Когда система имеет бесконечное множество решений: Система уравнений,имеет бесконечное множество решений ,если a равно3x+2y=2ax+y=1

Содержание

3. Если , то система имеет бесконечно много решений.

Пример 4. Решить систему линейных уравнений _.

Решение. Составим определитель из коэффициентов при неизвестных и вычислим его:

, значит, СЛУ имеет единственное решение. Найдем вспомогательные определители и значения неизвестных.

Ответ: .

Рассмотрим пример, в котором СЛУ имеет бесконечное множество решений, и они будут найдены с применением формул Крамера.

Пример 5. Решить СЛУ.

Решение.

Вычислим определитель системы:

Заметим, что третье уравнение системы равно сумме первых двух уравнений, т.е. зависит от первых двух уравнений. Отбросив третье уравнение, получим равносильную систему двух уравнений с тремя неизвестными:

Оставим в левой части системы те неизвестные, коэффициенты при которых образуют определитель, не равный нулю, например, .

Неизвестное является свободным, а неизвестные и — базисными неизвестными. Запишем систему в виде и применим к ней правило Крамера:

;

— общее решение неопределенной СЛУ, где — любое действительное число.

Из общего решения можно получить частные решения, если придать свободной неизвестной какое-то конкретное значение. Например, пусть , тогда ; частное решение .

3. Матричный метод решения слу

3.1. Матричная запись системы линейных уравнений

Пусть — матрица коэффициентов при неизвестных, — матрица-столбец неизвестных, — матрица-столбец свободных членов. Система уравнений с неизвестными в матричном виде запишется как (матричное уравнение системы):

3.2. Решение системы уравнений с помощью обратной матрицы

Умножив обе части уравнения системы на обратную матрицу

слева и используя свойство , получим выражение для матрицы неизвестных .

Оно показывает, как найти решение системы линейных уравнений с неизвестными с помощью обратной матрицы.

Пример 6. Решить с помощью обратной матрицы систему уравнений

Решение. Вычислим определитель: . Так как , то система уравнений имеет единственное решение .

2) Составим обратную матрицу. Матрица существует, т.к. определитель . Найдем алгебраические дополнения .

, , ,

, , .

Составим матрицу из алгебраических дополнений и транспонируем ее. .

Разделим каждый элемент этой матрицы на определитель , получим искомую обратную матрицу: .

3) Матрица неизвестных равна произведению матрицы на матрицу свободных членов :

Вычислим значения неизвестных: , , .

Ответ. Система имеет единственное решение .

4. Сущность метода исключения неизвестных (метода Гаусса). Элементарные преобразования

Сущность метода Гаусса состоит в том, что система линейных уравнений с помощью элементарных преобразований приводится к равносильной системе треугольного или трапецеидального вида, из которой легко находится решение системы или делается вывод о несовместности системы. Метод Гаусса применяется к любой СЛУ, в которой число уравнений равно числу неизвестных, или больше числа неизвестных, или меньше числа неизвестных.

К элементарным преобразованиям над уравнениями системы относятся:

Перестановка уравнений местами.
Умножение уравнения на число, не равное нулю.
Прибавление одного уравнения к другому уравнению, умноженному на какое-либо число.
Отбрасывание одинаковых уравнений (кроме одного), а также уравнения вида .

10. Системы линейных уравнений

Рассмотрим в общем случае решение систем линейных уравнений. Дадим несколько определений.

1). Системой m уравнений с n неизвестными называется система вида:

(**)

2). Если в системе (**) все bк (k=1,…m) равны нулю, то такая система называется однородной.

3). Если хотя бы один из них bк0, то система называется неоднородной.

4). Система (**) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, в противном случае она называется несовместной.

5). Совместная система линейных уравнений называется определённой, если она имеет единственное решение и неопределённой — если решений множество.

Итак, начнём с помощью элементарных преобразований сводить расширенную матрицу системы уравнений (**) к треугольному виду. Прежде всего, здесь количество уравнений не равно количеству неизвестных. Значит матрица прямоугольная и вообще говоря, к треугольной не сводится. Второй момент: Вспомним о ранге матрицы. Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк в ступенчатой матрице, которая получится из исходной элементарными преобразованиями. Т. е. некоторые строки преобразованной матрицы могут остаться нулевыми. В итоге, после учёта этих моментов, можно записать самый общий вид преобразованной матрицы, который только может встретиться:

(***)

Или, условно нарисуем:

Обратим внимание на коэффициент . Может случиться, что это будет 0. А может и нет. Тогда , что невозможно. Значит решений нет, т. е. система несовместна. Поэтому на практике, сразу же после появления соотношения вида можно говорить, что система не имеет решения.

