Калькулятор решение дискриминанта: Онлайн калькулятор. Решение квадратных уравнений

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение

— это уравнение вида

a x² + b x + c = 0,

где a не равно 0.

• Геометрический смысл

• Вывод формулы для решения квадратного уравнения

• Дискриминант квадратного уравнения

• Теорема Виета

• Разложение квадратного уравнения на множители

• Примеры решения квадратных уравнений

Геометрический смысл

Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют точки пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня.

Если коэффициент a положительный, ветви параболы направлены вверх, если отрицательный — ветви параболы направлены вниз. Если коэффициент b положительный, то вершина параболы лежит в левой полуплоскости, если отрицательный — в правой полуплоскости.

Вывод формулы для решения квадратного уравнения

Формулу для решения квадратного уравнения

a x² + b x + c = 0

можно получить так:

• перенесем c в правую частьa x² + b x = — c
• умножим уравнение на 4a(2a x)² + 4a b x = — 4a c
• добавим b² к обоим частям(2a x)² + 4a b x + b² = b² — 4a c
• в левой части выделим полный квадрат(2a x + b)² = b² — 4a c
• извлечем квадратный корень2a x + b = ± √b
  2 — 4a c
• перенесем b в правую часть2a x = — b ± √b² — 4a c
• разделим уравнение на 2a

  x =	-b ± √b2 — 4a c
  	2 a

Дискриминант квадратного уравнения

Дискриминантом

квадратного уравнения называют число равное

D = b² − 4ac

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта:

• при D > 0 корней два, и они вычисляются по формуле

  x1,2 =	-b ± √D
  	2 a

• при D = 0 корень один (два равных или совпадающих корня), кратности 2:

  x =	-b
  	2 a

• при Dx_1,2 =  -b ± i√-D 2 a

Теорема Виета

Приведенным квадратным уравнением

называется уравнение, в котором коэффициент при x² равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на коэффициент a:

x² + px + q = 0,

где p = 

ba

, q = 

ca

Сумма корней приведённого квадратного уравнения

x² + px + q = 0

равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q:
      x

1 + x₂ = -p,      x₁x₂ = q.

Разложение квадратного уравнения на множители

Если известны оба корня квадратного уравнения, его можно разложить по формуле

ax² + bx + c = a(x — x₁)(x — x₂)

Примеры решения квадратных уравнений

Например. Найти корни квадратного уравнения: 2x² + 5x + 3 = 0
D = 5² — 4·3·2 = 25 — 24 = 1

x1 =  —5 + √1  = -1, 2·2

x2 =  —5 — √1  = -1 1 2·2 2

Упражнения. 2 + b x + c = 0\]

с \( a \neq 0\). Это основная формула, определяющая Квадратное уравнение .

Хорошей новостью является то, что приведенное выше уравнение не так уж сложно решить, и это здорово, учитывая, что квадратное уравнение встречается буквально везде в алгебре, исчислении и почти везде.

Решение квадратичной формулы

Теперь вопрос в том, как решить эту квадратичную формулу. К счастью, ответ прост и хорошо известен: у него есть решения вида

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}\]

Они известны как корни квадратного уравнения (также известные как решения уравнения). 2 — 4ac\]

Типы решений квадратной формулы

По значению дискриминанта определяется характер решений. На самом деле, когда \(D > 0\), то есть два разных реальных решения, когда \(D = 0\), есть одно повторяющееся реальное решение, а когда \(D < 0\), есть два разных мнимых решения. Этот Решатель квадратных уравнений поможет вам сделать эти расчеты автоматически.

Одна из особенностей этого решателя квадратных уравнений заключается в том, что он показывает шаги для вычисления y-пересечения, координаты вершины и строит график квадратичной функции

. 2 — 4(-3)(-1)}}{2(-3)}\]

Шаг 3: Упростите значения в уравнении после того, как вы подставили значения \(a\), \(b\) и \(c\) . В предыдущем примере мы имеем

\[x = \displaystyle\frac{-2 \pm \sqrt{4 — 12}}{-6} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{-6}\]

Шаг 4: Загляните внутрь квадратного корня. Если значение положительное, то Квадратное уравнение имеет два вещественных корня. Если значение равно 0, то существует один вещественный корень, а если значение внутри квадратного корня отрицательное, то существует два комплексных корня. В предыдущем примере у нас есть -8 внутри квадратного корня, поэтому у нас есть два комплексных решения, как показано ниже:

\[x = \displaystyle\frac{-2 \pm \sqrt{4 — 12}}{-6} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{-6}= \frac{-2 \pm i \sqrt{8}}{-6}\]

Для чего используется квадратичная формула

квадратичная формула является одной из самых распространенных формул в математике. Она появляется при решении всевозможных геометрических задач, например, при максимизации площади при заданном периметре, или в многочисленных словесных задачах.

Многие люди задаются вопросом, есть ли какая-либо связь между этой формулой квадратного уравнения и методом Завершение квадрата . Ответ прост: вы получаете квадратичную формулу через решение квадратного уравнения через возведение в квадрат. Это точно такая же идея, которая приводит к известной всем нам квадратичной формуле.

Обратите внимание, что решения квадратного уравнения обладают очень интересным геометрическим свойством: когда вы вычисляете среднее значение найденных решений, вы получаете координату x вершины параболы, которая помогает вам найти Вершинная форма параболы, также известной как стандартная форма, используемая во многих приложениях, например, форма с коническими сечениями. 2 — 4(3)(4)}}{2(3)}\]\[= \frac{ 2 \pm \sqrt{ -44}}{ 6}\]

Следовательно, решения таковы:

\[x_1 = 0.333 — 1.106 i \] \[x_2 = 0.333 + 1.106 i \]

Следовательно, есть два воображаемых решения \(x_1 = 0.333 — 1.106 i \) и \(x_2 = 0.333 + 1.106 i \).

Кроме того, точка пересечения с осью y находится в точке \(y = 4\), что означает, что координаты точки пересечения с осью y равны \((0, 4)\).

Наконец, координатами вершины являются:

\[x_V = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2\cdot 3} = 0. 2 -2 (0.3333) + 4 = 3.6667\]

Калькулятор дискриминантной формулы

— MathCracker.com

Инструкции: Используйте этот калькулятор, чтобы найти дискриминант квадратного уравнения, показывая все шаги. Пожалуйста, введите действительное квадратное уравнение в поле формы ниже.

Дискриминантная формула

Этот калькулятор будет использовать дискриминантную формулу, показывающую все шаги для квадратного уравнения, которое вы предоставите.

Вам нужно предоставить действительное квадратное уравнение, что-то вроде 2x²+x-1=0, которое уже упрощено, или вы может предоставить что-то, что является допустимым квадратным выражением, но нуждается в дальнейшем упрощении, например 2x²+3x-1 = 3/4x — 4/5.

Как только правильное квадратное уравнение предоставлено, все, что вам нужно сделать, это нажать кнопку «Рассчитать», и все шаги расчета будут выполнены. предоставляется вам.

Упрощенное квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0 будет использовано для вычисления дискриминанта, что сразу укажет характер корней: два действительных корня, один действительный корень или два сложных корня.

Формула дискриминанта

Как найти дискриминант квадратного уравнения 92 — 4ас\]

Значение дискриминанта

После того, как вы применили приведенную выше формулу и получили значение \(\Delta\) для дискриминанта, каково его значение?

• Шаг 1: Если \(\Delta > 0\): то квадратное уравнение имеет два разных действительных корня
• Шаг 2: Если \(\Delta = 0\): то квадратное уравнение имеет только один действительный корень
• Шаг 3: Если \(\Delta

Что означают два сопряженных сложных корня? Графически это просто парабола, не пересекающаяся ось х.

С другой стороны, два разных действительных корня графически означают, что парабола пересекает ось x в двух точках. Дискриминант, равный нулю, указывает что парабола касается оси x.

Зачем заботиться о дискриминанте?

Дискриминант предоставляет простую форму для оценки типов корней квадратного уравнения без фактического решения уравнения.

Естественно, мы видим, что дискриминант буквально фигурирует в формуле квадрата, так что он явно связан с процессом вычисления квадратных корней. 92 — 3x — 10 = 0\) имеет два различных действительных корня.

Другие квадратичные калькуляторы

Работа с квадратичными функциями и уравнениями очень распространена в алгебре. Вычисление корней квадратных уравнений сильно связанный с вычислением дискриминанта и нахождением вершины.

Геометрически дискриминант указывает тип расположения параболы, представляющей квадратичную функцию и ось x.

Калькулятор дискриминанта — Найдите дискриминант с помощью шагов

Чтобы найти дискриминант в соответствии с Disc=b ² -4ac, введите значение a, b и c и нажмите кнопку расчета, используя этот дискриминантный калькулятор с шагами.

Дискриминантный калькулятор    

Используйте дискриминантный калькулятор, чтобы найти природу корней квадратного уравнения. Он предоставит шаги, необходимые для нахождения дискриминанта полиномиальных уравнений второй степени. Кроме того, пользователи смогут загружать, копировать или распечатывать результаты.

Как пользоваться этим инструментом?

Используйте следующие инструкции для пошаговой работы дискриминантного калькулятора.

1. Введите значения коэффициентов a,b и c из стандартного полиномиального уравнения.
2. Нажмите «Рассчитать» , чтобы найти результат.
3. Нажмите на «Показать шаги» для подробного ответа.
4. Сброс для второго использования.

Что такое дискриминант?

Дискриминант — это функция полиномиального уравнения, определяющая характер корней без фактического вычисления их значения. Затем это значение используется в квадратичной формуле для нахождения точек пересечения по оси x для многочлена.

Формула для дискриминанта

Дискриминант квадратного уравнения обозначается символом Δ (дельта). Формула для дискриминанта выглядит следующим образом:

Δ = b² — 4ac

, где a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения, ax² + bx + c = 0,

Эта формула представлена ​​под квадратным корнем формулы квадратного уравнения как

x = (-b ± √(b² — 4ac)) / 2a

Характер корней:

Как упоминалось ранее, корни являются точками пересечения параболы на оси x. Только дискриминант сможет определить их природу.

Когда дельта > 0:

Если дискриминант больше 1, уравнение будет иметь 2 действительных корня, потому что в этом случае квадратное уравнение будет иметь положительное число под квадратным корнем. А квадрат положительного числа всегда является действительным числом. Это означает, что его график будет пересекать ось x в двух реальных точках.

Если дельта < 0: 

Если дискриминант меньше 1, уравнение будет иметь два мнимых корня. Это потому, что в этом случае квадратное уравнение будет иметь отрицательное число под квадратным корнем, а квадратный корень из отрицательного числа всегда является мнимым комплексным числом. Это означает, что график будет пересекать ось x в двух воображаемых точках.

Когда дельта = 0:

Квадратные уравнения, в которых дискриминант равен нулю, имеют только один действительный корень. Вы можете понять это, поставив ноль для значения дискриминанта в квадратичной формуле, т.е.

x = (-b ± √(b² — 4ac)) / 2a

x = (-b ± √(0)) / 2a

Вся часть квадратного корня станет равной нулю, останется только x = -b / 2a . Это даст одно значение, потому что два значения в предыдущих случаях были результатом квадратного корня.

Как найти дискриминант?

Чтобы найти дискриминант вручную, полином должен быть в стандартной форме.

No related posts.