Калькулятор представьте в виде дроби: Онлайн калькулятор: Дроби

Непрерывные (цепные) дроби онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно преобразовать обыкновенную дробь, смешанное число или десятичное число в непрерывную (цепную) дробь. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения непрерывной дроби введите числа в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Цепной (или непрерывной) дробью называется выражение вида

где a₀− целое число, а a₁,a₂,…− целые положительные числа. Числа a₀, a₁, a₂,…−называются элементами цепной дроби.

Цепная дробь может быть конечным или бесконечным. Число может быть представлено конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально. Ирациональные числа представляются в виде бесконечной цепной дроби.

Алгоритм разложения вещественного числа на цепную дробь имеет следующий вид:

Если на i-ом шаге x_i=0, то процесс останавливается. Цепная дробь принимает вид:

Пример 1. Построить цепную дробь для числа 25/11.

Преобразуем дробь в смешанное число:

Отделим целую и дробную части и обозначим через a₀ и x₀, соответственно:

Перевернем дробную часть:

Преобразуем дробь в смешанное число:

Отделим целую и дробную части и обозначим через a₁ и x₁, соответственно:

Перевернем дробную часть:

Преобразуем дробь в смешанное число:

Отделим целую и дробную части и обозначим через a₂ и x₂, соответственно:

Перевернем дробную часть:

Отделим целую и дробную части и обозначим через a₃ и x₃, соответственно:

Дробная часть равна нулю. Процедуру останавливаем.

Непрерывная (цепная) дробь имеет вид:

Таким образом исходный дробь можно представить в виде следующей цепной дроби:

Пример 2. Построить цепную дробь для числа -7. 56.

Преобразуем дробь в смешанное число:

Представим число в виде суммы целой и дробной частей и обозначим через a₀ и x₀, соответственно:

Перевернем дробную часть:

Преобразуем дробь в смешанное число:

Отделим целую и дробную части и обозначим через a₁ и x₁, соответственно:

Перевернем дробную часть:

Преобразуем дробь в смешанное число:

Отделим целую и дробную части и обозначим через a₂ и x₂, соответственно:

Перевернем дробную часть:

Преобразуем дробь в смешанное число:

Отделим целую и дробную части и обозначим через a₃ и x₃, соответственно:

Перевернем дробную часть:

Отделим целую и дробную части и обозначим через a₄ и x₄, соответственно:

Дробная часть равна нулю. Процедуру останавливаем.

Непрерывная (цепная) дробь имеет вид:

Таким образом исходный дробь можно представить в виде следующей цепной дроби:

Правда о дробях, или Секретное оружие для двоечников

Сергей Нечаев,
доктор физико-математических наук, директор российско-французского Междисциплинарного научного центра Понселе
«Троицкий вариант — Наука» № 20(339), 5 октября 2021 года

Оригинал статьи на сайте «Троицкого варианта»

Уже много лет прошло с тех пор, как для меня и большинства моих друзей отзвенел последний школьный звонок. Сейчас мы живем в разных городах и даже разных странах, но, тем не менее, радуемся успехам друг друга и искренне переживаем неудачи, пытаясь помочь хотя бы советом. Мы очень непохожие, но, встречаясь, невольно погружаемся в атмосферу школьных лет. И пусть хотя бы на час-два, но важным становится не то, к чему ты упорно и с трудом шел эти годы, а то, с кем сидел за одной партой, как делали стенную газету, почему химичка запрещала играть в «слона» на переменах… И ты вновь и вновь пытаешься выяснить у двух подружек, самых красивых девочек в классе, Ирки и Таньки, почему они считали тебя занудой, и попутно вспоминаешь, что тебя дразнили «чайником», и это почему-то было очень обидно, а дома тебя ждал ненавистный урок музыки, но это ерунда — всё уже выучено наизусть, а назавтра ужасная контрольная по химии… Стоп! Как по волшебству, ностальгическая картина школьных лет вдруг блекнет и растворяется, словно улыбка Чеширского кота. «Контрольная!» — вот ключевое слово, разбивающее в пух любое теплое воспоминание тех лет.

