Калькулятор уравнений с корнями: Решение квадратных уравнений онлайн

Экзамены, тесты по математике. Уравнения с корнями

Уважаемые школьники, выпускники, абитуриенты, этот раздел поможет подготовиться к экзаменам, тестам, внешнему независимому тестированию по математике в 2015 году. Ответы к тестам помогут Вам понять материал и методику вычислений, систематизировать и повысить накопленный уровень знаний по математике. Решение примеров будут интересны для школьников 9, 10, 11 классов, а так же их родителей.

Задача 2.34 Решите уравнение с корнями
Если уравнение имеет один корень, впишет его в ответ; если два корня — впишите их сумму.
Решение: Задано иррациональное уравнение, поэтому сначала исследуем область определения корней:
2x+5>0; x>-5/2=-2,5
x-1>0; x<1.
Общим для двух является интервал , на нем и будем искать решение.
Возносим обе части уравнения к квадрату и упрощаем


Опять получили уравнение с корнем, чтобы избавиться иррациональности подносим к квадрату

После группировки слагаемых получим квадратное уравнение
x²-372x+3620=0.
Вычисляем дискриминант
D=3722-4*3620=123904
и корни уравнения

Оба корня принадлежат ОДЗ, следовательно по условию задачи находим их сумму
362+10=372.
Ответ: 372.

Задача 2.35 Решите уравнение
Если уравнение имеет один корень, впишет его после слова «Ответ», если несколько корней, впишет их сумму.
Решение: Имеем уравнение с корнем, поэтому выписываем ОДЗ из условия ограничения на подкорнневую функцию
x²>7/8.
Далее подносим к квадрату обе части и сводим к квадратному уравнению
8x²-7=9x²-24x+16;
x²-24x+23=0
Поскольку коэффициенты отличаются на единицу, то решение находим по теореме Виета.
(x-23)(x-1)=0;
x=23; x=1.
Поскольку x = 1 не входит в ОДЗ, то x = 23 — единственное решение уравнения.
Ответ: 23.

Задача 2.36 Решите уравнение
Если уравнение имеет несколько корней, то в ответ запишите их сумму. Если уравнение имеет один корень, то запишите его в ответ.
Решение: Для данного уравнения ОДЗ находить не будем, а лишь проверим корни в конце вычислений подстановкой. Это порой помогает сохранить несколько минут на тестах. Подносим к квадрату, чтобы избавиться иррациональности
6-4x-x²=x²+8x+16;
2*x²+12*x+10=0;
x²+6*x+5=0.
Вычисляем дискриминант и корни уравнения
D=62-4*5=36-20=16

Выполним подстановку


Один корень лишний, таким образом x=-1 – единственный корень иррационального уравнения.
Ответ: -1.
Оставайтесь с нами и подготовка к ВНО 2015 по математике останется для Вас приятным воспоминанием и сэкономит много времени и денег на репетиторов. Помощь по математике в виде готовых решений облегчит учебу всех школьников и будет хорошей инструкцией на экзаменах и тестах.

• Назад
• Вперёд

Методы решения иррациональных уравнений

Я бы почувствовал настоящее
удовлетворение лишь в том случае,
если бы смог передать ученику гибкость ума,
которая дала бы ему в дальнейшем
возможность самостоятельно решать задачи.

У.У.Сойер.

Определение. Уравнение с одной переменной называют иррациональным, если хотя бы одна из функций или содержит переменную под знаком радикала.

При решении иррациональных уравнений необходимо установить область допустимых значений переменных, исходя из условия, что все радикалы, входящие в уравнение, должны быть арифметическими.

1. Метод пристального взгляда

Этот метод основан на следующем теоретическом положении: “Если функция возрастает в области определения и число входит в множество значений, то уравнение имеет единственное решение

.”

Для реализации метода, основанного на этом утверждении требуется:

а) Выделить функцию, которая фигурирует в уравнении.

b) Записать область определения данной функции.

c) Доказать ее монотонность в области определения.

d) Угадать корень уравнения.

t) Обосновать, что других корней нет.

f) Записать ответ.

