Калькулятор сложение корней: Калькулятор корней онлайн

Снова в школу. Сложение корней

В наше время современных электронных вычислительных машин вычисление корня из числа не представляется сложной задачей. Например, √2704=52, это вам подсчитает любой калькулятор. К счастью, калькулятор есть не только в Windows, но и в обычном, даже самом простеньком, телефоне. Правда если вдруг (с малой долей вероятности, вычисление которой, между прочим, включает в себя сложение корней) вы окажитесь без доступных средств, то, увы, придется рассчитывать только на свои мозги.

Тренировка ума никогда не помещает. Особенно для тех, кто не так часто работает с цифрами, а уж тем более с корнями. Сложение и вычитание корней — хорошая разминка для скучающего ума. А еще я покажу поэтапно сложение корней. Примеры выражений могут быть следующие.

Уравнение, которое нужно упростить:

√2+3√48-4×√27+√128

Это иррациональное выражение. Для того чтобы его упростить нужно привести все подкоренные выражения к общему виду. Делаем поэтапно:

Первое число упростить уже нельзя. 2×2)

Переписываем выражение с упрощенными слагаемыми:

√2+12×√3-12×√3+8×√2

Теперь складываем числа одним и тем же подкоренным выражением. Нельзя складывать или вычитать выражения с разными подкоренными выражениями. Сложение корней требует соблюдение этого правила.

Ответ получаем следующий:

√2+12√3-12√3+8√2=9√2

√2=1×√2 — надеюсь, то, что в алгебре принято опускать подобные элементы, не станет для вас новостью.

Выражения могут быть представлены не только квадратным корнем, но так же и с кубическим или корнем n-ной степени.

Сложение и вычитание корней с разными показателями степени, но с равнозначным подкоренным выражением, происходит следующим образом:

Если мы имеем выражение вида √a+∛b+∜b, то мы можем упростить это выражение так:

∛b+∜b=12×√b4 +12×√b3

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Мы привели два подобных члена к общему показателю корня. Здесь использовалось свойство корней, которое гласит: если число степени подкоренного выражения и число показателя корня умножить на одно и то же число, то его вычисление останется неизменным.

На заметку: показатели степени складываются только при умножении.

Рассмотрим пример, когда в выражении присутствуют дроби.

5√8-4×√(1/4)+√72-4×√2

Будем решать по этапам:

5√8=5*2√2 — мы выносим из-под корня извлекаемую часть.

— 4√(1/4)=-4 √1/(√4)= — 4 *1/2= — 2

Если в тело корня представлено дробью, то часто этой дроби не измениться, если извлечь квадратный корень из делимого и делителя. В итоге мы получили описанное выше равенство.

√72-4√2=√(36×2)- 4√2=2√2

10√2+2√2-2=12√2-2

Вот и получился ответ.

Главное помнить, что из отрицательных чисел не извлекается корень с четным показателем степени. Если четной степени подкоренное выражение является отрицательным, то выражение является нерешаемым.

Сложение корней возможно только при совпадении подкоренных выражений, так как они являются подобными слагаемыми. То же самое относиться и к разности.

Сложение корней с разными числовыми показателями степени производиться посредством приведения к общей корневой степени обоих слагаемых. Это закон действует так же как приведение к общему знаменателю при сложении или вычитании дробей.

Если в подкоренном выражении имеется число, возведенное в степень, то это выражение можно упростить при условии, что между показателем корня и степени существует общий знаменатель.

Оценка квадратного корня . Математика для мам и пап: Домашка без мучений

Прежде чем знакомить ребенка с кнопкой квадратного корня на калькуляторе, интересно исследовать вместе с ним квадратные корни при помощи приближений. Втайне от ребенка наберите на калькуляторе произвольное число – скажем, 15 – и умножьте его на само себя. Покажите калькулятор с результатом на экране сыну или дочери – сможет ли ребенок определить, каким было первоначальное число? Он будет делать это методом проб и ошибок: возьмет число, возведет его в квадрат, а затем, в зависимости от того, слишком много при этом получилось или слишком мало, попробует другое. Посмотрите таким образом, какое число при возведении в квадрат дает в ответе 10, – и вашему ребенку волей-неволей придется знакомиться с числами, в которых много десятичных знаков после запятой.