Как я ненавидел контрольные, сочинения и вызовы к доске! Я их ненавидел и боялся. До сих пор помню эту зловещую тишину после того, как уже произнесено: «Следующим к доске пойдет…» — и острый учительский карандаш повис над классным журналом, выбирая очередную жертву, а ты, вытянув шею из мокрого воротничка, стараешься угадать, на какое имя направлен вектор грифеля, или, наоборот, пытаешься съежиться и стать маленьким и незаметным, как оплывший айсберг, на

3/₄ соскользнув под парту. И вдруг имя названо! По классу проносится «у-у-у-у-х-х-х-х!». Всё: удав сделал выбор — и кролик, покорный и тихий, плетется к месту жертвоприношения. Наверное, по выбросу адреналина в кровь это напряжение, независимо от исхода (вызвали тебя или другого), равносильно ожиданию старта в гонке «Формула-1».

Сколько раз я представлял себе в мечтах, как, приговоренный к ответу у доски и потерявший дар речи, вдруг поражаю учителя необыкновенным знанием предмета, получаю «5+» и гордо, но скромно возвращаюсь на свое место, а отличница Зелёнкина плачет от зависти и кусает ногти. {(a+c)}/_{(b+d)} \tag{1}\label{eq1} \)

Господа бывшие (и настоящие) двоечники, кто не раз складывал дроби именно так и страдал от учительских упреков, — вы реабилитированы! Результатом суммы двух дробей может (подчеркиваю —

может, в зависимости от рассматриваемой задачи) быть дробь, полученная сложением числителя с числителем и знаменателя со знаменателем. Хотя, если быть уж до конца честным, если вы складываете дроби именно так, то данная операция называется не «сложением», а «композицией» и обычно в математической литературе обозначается «плюсом в кружочке».

На всякий случай для тех, кто не очень интересуется тем, что рассказывают на уроках учителя, а также для родителей тех, кто не очень интересуется тем, что рассказывают на уроках учителя, и, наконец, для учителей тех, кто не очень интересуется тем, что рассказывают на уроках учителя, напоминаю: дроби (как теперь выясняется, надо добавлять слово «обычно») складывают, приводя их к общему знаменателю, т.е. так:

\( ^a/_b\;+\;^c/_d\;=\;^{(ad+bc)}/_{(bd)} \tag{2}\label{eq2} \)

Давайте попытаемся разобраться, чему же все-таки отвечает «сложение» (1) и какая геометрия стоит за этим.

Любые операции с числами, будь то сложение, умножение, деление или вычитание, с одной стороны, имеют исторические корни в перечислении предметов (1 кокос + 4 кокоса = 5 кокосов), а с другой стороны, тесно связаны с геометрическими свойствами пространства, в котором мы живем (0,5 км + 1,3 км = 1,8 км). Мы привыкли к тому, что это одно и то же, чему свидетельство наш повседневный опыт.

Допустим, что нам надо сложить две дроби ¹/₄ и ¹/₂. Мы это можем сделать двумя разными способами.

Первый способ заключается в том, что мы можем взять такое количество кокосов, которое делится и на 4, и на 2, — скажем, 8 кокосов. Четверть (¹/₄) и половина (¹/₂) от 8 кокосов составят, соответственно, кучки в 2 и 4 кокоса. Сложив 2 и 4 и поделив на общее число кокосов, 8, получим ⁶/₈, что после сокращения на 2 даст ³/₄. Заметьте, что при таком способе сложения мы лишь делили кокосы на кучки побольше и поменьше и заботиться надо было только о том, чтобы отличница Зелёнкина не спрятала какой-нибудь кокос, изменив тем самым результат сложения. Именно к такому сложению мы привыкли, и оно отвечает стандартной процедуре приведения дробей к общему знаменателю (2).

Но есть и другой способ наглядно изобразить результат сложения двух дробей ¹/₄ и ¹/₂. Заменим ¹/₄ и ¹/₂ десятичными дробями, т. е. просто поделим 1 на 4 и 1 на 2, в результате чего получим: ¹/₄ = 0,25 и ¹/₂ = 0,5, а после сложим два числа 0,25 и 0,5, что соответствует сложению двух векторов, имеющих длины 0,25 и 0,5 на числовой прямой. Перенеся вектор, имеющий длину 0,25, в конец другого, с длиной 0,5, как показано на рис. 1, получим суммарный вектор с длиной, равной 0,75. В данном случае мы пришли к тому же самому результату, хотя для сложения использовали метрические свойства пространства (числовой прямой), неявно предполагая, что числовая прямая однородна — только в этом случае можно параллельно переносить вектора, как это сделано на рис.  1.

