Подпоследовательности и частичные пределы последовательностей
Определение подпоследовательности
- Подпоследовательность последовательности
- – это последовательность , полученная из , удалением ряда ее членов без изменения порядка следования членов.
То есть подпоследовательность состоит из членов исходной последовательности с номерами , где – строго монотонная последовательность натуральных чисел.
Также можно сказать, что подпоследовательность последовательности – это подмножество множества , сохраняющее порядок следования членов.
Определение частичного предела последовательности
Точка называется частичным пределом последовательности , если существует подпоследовательность , сходящаяся к точке a.
Верхний (нижний) частичный предел последовательности – это число , которое является наибольшим (наименьшим) частичным пределом последовательности. Верхний и нижний частичные пределы обозначаются, соответственно, так:
.
Свойства подпоследовательностей
Далее мы используем понятие расширенного множества действительных чисел . Выражение означает, что a является или действительным числом, или элементом , или элементом .
См. «Бесконечно удаленные точки и их свойства».
1. Свойство подпоследовательностей сходящейся последовательности
Если последовательность сходится к числу , то и любая ее подпоследовательность сходится к этому же числу.
Доказательство ⇓
2. Свойство последовательности, все подпоследовательности которой сходятся к одному числу
Если любая подпоследовательность последовательности содержит подпоследовательность, сходящуюся к одному и тому же числу , то и сама последовательность сходится к этому числу:
.
Доказательство ⇓
3. Свойство эквивалентности сходимости последовательности и всех ее подпоследовательностей
Последовательность сходится тогда и только тогда, когда любая ее подпоследовательность сходится к одному числу .
Свойство 3 является следствием свойств 1 и 2.
Частичный предел последовательности
4. Теорема Больцано – Вейерштрасса
Из любой последовательности действительных чисел можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к числу .
См. «Доказательство теоремы Больцано – Вейерштрасса»
Произвольная последовательность может иметь конечное или бесконечное число частичных пределов ⇑.
5. Свойство частичного предела последовательности
Точка является частичным пределом последовательности тогда и только тогда, когда в любой окрестности точки a содержится бесконечное число членов последовательности.
Доказательство ⇓
Верхний и нижний частичные пределы
6. Теорема о существовании верхнего и нижнего частичных пределов
У любой последовательности существует как верхний, так и нижний частичные пределы ⇑, принадлежащие расширенному множеству действительных чисел .
Доказательство ⇓
Рассмотрим множество частичных пределов последовательности. Эта теорема утверждает, что верхняя и нижняя грани этого множества являются ее элементами.
То есть множество частичных пределов последовательности замкнуто, оно содержит свою границу. Для произвольного множества это может не выполняться. Например, для открытого интервала не существует наибольшего и наименьшего элемента, поскольку и верхняя грань b и нижняя a не принадлежит этому множеству.
Если последовательность не ограничена сверху, то ее верхний частичный предел равен плюс бесконечности:
.
Соответственно, если последовательность не ограничена снизу, то
.
Если последовательность ограничена, то ее верхний и нижний частичные пределы конечны.
7. Свойство верхнего и нижнего частичных пределов
Пусть – ограниченная последовательность. Пусть a – ее верхний (нижний) частичный предел. Тогда, для любого , в интервале содержится бесконечное число членов последовательности, а в полуинтервале – конечное или пустое множество.
Доказательство ⇓
8. Теорема о неравенстве между верхним и нижним частичными пределами
Верхний и нижний частичные пределы последовательности удовлетворяют неравенству:
.
Частичные пределы равны друг другу тогда и только тогда, когда существует предел последовательности:
.
Доказательство ⇓
9. Связь верхних и нижних пределов между последовательностями {xn} и {–xn}.
Имеет место очевидное равенство:
.
10. Свойства верхних и нижних пределов суммы последовательностей
Верхний и нижний частичные пределы от суммы последовательностей удовлетворяют следующим неравенствам:
;
,
где последовательности и ограничены.
Доказательство ⇓
11. Свойство верхних пределов произведения последовательностей
Пусть последовательность сходится к конечному положительному числу:
.
И пусть – любая последовательность. Тогда
.
Отсюда
.
Доказательство ⇓
Применяя равенство
,
можно получить другие подобные соотношения.
Доказательство свойств и теорем
Далее перечислены определения и свойства, которые мы будем использовать при доказательстве свойств подпоследовательностей.
Определение окрестности точки. Окрестностью конечной точки называется любой открытый интервал, содержащий эту точку: , где и – произвольные положительные числа.
См. «Определение окрестности точки».
Окрестностью точки называется множество ;
Окрестностью точки называется множество ,
где M – произвольное действительное число.
См. «Окрестности бесконечно удаленных точек».
Также мы будем использовать следующие обозначения для ε-окрестностей точек:
;
;
.
Определение предела последовательности. Точка является пределом последовательности , если для любой окрестности этой точки существует такое натуральное число N, что все элементы последовательности с номерами n > N принадлежат этой окрестности.
См. «Универсальное определение предела последовательности».
Свойство (*) предела последовательности. Для того, чтобы точка являлась пределом последовательности , необходимо и достаточно, чтобы за пределами любой окрестности этой точки находилось конечное число членов последовательности или пустое множество.
См. «Определение бесконечно большой последовательности: Свойство 1».
1. Свойство подпоследовательностей сходящейся последовательности
Все свойства ⇑ Если последовательность сходится к числу , то и любая ее подпоследовательность сходится к этому же числу.
Доказательство
Действительно, поскольку последовательность сходится к числу a, то, согласно свойству (*) ⇑, за пределами любой окрестности точки a находится конечное число членов последовательности или пустое множество. Но, поскольку подпоследовательность получается из последовательности путем вычеркивания ряда ее членов, то за пределами любой окрестности точки a может находиться только конечное число членов подпоследовательности (или пустое множество). Согласно свойству (*) ⇑ это означает, что точка a является пределом подпоследовательности.
