Калькулятор системы линейных уравнений методом гаусса: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса

Калькулятор исключения Гаусса

  Учебники по алгебре!
   
 
года.
 
Вторник, 20 декабря
 
   
Дом
Вычисления с отрицательными числами
Решение линейных уравнений
Системы линейных уравнений
Решение линейных уравнений графически
Алгебра Выражения
Вычисление выражений и решение уравнений
Дробные правила
Факторинг квадратных трехчленов
Умножение и деление дробей
Деление десятичных дробей на целые числа
Сложение и вычитание радикалов
Вычитание дробей
Факторизация полиномов по группировке
Наклоны перпендикулярных линий
Линейные уравнения
Корни — Радикалы 1
График линии
Сумма корней квадратного числа
Написание линейных уравнений с использованием наклона и точки
Факторинг трехчленов со старшим коэффициентом 1
Написание линейных уравнений с использованием наклона и точки
Упрощение выражений с отрицательными показателями
Решение уравнений 3
Решение квадратных уравнений
Родительские и семейные графики
Сбор похожих терминов
-й Корень
Степень частного свойства показателей
Сложение и вычитание дробей
Проценты
Решение линейных систем уравнений методом исключения
Квадратичная формула
Дроби и смешанные числа
Решение рациональных уравнений
Умножение специальных биномов
Округление чисел
Факторинг по группам
Полярная форма комплексного числа
Решение квадратных уравнений
Упрощение сложных дробей
Алгебра
Общие журналы
Операции с числами со знаком
Умножение дробей в общем
Делящие многочлены
Полиномы
Высшие степени и переменные показатели
Решение квадратных неравенств с помощью графика знаков
Написание рационального выражения в минимальных терминах
Решение квадратных неравенств с помощью графика знаков
Решение линейных уравнений
Квадрат бинома
Свойства отрицательных показателей
Обратные функции
дроби
Вращение эллипса
Умножение чисел
Линейные уравнения
Решение уравнений с одним логарифмическим членом
Объединение операций
Эллипс
Прямые линии
Графики неравенств с двумя переменными
Решение тригонометрических уравнений
Сложение и вычитание дробей
Простые трехчлены как произведения двучленов
Соотношения и пропорции
Решение уравнений
Умножение и деление дробей 2
Рациональные числа
Разность двух квадратов
Факторизация полиномов по группировке
Решение уравнений, содержащих рациональные выражения
Решение квадратных уравнений
Деление и вычитание рациональных выражений
Квадратные корни и действительные числа
Порядок действий
Решение нелинейных уравнений подстановкой
Формулы расстояния и средней точки
Линейные уравнения
Графики с использованием точек пересечения x и y
Свойства показателей степени
Решение квадратных уравнений
Решение одношаговых уравнений с использованием алгебры
Относительно простые числа
Решение квадратного неравенства двумя решениями
Квадратика
Операции над радикалами
Факторизация разности двух квадратов
Прямые линии
Решение квадратных уравнений методом факторинга
Графики логарифмических функций
Упрощение выражений, включающих переменные
Сложение целых чисел
Десятичные числа
Факторинг полностью общих квадратных трехчленов
Использование шаблонов для умножения двух двучленов
Сложение и вычитание рациональных выражений с отличающимися знаменателями
Рациональные показатели
Горизонтальные и вертикальные линии
   
  • Expression
  • Equation
  • Inequality
  • Contact us
  • Simplify
  • Factor
  • Expand
  • GCF
  • LCM
  • Solve
  • Graph
  • System
  • Решение
  • График
  • Система
  • Математический решатель на вашем сайте

Наших пользователей:

Ваша программа спасла мою оценку в этом семестре. Это не только помогло мне с домашним заданием, но и научило решать проблемы.
Пэм Маррис, Техас

Ух ты! Я бы хотел, чтобы у меня был Алгебратор, когда я впервые начал изучать алгебру. Я купил его для моего класса алгебры колледжа, и я люблю его. Спасибо Спасибо!!
BM, Вермонт

Если кому-то нужна помощь по алгебре, я настоятельно рекомендую «Алгебратор». Мой сын использовал его, и он показал огромные улучшения в этом вопросе.
Лесли Смит, Массачусетс


Студенты, борющиеся со всевозможными задачами по алгебре, обнаруживают, что наше программное обеспечение спасает им жизнь. Вот поисковые фразы, которые сегодняшние поисковики использовали, чтобы найти наш сайт. Сможете ли вы найти среди них свою?