Но почему бы нам не допустить, что перечисление предметов и свойства пространства не связаны напрямую друг с другом? Разумеется, это уже не будет буквально отвечать нашему жизненному опыту, но мало ли в мире происходит событий, которые на первый взгляд кажутся удивительными, но к которым мы привыкаем через определенное время! Когда я перешел с беговых лыж на горные, помню ощущения сильного неудобства от того, что в горнолыжных креплениях пятка не отрывается от плоскости лыжи — это казалось поначалу просто удивительным. Но по прошествии недели всё встало на места, ощущения дискомфорта сгладились и стало понятно, что такое крепление ботинка оптимально, естественно и наиболее безопасно… Так давайте и складывая дроби, скажем своему жизненному опыту: «Помолчи, пожалуйста, может быть, ты узнаешь что-нибудь новое!»

Рассмотрим внимательно построение, приведенное на рис. 2а. Возьмем отрезок [0,1] и нарисуем две окружности О₁ и О₂ радиуса r = ¹/₂, одна из которых касается отрезка [0,1] в точке 0, другая — в точке 1; кроме того, они касаются друг друга. Теперь построим окружность О

3, касающуюся окружностей О₁ и О₂, а также отрезка [0,1]. Продолжим наше построение так, что каждая новая окружность касается соседей справа и слева и еще отрезка [0,1]: скажем, окружность О₄ касается окружностей О₁, О₃ и отрезка [0,1]; окружность О₅ касается окружностей О₃, О₂ и отрезка [0,1] и т. д. Нас будет интересовать именно положение точек, в которых нарисованные окружности О₁, О₂, О₃, О₄, О₅ и т.д. касаются отрезка [0,1]. Оказывается, что точки касания могут быть получены по правилу (1). А именно: запишем координаты точек, в которых окружности О₁ и О₂ касаются отрезка [0,1], в виде дробей 0 = ⁰/₁ и 1 = ¹/₁, что, находясь в согласии со школьными правилами, не вызовет негодования учителя и слез отличницы Зелёнкиной. А как определить точку, в которой окружность О₃ касается отрезка [0,1]? Очень просто: имея две дроби ⁰/₁ и ¹/_1, сложим числитель с числителем, а знаменатель со знаменателем и получим новую дробь ⁽⁰⁺¹⁾/₍₁₊₁₎ = ¹/₂. Для того чтобы найти точку касания отрезка [0,1] окружностью О₄, вписанной между О₁ и О₃, надо сложить дроби: ⁰/₁ (точка касания отрезка [0,1] окружностью О₁) и ¹/₂ (точка касания отрезка [0,1] окружностью О₃) по правилу (1): ⁽⁰⁺¹⁾/₍₁₊₂₎ = ¹/_3; окружность, вписанная между О₃ (с точкой касания отрезка [0,1] в

1/₃) и О₄ (с точкой касания отрезка [0,1] в ¹/₂), касается отрезка [0,1] в точке, полученной «сложением» дробей ¹/₃ и ¹/₂: ⁽¹⁺¹⁾/₍₃₊₂₎ = ²/₅ и т. д. Общий случай изображен на рис. 2б: две заштрихованные окружности — те же самые, что на рис. 2а, имеют точки касания ¹/₂ и ¹/₁. Для того чтобы найти положение точки P, надо «сложить» дроби ¹/₂ и ¹/₁ так: ⁽¹⁺¹⁾/₍₂₊₁₎ = ²/₃. Итак, все точки касания отрезка [0,1] вписанными окружностями, изображенными на рис. 2а, удовлетворяют следующему правилу: надо взять ближайших соседей слева и справа и «сложить» их по правилу (1).

Это правило оказывается внутренне непротиворечивым. Например, точку касания отрезка [0,1] окружностью

О₄ можно получить несколькими способами: (i) окружность О₄ касается окружностей О₃ и О₆, соответственно имеем ⁽¹⁺¹⁾/₍₂₊₄₎ = ²/₆ = ¹/₃; (ii) с другой стороны, та же самая окружность О₄ касается О₆ и О₈, что дает ⁽¹⁺²⁾/₍₄₊₅₎ = ³/₉ = ¹/₃. Как видно, получается один и тот же результат.

Представьте себе на минуту, что мы ничего не знаем о параллельном переносе векторов (как на рис. 1), а вместо этого нам с первого класса учитель рассказывает о вписанных окружностях и говорит, что правило (1) и есть единственно верный способ «сложения» дробей, который к тому же опирается на очень наглядные геометрические построения. Сможем мы что-нибудь возразить? Конечно! Мы подойдем к учителю с кокосами за пазухой и будем раскладывать их по кучкам, с пеной у рта доказывая, что результат сложения в действительности отвечает правилу (2). Так кто же прав? Ответ такой: «Правы оба!» Просто правило (2), как мы видели, основано на естественном перечислении предметов, а правило (1) связано с метрическими свойствами пространства,

которое отличается от того, в котором мы живем, вот и всё.

