Количество подмножеств n элементного множества: Количество подмножеств конечного множества. : Дискуссионные темы (М)

Калькулятор расчета подмножеств в множестве онлайн

Множество — это набор элементов, которые обладают общим свойством. В каждом неупорядоченном множестве существует определенное количество подмножеств, которые можно рассчитать при помощи онлайн-калькулятора.

Множество

Множество представляет собой набор элементов, сгруппированных по определенному признаку. В математике это может быть множество натуральных, целых или рациональных чисел. В природе это множества яблок на дереве, песчинок в пустыне или звезд в космосе. На практике множество может представлять собой набор данных, массивы результатов измерений или входных воздействий. Множество — это простейший математический объект, поэтому с ним можно осуществлять простые арифметические действия, то есть складывать, вычитать или разбивать на составляющие — подмножества.

Несобственные подмножества

Каждое множественный объект имеет два несобственных подмножества: само множество и пустое. Согласно канторовской теории, любое множество считается подмножеством самого себя. Пустое множество — это своеобразный нуль теории множеств, и такой набор не содержит ни одного элемента. Потребность в пустом множестве обусловлена аксиомой, что любой результат операции между множествами также должен быть множеством. Пустой набор элементов также считается подмножеством для любого набора чисел.

Собственные подмножества

Помимо самого себя и пустого множества, набор чисел может иметь определенное количество собственных подмножеств. Их численность определяется мощностью множества, то есть количеством его элементов. Для объекта A, которое состоит из n-ного числа элементов, существует количество собственных подмножеств, которое определяется по формуле:

N = 2ⁿ — 2.

Из этого следует, что для набора из 3 элементов существует 2³ — 2 = 6 собственных подмножеств, из 4 членов — 2⁴ — 2 = 14 собственных подмножеств и так далее. К примеру, для множества {X, Y, Z} существуют следующие подмножества:

1. {X};
2. {Y};
3. {Z};
4. {XY};
5. {XZ};
6. {ZY}.

Если не разделять подмножества на собственные и несобственные, то для каждого множества существует подмножества, количеством:

N = 2ⁿ,

где n — количество элементов.

Это означает, что для того же набора {X, Y, Z} добавятся также пустое множество и оно само.

Подмножества и парадоксы

Канторовская теория множеств зашла в тупик, когда ее постулаты породили парадоксы. Наиболее известной проблемой наивной теории множеств считается парадокс Рассела. Известный британский философ и ученый Бертран Рассел рассмотрел бесконечные множества как абстрактные объекты. Если любое множество считается подмножеством самого себя, то верно выражение A Î A. Допустим, существует глобальное множество S, содержащее в себе все наборы объектов, которые не включают самих себя.

Далее возникает вопрос, верно ли, что S Î S? Если верно, то выходит, что S не содержит самого себя, так как изначально набор S содержит все множества, не содержащие себя, следовательно, S Î S. Если неверно, значит, набор S не соответствует первичному определению, следовательно, S Î S.

Данный парадокс так же известен как проблема цирюльника. Некий брадобрей заявляет, что будет брить только тех, кто не бреет сам себя. Тех, кто сами справляются с бритвой, цирюльник брить отказывается. Возникает парадокс: кто побреет цирюльника? Если он бреется сам, то он не должен себя брить, а если не бреется, то брить себя обязан. Для решения подобных парадоксов в теорию множеств была внесен раздел о типах объектов. Согласно теории типов, подмножества всегда должны быть низшего порядка по отношению к своему надмножеству.

Наша программа позволяет сгенерировать все возможные подмножества для любого заданного набора чисел. Для этого вам достаточно ввести числа через запятую в форму онлайн-калькулятора, после чего программа рассчитает все подмножества для выбранного набора, включая собственные и несобственные. Рассмотрим пример генерации подмножеств.

Пример работы калькулятора

Допустим, у нас есть множество последовательных натуральных чисел мощностью 4. Это означает, что наш объект выглядит как А = {1, 2, 3, 4,}. Согласно формуле, для A существует 2⁴ = 16 подмножества: 14 собственных и 2 несобственных. При помощи калькулятора рассчитаем эти составляющие. Мы получим:

• пустое множество — {};
• одноэлементные наборы — {1}, {2}, {3}, {4};
• двухэлементные — {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4};
• трехэлементные — {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4};
• само множество — {1, 2, 3, 4}.

Точно также вы можете рассчитать количество подмножеств для множества произвольной мощности.

Заключение

Множество — это элементарный математический объект, с которым можно осуществлять разные арифметические операции. Используйте наши онлайн-калькуляторы для работы с множественными объектами.

Число различных k-элементарных подмножеств n-элементарного множества — Студопедия

Поделись  

Посмотрим теперь, сколько существует разных подмножеств из k элементов в множестве, состоящем из п элементов (k < п).