Если , то, покажем, что система имеет решение. Поскольку , то из последнего уравнения можно найти

или [] Из предыдущего уравнения можно найти

[]

И т. д. В итоге:

(****)

Из этих соотношений следует, что xr+1,…,xn могут принимать произвольные значения. Эти неизвестные называются свободными, а x1,…xr — называются основными или главными. Любая совокупность свободных неизвестных и соответствующих им основных будет решением системы. Таким образом, мы доказали теорему:

Теорема Кронекера-Капелли: для того, чтобы система уравнений (**) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы и ранг расширенной матрицы были равны. Далее, предположим мы выяснили, что система уравнений совместна. Тогда возможны два случая:

1) ранг матрицы равен количеству неизвестных R=N. Это возможно, кстати, при mN. В этом случае все неизвестные главные и они равны из (****):

Это означает, что система имеет единственное решение. Система определённая.

2) r<n. В этом случае имеются свободные неизвестные, которые можно задавать произвольно. Значит система имеет бесконечное множество решений, т. е. система неопределённая!

Пример:

1) 0 = -3 !!!

Система несовместна, решений нет!

Система совместна. Положим x3=c1, x4=c2 , тогда:

Бесконечное множество решений.

< Предыдущая		Следующая >

Бесконечные решения — определение, условия и примеры

Статья о бесконечных решениях разработана высококвалифицированными учителями Веданту. Эти преподаватели имеют большой опыт работы в сфере образования и очень хорошо осведомлены о потребностях учащихся. Часто видно, что студенты не могут понять тему, несмотря на усердную работу над ней. Причинами тому же могут быть жесткий язык содержания, длинное и монотонное изложение статьи и другие. В то время как статья «Бесконечные решения — определение, условия и примеры», подготовленная Веданту, заботится об этих элементах и делает статью все более и более интересной для студентов. Теперь обучение и развлечения идут рука об руку.

Все мы хорошо знакомы с уравнениями и выражениями. Мы решаем ее почти ежедневно по математике. Давайте еще раз быстро освежим значения терминов, прежде чем углубляться в них. Уравнение – это выражение, между которыми стоит знак равенства (=). Например, 4+3 = 7. Выражение состоит из таких переменных, как x или y, и постоянных членов, которые соединяются вместе с помощью алгебраических операторов. Например, 2x + 4y — 9, где x и y — переменные, а 9 — константа. Насколько мы смотрим, обычно есть одно решение уравнения. Но не исключено, что уравнение не может иметь более одного решения, бесконечное число решений или вообще не может иметь решений. Отсутствие решения означает, что уравнение не имеет ответа, тогда как бесконечные решения уравнения означают, что любое значение переменной сделает уравнение верным.

Что такое бесконечные решения?

Общее количество переменных в уравнении определяет количество решений, которые оно даст. И исходя из этого, решения можно сгруппировать в три типа, это:

Уникальное решение (у которого есть только 1 решение).
Нет решений (нет решений)
Бесконечное количество решений (имеет множество решений)

Но как узнать, бесконечно ли решение вашего решенного уравнения? Что ж, есть простой способ узнать, бесконечно ли ваше решение. У бесконечного решения обе стороны равны. Например, 6x + 2y — 8 = 12x + 4y — 16. Если вы упростите уравнение, используя формулу или метод бесконечных решений, вы получите равные обе части, следовательно, это бесконечное решение. Бесконечность представляет безграничность или безграничность. Обычно обозначается символом «∞».

Условия для бесконечного решения

Уравнение будет иметь бесконечное решение, если оно удовлетворяет некоторым условиям для бесконечного решения. Бесконечное решение может быть получено, если линии совпадают и они должны иметь одинаковую точку пересечения по оси Y. Две линии, имеющие одинаковую точку пересечения по оси Y и наклон, являются одной и той же линией. Проще говоря, мы можем сказать, что если две линии пересекают одну и ту же линию, то система приведет к бесконечному решению. Следовательно, система будет состоятельной, если система уравнений имеет бесконечное число решений.

Например, рассмотрим следующие уравнения.

y = x + 3

5y = 5x + 15

Если мы умножим 5 на уравнение 1, мы получим уравнение 2, а разделив уравнение 2 на 5, мы получим точное первое уравнение.

Пример бесконечного решения

Что является примером бесконечного решения? Это вопрос, которого мы так долго ждали. Но для решения систем уравнений с двумя или тремя переменными важно понимать, является ли уравнение зависимым или независимым, является ли оно совместным уравнением или несовместным уравнением. Непротиворечивая пара линейных уравнений всегда будет иметь уникальные или бесконечные решения.

Пример 1: Вот два уравнения с двумя переменными.

a1x + b1y = c1 ——- (1)

a2x + b2y = c2 ——- (2)

Если (a1/a2) = (b1/b2) = (c1/c2)

Тогда Уравнение является непротиворечивым и зависимым уравнением, которое имеет бесконечно много решений.

Пример 2: Вот несколько уравнений с бесконечными решениями -6x + 4y = 2

3x — 2y = -1

Теперь, если мы умножим второе уравнение на -2, мы получим первое уравнение.