Аналогичное упражнение можно сделать, если перемножить втайне от ребенка два последовательных числа, скажем, 36 и 37, и попросить его найти эти числа, показав ему результат перемножения – в данном случае 1332. Справится ваш сын или дочка с такой задачей?

Проверьте себя

46. Последовательные числа

Какие два последовательных числа при перемножении дают 4692?

Игра: квадратные корни и свечи

• Наберите на калькуляторе число 390625. Чтобы заинтересовать сына или дочь, можно рассказать какую-нибудь связанную с этим числом историю. Для начала скажите, например, что у вас есть десять невидимых ящиков, обозначенных номерами от нуля до девяти, и что во всех этих ящиках находятся разные цветные свечи. Попросите ребенка выбрать цвет. «Розовый». «Ага, это в третьем ящике», – говорите вы. Вообще-то вы говорите «В третьем» в ответ на любой названный ребенком цвет. (Введите цифру 3 на калькуляторе). «Еще какой-нибудь цвет?» «Синий». «Это в девятом, так и запишем». (Вводим 9). По мере того как ваш ребенок называет следующие цветные свечи, они, понятно, оказываются в ящиках 3, 9, 0, 6, 2 и 5 – именно в таком порядке.

• А теперь, втайне приготовившись нажать на «квадратный корень», попросите ребенка задуть свечи. При первой попытке потихоньку нажмите кнопку – 3, 9 и 0 исчезнут с экрана, оставив 625. Попросите дунуть еще раз. На этот раз исчезнет шесть. Еще раз – пропадет 2. Попросите дунуть еще один, последний, раз – особенно сильно – и незаметно перенесите палец на кнопку выключения калькулятора. Экран очистится. (Иногда у калькуляторов на солнечных батареях нет кнопки выключения. В этом случае единственный способ убрать все с экрана – полностью затемнить комнату!)

Объяснение этого фокуса заключается в необычном свойстве чисел 5, 25 и 625: когда их возводишь в квадрат, они появляются в конце получившегося числа.

Игра: «Шесть-один-шесть»

В эту игру можно играть и без калькулятора, но на последующих этапах в ней можно использовать более сложный калькулятор.

Подготовьте три карточки с числами 1, 6 и 6 (единица должна выглядеть как простая вертикальная черта). Попросите ребенка составить из этих карточек самое большое число, какое только можно. Затем, когда это будет сделано, предложите составить самое маленькое возможное число.

Вполне может быть, что ребенок предложит в качестве наибольшего числа 661, а наименьшего – 166. Бесспорно, это хорошие ответы. Но на самом деле здесь есть большой простор для творчества. Что, если перевернуть 6 вверх ногами? Она превратится в 9, и можно будет предложить в качестве наибольшего числа 991.

Этого мало. Что, если положить 1 на бок? Теперь можно наименьшим объявить число что равно 1. Или, если рассматривать 1 как минус, можно получить 9 – 9 = 0. И даже что-нибудь меньше нуля (если считать, что отрицательные числа меньше нуля), к примеру, – 99. А если вы действительно хотите стимулировать мышление ребенка и считаете, что он для этого готов, вы можете даже подкинуть ему идею степеней. 92 означает 9 ? 9, точно так же 96 означает 9 ? 9 ? 9 ? 9 ? 9 ? 9.

Следовательно, если вы хотите получить по-настоящему большое число, вы можете написать 991; это число настолько большое, что оно больше количества атомов во Вселенной. При этом минимум, который вы можете получить, равен –99, что соответствует –387 млн. Такое число заставит поволноваться любой банк.

Подробнее о степенях мы поговорим в следующей главе.

Square Root Calculator

Этот калькулятор можно использовать для нахождения приблизительного значения квадратного корня из положительного числа. Если это целое число меньше 10 триллионов, оно также будет представлять собой упрощенную форму радикала. Чтобы использовать калькулятор, введите значение и нажмите кнопку «Рассчитать».

Корень и квадратный корень

n ^th Корень числа обозначается с использованием следующих обозначений:

ⁿ √x = r

, где n — индекс, x — подкоренное число, r — корень n ^th . n ^-й -й корень числа — это число r, которое при возведении в индекс n равно x. Другими словами, мы можем переписать приведенное выше выражение как:

r ⁿ = x

Квадратный корень — это особый случай, когда n = 2, и это наиболее часто используемый корень, хотя n может быть любым целым числом. Важно отметить, что в случаях, когда n не указано, корень по соглашению считается квадратным. Для любого другого корня, например кубического корня (n = 3), будет указано n.