2. Свойство последовательности, все подпоследовательности которой сходятся к одному числу
Все свойства ⇑ Если любая подпоследовательность последовательности содержит подпоследовательность, сходящуюся к одному и тому же числу , то и сама последовательность сходится к этому числу:
.
Доказательство
Допустим противное. Пусть последовательность не сходится к числу a. Тогда существует такая окрестность точки a, вне которой имеется бесконечное число членов (см. «Определение отсутствия предела последовательности»). Составим из этих членов подпоследовательность . Из нее нельзя выделить подпоследовательность, сходящуюся к a, поскольку все члены подпоследовательности находятся за пределами окрестности .
Мы получили противоречие, так как по условию теоремы, из любой подпоследовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к числу a.
Свойство доказано.
5. Свойство частичного предела последовательности
Все свойства ⇑ Точка является частичным пределом последовательности тогда и только тогда, когда в любой окрестности точки a содержится бесконечное число членов последовательности.
Доказательство
Пусть в любой окрестности точки a содержится бесконечное число членов последовательности . Покажем, что из нее можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к a.
Возьмем произвольную окрестность точки a: ⇑. В качестве первого члена подпоследовательности возьмем любой член последовательности, принадлежащий этой окрестности.
Возьмем более узкую окрестность: и выберем из нее второй член с номером .
И так далее. Поскольку любая окрестность точки a содержит бесконечное число членов последовательности, то мы на k — ом шаге можем выбрать член последовательности , принадлежащий окрестности с номером .
Так как член подпоследовательности с номером k принадлежит окрестности , то эта подпоследовательность сходится к числу a. Действительно, для любого имеется такой номер , что все члены подпоследовательности с номерами принадлежат ε — окрестности точки a.
Пусть теперь точка a является частичным пределом последовательности . Это означает, что существует подпоследовательность , сходящаяся к точке a. Тогда по свойству сходящихся последовательностей, в любой окрестности точки a находится бесконечное число членов подпоследовательности.
Свойство доказано.
6. Теорема о существовании верхнего и нижнего частичных пределов
Все свойства ⇑ У любой последовательности существует как верхний, так и нижний частичный пределы, принадлежащие расширенному множеству действительных чисел .
Доказательство
Пусть у нас имеется некоторая последовательность . Докажем, что у нее существует верхний частичный предел.
Пусть последовательность неограниченна сверху. То есть для любого числа M существует член последовательности , превышающий M: . В свою очередь существует член последовательности , превышающий : . Продолжая подобные рассуждения мы приходим к выводу, что существует бесконечное число членов последовательности, превышающих M. Поскольку это утверждение справедливо для любого числа M, то в любой окрестности точки содержится бесконечное число членов последовательности . Тогда по свойству 4 ⇑, из последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к .
В этом случае точка является верхним частичным пределом последовательности.
Пусть последовательность ограничена сверху и при этом любой отрезок содержит только конечное число членов последовательности.
В этом случае последовательность сходится к . Точка является единственным частичным пределом последовательности – как верхним, так и нижним.
Пусть последовательность ограничена сверху и при этом существует отрезок , содержащий бесконечное число членов последовательности.
В этом случае поступаем как при доказательстве теоремы Больцано – Вейерштрасса, применяя систему вложенных отрезков. Делим отрезок пополам. Если правый отрезок содержит бесконечное число членов последовательности, то следующим отрезком будет . В противном случае выбираем левый отрезок . Из отрезка выбираем первый член подпоследовательности .
Затем делим отрезок пополам. Если в правой половине бесконечное число членов последовательности, то выбираем ее. В противном случае выбираем левую половину. Получаем отрезок . Из него выбираем второй член подпоследовательности с номером .
И так далее.В результате получаем систему вложенных отрезков
и подпоследовательность . Поскольку длины отрезков стремятся к нулю, то согласно лемме о вложенных отрезках, существует единственная точка , принадлежащая всем отрезкам. Поскольку , то .
Поскольку мы выбирали самые правые отрезки с бесконечным числом членов, то точка c является верхним частичным пределом последовательности.
И так далее.Аналогичным способом можно доказать, что у последовательности существует нижний частичный предел. Для этого сначала рассматриваем последовательность, неограниченную снизу. В конце рассматриваем последовательность, ограниченную снизу и имеющую бесконечное число членов в отрезке . Только здесь, при делении отрезков, мы выбираем левый отрезок, если он содержит бесконечное число членов последовательности.
Теорема доказана.
7. Свойство верхнего и нижнего частичных пределов
Все свойства ⇑ Пусть – ограниченная последовательность. Пусть a – ее верхний (нижний) частичный предел.
Тогда, для любого , в интервале содержится бесконечное число членов последовательности, а в полуинтервале – конечное или пустое множество.
Доказательство
Пусть точка a является верхним (нижним) частичным пределом последовательности . Тогда, согласно свойству 4 ⇑, в любой окрестности этой точки, в том числе и в интервале , содержится бесконечное число членов последовательности.
Докажем, что в полуинтервале содержится конечное число членов последовательности. Допустим противное, что в этом полуинтервале содержится бесконечное число членов. Тогда по теореме Больцано – Вейерштрасса ⇑ из них можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Согласно свойствам неравенств, предел b этой подпоследовательности удовлетворяет неравенству , то есть больше (меньше) a. Возникает противоречие, поскольку a является верхним (нижним) частичным пределом последовательности.
Свойство доказано.
8. Теорема о неравенстве между верхним и нижним частичными пределами
Все свойства ⇑ Верхний и нижний частичные пределы последовательности удовлетворяют неравенству:
.