-2(3x-2y) = -2(-1)

-6x + 4y = 2

Следовательно, уравнения эквивалентны и имеют один и тот же график. Таким образом, решение, которое будет работать для одного уравнения, будет работать и для других уравнений. Следовательно, они являются бесконечными решениями системы.

Пример 3: x-10+x = 8+2x-18

Теперь, вот как мы продолжаем

x-10+x = 8+2x-18

2x-10 = 2x-10

-2x = -2x

-10 = -10

Поскольку -10 = -10, у нас остается верное утверждение, и мы можем сказать, что это бесконечное решение.

Пример 4: Давайте возьмем еще один пример: x+2x+3+3 = 3 (x+2)

x+2x+3+3 = 3 (x+2)

3x+6 = 3x +6

-3x = -3x

6 = 6

Коэффициенты и константы совпадают после объединения одинаковых членов. Это дает нам истинное утверждение. Поэтому их можно назвать бесконечными решениями.

Пример 5: Рассмотрим уравнение 4(x+1)=4x+4.

4(x+1) = 4x+4

4x+4, обе стороны равны 4x+4

. Следовательно, это бесконечное решение.

Приближение к теме бесконечного решения

Математика — очень практичный предмет. Это не требует никакого обучения и требует практического склада ума. Поэтому, если кто-то намеревается преуспеть в предмете, практика — это просто ключ к успеху. Студенты должны подходить к предмету через его программу. В программе рассказывается о темах и о том, сколько времени можно потратить на изучение каждой темы. Далее идет вопросник за прошлый год. Идея чтения вопросника за предыдущий год дает конкурентное преимущество. Эти вопросы должны быть отработаны учащимися более двух раз. Такая рутина отработки вопросов будет развивать навыки в соответствии с требованиями экзаменов.

Самооценка

Самооценка является очень важным компонентом экзаменационного процесса. Это позволяет очень ясно судить о себе и отметить глубину понимания концепции. Чтобы оценить свой уровень в теме бесконечных решений, студент должен пройти множество тестов и попытаться выполнить тестовые задания. Успеваемость в этих тестах и имитациях определяют окончательную работу студентов на экзамене. Студенты должны записывать свои результаты в каждом тесте и пытаться заполнить пробелы, которые они могут выделить с помощью этой мифологии.

Преподаватели-эксперты рекомендуют учащимся не относиться легкомысленно к этой части подготовки и активно использовать ее для оценки и улучшения своей работы.

The Vedantu Edge

Тема «Бесконечные решения» подготовлена высококвалифицированными преподавателями Веданту, которые понимают потребности студентов и хорошо знакомы с последними тенденциями в области экзаменов. Студенты находятся в очень прибыльном месте, чтобы воспользоваться своими знаниями и опытом и повысить свою производительность.

Студенты могут использовать приведенную выше статью для проверки, а также быть в курсе уровня конкуренции, с которым они сталкиваются сегодня. Учащийся может либо подчеркивать ключевые слова, либо замечать только одно и то же каждый раз, когда он / она повторно посещает контент для проверки, или делать примечания для исправления. Поскольку статья является отражением последних тенденций в области экзаменов и трудностей, с которыми приходится сталкиваться на экзаменах, студенты могут настроить себя на то же самое, просматривая статью.

Загрузите статью Infinite Solutions — Definition, Conditions, and Examples и получите преимущество Vedantu прямо сейчас!

При каком значении c система имеет бесконечное число решений?

Математическая система уравнений Число Sol

Джейсон М.

спросил 16.

10.17

Рассмотрим систему уравнений

{ -2x + 6y = -8
{ cx _ 3y = -4

Какое значение c дает систему, имеющую бесконечное число решений?
Обоснуйте свой ответ.

Объясните, почему не существует значения c, при котором система не имеет решения.

Введите свой ответ, обоснование и объяснение в соответствующее поле.

Подписаться І 2

Подробнее

Отчет

1 ответ эксперта

Лучший Новейшие Самый старый

Автор: Лучшие новыеСамые старые

Дэвид В. ответил 16.10.17

Репетитор

4.7 (90)

Опытный профессор

Об этом репетиторе ›

-2x + 6y = -8 [eq1]
cx + 3y = -4 [eq2]

Теперь вы можете (только один раз, PLZ) преобразовать стандартную форму (Ax+By=C) уравнения к форме пересечения наклона (y=mx+b) и помните, что наклон m равен (-A/B).

Наклон уравнения 1 равен (1/3).

Наклон уравнения 2 равен (-c/3).

Итак, когда наклоны одинаковы, линии либо параллельны, либо являются одной и той же линией (с бесконечными решениями). Это происходит, когда:

(1/3)=(-c/3)

1 = -c [умножить обе стороны на 3]

c = -1

являются одной и той же линией и имеют бесконечные решения [примечание: «решение» — это значение (x, y), которое делает уравнения верными].

-2x + 6y = -8
(-1)x + 3y = -4 т. е. также -2x + 6y = -8 [умножить обе стороны на 2]

Теперь создаст параллельные линии, но