Поисковые фразы, использованные 12 июля 2011 г.:
  • формулированные задачи по тригонометрии с решением
  • математических листов по Цельсию
  • бесплатный онлайн калькулятор упрощения
  • сделай за меня алгебру
  • бесплатная онлайн-помощь по математическим задачам
  • графическое изображение гиперболы на графическом калькуляторе
  • шестиклассник сдал тестирование
  • программное обеспечение для решения математических задач
  • вычитание отрицательных десятичных знаков
  • самых сложных математических вопросов
  • задач по алгебре с решениями для 10 класса
  • преобразовать число двоичной дроби в шестнадцатеричное из ti 89
  • самых сложных уравнений
  • найти наклон квадратичной формулы
  • решить метод сложения линейных уравнений бесплатный калькулятор
  • решение одновременных уравнений
  • моном ответ 250
  • бесплатных онлайн игр с целыми числами
  • задач на наклонную историю 91,5
  • преобразование десятичного числа во время
  • Vocab Workbook ответы блок 11
  • как решить систему третьего порядка, используя систему первого порядка
  • фактор TI-83 Плюс
  • факторные рабочие листы ks2
  • распечатанный лист с домашним заданием для моих учеников
  • нелинейное уравнение Matlab
  • как сделать обратный лог на ти-89
  • NCERT рабочий лист по математике для 8 std
  • Рабочая тетрадь Макдугала Литтела по алгебре II
  • онлайн-калькулятор поиска корней многочленов
  • калькулятор факторизации квадратичных уравнений
  • бесплатный учебник prentice hall ответы
  • десятичная дробь
  • факторинг в четвертом классе
  • Холт Математика главы 9-6 7 класс
  • как вычислить дроби n-го члена
  • как написать уравнение линейной функции в стандартной форме
  • «графическая рабочая тетрадь»
  • мне нужна помощь с домашним заданием по алгебре 1
  • помогите решить функцию
  • вычисляет a, который содержит квадрат единицы измерения с точностью до 15 знаков после запятой
  • ответов на рабочие листы glencoe с вероятностью
  • игр для изучения квадратных корней
  • нахождение среднего значения с отсутствующими числами + рабочий лист
  • решение многочлена vb третьего класса
  • вычисление обратного квадратного корня
  • помогите мне решить графовое линейное уравнение бесплатно
  • правила умножения деления сложения вычитания дробей
  • разложение сумм и разностей кубов рабочий лист
  • пример решения математической задачи возраст квадратичный
  • решатель полиномиальных задач
  • пример перестановки комбинации старшая школа
  • Почему важно упрощать подкоренные выражения перед добавлением
  • pi Математические стихи
  • математические задачки для чайников
  • применение алгебры
  • умножение сложных трехчленных корней
  • графический вычислитель
  • блиц-тест банка предварительных вычислений
  • добавление рабочих листов с неправильными дробями
  • Калькулятор одновременных уравнений с тремя неизвестными
  • игра перестановка формул
  • калькулятор формулы уклона
  • Ответы на тест по главе 9 для Prentice Hall, Inc химия
  • деление дробей с показателями
  • пошаговые инструкции по делению
  • построение гиперболы
  • бумага для догадок для viii
  • решение уравнений в шестой степени
  • основные математические задачи преобразования
  • как решить дробь с переменной для детей
  • бесплатный тестовый лист по математике для начальной школы 1
  • образцы работ для 8 класса
  • Предварительное исчисление ЭОС
  • Калькулятор для сложения и вычитания полиномов, рабочие листы
  • калькулятор факторизации суммы или разности двух кубов
  • Как сравнить десятичную дробь и дробь от наибольшей до наименьшей?
  • чисел ремикса по математике
  • бесплатных рабочих листов Огайо для третьего класса
  • программы по алгебре
  • 2 неизвестное решение квадратного уравнения
  • MATLAB линейные уравнения с различными переменными
  • бесплатное решение задач по алгебре
  • рабочих листов по египетской системе счисления для 3-х классов
  • Java-вычисления, когда пользователь вводит более одного числа
  • онлайн графический калькулятор полиномиальные и рациональные функции
  • «Алгебра колледжа CLEP» + БЕСПЛАТНО
Предыдущий Далее
Авторские права © 2005-2022

Решающие системы с исключением Гаусса · Предварительное исчисление

Решающие системы с исключением Гаусса · Предварительное исчисление

В этом разделе вы:

  • Напишите расширенную матрицу системы уравнений.
  • Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.
  • Выполнение операций со строками над матрицей.
  • Решите систему линейных уравнений с помощью матриц.

Карл Фридрих Гаусс жил в конце 18 века и начале 19 века, но до сих пор считается одним из самых плодовитых математиков в истории. Его вклад в математику и физику охватывает такие области, как алгебра, теория чисел, анализ, дифференциальная геометрия, астрономия и оптика, среди прочих. Его открытия, касающиеся теории матриц, изменили то, как математики работали последние два столетия.