Частичные пределы равны друг другу тогда и только тогда, когда существует предел последовательности:
.
Доказательство
Неравенство следует из определения верхнего и нижнего частичных пределов ⇑.
Пусть последовательность сходится к числу a: .
Тогда согласно свойству 1 ⇑?, любая ее подпоследовательность сходится к этому же числу. Поэтому .
Пусть . И пусть a – конечное число. Согласно свойству 6 ⇑, для любого , интервалу не принадлежат только конечное число членов последовательности. Тогда согласно свойству (*) ⇑,
.
Пусть . Тогда, для любого конечного числа M, неравенство выполняется только для конечного числа членов . Отсюда .
Пусть . Тогда неравенство выполняется только для конечного числа членов . Поэтому .
Теорема доказана.
10. Свойства верхних и нижних пределов суммы последовательностей
Все свойства ⇑ Верхний и нижний частичные пределы от суммы последовательностей удовлетворяют следующим неравенствам:
;
,
где последовательности и ограничены.
Доказательство
Докажем, что .
Из последовательности выберем подпоследовательность , сходящуюся к ее верхнему частичному пределу:
.
Из выберем сходящуюся подпоследовательность . Далее из выберем сходящуюся подпоследовательность .
Тогда последовательность является подпоследовательностью по отношению к . Согласно свойству 1 ⇑, их пределы равны:
.
Также и последовательность является подпоследовательностью по отношению к . Поэтому она сходится.
Применяем свойство предела суммы последовательностей и определение верхнего частичного предела ⇑:
.
Первое неравенство доказано.
Докажем второе неравенство:
.
Умножим первое неравенство на – 1:
.
Применим свойство 8 ⇑:
.
Свойство доказано.
11. Свойство верхних пределов произведения последовательностей
Все свойства ⇑ Пусть последовательность сходится к конечному положительному числу:
.
И пусть – любая последовательность. Тогда
.
Отсюда
.
Доказательство
Из последовательности выберем подпоследовательность , сходящуюся к ее верхнему частичному пределу:
.
По условию, последовательность сходится к числу a. Тогда и ее подпоследовательность , согласно свойству 1 ⇑, также сходится к числу a. По свойству предела произведения последовательностей, последовательность сходится и
.
Поскольку , то
(10.1) .
Аналогично предыдущему, из последовательности выберем подпоследовательность , сходящуюся к ее верхнему частичному пределу:
.
Из выберем сходящуюся подпоследовательность . Тогда
;
(10.2) .
Из (10.1) и (10.2) следует, что
.
Свойство доказано.
Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Лекция16.Частичные_пределы
такой, что
16.1.Частичный предел
Определение 16.1. Предел подпоследовательности называется ч а с т и ч н ы м п р е — д е л о м последовательности.
Здесь имеются в виду как конечные, так и бесконечные пределы.
Понятно, что если предел последовательности равен a, где a число или одна из бесконечностей +1, 1, то все ее частичные пределы равны1 a. Но если частичный предел последовательности равен a, то отсюда не следует, что предел этой последовательности равен a. Например, частичными пределами последовательности f( 1)ng, являются числа +1 и 1, а предела у этой последовательности нет.
Теорема 16.1.1. Число a является частичным пределом последовательности fang тогда и только тогда, когда любая » окрестность a содержит бесконечно много членов последовательности fang.
Доказательство. Необходимость. Если a частичный предел последовательности
fang, то это значит, что существует fank g подпоследовательность последовательности fang, сходящаяся к a. Следовательно, в любой » окрестности a содержатся все члены
последовательности fank g, начиная с некоторого номера, т. е. бесконечно много членов последовательности fang.
Достаточность. Пусть в каждой окрестности числа a находится бесконечно много членов. Способом, аналогичным доказательству теоремы Больцано Вейерштрасса, выделим подпоследовательность последовательности fang, сходящуюся к a.
Возьмем произвольное » > 0. Обязательно найдется член последовательности fang, обозначим его an1
a » < an1 < a + «:
Сузим » окрестность a вдвое. Выберем элемент последовательности fang, принадлежащий интервалу (a «=2; a + «=2), такой, что его индекс n2 больше, чем n1. Так будет
| выбран элемент an2 : |
|
| « |
|
|
| « |
|
|
|
|
|
| |||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||
|
|
| a |
|
| < an2 | < a + |
|
| : |
|
|
|
|
| |||
|
|
| 2 | 2 |
|
|
|
|
| |||||||||
Сузим «= | 2 | окрестность a вдвое. | f | a | ng | , принад- | ||||||||||||
| 2 |
| 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||
лежащий интервалу (a «=2 ; a+»=2 |
| ), такой, что его индекс n3 больше, чем n2. Так будет | ||||||||||||||||
выбран элемент an3 : |
|
| « |
|
|
| « |
|
|
|
|
| ||||||
|
|
| a |
| < an3 | < a + | : |
|
|
|
| |||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||
|
|
| 22 |
| 22 |
|
|
|
| |||||||||
Выберем элемент последовательностиНа k м шаге выберем элемент последовательности fang, принадлежащий интервалу
(a «=2k 1; a + «=2k 1), такой, что его индекс nk | больше, чем nk 1. | ||||||||||||||
элемент ank : |
|
|
|
| « |
|
|
|
| « |
|
|
|
| |
| a |
| < ank < a + | : |
|
| |||||||||
|
| 2k 1 | 2k 1 |
|
| ||||||||||
Продолжим процесс и далее, т. е. устремим k ! 1. Так как | |||||||||||||||
k!1 |
|
|
| « |
|
|
| « |
|
| = |
| |||
| 2k 1 = k!1 | 2k 1 |
| ||||||||||||
lim |
| a |
|
|
|
| lim | a |
|
|
|
|
|
| a; |
Так будет выбран1 Вы должны были доказать, что если последовательность сходится к конечному или бесконечному пределу, то любая е¼ подпоследовательность сходится к тому же самому пределу.
