так как существенных признаков всего два, то ясно, что определение понятий осуществляется при помощи называния рода и видового отличия.

Что значит дать определение чему либо?

«- Что значит дать «определение«? Это значит прежде всего подвести данное понятие под другое, более широкое.» Ленин. Дать чему-нибудь.

Интересные материалы:

Почему в Санкт Петербурге нет солнца?
Почему в Сбербанке отказывают в кредите?
Почему в системе отопления обратка горячее чем подача?
Почему в сватах поменяли Юрия Анатольевича?

Почему в Сзв стаж не отражается отпуск?
Почему в Ватсап не показывает когда был в сети?
Почему в Ватсапе показывает в сети?
Почему в ВК сбились важные?
Почему в Вотсапе не отображаются имена контактов?
Почему Вайбер не показывает когда абонент был в сети?

1.

2 Квантификаторы

Напомним, что формула – это утверждение, истинностное значение которого может зависеть от значений некоторых переменных. Например,

«$x\le 5 \land x> 3$»

верно для $x= 4$ и ложно для $х=6$. Сравните это с утверждением

«Для каждого $x$, $x\le 5\land x>3$,»

что определенно неверно, и утверждение

«Существует $x$ такой, что $x\le 5 \land x>3$,»

что безусловно верно. Фраза «для каждого $x$» (иногда «для всех $x$») называется квантор универсальности и обозначается $\forall x$. Фраза «там существует $x$ такой, что» называется экзистенциальной квантификатор и обозначается на $\exists x$. Формула, содержащая переменные, не просто истинно или ложно, если только каждая из этих переменных

не связана квантором. Если переменная не связанная истинность формулы зависит от значения, присвоенного переменная из мира дискурса.

Мы были осторожны в разделе 1.1, чтобы определить истинностные значения составных утверждений точно. Мы делаем то же самое для $\forall x\,P(x)$ и $\exists x\,P(x)$, хотя предполагаемые значения из них ясно. 92\ge 0)$, т. е. «квадрат любого числа не является отрицательным».

$\bullet$ $\forall x\,\forall y (x+y=y+x)$, т.е. переместительный закон сложения.

$\bullet$ $\forall x\,\forall y\,\forall z ((x+y)+z=x+(y+z))$, т. е. ассоциативный закон сложения.

$\квадрат$

Форма «все» . Универсальный квантификатор часто встречается в следующем контексте: $$\forall x (P(x)\имеет Q(x)),$$ можно прочитать так: «Все $x$, удовлетворяющие $P(x)$, также удовлетворяют $Q(x)$.» Здесь очень важны скобки; убедитесь, что вы понимаете разница между формой «все» и $\forall x\,P(x)\ подразумевает \forall x\,Q(x)$ и $(\forall x\,P(x))\имеет Q(x)$.

Последняя формула также может быть записана как $\forall x\,P(x)\implies Q(x)$, то есть квантор универсальности имеет более высокое приоритет, чем условное; во избежание недоразумений, лучше всего включить скобки. Смысл этой формулы сначала может быть непонятно. $x$ в $P(x)$ связан универсальный квантор, но $x$ в $Q(x)$ не равен . Формула $(\forall x\,P(x))\ подразумевает, что Q(x)$ имеет то же значение, что и $(\forall x\,P(x))\ следует Q(y)$, и его истинность зависит от приписанного значения к переменной в $Q(\cdot)$.

Пример 1.2.2

$\bullet$ $\forall x$ ($x$ — квадрат, $\implis$ $x$ — прямоугольник), т. е. «все квадраты являются прямоугольниками».

$\bullet$ $\forall x$ ($x$ живет в Walla Walla $\implies$ $x$ живет в Вашингтоне). то есть «каждый человек, который живет в Уолла-Уолла, живет в Вашингтоне».

$\квадрат$

Эта конструкция иногда используется для выражения математическое предложение вида «если это, то это» с квантор «понято». 92)\подразумевается (\vert x\vert = \vert y\vert))$.

$\bullet$ «Если $x=y$, то $x+z=y+z$» следует записать как $\forall x\,\forall y\,\для всех z ((x=y)\подразумевает (x+z=y+z))$.