Пример 1. .

Наличие радикалов четной степени говорит о том, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Поэтому сначала найдем область допустимых значение переменной .

Очевидно, что левая часть уравнения не существует ни при одном значении неизвестного . Таким образом, вопрос о решении уравнения снимается – ведь нельзя же осуществить операцию сложения в левой части уравнения, так как не существует сама сумма. Каков же вывод? Уравнение не может иметь решений, так как левая часть не существует ни при одном значении неизвестного .

Пример 2.

Рассмотрим функцию .

Найдем область определения данной функции:

Данная функция является монотонно возрастающей.

Для эта функция будет принимать наименьшее значение при , а далее только возрастать. . Число 5 принадлежит области значения, следовательно, согласно утверждению .

Проверкой убеждаемся, что это действительный корень уравнения..

2. Метод возведения обеих частей уравнений в одну и ту же степень.

Теорема.

Если возвести обе части уравнения (1) в натуральную степень , то уравнение (2) является следствием уравнения (1).

Доказательство. Если выполняется числовое равенство , то по свойствам степени выполняется равенство , т.е. каждый корень уравнения (1) является и корнем уравнения (2), это значит, что уравнение (2) является следствием уравнения (1).

Если , то справедливо и обратная теорема. В этом случае уравнения (1) и (2) равносильны.

Если , равенство справедливо, если выполняется хотя бы одно из равенств и . Значит уравнения (1) и (2) в этом случае не равносильны. Поэтому, если в ходе решения иррационального уравнения приходилось возводить обе его части в степень с четным показателем, то могли появиться посторонние корни. Чтобы отделить их, проверки можно избежать, введя дополнительное требование . В этом случае уравнение равносильно системе . В системе отсутствует требование , обеспечивающее существование корня степени , т.к. оно было бы излишним в связи с равенством .

Пример 1.

,

,

.

Ответ:

Если в уравнение входят несколько радикалов, то их можно последовательно исключать с помощью возведения в квадрат, получая в итоге уравнение вида При этом полезно учитывать область допустимых значений исходного уравнения.

Пример 2. 

Ответ:

3. Решение уравнений с использованием замены переменной.

Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнения. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение радикал.

При этом уравнение становится рациональным относительно новой переменной.

Пример1. 

Пусть тогда исходное уравнение примет вид:

, корни которого и Решая уравнение , получаем и

Ответ:

В следующих примерах используется более сложная замена переменной.

Пример 2

Перенесем в левую часть все члены уравнения и произведем дополнительные преобразования: .

Замена приводит уравнение к виду корнями которого являются и

Осталось решить совокупность двух уравнений:

Ответ:

4. Метод разложения на множители выражений, входящих в уравнение.

Теорема.

Уравнение , определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений

Пример1.

При уравнение принимает вид: которое равносильно совокупности двух уравнений:

Ответ:

Выделить общий множитель часто бывает очень трудно. Иногда это удается сделать после дополнительных преобразований. В приведенном ниже примере для этого рассматриваются попарные разности подкоренных выражений.

Пример 2.

Если внимательно посмотреть на уравнение, то можно увидеть, что разности подкоренных выражений первого и третьего , а также второго и четвертого членов этого уравнения равны одной и той же величине

В таком случае далее следует воспользоваться тождеством:

Уравнение примет вид:

или

Корень уравнения т.е. число при подстановке в исходное уравнение дает верное равенство.

Уравнение не имеет решений, так как его левая часть положительна в своей области определения.

Ответ:

5. Метод выделения полных квадратов при решении иррациональных уравнений.

При решении некоторых иррациональных уравнений полезна формула

Пример 1.

Преобразуем уравнение следующим образом:

или

Обозначим и решим полученное уравнение

методом интервалов.

Разбирая отдельно случаи , находим,

что решениями последнего уравнения являются .