См. лекцию 12.
1
О. А. Кузенков, Е. А. Рябова | 2 |
|
|
то согласно теореме «о двух милиционерах\ è
lim ank = a:
k!1
Следовательно, a частичный предел. Теорема доказана.
16.2.Верхний и нижний предел
Рассмотрим вопрос о наибольшем и наименьшем частичных пределах последовательности.
Определение 16.2. Наибольший частичный предел последовательности fang называется в е р х н и м п р е д е л о м и обозначается
lim an:
n!1
Определение 16.3. Наименьший частичный предел последовательности fang называется н и ж н и м п р е д е л о м и обозначается
lim an:
n!1
Теорема 16.2.1. У любой ограниченной последовательности есть верхний предел.
Доказательство. Пусть fang ограниченная последовательность и A множество частичных пределов fang. A 6= ;, так как согласно теореме Больцано Вейерштрасса ограниченная последовательность fang обязательно содержит сходящуюся подпоследовательность.
Очевидно, что A ограниченное множество, следовательно, существует точная верхняя грань2 этого множества. Обозначим = sup A:
Åñëè 2 A; òî
1. частичный предел;
2. наибольший частичный предел, т. е. = lim an.
n!1
Предположим, что 2= A, т. е. не является частичным пределом последовательности fang (ðèñ. 1). Согласно критерию 16.1.1, существует окрестность U»( ), содержащая, в
Рис. 1: Предположим, что 2= A.
лучшем случае, лишь конечное число членов fang, следовательно, ни одно число 2 U»( ) не может быть частичным пределом последовательности fang. Но тогда не является точной верхней гранью множества A, поскольку
9 » > 0 : 8 a 2 A a «:
Пришли к противоречию. Следовательно, сделанное предположение неверно. 2 A и это и есть верхний предел последовательности fang. Теорема доказана.
2Напомним, что = sup A, åñëè
1.8 a 2 A a ;
2.8 » > 0 9 a 2 A : a > «:
О. А. Кузенков, Е. | 3 |
|
|
А. РябоваТеорема 16.2.2. У любой ограниченной последовательности есть нижний предел.
Д/З: Доказательство провести самостоятельно.
Теорема 16.2.3. У любой неограниченной сверху последовательности есть верхний предел, равный +1.
Доказательство. Если последовательность не ограничена сверху, то согласно теореме 12.2.2 (аналогу теоремы Больцано Вейерштрасса для неограниченных последователь-
ностей) из не¼ можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к +1, и верхним пределом последовательности будет +1, что и требовалось доказать.
Оста¼тся ещ¼ случай, когда lim an = 1. Тогда 1 называют верхним пределом
n!1
последовательности fang.
Теорема 16.2.4. У любой неограниченной снизу последовательности есть нижний предел, равный 1.
Доказательство. Если последовательность не ограничена снизу, то согласно аналогу теоремы Больцано Вейерштрасса для неограниченных последовательностей из не¼ можно
выделить подпоследовательность, сходящуюся к 1, и нижним пределом последовательности будет 1.
В случае, когда lim an = +1, несобственное число +1 называют нижним пределом
n!1
последовательности fang.
Таким образом, верхний и нижний пределы определены для любой последовательности.
Можно уточнить, что верхний (нижний) предел последовательности fang это точная верхняя (нижняя) грань множества A всех частичных пределов последовательности fang (наряду с действительными числами A может содержать несобственные числа +1 и 1).
16.3.Связь верхнего и нижнего предела со сходимостью последовательности
Теорема 16.3.1. Ограниченная последовательность fang сходится тогда и только тогда, когда равны ее верхний и нижний пределы.
Доказательство. Необходимость. Пусть fang сходится к числу a, тогда все ее подпоследовательности сходятся3 к a. Множество A частичных пределов последовательности fang состоит из одного элемента A = fag. sup A = inf A = a, следовательно,
lim an = lim an = a:
n!1 n!1
Достаточность. Пусть fang ограниченная и
lim an = lim an = a:
n!1 n!1
Òàê êàê a = lim an, то на луче [a + «; +1) находится конечное число членов последо-
n!1
вательности fang:
9 N1 2 N : 8 n > N1 an < a + «:
3Это было домашним заданием к лекции 12.
О. А. Кузенков, Е. А. Рябова | 4 |
|
|
Действительно, если предположить противное, то из бесконечного числа элементов последовательности fang, больших или равных a + «, можно было бы выделить согласно
теореме Больцано Вейерштрасса подпоследовательность ank , сходящуюся к некоторому числу x a + «. Но это противоречит тому, что a верхний предел последовательности
fang.
Аналогично, так как a = lim an, то на луче ( 1; a «] находится конечное число
n!1
членов последовательности fang:
9 N2 2 N : 8 n > N2 an > a «:
Тогда
8 » 9 N = maxfN1; N2g : 8 n > N a » < an < a + «
è lim an = a. Теорема доказана.
n!1
Теорема 16.3.2. Последовательность fang сходится к +1 тогда и только тогда, когда ее верхний и нижний пределы равны +1. Последовательность fang сходится к 1 тогда и только тогда, когда ее верхний и нижний пределы равны 1.
Д/З: Доказательство провести самостоятельно.
Следствие 16.3.3. Последовательность fang имеет предел (конечный или одну из бесконечностей +1, 1) тогда и только тогда, когда равны ее верхний и нижний пределы.
Ä/Ç: ( 123)4 Построить пример последовательности, имеющей в качестве своего ча- стичного предела каждое вещественное число.
4Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: изд-во Моск.ун-та, ЧеРо, 1997. Сборник можно найти здесь èëè здесь.
{-n}+1\}\). Это в точности то же самое, что и функция выше, за исключением того, что доменом теперь являются натуральные числа, а не действительные числа. Если вы хотите узнать «предел, когда \(n\) стремится к бесконечности», вы будете искать очень большие значения \(n\), точно так же, как вы искали очень большие значения \(x\).Имея в виду, что процесс будет очень похож на просмотр пределов последовательностей и функций, давайте углубимся!
См. Ограничения функции для обзора функций и способов определения их пределов.
Определение предела последовательности
Во-первых, давайте взглянем на неформальное определение предела последовательности:
предел последовательности — это значение, к которому приближается последовательность, когда количество членов становится очень большой.
Более формально:
Пусть \( L \) будет действительным числом. Последовательность sn имеет предел \( L \) по мере того, как \( n \) приближается к \( \infty \), если задано \( \epsilon > 0 \) , существует число \( M > 0 \) такое, что \( n > M \) подразумевает \( \left| s_n — L \right| < \epsilon \). Мы пишем, что
\[ \lim\limits_{n \to \infty} s_n = L, \]
и говорят, что последовательность сходится к \( L \) . Говорят, что последовательности, не имеющие предела, расходятся .
Взяв предел функции как \( x \to \infty\), вы взяли кандидата на предел (для удобства назовите его \( L \)), а затем проверили, сможете ли вы «поймать» функцию значения, близкие к \(L\), если \(x\) достаточно велики.
Прежде чем идти дальше, давайте посмотрим на картину происходящего. 9{-n} +1 \} \) . Кандидатом на предел является \( L = 1 \). Нарисуйте точки последовательности вместе с возможным пределом \( L = 1 \) и нарисуйте линии \( y = L + \epsilon = 1 + \epsilon \) и \( y = L — \epsilon = 1 — \эпсилон\).
Рис. 1. Перехват значений последовательности.
Вы можете видеть, что независимо от того, насколько мала \( \epsilon \), вы всегда сможете выйти достаточно далеко (другими словами, выбрать достаточно большое \( M \)) так, чтобы значения последовательности были пойман между линиями \( y = 1 + \epsilon \) и \( y = 1 + \epsilon \). Это означает, что последовательность сходится к пределу \( L = 1 \).
Как математически записать предел последовательности?
Существует два основных способа записи «предел последовательности при стремлении \(n\) к бесконечности равен \(L\)», и вы можете использовать любой из них:
\[ \{ s_n \ } \к л; \] или
\[ \lim\limits_{n \to \infty} s_n = L .
\]
\]Оба означают одно и то же. Вы также можете сказать, что последовательность \( \{s _n \} \) сходится к \( L \).
Естественно, вы не хотите выбирать кандидата для предела, а затем должны найти подходящее \( M \), которое достаточно велико каждый раз, когда вы хотите показать, сходится ли последовательность и к чему она сходится. К счастью, поскольку последовательности являются функциями, вы можете использовать те же правила ограничений для функций, что и для последовательностей.
Единственность предела сходящейся последовательности
Прежде чем говорить о единственности предела последовательности, давайте подумаем о решении линейного уравнения. Мы говорим, что линейное уравнение \[ ax+b=0, \], где \( a \) и \( b \) — действительные числа, имеет единственное решение. Это означает, что только одно значение \(x\) удовлетворяет любой заданной паре значений \(a\) и \(b\).
То же самое можно сказать и о пределе последовательности. Если последовательность сходится к некоторому значению и, следовательно, имеет предел, мы говорим, что этот предел уникален для этой последовательности.
Пределы последовательности Формулы
Предположим, у вас есть две последовательности \( \{s _n \} \) и \( \{t _n \} \) , и вы знаете, что обе они сходятся. Другими словами, существуют числа \( L \) и \( P \) такие, что
\[ \lim\limits_{n \to \infty} s_n = L \mbox{ и } \lim\limits_{n \ в \infty} t_n = P . \]
Тогда выполняются следующие правила:
Правило суммы:
\[ \lim\limits_{n \to \infty} (s_n + t_n ) = \lim\limits_{n \to \infty} s_n + \lim\limits_{n \to \infty} t_n = L + P . \]
Правило разности:
\[ \lim\limits_{n \to \infty} (s_n — t_n ) = \lim\limits_{n \to \infty} s_n — \lim\limits_{n \to \ infty} t_n = L — P . \]
Правило продукта:
\[ \lim\limits_{n \to \infty} (s_n \cdot t_n ) = \left( \lim\limits_{n \to \infty} s_n \right) \ cdot \left( \lim\limits_{n \to \infty} t_n \right) = L \cdot P . \]
Постоянное множественное правило: для любой константы \( C \),
\[ \lim\limits_{n \to \infty} (C \cdot s_n ) = C\cdot \lim\limits_{n \to \infty} s_n = C \cdot L.
\]
Частное правило: Если \( P \not= 0 \) и \( t_n \not= 0 \) для всех \( n \in \mathbb{n} \), то
\[ \lim\ limit_{n \to \infty} \left( \frac{s_n}{t_n} \right) = \frac{\lim\limits_{n \to \infty} s_n}{\lim\limits_{n \to \infty } t_n }= \frac{L}{P} . \]
Необходимо знать, что оба предела, с которыми вы работаете, сойдутся, чтобы эти свойства оставались верными!
Итак, как свойства пределов последовательностей помогают понять, что если последовательность сходится, предел должен быть уникальным?