ТеоремаЧисло различных k-элементных подмножеств n-элементарного множества равно

,

где сокращение п! = п * (п — 1) * … * 3 * 2 * 1 называется факториалом числа n (читается n-факториал). Причем 0! = 1. А сокращение .

Доказательство.Чтобы построить k-элементное подмножество множества А, необходимо к (k — 1)-элементному множеству присоединить один из п — k + 1 элементов, которые не входят в это подмножество. Поскольку число (k — 1)­элементных подмножеств равно , И каждое из этих подмножеств можно сделать k-элементным п — k + 1 способами, по основному правилу комбина­торики получаем число * (

n — k + 1) подмножеств. Однако не все эти подмножества будут различными, поскольку любое k-элементарное подмножество можно также построить k способами. Следовательно,

Поскольку – число одноэлементных подмножеств множества А – равно n, то

Теорема доказана.

Произвольное k-элементное подмножество множества А называется комбинацией, или выборкой, а число – числом комбинаций или сочетаний из n элементов по k элементов.

Рис. 5.2.

Биномиальные коэффициенты имеют интересную геометрическую интерпре­тацию. Пусть имеем прямоугольную шахматную доску размером m на n, раз­мещенную на координатной плоскости. Эта доска состоит из m*n элементарных квадратов, разделенных n — 1 горизон­тальной линией и m — 1 вертикальной. Определим, сколькими разными самыми короткими путями можно попасть из точки (0, 0) в точку (

m, n)на этой доске.

Каждый самый короткий путь, ведущий из точки (0, 0) в точку (m,n), состоит, очевидно, из m + n сторон элементарных квадратов, среди которых m гори­зонтальных и n вертикальных. Эти пути отличаются между собой только 1 числом вертикальных и горизонтальных сторон. Значит, общее количество путей равно числу способов, какими из т + n сторон можно выбрать n верти­кальных, т. е. это число равно .

Заметим, что можно было бы вести подсчет не по вертикальным сторонам,

а по горизонтальным. То есть, существует различных самых коротких путей и, следовательно, справедливо равенство:

.

Данное равенство имеет название «формула симметрии».

Из этой формулы имеем следствие:

,

имеющее название «формула сложения». Докажем данное следствие.

Доказательство:

следствие доказано.

Пример:

Сборная команда университета по волейболу насчитывает 15 человек. Сколько разных вариантов должен рассмотреть тренер перед игрой, чтобы заявить список игроков на игру?

Решение:Число игроков волейбольной команды равно шести. Значит, число всех возможных вариантов — это число различных подмножеств, состоящих из шести элементов в множестве из пятнадцати элементов. Следовательно, по теореме 2 имеем

.



Комбинаторика

— Сколько подмножеств можно составить из набора из $N$ предметов?

Задавать вопрос

спросил 6 лет, 10 месяцев назад

Изменено 6 лет, 10 месяцев назад

Просмотрено 12 тысяч раз

$\begingroup$ 9n-1$$ as ${n\choose 0}=1$ и все готово.

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Активность: Подмножества

Пожалуйста, прочтите Введение в Сеты первыми!

Это действие исследует количество подмножеств набора.

Что такое подмножество?

Подмножество представляет собой набор , содержащийся в другом наборе

Как будто вы можете выбрать мороженое из следующих вкусов:

{банан, шоколад, ваниль}

Вы можете выбрать любой вкус {банан} , {шоколад} или {ванильный} ,

Или любые два вкуса: {банан, шоколад} , {банан, ваниль}

или {шоколад, ваниль} ,

Или все три вкуса (нет, это не жадность),

Или , вы можете сказать «ничего, спасибо», что является «пустым набором»: {}

 

Пример: Набор {алекс, билли, кейси, дейл}

Имеет подмножества:

• {алекс}
• {Билли}
• и т. д. …

Он также имеет подмножества:

• {алекс, билли}
• {Алекс, Кейси}
• {Билли, Дейл}
• и т. д. …

Также:

• {алекс, билли, кейси}
• {Алекс, Билли, Дейл}
• и т. д. …

А также:

• весь набор: {алекс, билли, кейси, дейл}
• пустой набор: {}

Теперь давайте начнем с Пустого набора и двинемся вверх…

Пустой набор

Сколько подмножеств имеет пустой набор?

Вы можете выбрать:

• весь комплект: {}
• пустой набор: {}

Но, постойте, в данном случае это одно и то же!

Итак, пустой набор действительно имеет только 1 подмножество (которое есть само, пустое множество).

Это все равно, что спросить «Нет ничего доступного, так что же выбрать?» Ответьте «ничего». Это ваш единственный выбор. Сделанный.

А Набор с одним элементом

Набор может быть любым, но скажем так:

{яблоко}

Сколько подмножеств содержит набор {apple}?