Возвращаясь к переменной , получаем неравенства

Ответ:

6. Метод оценки.

Этот способ применим в том случае, когда подкоренные выражения представляют собой квадратный трехчлен, не раскладывающийся на линейные множители. Поэтому целесообразно оценить левую и правую части уравнения.

Пример 1.

Оценим обе части уравнения:

,

,

Левая часть уравнения существует при всех значениях переменной , не меньших 5, а правая – при всех значениях, не больших 5, следовательно, уравнение будет иметь решение, если обе части уравнения одновременно равны 5, т. е. справедлива следующая система:

Корнем второго уравнения системы является число

Проверим, является ли это число корнем второго уравнения:

.

Ответ:

Пример 2.

Для всех имеем

Используя неравенство Коши, можем записать:

причем равенство достигается при и

Таким образом, -корень исходного уравнения.

Ответ:

7. Иррациональные уравнения, содержащие степени выше второй.

Если уравнение имеет вид то его можно решить , возводя обе части этого уравнения в степень . Полученное уравнение при нечетном равносильно данному уравнению, а при четном является нго следствием, аналогично рассмотренному выше случаю при

Пример 1

Возведем обе части уравнения в куб:

или

которое равносильно совокупности двух уравнений:

Ответ:

При решении иррациональных уравнений очень часто пользуются следующим приемом.

Если то

В последнем равенстве заменяют на и получают

Далее легко избавиться от кубической иррациональности , возводя обе части в куб.

Пример 2.

Здесь, очевидно,

Возведем в куб обе части уравнения, получим:

,

или

или

или

или

Проверка подтверждает, что это корень уравнения.

Ответ:

Замечание.

Замена в конкретном примере левой части на правую, вообще говоря , неправомерна –ведь нам неизвестно ни одно значение , при котором это уравнение превращается в верное числовое равенство. Возможно, таких решений нет вообще. Допуская в практических действиях такую замену, мы фактически расширяем возможное множество решений. Поэтому все найденные решения следует проверять и только те, которые превращают исходное уравнение в верное равенство, следует записать в ответ.

От того, что школьник решит лишний десяток задач, умнее и сообразительнее он не станет, Результат обучения оценивается не количеством сообщаемой информации, а качеством ее усвоения. Это качество будет выше, если на один и тот же пример посмотреть с разных сторон. Решение задач разными способами способствует развитию активного мышления учащихся. Хорошую почву для этого дает решение примеров разными способами.

Пример 3. Способ 1.

(1)

Возведем обе части уравнения в куб:

Группируя, получаем:

Используя равенство (1) имеем:

или

или

или

корни которого

Ответ:

Способ 2.

Иногда полезно ввести не одну вспомогательную переменную, а несколько, сводя исходное уравнение к системе уравнений.

Пусть Тогда

Таким образом справедлива следующая система:

Возвращаясь к переменной находим

Ответ:

В следующем примере введение вспомогательной переменной сводит исходное уравнение к однородному.

Пример 4.

Положим

Тогда исходное уравнение примет вид:

Поскольку при котором переменная обращается в нуль, не является решением исходного уравнения ( в чем можно убедиться подстановкой), делим обе части уравнения на

решая которое , находим:

Осталось решить уравнения и

Корнями этих уравнений являются числа

Ответ:

Пример 5.

Область допустимых значений задается неравенством

Преобразуем уравнение следующим образом:

Один корень этого уравнения

Для решения второго уравнения положим

и решим

Корни этого уравнения

Последний корень не принадлежит указанному промежутку, поэтому, решая уравнение , получим

Ответ :

Поиск полиномиального корня и одновременное решение уравнений — Texas Instruments

Расширьте преимущества и функции TI-86 на своем калькуляторе.

Прочтите лицензию, прежде чем продолжить. Скачивая приложение, вы подтверждаете свое согласие с условиями Лицензии.