Впервые мы столкнулись с методом исключения Гаусса в книге «Системы линейных уравнений: две переменные». В этом разделе мы вернемся к этой технике решения систем, на этот раз с использованием матриц.

Написание расширенной матрицы системы уравнений

Матрица может служить устройством для представления и решения системы уравнений. Чтобы выразить систему в матричной форме, мы извлекаем коэффициенты переменных и констант, и они становятся элементами матрицы. Мы используем вертикальную линию, чтобы отделить записи коэффициентов от констант, по существу заменяя знаки равенства. Когда система записывается в такой форме, мы называем ее дополненная матрица .

Например, рассмотрим следующее 2 × 2 

система уравнений.

3x+4y=74x−2y=5

Мы можем записать эту систему в виде расширенной матрицы:

[344−2  \| 75]

Мы также можем написать матрицу, содержащую только коэффициенты. Это называется матрицей коэффициентов .

[344−2]

Три на три система уравнений , такая как

3x−y−z=0        x+y=5     2x−3z=2 907:35

имеет матрицу коэффициентов

[3−1−111020−3]

и представлен расширенной матрицей

[3−1−111020−3  \| 052]

Обратите внимание, что матрица написана таким образом, что переменные располагаются в своих собственных столбцах: x — термины идут в первом столбце, y — термины во втором столбце и z — термины в третьем столбце. Очень важно, чтобы каждое уравнение было записано в стандартной форме ax+by+cz=d 

, чтобы переменные совпали. Когда в уравнении отсутствует переменный член, коэффициент равен 0,9.07:35

Учитывая систему уравнений, напишите расширенную матрицу.

  1. Запишите коэффициенты x -членов в виде чисел в первом столбце.
  2. Запишите коэффициенты y -членов в виде чисел во втором столбце.
  3. Если имеется z -членов, запишите коэффициенты в виде чисел в третьем столбце.
  4. Нарисуйте вертикальную линию и запишите константы справа от линии.

Запись расширенной матрицы для системы уравнений

Запись расширенной матрицы для заданной системы уравнений.

   x+2y-z=3 2x-y+2z=6 x-3y+3z=4

Расширенная матрица отображает коэффициенты переменных и дополнительный столбец для констант.

[12−12−121−33  \| 364]

Напишите расширенную матрицу данной системы уравнений.

4x−3y=113x+2y=4

[4−33  2\|11  4]

Написание системы уравнений из расширенной матрицы

Мы можем использовать расширенные матрицы, чтобы помочь нам решать системы уравнений, потому что они упрощают операции, когда системы не перегружены переменными. Однако важно понимать, как переключаться между форматами, чтобы сделать поиск решений более плавным и интуитивно понятным. Здесь мы будем использовать информацию в расширенной матрице, чтобы написать систему уравнений в стандартной форме.

Написание системы уравнений из формы расширенной матрицы

Найдите систему уравнений из расширенной матрицы.

[1−3−52−5−4−354  \| −256]

Когда столбцы представляют переменные x, 

y, 

и z,

[1−3−52−5−4−354  \| −256]→       x−3y−5z=−2    2x−5y−4z=5−3x+5y+4z=6

Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.

[1−1  12−1  30   1  1   \| 5 1 — 9]

x — y+z = 52x — y+3z = 1 y+z = −9

Выполнение операций со строками над матрицей

Теперь, когда мы можем записывать системы уравнений в расширенной матричной форме, мы рассмотрим различные операции со строками, которые можно выполнять над матрицей, такие как сложение, умножение на константу и перестановка строк.

Выполнение операций со строками над матрицей — это метод, который мы используем для решения системы уравнений. Чтобы решить систему уравнений, мы хотим преобразовать матрицу в строк-ступенчатую форму , в котором есть единицы по главной диагонали от верхнего левого угла до нижнего правого угла и нули в каждой позиции ниже главной диагонали, как показано.

Форма рядного эшелона[1ab01d001]

Мы используем операции со строками, соответствующие операциям с уравнениями, чтобы получить новую матрицу, эквивалентную по строкам в более простой форме. Вот рекомендации по получению формы ряд-эшелон.

  1. В любой ненулевой строке первое ненулевое число равно 1. Оно называется ведущий 1.
  2. Все строки со всеми нулями размещаются внизу матрицы.
  3. Любой интерлиньяж 1 находится ниже и правее предыдущего интерлиньяжа 1.
  4. В любом столбце, содержащем ведущую единицу, во всех остальных позициях столбца есть нули.

Чтобы решить систему уравнений, мы можем выполнить следующие операции со строками, чтобы преобразовать матрицу коэффициентов в форму ступенчатой ​​строки и выполнить обратную подстановку, чтобы найти решение.