• весь комплект: {яблоко}
• пустой набор: {}

И все. Вы можете выбрать один элемент или ничего.

Таким образом, любой набор с одним элементом будет иметь 2 подмножеств.

А Набор с двумя элементами

Давайте добавим еще один элемент в наш набор примеров:

{яблоко, банан}

Сколько подмножеств имеет набор {яблоко, банан}?

Это может быть {яблоко} или {банан} , и не забудьте:

• весь комплект: {яблоко, банан}
• пустой набор: {}

Таким образом, набор из двух элементов имеет 4 подмножеств.

А Набор с тремя элементами

Как насчет:

{яблоко, банан, вишня}

Хорошо, теперь давайте будем более систематизированы и перечислим подмножества по количеству элементов в них:

Подмножества с одним элементом: {яблоко} , {банан} , {вишня}

Подмножества с двумя элементами: {яблоко, банан} , {яблоко, вишня} , {банан, вишня}

А:

• весь набор: {яблоко, банан, вишня}
• пустой набор: {}

На самом деле мы могли бы записать это в таблицу:

	Список	Количество подмножеств
нулевые элементы	{}	1
один элемент	{яблоко}, {банан}, {вишня}	3
два элемента	{яблоко, банан}, {яблоко, вишня}, {банан, вишня}	3
три элемента	{яблоко, банан, вишня}	1
Итого:		8

(Примечание: вы видели закономерность в цифрах?)

комплектов с четырьмя элементами (твоя очередь!)

Теперь попробуйте сделать то же самое для этого набора:

{яблоко, банан, вишня, финик}

Вот вам таблица:

	Список	Количество подмножеств
нулевые элементы	{}
один элемент
два элемента
три элемента
четыре элемента
Итого:

(Примечание: если вы все сделали правильно, в числах будет шаблон. )

 

комплектов с пятью элементами

А теперь:

{яблоко, банан, вишня, финик, яйцо}

Вот вам таблица:

	Список	Количество подмножеств
нулевые элементы	{}
один элемент
два элемента
три элемента
четыре элемента
пять элементов
Итого:

(Была ли закономерность в числах?)

 

комплектов с шестью элементами

Что насчет:

{яблоко, банан, вишня, финик, яйцо, помадка}

ОК. .. нам не нужно заполнять таблицу, потому что…

… вы должны быть в состоянии увидеть образец сейчас!

Удвоение

Первое, на что следует обратить внимание, это то, что общее количество подмножеств каждый раз удваивается:

Набор из n элементов имеет 2 ⁿ подмножеств

Таким образом, вы должны быть в состоянии ответить:

• Сколько подмножеств существует для набора из 6 элементов? _____
• Сколько подмножеств существует для набора из 7 элементов? _____

Другое Образец

Теперь давайте подумаем подмножества и размеры:

• пустой набор имеет просто 1 подмножество : 1
• Набор с одним элементом имеет 1 подмножество без элементов и 1 подмножество с одним элементом: 1 1
• Набор из двух элементов имеет 1 подмножество без элементов, 2 подмножества с одним элементом и 1 подмножество с двумя элементами: 1 2 1
• Набор из трех элементы имеют 1 подмножество без элементов, 3 подмножества с одним элемент, 3 подмножества с двумя элементами и 1 подмножество с тремя элементы: 1 3 3 1
• и так далее!

Вы узнаете это схема цифр?

Это числа из Паскаля Треугольник!

Это очень полезно , потому что теперь вы можете проверить, есть ли у вас правильное количество подмножеств.

Примечание: строки начинаются с 0, как и столбцы.

Пример: Для набора {яблоко, банан, вишня, финик, яйцо} вы перечисляете подмножества длины три:

• {яблоко, банан, вишня}
• {яблоко, банан, финик}
• {яблоко, банан, яйцо}
• {яблоко, вишня, яйцо}

Но это только 4 подмножеств, сколько их должно быть?

Итак, вы выбираете 3 из 5, поэтому перейдите к ряду 5, позиции 3 треугольника Паскаля (не забудьте начать отсчет с 0), чтобы найти 10 подмножеств , так что вам нужно хорошенько подумать!

На самом деле это результаты: {яблоко, банан, вишня} {яблоко, банан, дата} {яблоко, банан, яйцо} {яблоко, вишня, дата} {яблоко, вишня, яйцо} {яблоко, дата, яйцо } {банан,вишня,финик} {банан,вишня,яйцо} {банан,финик,яйцо} {вишня,финик,яйцо}

Вычисление чисел

Есть ли способ вычислить такие числа, как 1, 4, 6, 4 и 1 (вместо того, чтобы искать их в треугольнике Паскаля)?

Да, мы можем найти количество способов выбора каждого числа элементы с использованием комбинаций.