ЛИЦЕНЗИОННОЕ СОГЛАШЕНИЕ НА ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ TEXAS INSTRUMENTS Загружая программное обеспечение и/или документацию, вы соглашаетесь соблюдать следующие положения. Лицензия: При условии оплаты вами любого применимого лицензионного сбора, Texas Instruments Incorporated («TI») предоставляет вам лицензию на копирование и использование программного обеспечения на калькуляторе TI, а также на копирование и использование документации. со связанной веб-страницы или компакт-диска (как программное обеспечение, так и документация являются «Лицензионными материалами»). В дополнение к копии, хранящейся на вашем калькуляторе, вы можете хранить копию на своем компьютере только в целях резервного копирования/архивирования. Ограничения: Вы не можете осуществлять обратную сборку или обратную компиляцию программной части Лицензионных материалов, которые предоставляются в формате объектного кода. Вы не можете продавать, сдавать в аренду или сдавать в аренду копии Лицензионных материалов. Вы не можете использовать Лицензионные материалы на каком-либо эмуляторе калькулятора TI, если эмулятор не получен от TI. Поддержка: Поддержка Лицензионных материалов описана в документации, прилагаемой к программному обеспечению. При отсутствии такой документации поддержка предоставляется TI. Авторское право: Лицензионные материалы и любая сопутствующая документация защищены авторским правом. Если вы делаете копии, не удаляйте с копий уведомление об авторских правах, товарный знак или защиту. Гарантия: TI гарантирует, что имеет право предоставлять Лицензионные материалы. TI не гарантирует, что Лицензионные материалы не будут содержать ошибок или будут соответствовать вашим конкретным требованиям. Лицензируемые материалы предоставляются «КАК ЕСТЬ» вам или любому последующему пользователю. Несмотря на то, что гарантия на Лицензионные материалы не предоставляется, носитель (если таковой имеется) будет заменен, если будет обнаружен дефект в течение первых трех (3) месяцев использования, когда упаковка будет возвращена TI с предоплатой почтовых расходов. ЭТОТ ПУНКТ ВЫРАЖАЕТ МАКСИМАЛЬНУЮ ОТВЕТСТВЕННОСТЬ TI И ВАШЕ ЕДИНСТВЕННОЕ И ИСКЛЮЧИТЕЛЬНОЕ СРЕДСТВО. Ограничения: За исключением случаев, прямо указанных выше, TI не дает никаких явных или подразумеваемых гарантий или условий, включая, помимо прочего, любые подразумеваемые гарантии товарного состояния и пригодности для определенной цели в отношении Лицензионных материалов. Ни при каких обстоятельствах TI или ее поставщики не несут ответственности за любые косвенные, случайные или косвенные убытки, упущенную выгоду, потерю использования или данных или прерывание деятельности, независимо от того, обозначены ли предполагаемые убытки как гражданское правонарушение, договор или возмещение убытков. В некоторых штатах или юрисдикциях не допускается исключение или ограничение случайных или косвенных убытков, поэтому указанное выше ограничение может не применяться. Настоящее Соглашение немедленно прекращает свое действие, если вы не выполняете его условия. После расторжения настоящего Соглашения вы соглашаетесь вернуть или уничтожить исходный пакет и все полные или частичные копии Программы, находящиеся в вашем распоряжении, и подтверждаете это в письменной форме TI. Экспорт и реэкспорт оригинального программного обеспечения и документации из США регулируется Законом об управлении экспортом 1969 г. с поправками. Ответственность за соблюдение таких правил лежит на вас. Вы соглашаетесь с тем, что вы не намереваетесь и не будете прямо или косвенно экспортировать, реэкспортировать или передавать Программу или технические данные в любую страну, в которую такой экспорт, реэкспорт или передача ограничены любым применимым законодательством США или закона, без надлежащего письменного согласия или лицензии, если требуется, Бюро экспортного управления Министерства торговли США или такого другого государственного органа, который может иметь юрисдикцию в отношении такого экспорта, реэкспорта или передачи. Если Программа предоставляется Правительству США в соответствии с ходатайством, направленным 1 декабря 1995 г. или после этой даты, Программа предоставляется с коммерческими лицензионными правами и ограничениями, описанными в других разделах настоящего документа. Если Программа предоставляется Правительству США в соответствии с запросом, направленным до 1 декабря 1995 г., Программа предоставляется с «Ограниченными правами», как это предусмотрено в FAR, 48 CFR 52. 227-14 (июнь 1987 г.) или DFAR, 48 CFR. 252.227-7013 (октябрь 1988 г.), если применимо.