  1. Поменять местами ряды. (Обозначение: Ри ↔  Rj

    )

  2. Умножить строку на константу. (Обозначение: CRi

    )

  3. Добавить произведение строки, умноженной на константу, к другой строке. (Обозначение: Ri+cRj)

Каждая из операций строки соответствует операциям, которые мы уже изучили для решения систем уравнений с тремя переменными. С этими операциями есть несколько ключевых ходов, которые быстро достигнут цели записи матрицы в форме строки-эшелона. Чтобы получить матрицу в форме строки-эшелона для поиска решений, мы используем метод исключения Гаусса, который использует операции со строками для получения 1 в качестве первой записи, чтобы строка 1 могла использоваться для преобразования оставшихся строк. 907:35

Исключение по Гауссу

Метод исключения по Гауссу относится к стратегии, используемой для получения ступенчато-строковой формы матрицы. Цель состоит в том, чтобы написать матрицу  A 

с числом 1 в качестве записи вниз по главной диагонали и со всеми нулями ниже.

a = [A11A12A13A21A22A23A31A32A33] → после гауссовской элиминации = [1 B12 B130 1 B230 0 1]

Первый шаг гауссовой стратегии включает в себя 1 в качестве первой записи, так что строка 1 может быть использована для изменения ROWS Rows для изменения Rows для изменения RWS для изменения ROW ниже. 907:35

При заданной расширенной матрице выполните операции над строками, чтобы получить эшелонированную форму.

  1. В первом уравнении старший коэффициент должен быть равен 1. При необходимости поменяйте местами строки или умножьте на константу.
  2. Используйте операции со строками, чтобы получить нули в первом столбце после первой записи 1.
  3. Используйте операции со строками, чтобы получить 1 в строке 2, столбце 2.
  4. Используйте операции со строками, чтобы получить нули вниз по столбцу 2, под записью 1.
  5. Используйте операции со строками, чтобы получить 1 в строке 3, столбце 3.
  6. Продолжайте этот процесс для всех строк, пока не будет 1 в каждом элементе вниз по главной диагонали, а ниже не останутся только нули.
  7. Если какие-либо строки содержат все нули, поместите их внизу.

Решение 2×2 Система методом исключения Гаусса

Решите данную систему методом исключения Гаусса.

2x+3y=6    x−y=12

Сначала запишем это как расширенную матрицу.

[231−1  \| 612]

Нам нужна 1 в строке 1, столбце 1. Этого можно добиться, поменяв местами строку 1 и строку 2.

R1↔R2→[1−123\|126]

первая запись в строке 1, столбце 1. Теперь давайте получим 0 в строке 2, столбце 1. Этого можно добиться, умножив строку 1 на  −2,

, а затем прибавив результат к строке 2.

−2R1+R2 =R2→[1−105\|125]

Остался только один шаг, чтобы умножить строку 2 на 15.

15R2=R2→[1−101\|121]

Использовать обратную замену. Вторая строка матрицы представляет  y=1.

Подставьте обратно y=1 

в ​​первое уравнение.

x−(1)=12         x=32

Решением является точка (32,1).

Решите данную систему методом исключения Гаусса.

4x+3y=11 x−3y=−1

(2, 1)

Использование исключения Гаусса для решения системы уравнений

Использование исключения Гаусса для решения заданного 2 × 2 

система уравнений .

  2x+y=14x+2y=6

Запишите систему в виде расширенной матрицы .

[2142  \| 16]

Получите 1 в строке 1 столбца 1. Этого можно добиться, умножив первую строку на 12.

12R1=R1→[11242  \| 126] ​​

Далее нам нужен 0 в строке 2, столбце 1. Умножьте строку 1 на −4 

и добавьте строку 1 ко строке 2.

−4R1+R2=R2→[11200  \| 124]

Вторая строка представляет уравнение 0=4.

Следовательно, система несовместна и не имеет решения.

Решение зависимой системы

Решение системы уравнений.

3x+4y=126x+8y=24

Выполните операций со строками над расширенной матрицей, чтобы попытаться получить эшелонированную форму строк .

A=[3468\|1224]

−12R2+R1=R1→[0068\| 024]R1↔R2→[6800\|24   0]

Матрица заканчивается всеми нулями в последней строке: 0y=0.

Таким образом, существует бесконечное число решений и система классифицируется как зависимая. Чтобы найти общее решение, вернитесь к одному из исходных уравнений и найдите  y.

3x+4y=12         4y=12−3x           y=3−34x

Таким образом, решение этой системы есть (x,3−34x).

Выполнение операций над строками над расширенной матрицей 3×3 для получения формы строк-эшелонов

Выполнение операций над строками данной матрицы для получения формы строк-эшелонов.