Например, √4, читаемый как «квадратный корень из четырех», равен ±2, поскольку (±2) ² = 4. Таким образом, процесс нахождения квадратного корня числа включает определение какое число при умножении само на себя (возведение в квадрат) дает значение под корневым символом. Обратите внимание, что квадратный корень из каждого положительного действительного числа имеет два решения: отрицательное и положительное. Это потому, что когда любое действительное число возводится в квадрат, оно положительно, поскольку положительное число, умноженное на положительное число, является положительным, а отрицательное число, умноженное на отрицательное число, также является положительным.

Упрощение квадратных корней

Упрощение квадратных корней включает в себя попытку разложить подкоренное число на произведение, включающее правильные квадраты; если это невозможно сделать, квадратный корень находится в упрощенной форме. Совершенные квадраты — это числа, имеющие целые квадратные корни. Например, 4 — идеальный квадрат, потому что его квадратный корень равен 2; 16 — полный квадрат, потому что его квадратный корень равен 4; 144 — полный квадрат, потому что его квадратный корень равен 12, и так далее. Если подкоренное число можно переписать как произведение, включающее полные квадраты, то полные квадраты можно вытащить из-под подкоренного символа, используя следующее свойство.

√a × b = √a × √b

Один из способов определить, может ли число быть переписано как произведение, включающее полный квадрат, состоит в том, чтобы определить простую факторизацию числа и идентифицировать пары простых множителей. Например:

√76 = √2 × 2 × 19 = √2 ² × 19 = 2√19

В приведенном выше примере пара двоек образует идеальный квадрат 4, поэтому его можно упростить до 2. , а поскольку 19 — простое число, радикал 2√19 уже нельзя упростить.

Сложение, вычитание, умножение и деление квадратного корня

Сложение и вычитание квадратного корня требует, чтобы подкоренные числа были одинаковыми. Это похоже на понятие общего знаменателя при сложении и вычитании дробей. Например,

√5 + √7 = √5 + √7

Дальнейшее упрощение невозможно, потому что подкоренные числа не совпадают. Дальнейшее упрощение этого выражения обычно требует использования калькулятора или компьютера. Однако, если подкоренные совпадают, просто добавьте/вычтите числа за пределами подкоренного символа:

7√5 + 12√5 — 2√5 = (7 + 12 — 2)√5 = 17√5

Умножение квадратных корней включает простое умножение значений под радикалом. Это происходит из-за следующего свойства:

√a × √b = √a × b

Например:

√5 × √7 = √5 × 7 = √35

Деление квадратного корня использует следующее property:

Таким образом, просто разделите подкоренные и упростите, если это возможно. Например:

Как и в случае умножения, если есть какие-либо числа за пределами подкоренной, просто разделите их отдельно.

Вычисление квадратного корня

Вычисление квадратного корня — утомительный процесс, который в идеале следует выполнять с помощью калькулятора. В тех случаях, когда это невозможно, используйте следующий алгоритм:

1. Определите совершенные квадраты, между которыми лежит число.
2. Разделите число на квадратный корень из одного из правильных квадратов, окружающих его.
3. Найдите среднее значение результата и квадратный корень, используемый для деления числа; результатом является первая оценка квадратного корня.
4. Используйте среднее значение, чтобы разделить число, затем найдите новое среднее значение между этим числом и предыдущим средним значением. Повторите этот процесс, каждый раз разделяя число на новое среднее значение, а затем находя среднее значение результата и предыдущее среднее значение. Каждое повторение приведет к более точной оценке квадратного корня.

Например, оценка √8:

1. 8 лежит между правильными квадратами 4 и 9.
2. Квадратный корень из 4 равен 2, а квадратный корень из 9равно 3. При выборе 3 8/3=2,667.
3. (2,667+3)/2=2,834; 2,834 ² = 8,032
4. 8/2,834=2,823; (2,834+2,823)/2=2,829; 2,829 ² =8,003

Чем больше этот процесс повторяется, тем точнее становится оценка, но в этом случае оценка отличается всего на 0,003 после всего лишь одного повторения. Просто для справки, используя калькулятор, √8 = 2,82842712475.

