Калькулятор с целыми и дробями: Приведение дробей к общему знаменателю онлайн

 шалфей: 11/4.0
2,75000000000000
шалфей: 11/4. 
2,75000000000000
шалфей: 11.0/4
2,75000000000000
шалфей: 11/4*1.
2,75000000000000
 9(1/2). Опишите вывод. 
    
 Целочисленное деление и факторинг 
  

 
 Вы должны быть знакомы с «  Базовая арифметика  » 
 
 
 Иногда при делении оператор деления не дает нам всей информации, которую мы хотим. Часто нам хочется не просто знать, что такое сокращенная дробь или даже ее десятичная аппроксимация, а скорее уникальное  частное  и  остаток , которые являются следствием деления. 
 
 Чтобы вычислить частное, мы используем оператор //, а оператор % используется для остатка. 
 
  шалфей: 14 // 4
3
шалфей: 14 % 4
2
 
 Если мы хотим получить и частное, и остаток одновременно, мы используем команду divmod()
 sage: divmod(14,4)
(3, 2)
 
 Напомним, что  делит , если это остаток от деления двух целых чисел. Целые числа в Sage имеют встроенную команду (или «метод»), которая позволяет нам проверить, делится ли одно целое число на другое. 92 * 7 

Если нам интересно просто узнать, какие простые числа делят целое число, мы можем использовать его метод prime_divisors() (или prime_factors()).

 мудрец: 24.prime_divisors()
[2, 3]
мудрец: 63.prime_factors()
[3, 7]
 

Наконец, у нас есть наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное пары целых чисел. Общий делитель двух целых чисел — это любое целое число, являющееся делителем каждого из них, тогда как общее кратное

Наибольший общий делитель (НОД), что неудивительно, является наибольшим из всех этих общих делителей. Команда gcd() используется для вычисления этого делителя.

 мудрец: gcd(14,63)
7
мудрец: НОД(15,19)
1
 

Обратите внимание, что если два целых числа не имеют общих делителей, то их НОД будет .

Наименьшее общее кратное — это наименьшее целое число, на которое делятся оба целых числа. Команда lcm() используется для вычисления наименьшего общего кратного.

 шалфей: lcm(4,5)
20
шалфей: lcm(14,21)
42
 

Упражнения:

1. Найдите частное и остаток при погружении в .
2. Используйте Sage, чтобы убедиться, что частное и остаток, вычисленные выше, верны.
3. Используйте Sage, чтобы определить, делится ли .
4. Вычислите список делителей для каждого из целых чисел и .
5. Какие из приведенных выше целых чисел являются простыми ?
6. Вычислить и для пар целых чисел и . Как связаны gcd, lcm и произведение чисел?

Стандартные функции и константы

Sage включает почти все стандартные функции, которые встречаются при изучении математики. В этом разделе мы рассмотрим некоторые наиболее часто используемые функции: максимум , минимум , пол , потолочные , тригонометрические , экспоненциальные и логарифмические функции. Мы также увидим множество стандартных математических констант; например постоянная Эйлера (), , и золотое сечение ().

Команды max() и min() возвращают наибольшее и наименьшее из набора чисел.

 шалфей: макс(1,5,8)
8
шалфей: мин(1/2,1/3)
1/3
 

Мы можем ввести любое количество аргументов в функции max и min.

В Sage мы используем команду abs() для вычисления абсолютного значения реальное число.

 шалфей: абс(-10)
10
шалфей: пресс (4)
4
 

Команда floor() округляет число в меньшую сторону до ближайшего целого, а ceil() округляет в большую сторону.

 шалфей: этаж(2.1)
2
шалфей: потолок (2.1)
3
 

Мы должны быть очень осторожны при использовании floor() и ceil().

 шалфей: этаж(1/(2.1-2))
9
 

Это явно не правильно: . Итак, что случилось?

 шалфей: 1/(2.1-2)
9,99999999999999
 

Компьютеры хранят действительные числа в двоичном формате , в то время как мы привыкли использовать десятичное представление. Десятичное представление довольно простое и короткое, но при преобразовании в двоичное получается

Поскольку компьютеры не могут хранить бесконечное количество цифр, оно где-то округляется, что приводит к небольшой ошибке, которую мы видели.