Круги, которые мы вписываем один за другим, становятся всё меньше и меньше, а их число по мере приближения к отрезку [0,1] становится всё больше и больше. Эта конструкция, известная как круги Форда, является частным случаем ковра Аполлония — структуры, имеющей свойства плоскости Лобачевского, которую любил изображать на своих гравюрах Эшер. Гравюры Эшера в свое время часто публиковались на страницах журнала «Квант», и психоаналитик сказал бы, что мои нынешние научные интересы — топология, гиперболическая геометрия и теория графов — являются сублимацией детских впечатлений от разглядывания картинок Эшера. Без комментариев приведу в качестве иллюстрации (рис. 3) несколько последовательных отражений («инверсий») кругового треугольника относительно своих сторон, представляющих собой элементы дискретной подгруппы группы движений плоскости Лобачевского (а именно неевклидова геометрия Лобачевского и стоит за сложением по правилу (1)). Нетрудно увидеть, что координаты вершин соседних треугольников строятся именно так, как двоечники складывают дроби.

Конечно, преподавателя, рассказывающего ученикам в четвертом классе о неевклидовом пространстве Лобачевского — Римана, следует немедленно выгнать из школы, потому что после таких объяснений его ученикам грозит стать на всю жизнь пациентами сумасшедшего дома.

Но я представляю себе…

…Средняя школа… весна, солнце, ручьи, школьный пиджак застегнут на одну пуговицу — остальные лежат в кармане, в ботинках противно хлюпает часть лужи, огромной грязно-серой кляксой расплывшейся в центре школьного двора. Середина урока математики в третьем «А». Старт в гонке «Формула-1» еще не дан, так что висит пронзительная адреналиновая тишина. Наконец отмашка: «Иванов, к доске!» Приятели медленно выползают из-под парт, их физиономии принимают сочувствующие выражения со скрытыми признаками глубокой радости. «Итак, Иванов, надеюсь, ты сделал домашнее задание — сложи, пожалуйста, две дроби ¹/₈ и ³/₄». И тут наступает мой час. Я медленно беру мел и без запинки вывожу на доске «¹/₈ + ³/₄ = ⁽¹⁺³⁾/₍₈₊₄₎ =

4/₁₂ = ¹/₃». В классе начинается удивленное шуршание. «Похоже, Иванов, ты гуляешь во дворе, вместо того чтобы делать уроки! Ставлю тебе два!! Кто же так складывает дроби?!!!» «Марьванна, вы не сказали мне, в каком пространстве мы работаем, вот я для разнообразия и сложил эти дроби в соответствии с правилами композиции в пространстве Лобачевского!». .. ЗАНАВЕС ПАДАЕТ.

‎App Store: Калькулятор дробей

Описание

Удостоенный наград калькулятор дробей футов и дюймов для iPhone и iPad. Разработан с учетом простоты, удобства и красоты!

ХАРАКТЕРИСТИКИ:

— Элегантный и интуитивно понятный интерфейс
— Преобразование десятичной дроби в дробную
— Преобразование дробной части в десятичную
— Одновременное отображение уравнения и результата
— Расширенное редактирование путем легкого перехода назад и вперед
— Можно добавить на экран «Сегодня»

Идеально подходит для тех, кто работает в строительстве, деревообработке, а также для проверки домашних заданий студентами!

Если вам нужны более продвинутые функции, вы можете перейти на одну или несколько из следующих:

— Представление дробей (от 1/2 дюйма до 1/64 дюйма)
— Работа и преобразование между всеми размерными форматами зданий: футы -дюймовые дроби, дюймовые дроби, ярды, десятичные футы (10-е, 100-е), десятичные дюймы и метрические единицы (км, м, см, мм)
— Несколько тем на выбор

Наслаждайтесь БЕСПЛАТНЫМ калькулятором дробей без рекламы и подсказок. Если он вам нравится, поддержите нас, обновив его или дав нам положительный отзыв.

Спасибо 🙂

24 февраля 2020 г.