Квадратный корень из отрицательных чисел

Как упоминалось выше, квадратный корень из положительного действительного числа имеет два решения: отрицательное и положительное. Этот факт подразумевает, что квадратный корень из отрицательного числа не может иметь вещественного корня, поскольку квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Однако бывают случаи, когда необходимо вычислить квадратный корень из отрицательного числа, поэтому были созданы мнимые числа. Мнимое число i определяется следующим образом:

i ² = -1

i = √-1

Поскольку любое отрицательное число может быть записано как произведение этого числа и -1, следующее свойство:

√a × √b = √a × b,

можно использовать для нахождения квадратного корня из отрицательного числа следующим образом:

√-16 = √16 × (-1) = √16 × √-1 = 4i

Калькулятор квадратного корня — MathCracker.com

Инструкции: Используйте этот калькулятор квадратного корня, чтобы уменьшить и вычислить любое выражение, включающее корни/радикалы, показывая все шаги. Пожалуйста, введите выражение квадратного корня, которое вы хотите упростить.

Подробнее об этом калькуляторе квадратного корня

Этот калькулятор позволяет упростить и вычислить любое допустимое выражение квадратного корня, показывая все шаги.

Тебе следует обеспечить действительное выражение, включающее радикалы. Например, это может быть что-то вроде «sqrt(1/2 + 1/3)» или что-то в этом роде. более сложный, например ‘sqrt((1/3+1/4)/(1/3+1/5))’.

Как только вы введете правильное выражение, включающее квадратные корни, все, что вам нужно сделать, это нажать кнопку «Рассчитать», и пошаговые вычисления будут выполнены. быть предоставлены вам.

Выражения с квадратным корнем обычно можно упростить, если в них используется умножение, но часто их невозможно упростить дальше. Например, что-то вроде \(\sqrt 2 + \sqrt{3}\) нельзя упростить дальше, но для чего-то вроде \(\sqrt 2 \cdot \sqrt{8}\) мы, безусловно, можем упростить:

\[\sqrt 2 \cdot \sqrt{8} = \sqrt{2 \cdot 8}= \sqrt{16} = 4\]

Формула квадратного корня

Есть несколько правил или основных формул, необходимых для упрощения подкоренных выражений. Эти правила — все, что необходимо для уменьшения любого выражение квадратного корня, следуя приоритетам PEMDAS для операций

Правила упрощения извлечения квадратного корня

• Правило 1: Это основное правило: \(\sqrt x \cdot \sqrt{y} = \sqrt{x y}\)
• Правило 2: Следствие предыдущего правила, но полезно использовать его как отдельное правило: \(\sqrt{x \cdot y} = |x|\)
• Правило 3: Еще одно основное правило: \(\frac{\sqrt x}{\sqrt{y}] = \sqrt{\frac{x}{y}}\)

Мы могли бы добавить в список больше правил, но все остальные вытекают из этих. Когда дело доходит до правил алгебры, лучше всего иметь глубокое понимание нескольких правил, чем свободное владение многими правилами.

Как упростить квадратные корни и радикалы?

Не всегда возможно упростить квадратные корни, но часто можно сделать хоть какое-то упрощение. В общих чертах, вы будете использовать Правило 1, чтобы группировать (или дегруппировать) выражения под радикалом.

И вы будете использовать Правило 2, чтобы удалить радикалы из подходящих терминов. Вот и все, что вам нужно. Остальное практика.

Каковы шаги для упрощения квадратных корней?

• Этап 1. Определите выражение корня и оцените, есть ли у вас один или несколько корней
• Шаг 2: Если у вас более одного радикала, вы можете сгруппировать их, которые перемножаются друг с другом, используя Правило 1. Вы можете сгруппировать их под одним радикалом
• Шаг 3: Если есть разделение радикалов, можно использовать Правило 3, чтобы сгруппировать их под одним радикалом
• Шаг 4: После того, как вы воспользовались правилом 1 или 3, чтобы максимально сгруппировать радикалы, вы используете правило 2, поэтому посмотрите, какую часть выражения можно убрать из радикал

В конечном счете, игра групповая и потенциальная «отменяет» подкоренное из части выражения (если не все) в числителе на знаменатель в дроби). 92} = |1| = 1 \), по правилу 2.