 шалфей: пол(1/(21/10-2))
10
 

В связи с этим часто рекомендуется использовать рациональные числа, когда это возможно, вместо десятичных дробей, особенно если требуется высокий уровень точности.

Команда sqrt() вычисляет квадратный корень из действительного числа. Как мы видели ранее с дробями, если нам нужна десятичная аппроксимация, мы можем получить ее, задав десятичное число в качестве входных данных. 9(1/3) 2

В Sage также доступны все стандартные тригонометрические функции: для синуса и косинуса мы используем sin() и cos().

 мудрец: грех(1)
грех(1)
мудрец: грех (1.0)
0,841470984807897
мудрец: потому что (3/2)
потому что (3/2)
мудрец: потому что (3/2.0)
0,0707372016677029
 

Опять мы видим то же поведение, что и с sqrt(), Sage даст нам точный ответ. Вы можете подумать, что если нет способа упростить sin(1), то зачем беспокоиться? Что ж, некоторые выражения с синусом действительно можно упростить. Например, важным тождеством из геометрии является . Sage имеет встроенный символ и понимает это тождество:

 мудрец: пи
Пи
мудрец: грех (пи/3)
1/2*кв.(3)
 

Когда мы набираем pi в Sage, мы имеем дело именно с , а не с каким-то числовым приближением. Однако мы можем вызвать численное приближение с помощью метода n():

 sage: pi.n()
3.14159265358979
мудрец: грех (пи)
0
мудрец: грех (pi.n())
1.22464679914735e-16
 

Мы видим, что при использовании символического пи Sage возвращает точный результат. Однако, когда мы используем приближение, мы получаем приближение обратно. e-15 — это сокращение от числа 1,22464679.914735e-16 должно быть равно нулю, но есть ошибки, вносимые аппроксимацией. Вот несколько примеров использования символического, точного и числового приближения:

 sage: sin(pi/6)
1/2
мудрец: грех (pi.n()/6)
0,500000000000000
мудрец: грех (пи/4)
1/2*кв.(2)
мудрец: грех (pi.n()/4)
0,707106781186547
 

Продолжая тему, есть несколько менее известных специальных углов, для которых значение синуса или косинуса можно разумно упростить.

 мудрец: грех(пи/10)
1/4*кв.(5) - 1/4
мудрец: потому что (пи / 5)
1/4*кв.(5) + 1/4
мудрец: грех(5*пи/12)
1/12*(кв.(3) + 3)*кв.(6)
 

Также доступны другие тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и гиперболические функции.

 шалфей: арктан(1.0)
0,785398163397448
шалфей: грех (9.0)
4051.541
279

Подобно пи, Sage имеет встроенную символическую константу для числа , основания натурального логарифма.

 шалфей: е
е
мудрец: en()
2,71828182845905
 

Хотя некоторые могут быть знакомы с использованием ln(x) для натурального логарифма и log(x) для представления основания логарифма, в Sage оба представляют логарифм база . Мы можем указать другую базу в качестве второго аргумента команды: для вычислений в Sage мы используем команду log(x,b). 9(журнал (2)) 2

Упражнения:

1. Вычислите пол и потолок .
2. Вычислите основание логарифма , вычислите основание логарифма 10 , затем вычислите отношение. Каким должен быть ответ?
3. Вычислите логарифм по основанию 2 числа .
4. Сравните с численной аппроксимацией с помощью pi.n().
5. Вычисления и .

Решение уравнений и неравенств

Решение x

Вы должны быть знакомы с « Базовая арифметика » и « Стандартные функции и константы »

В Sage уравнения и неравенства определяются с помощью операторов ==, <= и >= и возвращают либо True, False или, если есть переменная, просто уравнение/неравенство.

 мудрец: 9 == 9
Истинный
мудрец: 9 <= 10
Истинный
мудрец: 3*x - 10 == 5
3*х - 10 == 5
 

Чтобы решить уравнение или неравенство, мы используем метко названную командуsolve(). На данный момент мы будем решать только для . Раздел о переменных ниже объясняет, как использовать другие переменные. 9Икс]

Чтобы найти численное приближение решения, мы можем использовать Команда find_root(). Что требует как выражения, так и закрытого интервал, на котором следует искать решение.