Предположим, у вас есть последовательность, которая сходится к двум разным вещам, скажем, \( \{ s_n \} \to L\) и \( \{ s_n \} \to P\) , где \( L \not= П \). Затем вы можете использовать правило разности, чтобы сказать, что
\[ \lim\limits_{n \to \infty} (s_n — s_n ) = \lim\limits_{n \to \infty} s_n — \lim\limits_{n \to \infty} s_n = L — P . \]
Но постойте, \( s_n — s_n = 0 \), так что также верно, что
\[ \lim\limits_{n \to \infty} (s_n — s_n ) = \lim\limits_ {n \to \infty} 0 = 0.
{-n} +1 \} \) , используйте свойства пределов для последовательностей, чтобы найти предел как \( n \to \infty \ ). 9{-n} +\lim\limits_{n \to \infty} 1 \\ &= 0 + 1 \\ &= 1. \end{align} \]
Убедитесь, что условия для использования правил для последовательностей встретились очень важно. Помните, что вы должны знать, что обе последовательности сходятся и что, если вы используете правило отношения, у последовательности в знаменателе есть ненулевой предел. Если это не так, может случиться все что угодно!
Что произойдет, если одна из ваших последовательностей не сходится? Даже если предел произведения существует, вы не можете умножить то, чего не существует. Следующие три примера покажут вам, что может произойти, если оба предела не сходятся.
Пример 1: Возьмите последовательности \( \{ s_n \} = \{ n \} \) и
\[ \{ t_n \} = \left\{ \frac{1}{n} \right\} . \]
Тогда \( \{ s_n \} \) расходится, а \( \{ t_n \} \to \infty \). Но
\[ \begin{align} \lim\limits_{n \to \infty} (s_n \cdot t_n ) &= \lim\limits_{n \to \infty} n \cdot \frac{1}{n } \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} 1 \\ &= 1 .
\end{align} \]
Таким образом, здесь вы получаете 1 для лимита продукта.
Пример 2: Можно ли получить что-то еще за лимит продукта, если лимит одной из последовательностей не выходит? Если вместо этого вы возьмете последовательность 92 \cdot \frac{1}{n} \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} n , \end{align} \]
и произведение расходится. Таким образом, вы можете получить лимит продукта, которого нет!
Таким образом, если у вас нет правильных условий для использования правила продукта, может случиться что угодно, и вы не можете заранее предсказать, что это может быть!
Примеры пределов последовательностей
Давайте посмотрим на другие примеры того, какие виды пределов может иметь функция и случаи, когда у нее нет предела.
Имеет ли последовательность
\[ \{ s_n \} = \left\{ 2 + \frac{4}{n} \right\} \]
предел? Если так, то, что это?
Ответ:
Другой способ сформулировать этот вопрос: «Приближается ли приведенная выше последовательность к одному значению, когда \( n \) становится большим? Посмотрим!
В вопросе есть \( \frac {4}{n} \) term.
Давайте посмотрим на функцию, эквивалентную этому. Для функции
\[ f(x) = \frac{1}{x} \]
вы знаете, что
\[ \begin{align} \lim\limits_{x \to \infty} f(x) &= \lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} \\ &= 0 \end{align} \]
, потому что функция имеет горизонтальную асимптоту \( y =0 \). Это означает, что последовательность
\[ \{ t_n \} = \left\{ \frac{1}{n} \right\} \]
также имеет
\[ \begin{align} \lim\limits_{ n \to \infty} t_n &= \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \\ &= 0 \end{align} \]
, так как последовательность такая же, как и функции, кроме домена. На самом деле, вы можете увидеть это и графически.
Рис. 2. График последовательности {1/n} на положительной оси абсцисс.
Теперь, когда мы вспомнили характеристики обратной функции, давайте вернемся к исходному вопросу. Теперь вы знаете, что можете применить правило суммы, чтобы получить
\[ \begin{align} \lim\limits_{n \to \infty} s_n &= \lim\limits_{n \to \infty} \left( 2 + \frac{4}{n} \right) \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} 2 + \lim\limits_{n \to \infty} \frac{4}{n}, \end {align} \]
, а затем постоянное правило, чтобы получить:
\[ \begin{align} \lim\limits_{n \to \infty} 2 + \lim\limits_{n \to \infty} \frac{4}{n} &= 2 + 4 \lim\limits_ {n \to \infty} \frac{1}{n} \\ &= 2 + 4 \cdot 0 \\ &= 2.
\end{align} \]
Итак, последовательность имеет предел, и значение равно 2.
Сходится ли последовательность
\[ \left\{ \frac{1 + 4n}{5 + 6n} \right\} \]
? Если да, то к чему он сходится?
Ответ:
Иногда вам нужно попробовать разные вещи, чтобы найти ту, которая позволит вам правильно использовать правила. Вы хотели бы использовать правило отношения, чтобы решить эту проблему.
Сначала попробуйте настроить две последовательности: \( \{ s_n \} = \{ 1 + 4n \} \) и \( \{ t_n \} = \{ 5 + 6n \} \). К сожалению, есть проблема, поскольку правило отношения требует, чтобы обе эти последовательности имели предел, и ни одна из них не сходится к конечному числу!
Для второй попытки разбейте его на две дроби вместо одной. Вы знаете, что
\[ \frac{1+4n}{5+6n} = \frac{1}{5+6n} + 4 \cdot \frac{n}{5 + 6n}, \]
, которое определенно ближе к тому, чтобы быть полезным, но все же не совсем так из-за того, что
\[ \frac{n}{5+6n} \]
срок.