Скачать элемент	PDF	Версия	Размер (КБ)	Пространства приложений
Поиск полиномиальных корней и одновременное решение уравнений		2.00	56	2
Путеводители
Руководство по поиску полиномиального корня и одновременному уравнению для TI-83 Plus / TI-84 Plus (на английском языке)	Вид:		344
Руководство по поиску полиномиального корня и одновременному уравнению для TI-83 Plus / TI-84 Plus (Suomalainen)	Вид:		265
Руководство по поиску полиномиального корня и одновременному уравнению для TI-83 Plus / TI-84 Plus (Deutsch)	Вид:		208
Руководство по поиску полиномиального корня и одновременному уравнению для TI-83 Plus / TI-84 Plus (Espanol)	Вид:		373
Руководство по поиску полиномиального корня и одновременному уравнению для TI-83 Plus / TI-84 Plus (Франция)	Вид:		377

Поиск полиномиального корня

• Ввод полиномов до порядка (степени) 10 включительно
• Простой в использовании экран POLY MODE для настройки всех параметров
• Отображение корней в виде дробей или десятичных знаков для многих корней
• Выберите отображение только вещественных корней для полиномов 2-й и 3-й степени
• Для многочленов степени 4 и выше корни отображаются в комплексном формате
• Сохранение полиномов в Y= для построения графиков и оценки
• Убедитесь, что корень является нулем полиномиальной функции, сохранив корни в вещественном формате.

Решатель одновременных уравнений

• Ввод систем уравнений, содержащих до 10 уравнений и 10 неизвестных
• Простой в использовании экран SIMULT MODE для настройки всех параметров
• Отображает единственное решение, бесконечное решение и отсутствие решения
• Сохранить матрицу коэффициентов, расширенную матрицу и решение
• Дисплеи с уменьшенной строкой формы Echelon

• Приложение для поиска корней полиномов и одновременного решения уравнений доступно для графических калькуляторов TI-83 Plus, TI-83 Plus Silver Edition, TI-84 Plus и TI-84 Plus Silver Edition. Приложение Polynomial Root Finder и приложение Simultaneous Equation Solver доступны отдельно для графических калькуляторов TI-89, TI-89 Titanium, TI-92 Plus и Voyage 200.

92+bx+c=0`
Коэффициенты могут быть действительными или комплексными числами.

Расчет доли и страница на

---

Как пользоваться этим калькулятором?

Этот калькулятор является решателем квадратного уравнения (ax ² +bx+c=0).
Он вычисляет точные решения, когда они существуют, а также дает их числовую аппроксимацию.

Поле «Включить комплексные решения»

Выбирать,

• Нет: если вы ищете только реальные решения.
• Да: если вы хотите расширить поиск до комплексных чисел. 90,5 для `sqrt(3)`
• комплексных чисел, пример: 1+i или -i

Чтобы ввести произведение двух факторов, используйте оператор *. Например: введите 2*pi, а не 2pi.

Как решить квадратное уравнение?

Мы предполагаем, что коэффициенты уравнения являются действительными числами, и мы ищем действительные решения.
Мы также предполагаем, что во всех следующих случаях `a != 0`.

Советы и рекомендации

Полезно знать некоторые советы и приемы, чтобы быстро решить уравнение второй степени. 92+b*1+c=a+b+c=0`.

Второе решение можно найти, разложив уравнение на множители (x-1, очевидно, является множителем) или используя следующее свойство.