 мудрец: find_root(sin(x) == x, -pi/2 , pi/2)
0,0
мудрец: find_root(sin(x) == cos(x), pi, 3*pi/2)
3,9269908169872414
 

Эта команда вернет только одно решение за указанный интервал, если оно существует. Он не найдет полного набора решений по всем действительным числам. Чтобы найти полный набор решений, читатель должен многократно использовать find_root() через разумно выбранные интервалы. К сожалению, на данный момент Sage не может думать за нас. Эта функция не планируется до Sage 10.

Объявление переменных

В предыдущем разделе мы решали уравнения только с одной переменной и всегда использовали . При запуске сеанса Sage создает одну символическую переменную, и ее можно использовать для решения уравнений. Если вы хотите использовать дополнительную символическую переменную, вы должны объявить ее с помощью команды var(). Имя символьной переменной может быть буквой или комбинацией букв и цифр:

 sage: y,z,t = var("y z t")
мудрец: фи, тета, ро = вар («фи тета ро»)
мудрец: x1, x2 = вар ("x1 x2")
 92-1,у)
NameError Traceback (последний последний вызов)
NameError: имя «u» не определено
 

Мы можем отменить объявление символической переменной, такой как переменная phi, определенная выше, с помощью функции restore() команда.

 мудрец: восстановить('фи')
мудрец: фи
...
NameError: имя «фи» не определено
 

Решение уравнений с несколькими переменными

Небольшие системы линейных уравнений также можно решать с помощью функцииsolve() при условии, что все символьные переменные объявлены. Уравнения должны быть введены в виде списка, за которым следуют символические переменные. Результатом может быть либо единственное решение, либо бесконечное множество решений, либо вообще ни одного решения.

 мудрец: решить( [3*x - y == 2, -2*x -y == 1 ], x,y)
[[х == (1/5), у == (-7/5)]]
мудрец: решить( [ 2*x + y == -1 , -4*x - 2*y == 2],x,y)
[[х == -1/2*r1 - 1/2, у == r1]]
мудрец: решить( [ 2*x - y == -1 , 2*x - y == 2],x,y)
[]
 

Во втором уравнении выше r1 означает, что существует свободный переменная, которая параметризует множество решений. Когда есть больше, чем одна свободная переменная, Sage перечисляет их r1,r2,…, rk.

 мудрец: решить([ 2*x + 3*y + 5*z == 1, 4*x + 6*y + 10*z == 2, 6*x + 9*y + 15*z == 3], x,y,z)
[[x == -5/2*r1 - 3/2*r2 + 1/2, y == r2, z == r1]]
 

solve() может быть очень медленным для больших систем уравнений. Для этих систем лучше всего использовать функции линейной алгебры, поскольку они достаточно эффективны.

Решение неравенств с несколькими переменными может привести к сложным выражениям, поскольку области, которые они определяют, сложны. В приведенном ниже примере решение Сейджа представляет собой список, содержащий точку пересечения линий, затем два луча, затем область между двумя лучами.

 мудрец: решить([ x-y >=2, x+y <=3], x,y)
[[x == (5/2), y == (1/2)], [x == -y + 3, y < (1/2)], [x == y + 2, y < ( 1/2)], [у + 2 < х, х < -у + 3, у < (1/2)]]
мудрец: решить([ 2*x-y<4, x+y>5, x-y<6], x,y)
[[-y + 5 < x, x < 1/2*y + 2, 2 < y]]
 

Упражнения:

1. Найдите все решения уравнения.
2. Найдите полный набор решений неравенства .
3. Найти все и , которые удовлетворяют и , и .
4. Используйте find_root(), чтобы найти решение уравнения на интервале .
5. Измените приведенную выше команду, чтобы find_root() нашла другое решение в том же интервале.

Исчисление

Вы должны быть знакомы с Базовая арифметика , Стандартные функции и константы и Объявление переменных

В Sage есть много команд, полезных для изучения дифференциального и интегрального исчисления. Мы начнем изучение этих команд с определения нескольких функций, которые будем использовать на протяжении всей главы. 92 мудрец: ч(-1) 2/5

Определив эти функции, мы посмотрим, как мы можем использовать Sage для вычисления предела этих функций.

Пределы

Предел as вычисляется в Sage путем ввода в Sage следующей команды:

 sage: limit(f, x=1)
е
 

То же самое можно сделать с . Для оценки предела вводим:

 sage: limit(g, x=2)
4*кос(4)
 

Функции и не так уж интересны с точки зрения пределов, так как они оба непрерывное для всех действительных чисел. Но имеет разрыв в , поэтому, чтобы исследовать, что происходит вблизи этого разрыва, мы посмотрим на предел как:

 sage: limit(h, x = 4)
Бесконечность
 

Вот пример того, почему мы должны быть осторожны при использовании систем компьютерной алгебры. Приведенный выше предел не совсем правильный. См. график вблизи этого разрыва ниже.

Когда мы имеем вертикальную асимптоту с функцией, стремящейся к положительный бесконечность, если больше и отрицательный бесконечность, если меньше . Мы можем использовать эти ограничения направления , используя Sage, чтобы подтвердить это, предоставив дополнительный аргумент dir .

 мудрец: предел (ч, х=4, дир = "право")
+Бесконечность
мудрец: предел (ч, х = 4, реж = "слева")
-Бесконечность
 

Производные

Следующее, что мы собираемся сделать, это использовать Sage для вычисления производных функций, которые мы определили ранее. Например, для вычисления , , и мы будем использовать команду производная(). 92

Первый аргумент — это функция, которую вы хотите дифференцировать, а второй аргумент — это переменная, по которой вы хотите провести дифференцирование. Например, если я укажу другую переменную, Sage будет поддерживать константу и брать производную по этой переменной.

 мудрец: у = вар('у')
шалфей: производная (f, y)
х |--> 0
шалфей: производная (г, у)
х |--> 0
шалфей: производная (ч, у)
х |--> 0
 

Команда производная() возвращает другую функцию, которую можно вычислить так же, как и любую другую функцию. 9х == 0] мудрец: решить( hp(x) == 0, x) [x == -3*sqrt(2) + 4, x == 3*sqrt(2) + 4] мудрец: решить( gp(x) == 0, x) [х == 0, х == потому что (2 * х) / грех (2 * х)]

Построение прямой касательной к нашим функциям в точке является важным вычислением, которое легко выполняется в Sage. Например, следующая команда вычислит касательную к в точке .

 мудрец: T_f = fp(0)*( x - 0 ) + f(0)
мудрец: T_f
Икс
 

То же самое можно сделать для и .

 мудрец: T_g = gp(0)*( x - 0 ) + g(0)
мудрец: T_g
0
мудрец: T_h = hp(0)*(x - 0) + h(0)
мудрец: T_h
-1/8*х + 1/2
 92)
мудрец: интеграл (у, х)
x |--> 1/2*sqrt(pi)*erf(x)
 

Мы также можем вычислить определенный интеграл для функций, которые мы определили ранее. Это делается путем указания пределов интегрирования в качестве дополнительных аргументов.

 мудрец: интеграл(f, x,0,1)
х |--> 1
мудрец: интеграл (г, х, 0,1)
х |--> 1/4*sin(2) + 1/2*cos(2)
мудрец: интеграл (ч, х, 0,1)
х |--> 18*log(3) - 18*log(4) + 11/2
 

В каждом из приведенных выше случаев Sage возвращает в качестве результата функцию . Каждая из этих функций является постоянной функцией, чего и следовало ожидать. Как указывалось ранее, Sage вернет выражение, которое сохраняет наибольшую точность, и не будет использовать десятичные дроби, если это не указано. Быстрый способ сообщить Sage, что требуется аппроксимация, состоит в том, чтобы объединить команду интегрировать() с n(), командой численной аппроксимации.

 мудрец: n(интеграл(f,x,0,1))
1.00000000000000
мудрец: n (интеграл (g, x, 0,1))
0,0192509384328492
мудрец: n (интеграл (h, x, 0,1))
0,321722695867944
 

Упражнения:

1. Используйте Sage для вычисления следующих пределов:
2. Используйте Sage для вычисления следующих производных по указанным переменным:
   2. (не забудьте определить «t«)
3. Используйте Sage для вычисления следующих интегралов:

Рисование

2D-графика

Вы должны быть знакомы с Стандартные функции и константы и Решение уравнений и неравенств

У Sage есть много способов визуализировать математику, с которой мы работаем. В этом разделе мы быстро познакомим вас с некоторыми основными командами, используемыми при построении функций и работе с графикой.

Чтобы построить базовый график от до, мы будем использовать команду plot().