[1−342−56−334  \| 366]

В первой строке уже есть 1 в строке 1, столбце 1. Следующий шаг — умножить строку 1 на  −2 

и прибавить к строке 2. Затем заменить строку 2 результатом.

−2R1+R2=R2→[1−3401−2−334\|306]

Далее получаем ноль в строке 3 столбца 1.

3R1+R3=R3→[1−3401−20− 616\|3015]

Далее получаем ноль в строке 3, столбце 2.

6R2+R3=R3→[1−3401−2004\|3015]

Последний шаг – получение единицы в строке 3 , столбец 3.

14R3=R3→[1−3401−2001  \| 3−6154]

Запишите систему уравнений в строчно-кулисной форме.

  x−2y+3z=9     −x+3y=−42x−5y+5z=17

[  1−52  52​  0  15 0 0  1 \|17292]

Решение системы линейных уравнений с использованием матриц

Мы увидели, как написать систему уравнений с расширенной матрицей , а затем, как использовать операции со строками и обратную подстановку для получения ступенчато-строковой формы . Теперь мы сделаем еще один шаг вперед, чтобы решить систему линейных уравнений 3 на 3. Общая идея состоит в том, чтобы исключить все переменные, кроме одной, с помощью операций со строками, а затем выполнить обратную замену для решения других переменных. 907:35

Решение системы линейных уравнений с помощью матриц

Решение системы линейных уравнений с помощью матриц.

x — y+z = 82x+3y — z = −23x — 2y −9z = 9

Сначала пишем дополненную матрицу.

[1−1123−13−2−9   \| 8−29]

Далее мы выполняем операции над строками, чтобы получить форму строки-эшелона.

−2R1+R2=R2→[1−1105−33−2−9\|8−189]−3R1+R3=R3→[1−1105−301−12\|8−18−15]

Самый простой способ получить 1 в строке 2 столбца 1 — поменять местами  R2 

и  R3.

Развязка R2 и R3→[1−11801−12−1505−3−18]

Затем

−5R2+R3=R3→[1−1101−120057\|8−1557]−157R3=R3→[ 1−1101−12001\|8−151]

Последняя матрица представляет эквивалентную систему.

 x−y+z=8   y−12z=−15             z=1

Используя обратную подстановку, мы получаем решение как (4,−3,1).

Решение зависимой системы линейных уравнений с помощью матриц

Решите следующую систему линейных уравнений с помощью матриц.

−x−2y+z=−1 2x+3y=2    y−2z=0    

Запишите расширенную матрицу.

[−1−2123001−2  \| −120]

Сначала умножьте строку 1 на  −1 

, чтобы получить 1 в строке 1, столбце 1. Затем выполните операций со строками , чтобы получить форму строки-эшелона.

−R1→[12−123001−2  \| 120]

R2↔R3→[12−101−2230  \|102]

−2R1+R3=R3→[12−101−20−12\|100]

R2+R3=R3→[12− 101−2000\|210]

Последняя матрица представляет следующую систему.

 x+2y−z=1        y−2z=0               0=0

Из тождества  0=0 

мы видим, что это зависимая система с бесконечным числом решений. Затем находим универсальное решение. Решив второе уравнение для  y 

и подставив его в первое уравнение, мы можем решить для  z 

через x.

     x+2y−z=1                            y=2zx+2(2z)−z=1            x+3z=1                             0735

во второе уравнение, чтобы найти  y 

через x.

y — 2z = 0 z = 1 — x3 y — 2 (1 — x3) = 0 y = 2–2×3

Общее решение составляет (x, 2 — 2×3,1 — x3).

Решите систему с помощью матриц.

x+4y−z=42x+5y+8z=15x+3y−3z=1

(1,  1,  1)

Можно ли решить любую систему линейных уравнений методом исключения Гаусса?

Да, систему линейных уравнений любого размера можно решить методом исключения Гаусса.

Дана система уравнений. Решите ее с помощью матриц с помощью калькулятора.

  1. Сохранить расширенную матрицу как матричную переменную [А], [Б], [С], ….
  2. Используйте функцию ref( в калькуляторе, вызывая каждую матричную переменную по мере необходимости.

Решение систем уравнений с матрицами с помощью калькулятора

Решите систему уравнений.

 5x+3y+9z=−1−2x+3y−z=−2−x−4y+5z=1    

Запишите расширенную матрицу для системы уравнений.

[539−23−1−1−45  \| −1−2−1]

На странице матрицы калькулятора введите расширенную матрицу выше в качестве матричной переменной [A].

[A]=[539−1−23−1−2−1−451]

Используйте функцию ref( в калькуляторе, вызывая матричную переменную [A].

ref([A] )

Оценка.