Вторая попытка натолкнет вас на мысль, что сначала нужно вынести \( n \) из знаменателя. Тогда у вас есть
\[ \frac{1+4n}{5+6n} = \frac{1+4n}{n \left( \frac{5}{n}+6 \right) } . \]
Было бы очень хорошо сократить это \( n \) в знаменателе с единицей в числителе, но для этого вам нужно сначала разложить это на множители:\[ \begin{align} \frac {1+4n}{5+6n} & =\frac{n \left(\frac{1}{n}+4 \right) }{n \left( \frac{5}{n}+6 \right ) } \\ &= \frac{ \frac{1}{n} + 4}{ \frac{5}{n} + 6}. \end{выравнивание} \]
Алгебра на помощь! Теперь настройте две последовательности для использования частного правила:
\[ \{ s_n \} = \left\{\frac{1}{n}+4 \right\} \mbox{ и } \{ t_n \} = \left\{ \frac{5}{n} + 6 \right\}. \]
Оба имеют пределы, на самом деле
\[ \lim\limits_{n \to \infty} s_n = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n }+4 \right) = 4 \]
и
\[ \lim\limits_{n \to \infty} t_n = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{5}{ п}+6\вправо) = 6\]
, где вы применили правило суммы и правило константы, как в предыдущем примере. Теперь вы знаете, что можете применить правило частного, чтобы получить
\[ \begin{align} \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1 + 4n}{5 + 6n} &= \lim\limits_{ n \to \infty} \frac{s_n}{t_n} \\ &= \frac{4}{6} \\ &= \frac{2}{3}. \end{align} \]
Следовательно, последовательность сходится, и предел равен \( \frac{2}{3} \).
Вы можете сделать эту задачу короче, если вспомните свойства рациональных функций. Если наибольшая степень в числителе совпадает с наибольшей степенью в знаменателе, вы можете «поделить» коэффициенты, чтобы получить предел. В этом случае наибольшая степень в числителе равна 9.n \право\} \) сходятся? Если да, то к чему он сходится?
Ответ:
Чтобы понять, как ведет себя эта последовательность, выпишем некоторые члены этой последовательности.
\[ \{-1, 1, -1, 1, \dots \} \]
Если последовательность имеет предел, то предел должен быть либо \(-1 \), либо \(1 \) поскольку это единственные два значения в последовательности, и они вообще не меняются. Давайте посмотрим, что происходит графически, когда вы пытаетесь выбрать \( L = 1 \) в качестве предельного значения.
Рис. 3. Является ли L=1 пределом последовательности?
Глядя на рисунок выше, вы можете видеть, что не имеет значения, насколько большой \( M \) вы выберете, нет никакого способа получить все значения последовательности между двумя линиями \( y = 1 + \эпсилон\) и \(у = 1 — \эпсилон\). Это означает, что эта последовательность не сходится.
Можно также сказать, что последовательность расходится с .
Доказательство предела последовательности
Иногда вы столкнетесь с такой последовательностью, как
\[ \left\{ \frac{ \cos n }{n} \right\} \]
где невозможно применить свойства пределов для последовательностей. В таком случае может помочь Теорема сжатия. Поскольку последовательности — это всего лишь особый вид функций, теорему сжатия можно переформулировать для последовательностей.
Обзор теоремы о сжатии для функций см. в разделе Теорема о сжатии .
Теорема сжатия: Предположим, что есть две последовательности \( \{ s_n \} \) и \( \{ t_n \} \), обе из которых сходятся к одному и тому же значению \( L \), и что существует существует \( N \ in \mathbb{N} \) такой, что \( s_n \ le w_n \le t_n \) для всех \( n \ge N \). Затем
\[ \lim\limits_{n \to \infty} w_n = L . \]
Давайте посмотрим, как применяется теорема сжатия. Возвращаясь к последовательности
\[ \left\{ \frac{ \cos n }{n} \right\}, \]
, идея состоит в том, чтобы «втиснуть» ее между двумя последовательностями, которые, как вы знаете, сходятся. Во-первых, давайте посмотрим на график некоторых значений этой последовательности.
Рис. 4. График значений последовательности, которые сходятся к 0.
Конечно, похоже, что она сходится к нулю, но вам нужно найти две последовательности, которые, как вы знаете, сходятся к нулю, чтобы «втиснуть» их между ними. Одна последовательность, с которой вы уже работали и которая сходится к нулю, — это последовательность 9. 0003
\[ \{ s_n \} = \left\{ \frac{1}{n} \right\}. \]
Вы также знаете, что \( -1 \le \cos n \le 1 \) для любого \( n\), поэтому
\[ — \frac{1}{n} \le \frac{ \ cos n}{n} \le \frac{1}{n} \]
также для любого \( n \). Это означает, что вы можете взять вторую последовательность, которую вам нужно сжать, чтобы она была
\[ \{ t_n \} = \left\{ -\frac{1}{n} \right\}. \]
Взгляните на график для всех трех последовательностей.
Рис. 5. Использование теоремы о сжатии путем нахождения 2 последовательностей, которые сходятся к 0, для использования для «сжатия» исходной последовательности.
Таким образом, использование теоремы сжатия для последовательностей доказывает, что последовательность
\[ \{ w_n \} = \left\{ \frac{ \cos n }{n} \right\} \]
сходится.
Теорема об абсолютном значении
Существует очень удобное следствие теоремы о сжатии для последовательностей, называемое теоремой об абсолютном значении.
Теорема абсолютного значения: Пусть \( \{ s_n \} \) будет последовательностью. Если
\[ \lim\limits_{n \to \infty} \left| с_н \право| = 0, \]
9п \право| \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} 1 \\ &= 1. \end{align} \]Таким образом, хотя абсолютное значение последовательности сходится, сама последовательность не сходится. Поэтому проверка условия, что предел абсолютного значения последовательности равен нулю, с помощью применения теоремы об абсолютном значении очень важна!