 мудрец: f(x) = sin(x)
мудрец: p = plot(f(x), (x, -pi/2, pi/2))
мудрец: p.show()
 

По умолчанию созданный график будет довольно простым. Чтобы добавить метки осей и сделать нашу линию на графике фиолетовой, мы можем изменить атрибут графика, добавление параметров axes_labels и цвета.

 мудрец: p = plot(f(x), (x,-pi/2, pi/2), axes_labels=['x','sin(x)'], color='purple')
мудрец: p.show()
 

Параметр color принимает строковые обозначения цвета («фиолетовый», «зеленый», «красный», «черный» и т. д.), триплеты RGB, такие как (.25,.10,1), или HTML шестнадцатеричный тройной стиль, такой как #ff00aa.

Мы можем изменить стиль линии, будь то сплошная или пунктирная, а также ее толщину, используя параметры стиля линии и толщины.

 sage: p = plot(f(x), (x,-pi/2, pi/2), стиль линии='--', толщина=3)
мудрец: p. show()
 

Мы можем отобразить графики двух функций на одних и тех же осях, сложив графики вместе.

 мудрец: f(x) = sin(x)
мудрец: g(x) = cos(x)
мудрец: p = plot(f(x),(x,-pi/2,pi/2), color='black')
мудрец: q = plot(g(x), (x,-pi/2, pi/2), color='красный')
мудрец: г = р + д
мудрец: р.шоу()
 

Чтобы связать наши команды построения графиков с имеющимся у нас материалом. узнали ранее, воспользуемся командой find_root(), чтобы найти точка, где и пересекаются. Затем мы добавим эту точку на график и пометим ее.

 мудрец: find_root( sin(x) == cos(x),-pi/2, pi/2 )
0,78539816339744839
мудрец: P = точка ([(0,78539816339744839, sin(0,78539816339744839))] )
мудрец: T = текст ("(0,79,0,71)", (0,78539816339744839, sin(0,78539816339744839) + .10))
мудрец: s = P + r + T
мудрец: s.show()
 

Вертикальные асимптоты этой рациональной функции заставляют Sage корректировать соотношение сторон графика для отображения довольно больших значений вблизи и . Это запутывает большинство функций этой функции так, как мы, возможно, не предполагали. Чтобы исправить это, мы можем явно настроить вертикальные и горизонтальные пределы нашего графика

 sage: p.show(xmin=-2, xmax=4, ymin=-20, ymax=20)
 

Это, по мнению автора, гораздо приятнее отображает особенности данной функции.

Sage может обрабатывать параметрические графики с помощью команды parametric_plot(). Ниже показан простой круг радиуса 3.

 sage: t = var('t')
мудрец: p = parametric_plot([3*cos(t), 3*sin(t)], (t, 0, 2*pi))
мудрец: p.show()
 

Выбор соотношения сторон по умолчанию делает график выше явно «не обведите лайк». Мы можем настроить это, используя аспект_ратио вариант.

 мудрец: p.show (aspect_ratio = 1)
 

Различные команды построения графика принимают многие из тех же параметров, что и сюжет. Следующее генерирует кривую Лиссажу с толстая красная пунктирная линия.

 мудрец: p = parametric_plot( [sin(3*t), sin(2*t)], (t, 0, 3*pi), толщина=2, цвет='красный', linestyle="--" )
мудрец: p. show()
 

Полярные графики можно построить с помощью команды polar_plot().

 мудрец: тета = вар("тета")
мудрец: г(тета) = грех(4*тета)
мудрец: p = polar_plot((r(тета)), (тета, 0, 2*пи))
мудрец: p.show()
 

И, наконец, Sage может строить графики для функций, которые определены неявно. Например, чтобы отобразить все точки, удовлетворяющие уравнению, мы вводим следующее: 93 — 1, (х,-10,10),(у,-10,10))

Упражнения:

1. Постройте график, используя толстую красную линию.
2. Постройте график на том же интервале, используя толстую синюю линию.
3. Постройте два приведенных выше графика на одном наборе осей.
4. Постройте график регулировки диапазона так, чтобы только .
5. Используйте команды этого раздела, чтобы создать следующее изображение:

3D-графика

Создание 3D-графиков можно выполнить с помощью команды plot3d() 92 мудрец: p = plot3d(f(x,y), (x,-10,10), (y,-10,10)) мудрец: p.