[1 35 95150 1 1321–470 0 1-24187] → x+35y+95Z = −15 y+1321z = −47 z = −24187

Используя обратную замену, решение  (61187,−92187,−24187).

Применение матриц 2 × 2 к финансам

Кэролайн инвестирует в общей сложности 12 000 долларов США в две муниципальные облигации, одна из которых приносит 10,5% годовых, а другая — 12%. Годовой процент, полученный по двум инвестициям в прошлом году, составил 1335 долларов. Сколько было вложено по каждой ставке?

У нас есть система двух уравнений с двумя переменными. Пусть x= 

сумма, инвестированная под 10,5% годовых, и  y= 

сумма инвестирована под 12% годовых.

               x+y=12 0000,105x+0,12y=1,335

В качестве матрицы мы имеем

[110.1050.12  \| 12 0001 335]

Умножьте строку 1 на  −0,105 

и прибавьте результат к строке 2.

[1100,015  \| 12,00075]

Тогда

0,015y=75         y=5000

Итак 12000−5000=7000.

Таким образом, 5000 долларов были вложены под 12% годовых, а 7000 долларов — под 10,5%.

Применение матриц 3 × 3 к финансам

Ava инвестирует в общей сложности 10 000 долларов США в три счета, один из которых выплачивает 5% годовых, другой — 8% годовых, а третий — 9% годовых. Годовой процент, полученный по трем инвестициям в прошлом году, составил 770 долларов. Сумма, вложенная под 9%, вдвое превышала сумму, вложенную под 5%. Сколько было вложено по каждой ставке?

У нас есть система из трех уравнений с тремя переменными. Пусть x 

будет суммой, инвестированной под 5% годовых, пусть y 

будет суммой, инвестированной под 8% годовых, и пусть z 

будет сумма инвестирования под 9% годовых. Таким образом,

x+y+z = 10,0000,05x+0,08y+0,09Z = 770 2x -Z = 0

В качестве матрицы мы имеем

[1110.050.080.0920–1 \ | 10,0007700]

Теперь мы выполняем исключение Гаусса, чтобы получить форму строки-эшелона.

−0.05r1+r2 = r2 → [11100.030.0420–1 \ | 10 0002700] −2r1+r3 = r3 → [11100.030.040–2–3 \ | 10 000270–20 000] 10,03r2 = r2 → [01101430−2−3\|10 0009 000−20 000]            2R2+R3=R3→[111014300−13\|10,0009,000−2,000]

Третья строка говорит нам −13z=−2000;

, таким образом z=6000.

Вторая строка говорит нам y+43z=9000.

Подставляя  z=6000,

, получаем

y+43(6000)=9000y+8000=9000y=1000

Первая строка говорит нам x+y+z=10000.

замены y = 1000

и z = 6000,

Мы получаем

x+1000+6000 = 10 000 x = 3000

. Ответ вложен 3000 долларов США, вложенные в размере 1000 долларов США, а 6000 долларов — 6 000 долларов США, и 6 000 долларов США. в 9% интерес.

Небольшая обувная компания взяла кредит в размере 1 500 000 долларов США, чтобы расширить свой ассортимент. Часть денег была взята в долг под 7%, часть – под 8%, а часть – под 10%. Сумма займа под 10% в четыре раза превышала сумму займа под 7%, а годовой процент по всем трем кредитам составлял 130 500 долларов. Используйте матрицы, чтобы найти сумму займа по каждой ставке.

150 000 долларов США под 7 %, 750 000 долларов США под 8 %, 600 000 долларов США под 10 %

Получите доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики решения систем линейных уравнений с помощью исключения Гаусса.

  • Решение системы двух уравнений с помощью расширенной матрицы
  • Решение системы трех уравнений с помощью расширенной матрицы
  • Расширенные матрицы на калькуляторе

Ключевые понятия

  • Расширенная матрица — это матрица, содержащая коэффициенты и константы системы уравнений. См. [ссылка].
  • Матрица, дополненная постоянным столбцом, может быть представлена ​​в виде исходной системы уравнений. См. [ссылка].
  • Операции со строками включают умножение строки на константу, добавление одной строки к другой строке и перестановку строк.
  • Мы можем использовать исключение Гаусса для решения системы уравнений. См. [ссылка], [ссылка] и [ссылка].
  • Операции со строками выполняются над матрицами для получения ступенчатой ​​формы. См. [ссылка].
  • Чтобы решить систему уравнений, запишите ее в расширенной матричной форме. Выполните операции со строками, чтобы получить форму строки-эшелона. Обратно заменить, чтобы найти решения. См. [ссылка] и [ссылка].
  • Калькулятор можно использовать для решения систем уравнений с использованием матриц. См. [ссылка].
  • Многие реальные проблемы можно решить с помощью расширенных матриц. См. [ссылка] и [ссылка].