Версия 2.6.0

Исправление ошибок и улучшение производительности

Рейтинги и обзоры

31 Рейтинг

Идеально подходит для обработки дерева

Как и большинство столяров, я привык «вычислять» квадратным карандашом, рисуя на куске дерева одной рукой и придерживая другой кусок на месте. Но когда моя голова занята творческой идеей в дереве, мне нужен быстрый ответ без необходимости переключать внимание. Это замечательное приложение позволяет мне производить расчеты за секунды, а не за минуты. Очень, очень интуитивно. Чтобы научиться вводить дроби, требуется минута, потому что это другой шаг по сравнению с вводом целых чисел на обычном калькуляторе. Но только минуту. Каким бы ни было приложение, будь то работа по дереву или даже шитье, это приложение — ОГРОМНАЯ помощь в магазине! Спасибо за отличный продукт!

Расколотое блаженство

Мне очень нравится это приложение. Дроби были моим падением с начальной школы. Раньше мне снились кошмары, когда я подходил к доске и решал дроби. Теперь, благодаря вашему приложению, я наслаждаюсь ими как никогда раньше. Я использую ваше приложение в качестве метода обучения для себя. Я пишу задачи на дроби на сложение, вычитание и деление, а потом пытаюсь их решить. Я использую ваше приложение, чтобы проверить свое решение. Я люблю это. Спасибо

Калькулятор дробей

Мне нравится Калькулятор дробей, он решает большинство моих задач по преобразованию дробей в части дюймов, что очень удобно на рабочих местах и ​​дома. То, что нужно каждому рукодельнику!

Разработчик, xNeat.com, не предоставил Apple подробностей о своей политике конфиденциальности и обработке данных. Для получения дополнительной информации см. политику конфиденциальности разработчика.

Сведения не предоставлены

Разработчик должен будет предоставить сведения о конфиденциальности при отправке следующего обновления приложения.

Информация

Продавец

Сара Рагаб

Размер

62,1 МБ

Категория

Производительность

Возрастной рейтинг

4+

Авторское право

© 2016 xNeat.com

Цена

Бесплатно

• Сайт разработчика
• Тех. поддержка
• Политика конфиденциальности

Еще от этого разработчика

Вам также может понравиться

Калькулятор преобразования дробей в десятичные числа

Калькулятор дробей в десятичные числа ежедневно используется тысячами пользователей для преобразования дробей в десятичные. Преобразователь дроби в десятичную сначала упростит дробь, правильную или неправильную, а затем предоставит ее десятичную форму.

Как пользоваться этим калькулятором?

Просто, но внимательно введите дробь и нажмите Enter. Это все, что вам нужно сделать.

Дроби до десятичных знаков

Как вы, возможно, уже знаете, дроби являются точными альтернативами десятичных знаков.

Дробь ¼ также записывается как 0,25 в десятичной форме. Оба эти значения можно заменить в расчете друг на друга, и результат останется прежним.

Но оба они предпочтительнее друг друга в зависимости от типа выполняемых вычислений. Ниже вы узнаете обо всех процессах, которые можно использовать для преобразования дроби в десятичные.

Попробуйте противоположный инструмент, преобразователь десятичной дроби в дробную.

Как преобразовать дроби в десятичные?

Существует 3 различных метода преобразования дробей в десятичные.

1. Метод длинного деления.
2. Упрощение с помощью GCF.
3. Преобразование знаменателя в степень числа 10.

Давайте подробно изучим все ручные методы и посмотрим их решенные примеры.

Метод длинного деления:

Самый распространенный метод для этой цели. В длинном делении вы просто записываете числитель дроби как делимое, а знаменатель как делитель. После этого выполняется деление.

Пример: 

Решите дробь 26/8 , чтобы найти ее десятичную форму.

Решение:

Шаг 1: Определите значения.

Делимое = 26

Делитель = 8

Шаг 2: Впишите длинный символ деления и решите.

Десятичная форма числа 26/8 равна 3,25 .

Упрощение с помощью GCF:

Этот метод также включает деление, но перед этим дробь приводится к простейшей форме. Калькулятор десятичной дроби использует тот же метод.

Чтобы уменьшить дробь, вы должны найти ее НОД, и после деления верхнего и нижнего значений на НОД уменьшенную дробь можно легко преобразовать в десятичные, даже иногда в уме.

Пример:

Какова десятичная форма числа 8/32 ?

Решение:

Шаг 1: Найдите GCF.

GCF 8 и 32 равен 8 .

Шаг 2: Разделите оба значения на GCF.

8 ÷ 8 = 1 и 32 ÷ 8 = 4

Дробь становится 1/4.

Шаг 3: Разделить.

1 ÷ 4 равно 0,25 .