$\квадрат$

Если $S$ — множество, то предложение «каждый $x$ в $S$ удовлетворяет $P(x)$» формально написано как $$\forall x ((x\in S)\подразумевает P(x))$$ Для ясности и краткости обычно пишут $\forall x\,{\in}\, S\,(P(x))$. Понимать и работать с формулой $\forall x\,{\in}\,S\, (P(x))$, вам иногда нужно будет «несокращать» его, переписав его как $\forall x ((x\in S)\ подразумевает Р(х))$. 92=2xy)$ верно, поскольку $x=y=1$ — одно из многих решений.

$\квадрат$

«Некоторые» формы . Экзистенциальное квантификатор часто встречается в следующем контексте: $$\exists x\ (P(x)\land Q(x)),$$ можно прочитать: «Некоторые $x$, удовлетворяющие $P(x)$ также удовлетворяет $Q(x)$.»

Пример 1.2.6

$\bullet$ $\exists x\, \hbox{($x$ — профессор $\land$ $x$ — республиканец)}$, т. е. «какой-то профессор республиканец».

$\пуля$ $\exists x\, \hbox{($x$ — простое число $\land$ $x$ четно)}$, т. е. «некоторое простое число четно».

$\квадрат$

На первый взгляд может показаться, что «Некоторые $x$, удовлетворяющие $P(x)$ удовлетворяет $Q(x)$», следует перевести как $$\существует x (P(x)\подразумевает Q(x)), $$ как универсальный квантификатор. Чтобы понять, почему это не работает, предположим, что $P(x)=\hbox{«$x$ – яблоко»}$, а $Q(x)=\hbox{«$x$ – апельсин. »}$ Предложение «некоторые яблоки — апельсины», безусловно, неверно, но $$\существует x (P(x)\подразумевает Q(x)) $$ правда. Чтобы увидеть это, предположим, что $x_0$ — это какой-то конкретный оранжевый цвет. затем $P(x_0)\имплицит Q(x_0)$ оценивается как $\hbox{F}\имплайс \hbox{T}$, что есть T, и квантор существования выполнен. 92+х=1))$ $\квадрат$

Если $\forall$ соответствует «всем», а $\exists$ соответствует «некоторым» нам нужен третий квантификатор, чтобы соответствовать «нет»? Как следующее показывает, что это не обязательно:

Пример 1.2.8

$\bullet$ «Демократы не являются республиканцами», можно записать $\forall x$ ($x$ демократ $\implies$ $x$ не является республиканцем).

$\bullet$ «Треугольники не являются прямоугольниками» можно записать $\forall x$ ($x$ — это треугольник $\implies$ $x$ не является прямоугольником).

$\квадрат$

В общем, утверждение «никакой $x$, удовлетворяющий $P(x)$, удовлетворяет $Q(x)$» может быть написанным $$\для всех x (P(x)\имеет \lnot Q(x)). $$ (Вы можете удивиться, почему мы не используем $\lnot \exists x\,(P(x)\land Q(х))$. На самом деле, мы могли бы — это эквивалентно $\forall x (P(x)\имеет в виду \lnot Q(x))$.)

Упражнения 1.2

В этих проблемах предположим, что универсум дискурса является действительные числа.

Пример 1.2.1 Выразите следующее в виде формул, содержащих квантификаторы:

а) Любое число, возведенное в четвертую степень, неотрицательно.

б) Некоторое число в третьей степени отрицательно.

c) Синус угла всегда находится между $+1$ и $-1$.

d) Секанс угла никогда не лежит строго между $+1$ и $-1$.

Пример 1.2.2 Предположим, что $X$ и $Y$ — множества. Выразите следующее как формулы с кванторами.

а) Каждый элемент $X$ является элементом $Y$.

б) Некоторый элемент $X$ является элементом $Y$.

в) Какой-то элемент $X$ не является элементом $Y$.

г) Ни один элемент $X$ не является элементом $Y$.

Пример 1.2.3 Напомним (из исчисления), что функция $f$ увеличение если $$ \forall a \forall b (a

Ex 1.2.4 Выразите символически следующие законы:

а) коммутативный закон умножения

б) ассоциативный закон умножения 92=2xy-2+2z)$

Пример 1.2.6 Предположим, что $P(x)$ и $Q(y)$ — формулы.

а) $\forall x \forall y (P(x)\implis Q(y))$ эквивалентно $\forall x(P(x)) \ подразумевает \forall y(Q(y))$?

б) $\exists x \exists y (P(x)\land Q(y))$ эквивалентно $\exists x(P(x)) \land \exists y(Q(y))$?

Введение в кванторы

Введение в кванторы

Логика предикатов

Квантификация — Формирование предложений из предикатов

Предметы для изучения

• вселенная
• универсальный квантификатор
• квантификатор существования
• свободная переменная
• связанная переменная
• объем квантификатора
• порядок квантификаторов

Содержимое

Предикат с переменными не является предложением. Например, утверждение x > 1 с переменной x над вселенной действительных чисел не является ни истинным, ни ложным, поскольку мы не знаем, что х есть. Это может быть правдой или false в зависимости от значения x .
Чтобы x > 1 было предложением, либо мы заменяем x определенным числом. или измените его на что-то вроде «Есть число x , для которого выполняется x > 1 », или «Для каждого числа x выполняется x > 1 ».

В более общем случае предикат с переменными (называется атомная формула ) может быть сделано предложение , применив одну из следующих двух операций к каждой из его переменных:

1. присвоить значение переменной
2. количественно определить переменную с помощью квантификатора (см. ниже).

Например, x > 1 становится 3 > 1 , если 3 присваивается x , и оно становится истинным утверждением, следовательно, предложением.

В общем, квантификация выполняется по формулам логики предикатов. (называется вфф ), например x > 1 или P ( x ) , используя квантификаторы переменных. Есть два типа квантификаторов: универсальный квантификатор и экзистенциальный квантор.

Универсальный квантификатор превращает, например, утверждение x > 1 на «для каждого объекта x во Вселенной х > 1 «, что выражается как « х х > 1 «. Это новое утверждение истинно или ложно во вселенной дискурса. Следовательно, это предложение, как только вселенная определена.

Точно так же квантификатор существования превращает, например, утверждение x > 1 к «для некоторых объект 90 227 х 90 228 во вселенной, 90 227 х > 1 90 228», что выражается как «90 227 х х > 1 90 228». это предложение, как только вселенная определена.

Вселенная дискурса

Вселенная дискурса, также называемая вселенной , представляет собой набор объектов, представляющих интерес. Предложения в логике предикатов — это утверждения об объектах вселенной. Таким образом, Вселенная домен (индивидуальных) переменных. Это может быть набор действительных чисел, множество целых чисел, множество всех автомобилей на стоянке, множество всех студентов в классе и т.д. На практике вселенная часто остается неявной. Но это должно быть очевидно из контекст.

Универсальный квантор Выражение: x P(x) , обозначает универсальную количественную оценку атомарной формулы P(x). В переводе на английский язык выражение понимается как: « Для всех x выполняется P(x) », « для каждого x выполняется P(x) » или « для каждого x, P(x) выполняется». называется квантором универсальности , и x означает все объекты x во вселенной. Если это за которым следует P(x) , то это означает, что P(x) верно для каждого объекта х во вселенной. За например, «У всех машин есть колеса» можно преобразовать в пропозициональную форму, x P(x) , где:

• P(x) является предикатом, обозначающим: x имеет колеса , и
• Вселенная дискурса населена только автомобилями.

Универсальный квантификатор и Соединительный И
Если все элементы во вселенной дискурса могут быть перечислены, то универсальная квантификация x P(x) эквивалентно союзу: П(х ₁ ) ) П(х ₂ ) Р(х ₃ ) … P(x _n ) .

Например, в приведенном выше примере x P(x) , если бы мы знали, что в нашей вселенной дискурса (c1, c2, c3 и c4) то мы могли бы также перевести утверждение как: П(с1) П(с2) П(с3) П(с4)

Экзистенциальный квантификатор Выражение: xP(x) , обозначает экзистенциальное количественная оценка из P(x) . В переводе на английский язык это выражение можно было бы также понять как: «Существует x такое, что P(x) » или же «Существует хотя бы одно x такое, что P(x) » называется квантором существования , и x означает наличие как минимум одного объекта x во вселенной. Если это за которым следует P(x) , то это означает, что P(x) верно по крайней мере для одного объекта х Вселенной. Например, « Кто-то любит тебя » можно преобразовать в пропозициональную форму, x P(x) , где:

• P(x) значение предиката: x любит тебя ,
• Вселенная дискурса содержит (но не ограничивается) всех живых существ.

Экзистенциальный квантификатор и Связное ИЛИ
Если все элементы во вселенной дискурса могут быть перечислены, то экзистенциальная квантификация xP(x) эквивалентно дизъюнкции: Р(х ₁ ) Р(х ₂ ) Р(х ₃ ) … P(x _n ) .

Например, в приведенном выше примере x P(x) , если бы мы знали, что всего 5 живых существ в нашей вселенной дискурса (скажем: я, он, она, рекс и пух), то мы могли бы также написать утверждение как: П(я) П(он) П(она) П(рекс) П(пух)

Появление переменной в wff считается связанным , если либо ему присваивается конкретное значение или он определяется количественно. Если внешний вид переменной не привязан, это называется бесплатно . Степень применения (эффекта) квантификатора, называемого областью действия квантификатора, обозначается квадратными скобками [ ] . Если квадратных скобок нет, то размах понимается как наименьший wff после количественного определения.
Например, in x P ( x, y ) , переменная x привязан, а и свободен. В x [ г P ( X, Y ) Q ( X, Y ), X и Y в P Y в P Y . связаны, а y в Q ( x, y ) свободен, потому что объем у есть P ( х, у ) . Объем x это [ лет P ( x, y ) Q ( x, y ) ] .

Как читать количественные формулы Читая количественные формулы на английском языке, читает их слева направо. x можно прочитать как «для каждого объекта х во вселенной справедливо следующее», и x можно прочитать как «во вселенной существует объект x , который удовлетворяет следующему» или «для некоторого объекта х во вселенной имеет место следующее». Это не обязательно дает нам хорошие английские выражения. Но с них мы можем начать. Получите правильный сначала прочитайте, а затем отшлифуйте свой английский, не меняя значения истинности.

Например, пусть Вселенная будет набором самолетов и пусть F ( x, y ) обозначают « x летает быстрее, чем y «. затем
x у F ( х, у ) можно перевести как «Для каждого самолета x выполняется следующее: x x быстрее чем каждый (любой) самолет и «. На более простом английском языке это означает «Каждый самолет быстрее, чем любой самолет (включая его самого!)».
x у F ( х, у ) первоначально можно прочитать как «Для каждого самолета x выполняется следующее: для некоторого самолета y , х быстрее, чем у «. На более простом английском языке это означает «Каждый самолет быстрее, чем какой-то самолет».
x у F ( х, у ) представляет «Существует самолет x , который удовлетворяет следующему: (или такой, что) для каждого самолета y , x быстрее, чем y «. На более простом английском языке это говорит «Есть самолет, который быстрее любого самолета» или «Некоторый самолет быстрее любого самолета».
x у F ( х, у ) гласит: «Для некоторого самолета x существует самолет y такое, что x быстрее, чем y «, что означает «Какой-то самолет быстрее, чем какой-то самолет».

Порядок применения кванторов Когда более чем одна переменная определяется количественно в WFF, такой как г х P ( x, y ) , наносятся изнутри, то есть ближе всего к сначала применяется атомарная формула. Таким образом г х стр. ( х, у ) читает у [ х Р ( х, у )] , and we say «there exists an y such that for every x , P ( x, y ) holds» or «for some y , P ( x, y ) держит за каждые х «.

Позиции однотипных квантификаторов можно переключать не влияя на истинное значение пока есть нет кванторы другого типа между теми, которые подлежат обмену.
Например х у г Р(х, у, г) эквивалентно г х г Р(х, у, г) , г г х Р(х, у, г) , и т.