Раздельные упражнения

Устный

Можно ли любую систему линейных уравнений записать в виде расширенной матрицы? Объясните, почему да или почему нет. Объясните, как записать эту расширенную матрицу.

Да. Для каждой строки коэффициенты при переменных записываются поперек соответствующей строки и ставится вертикальная черта; то константы располагаются справа от вертикальной черты. 907:35

Можно ли любую матрицу представить в виде системы линейных уравнений? Объясните, почему да или почему нет. Объясните, как записать эту систему уравнений.

Существует ли только один правильный метод использования операций со строками над матрицей? Попробуйте объяснить две разные операции со строками, которые можно использовать для решения расширенной матрицы[931−2  \| 06].

Нет, существует множество правильных методов использования строковых операций над матрицей. Возможны следующие два пути: (1) Поменять местами строки 1 и 2. Тогда R2=R2−9R1.

(2) R2=R1−9R2.

Затем разделите строку 1 на 9.

Можно ли решить матрицу, запись которой равна 0 по диагонали? Объясните, почему да или почему нет. Что бы вы сделали, чтобы исправить ситуацию?

Может ли матрица, состоящая из 0 элементов для всей строки, иметь одно решение? Объясните, почему да или почему нет.

Нет. Матрица с 0 элементами для всей строки будет иметь либо ноль, либо бесконечно много решений.

Алгебраический

Для следующих упражнений напишите расширенную матрицу для линейной системы. 907:35

8x−37y=82x+12y=3

    16y=49x−y=2

[0169−1\|42]

 3x+2y+10z=3−6x+2y+5z=13             4x+z=18

  x+5y+8z=19     12x+3y=43x+4y+9z=−7

[1581230349\|164−7]

6x+12y+16z=4  19x−5y+3z=−9             x+2y=−8

Для следующих упражнений напишите линейную систему из расширенной матрицы.

[−256−18  \| 526]

−2x+5y=56x−18y=26

[341017  \| 10439]

[320−1−94857  \| 3−18]

3x+2y=13−x−9y+4z=538x+5y+7z=80

[8291−175003  \| 433810]

[45−2015887−3  \| 122−5]

4x+5y−2z=12        y+58z=28x+7y−3z=−5

Для следующих упражнений решите систему методом исключения Гаусса.

[1000  \| 30]

[1010  \| 12]

Нет решений

[1245  \| 36]

[−124−5  \| −36]

(−1,−2)

[−2002  \| 1−1]

  2x−3y=−95x+4y=58

(6,7)

6x+2y=-43x+4y=-17

2x+3y=12 4x+y=14

(3,2)

−4x−3y=−2   3x−5y=−13

−5x+8y=3 10x+6y=5

(15,12)

   3x+4y=12−6x−8y=−24

−60x+45y=12  20x−15y=−4

(x,415(5x+1))

11x+10y=4315x+20y=65

 2x−y=23x+2y=17

(3,4)

−1,06x−2,25y=5,51−5,03x−1,08y=5,40

34x−35y=414x+23y=1

(19639,−513)

14x−23y=−112x+13y=3 907:35

[100011001  \| 314587]

(31,−42,87)

[101110011  \| 5020−90]

[123056008  \| 479]

(2140,120,98)

[−0. 10.3−0.1−0.40.20.10.60.10.7  \| 0,20,8−0,8]

 −2x+3y−2z=3      4x+2y−z=9     4x−8y+2z=−6

(1813,1513,−1513)

      x+y-4z=-4  5x-3y-2z=0  2x+6y+7z=30

      2x+3y+2z=1  −4x−6y−4z=−2 10x+15y+10z=5

(x,y,12(1−2x−3y))

    x+2y−z=1−x−2y+2z=−23x+6y−3z=5 907:35

     x+2y−z=1−x−2y+2z=−2 3x+6y−3z=3

(x,−x2,−1)

    x+y=2   x+z=1−y−z=−3

x+y+z=100    x+2z=125−y+2z=25

(125,−25,0)

14x−23z=−1215x+13y=4715y−13z=29

−12x+12y+17z=−5314   12x−12y+14z=3    14x+15y+13z=2315

(8,1,−2)

−12x−13y+14z=−296   15x+16y−17z=431210−18x+19y+110z=−4945

Удлинители

В следующих упражнениях используйте метод исключения Гаусса для решения системы. 907:35

x-17+y-28+z-34=0                    x+y+z=6     x+23+2y+z-33=5

(1,2,3)

x−14−y+14+3z=−1  x+52+y+74−z=4         x+y−z−22=1

      x−34−y−13+2z=−1x+52+y+52+z+52=8                     x+y+z=1

(x,3128−3×4,128(−7x−3))

x−310+y+32−2z=3 x+54−y−18+z=32x−14+y+42+3z=32

     x−34−y−13+2z=−1x+52+y+52+z+52=7                            x+y+z=1

Решений не существует.