Последовательности, расходящиеся до бесконечности
Иногда последовательность становится все больше и больше, как в случае с последовательностью. Это несколько более приятная ситуация, чем та, которая просто продолжает прыгать, но все равно не сходится. Вместо этого у него есть специальное имя. 9n = \infty , \]
последовательность \( \{ s_n \} \) расходится к бесконечности.
Ограничение последовательности — Ключевые выводы
- Пусть \(L\) будет действительным числом. Последовательность sn имеет предел \( L \) по мере того, как \( n \) приближается к \( \infty \), если задано \( \epsilon > 0 \) , существует число \( M > 0 \) такое, что \( n > M \) подразумевает \( \left| s_n — L \right| < \epsilon \). Мы пишем, что
\[ \lim\limits_{n \to \infty} s_n = L, \]
и говорим, что последовательность сходится к \( L \) . Говорят, что последовательности, не имеющие предела, расходятся .
Если последовательность \( \{ s_n \} \) такова, что
\[ \lim\limits_{n \to \infty} s_n = \pm \infty , \]
, то мы говорим, что последовательность расходится до \(\pm\infty\).
Теорема сжатия: Предположим, что есть две последовательности \( \{ s_n \} \) и \( \{ t_n \} \), обе из которых сходятся к одному и тому же значению \( L \), и что существует \( N \ в \mathbb{N} \) такое, что \( s_n \ le w_n \le t_n \) для всех \( n \ge N \). Затем
\[ \lim\limits_{n \to \infty} w_n = L .
\]Абсолютное значение Теорема: Пусть \( \{ s_n \} \) будет последовательностью. Если
\[ \lim\limits_{n \to \infty} \left| с_н \право| = 0, \]
затем
\[ \lim\limits_{n \to \infty} s_n = 0. \]
Если последовательность сходится, то она имеет единственный предел.
Предположим, у вас есть две последовательности \( \{s _n \} \) и \( \{s _n \} \) , и существуют числа \( L \) и \( P \) такие, что
\[ \lim\limits_{n \to \infty} s_n = L \mbox{ и } \lim\limits_{n \to \infty} t_n = P . \]
Тогда выполняются следующие правила:
Правило суммы:
\[ \lim\limits_{n \to \infty} (s_n + t_n ) = \lim\limits_{n \to \infty} s_n + \lim\limits_{n \to \infty} t_n = L + P . \]
Правило разности:
\[ \lim\limits_{n \to \infty} (s_n — t_n ) = \lim\limits_{n \to \infty} s_n — \lim\limits_{n \ в \infty} t_n = L — P . \]
Правило продукта:
\[ \lim\limits_{n \to \infty} (s_n \cdot t_n ) = \left( \lim\limits_{n \to \infty} s_n \right) \cdot \ влево( \lim\limits_{n \to \infty} t_n \right) = L \cdot P .
\]Постоянное множественное правило: для любой константы \( C \),
\[ \lim\limits_{n \to \infty} (C \cdot s_n ) = C\cdot \lim\limits_{n \to \infty} s_n = C \cdot L. \]
Частное правило: Если \( P \not= 0 \) и \( t_n \not= 0 \) для всех \( n \in \mathbb {n} \), затем
\[ \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{s_n}{t_n} \right) = \frac{\lim\limits_{n \to \infty} s_n} {\lim\ limit_{n \to \infty} t_n }= \frac{L}{P} . \]
x -y -limits -calculator — Google Shue
AllebildershoppingVideoSmapsNewsbücher
Sucoptionen
Multi Varible Limit Calculator — — Symbolab
9002 WWW.symblablabulator — Symbolab 9002 wwww.symblablabulator — Symbolab 9002 WWW.SYMBABLABLAUT. Калькулятор лимита переменных — шаг за шагом решите лимиты с несколькими переменными.«Multivariable Limits» — Бесплатный математический виджет — Wolfram|Alpha
www. wolframalpha.com › виджеты › галерея › просмотреть
01.08.2010 · Получите бесплатно виджет «Multivariable Limits» для своего сайта, блога, WordPress , Blogger или iGoogle. Дополнительные математические виджеты см. в …
Онлайн-калькулятор лимитов — Wolfram|Alpha
www.wolframalpha.com › калькуляторы › расчет лимитов…
Удобный инструмент для решения задач с лимитами. Wolfram|Alpha с легкостью вычисляет как одномерные, так и многомерные ограничения. Определить предельные значения …
Калькулятор предела с несколькими переменными + онлайн-решатель с бесплатными шагами пределы функций с несколькими переменными.
Калькулятор многомерных пределов — Math34.pro
math34.pro › limit2
Калькулятор пределов функций двух переменных поможет рассчитать предел … Бесплатный калькулятор многомерных пределов — решите многомерные пределы.
Калькулятор пределов — Mathway
www.mathway.com › Калькулятор › limit-calculator
Калькулятор пределов поддерживает поиск предела при приближении x к любому числу, включая бесконечность. Калькулятор будет использовать наилучший доступный метод, поэтому пробуйте много …
Калькулятор пределов с шагами — Решатель пределов — AllMath
www.allmath.com › limit-calculator ограничения для заданных функций и показывает все шаги. Он решает ограничения относительно переменной. Пределы могут быть …
Обозначение: xy- | Muss Folgendes enthalten:xy-
Ähnliche Fragen
Каковы пределы двух переменных?
Можно ли делать ограничения на калькуляторе?
Как рассчитывается лимит?
Калькулятор предела с несколькими переменными с шагами — онлайн и бесплатно!
calculatelimit.com › multivariable-limit-calculator
Найдите калькулятор многопараметрического лимита с помощью нашего бесплатного онлайн-калькулятора. Рассчитайте пределы и получите пошаговое объяснение для каждого решения.
Калькулятор лимитов с шагами (100% бесплатно)
www.meracalculator.com › math › калькулятор лимитов
Решатель лимитов.