Реальные приложения

Для следующих упражнений создайте расширенную матрицу, описывающую ситуацию, и найдите желаемое решение.

Каждый день магазин капкейков продает 5000 капкейков с шоколадным и ванильным вкусом. Если шоколадный вкус в 3 раза популярнее ванильного, сколько каждого кекса продается в день?

В конкурирующем магазине кексов ежедневно продаются кексы на 4520 долларов. Шоколадные кексы стоят 2,25 доллара, а кексы «Красный бархат» — 1,75 доллара. Если общее количество кексов, продаваемых в день, равно 2200, сколько каждого вкуса продается каждый день?

860 красный бархат, 1340 шоколадный

Вы вложили 10 000 долларов США в два счета: один с простой процентной ставкой 3%, другой с процентной ставкой 2,5%. Если ваш общий процентный платеж через год составил 283,50 доллара, сколько было на каждом счете по прошествии года?

Вы вложили 2300 долларов США на счет 1 и 2700 долларов США на счет 2. Если общая сумма процентов через год составляет 254 доллара США, а на счете 2 процентная ставка в 1,5 раза выше, чем на счете 1, каковы процентные ставки? Предположим, простые процентные ставки.

4% на счет 1, 6% на счет 2

Bikes’R’Us производит велосипеды, которые продаются по цене 250 долларов. Это обходится производителю в 180 долларов за велосипед плюс первоначальный взнос в размере 3500 долларов. Через какое количество проданных велосипедов производитель станет безубыточным?

Крупный магазин бытовой техники рассматривает возможность покупки пылесосов у небольшого производителя. Магазин сможет приобрести пылесосы по цене 86 долларов каждый, а стоимость доставки составит 9200 долларов, независимо от того, сколько пылесосов продано. Если магазин должен начать получать прибыль после продажи 230 единиц, сколько он должен брать за пылесосы?

126 долларов

Три самых популярных вкуса мороженого — шоколадное, клубничное и ванильное, составляющие 83% вкусов, продаваемых в магазине мороженого. Если ванильное мороженое продается на 1% больше, чем клубничное, более чем в два раза, а шоколадное — на 11% больше, чем ванильное, то какую долю от общего потребления мороженого составляют ароматы ванили, шоколада и клубники?

В магазине мороженого растет спрос на три вкуса. В прошлом году банановое, тыквенное и каменистое мороженое составили 12% от общего объема продаж мороженого. В этом году те же три мороженого составили 16,9% от продаж мороженого. Продажи каменистой дороги увеличились вдвое, продажи бананов выросли на 50%, а продажи тыквы выросли на 20%. Если мороженое «Каменная дорога» имеет на один процент меньше продаж, чем банановое мороженое, выясните процент продаж каждого отдельного мороженого в прошлом году.

Банан 3%, тыква 7%, каменистая дорога 2%

Пакет ореховой смеси содержит кешью, фисташки и миндаль. Всего в пакете 1000 орехов, а миндаля на 100 меньше, чем фисташек. Орехи кешью весят 3 г, фисташки — 4 г, а миндаль — 5 г. Если мешок весит 3,7 кг, узнайте, сколько орехов каждого вида находится в мешке. 907:35

Пакет ореховой смеси содержит кешью, фисташки и миндаль. Изначально в мешке было 900 орехов. 30 % миндаля, 20 % кешью и 10 % фисташек были съедены, и теперь в мешке осталось 770 орехов. Изначально орехов кешью было на 100 штук больше, чем миндаля. Для начала подсчитайте, сколько орехов каждого типа было в пакете.

100 миндаля, 200 кешью, 600 фисташек

Глоссарий

расширенная матрица
матрица коэффициентов, присоединенная к столбцу констант, разделенному вертикальной чертой в скобках матрицы
матрица коэффициентов
матрица, содержащая только коэффициенты из системы уравнений
Исключение Гаусса
с использованием элементарных операций над строками для получения матрицы в виде эшелона строк
главная диагональ
элементов из левого верхнего угла по диагонали в правый нижний угол квадратной матрицы
рядно-эшелонная форма
после выполнения операций со строками, форма матрицы, которая содержит единицы вниз по главной диагонали и нули на каждом месте ниже диагонали
эквивалент строки
две матрицы А 

и

B 

эквивалентны по строкам, если одно может быть получено из другого путем выполнения основных операций со строками

рядные операции
добавление одной строки к другой строке, умножение строки на константу, перестановка строк и т.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *