Комбинаторные уравнения онлайн: Комбинаторные уравнения | Онлайн калькулятор

Содержание

Анонсы курсов — Комбинаторика и алгоритмы

Сергей Анисов «Если б я был султан…»

Задача Д. Флааса: все женщины Земли линейно упорядочены по уму, доброте и красоте.
Из двух женщин лучше та, которая превосходит соперницу хотя бы по двум параметрам.
Докажите, что можно выбрать трёх женщин так, что любая другая будет проигрывать
в сравнении с кем-то из трёх избранных.

Курс будет посвящён задачам о выборе по нескольким параметрам.
Помимо задачи Флааса, мы разберём теоремы Эрроу и Дасгупты-Маскина о процедурах голосования.
Если останется время, поговорим о статье “Dominating sets in k-majority tournaments”
by N.Alon, G.Brightwell, H.Kierstead, A.Kostochka, and P.Winkler),
простейшим частным случаем которой и является задача Флааса.

Алексей Яковлевич Белов «Комбинаторика слов»
Глеб Геннадьевич Гусев
«Топология — математика в трех лицах: алгебра, геометрия, комбинаторика»

Теоретически курс будет посвящен топологии алгебраических поверхностей и многомерных пространств.
На практике мы рассмотрим несколько задач и теорем, некоторые из них являются классическими сюжетами,

а некоторые — гипотезами и проблемами. В частности, я расскажу о том, как решения системы алгебраических уравнений
связаны с вопросами комбинаторной и выпуклой геометрии.

Для понимания курса важно знать о существовании поля комплексных чисел и желательно понимать,
что такое многомерное пространство.

Александр Дайняк
«»Быстрые» схемы, «сложные» функции и другие понятия теоретической кибернетики»

Современные процессоры состоят из сотен миллионов транзисторов. Каждый
транзистор выполняет очень простую операцию, но, комбинируя
транзисторы, можно строить сколь угодно нетривиальные схемы. Мы
отвлечёмся от физических явлений, который происходят в транзисторах, и
займёмся логическим моделированием схем. В курсе будет рассказано о том,

…как из простейших логических элементов строить эффективные схемы для арифметических операций,

…что «почти все» логические операции очень сложные (не могут быть реализованы маленькими схемами),

…как строить почти оптимальные схемы для произвольных операций,

…как доказывать, что построенная схема оптимальна, то есть схему с

меньшим числом элементов для той же операции построить не удастся.

Наталья Зевахина, Юрий Саватеев
«Формальные грамматики и их лингвистические приложения»

В нашем курсе мы будем рассматривать различные способы задания формальных (т.е. искусственных) языков
и описания синтаксиса естественных (т.е. на которых говорят люди) языков.
Более подробно мы будем изучать так называемые контекстно-свободные грамматики и категориальные грамматики,
основанные на исчислении И. Ламбека.
Курс будет состоять из двух частей — математической и лингвистической.

С точки зрения математики, мы будем изучать, как задавать формальные языки с помощью грамматик Ламбека
и какими свойствами эти грамматики обладают. Кроме того, мы докажем, что, несмотря на то,
что порождающая способность контекстно-свободной грамматики и грамматики Ламбека совпадает
(если язык можно задать контекстно-свободной грамматикой, то его можно задать также грамматикой Ламбека, и наоборот),
эти два подхода задают языки «по-разному».

С точки зрения лингвистики, мы покажем, что грамматики Ламбека являются эффективным инструментом
для анализа различных грамматических явлений естественных языков.
Мы также будем моделировать синтаксические структуры естественных предложений.

Курс рассчитан на четыре занятия.

Виталий Кошелев «Задача Эрдеша-Секереша о выпуклых многоугольниках на плоскости»

Сколько точек на плоскости будет достаточно, чтобы среди них всегда можно было найти выпуклый многоугольник
на заданном числе вершин?

Этот вопрос был впервые поставлен 75 лет назад группой знаменитых венгерских математиков
(и с этим связана отдельная красивая история). Простота постановки задачи привлекала
очень большое количество исследователей, но тем не менее, до конца задача не решена до сих пор.
Но за прошедшее время появилось очень много обобщений и близких задач.
Я расскажу о текущих достижениях и, в том числе, о совсем новых результатах.

Аким Сергеевич Кумок «Структуры данных»

Все мы хотим писать быстрые и эффективные программы. А эффективность программы на 80% зависит от того,

как мы храним данные в компьютере. Например, если мы хотим искать числа в массиве из N элементов,
то мы можем каждый раз просматривать весь массив за N операций, а можем отсортировать его
и искать числа двоичным поиском за log N действий. На спецкурсе будут изучаться как классические структуры данных —
куча, AVL-дерево и прочие, так и новейшие разработки в этой области —
r-AVL trees, Rank-pairing heaps, Self-adjusting trees и другие.

Андрей Михайлович Райгородский «Линейная алгебра и комбинаторная геометрия»
Александр Александрович Разборов «P и NP»

При дворе короля Артура имеются n рыцарей и n прекрасных дам; про каждую
пару известно, симпатичны они друг другу или нет.
Можно ли их всех переженить так, чтобы в каждой паре жених и невеста
были симпатичны друг другу?

А можно ли их всех рассадить за Круглым Столом так, чтобы симпатичными
друг другу оказались все соседи?

Похожи ли эти две задачи? На первый взгляд очень. Оказывается, однако,
что с вычислительной точки зрения разница между ними огромна.

Для первой
задачи имеется эффективный (по научному «полиномиальный») алгоритм, а
для второй без помощи Мерлина, похоже, не обойтись. Доказывать последний
факт мы не умеем, но стройная и красивая теория NP-полноты позволяет
привести хотя и косвенные, но весьма убедительные аргументы в его
пользу. Именно этой теории, позволяющей успешно расклассифицировать
необьятное море алгоритмических задач на простые и «предположительно
трудные» и посвящён наш курс.

Денис Расковалов 1. «Как работает ранжирование Яндекса?
Языковые модели: база для предсказания релевантности»

На первой части лекции будет рассказано, как работает ранжирование Яндекса,
как измерять качество поиска, зачем нужно машинное обучение, за счет чего
машина может отвечать на вопросы живых людей. Будет рассказано про то,
как знание об устройстве языка, его модель, может быть использована
для лучшего понимания машиной человека, а, значит, для улучшения качества поиска.

2. «Пользовательские данные. Как миллионы пользователей помогают друг другу?»

Яндекс — поисковая система, которой пользуются миллионы людей. Неожиданно, но
из анализа запросов, которые они задают, можно извлекать ответы. Например, можно
создать алгоритмы, которые автоматически находят синонимы. Или находят
названия всех российских городов. Для того, чтобы решить эти задачи, нужно
не только придумать алгоритм, но и обработать терабайты данных. Лекция будет
посвящена алгоритмам, решающим эти задачи, и вопросам построения масштабируемой
вычислительной среды, способной очень быстро обрабатывать терабайты данных.

Михаил Абрамович Ройтберг «Конечное и бесконечное. Разностные уравнения»

В математике приходится иметь дело с бесконечными объектами.
Простейший пример таких объектов — последовательности.
В курсе будут рассмотрены разностные уравнения — уравнения, решениями которых являются последовательности.
Один из первых в истории примеров таких уравнений – уравнение для последовательности чисел Фибоначчи.


Разностные уравнения достаточно просты, чтобы с ними, в основном, можно было разобраться в коротком курсе.
А, с другой стороны, на примере разностных уравнений можно познакомиться
с важными свойствами дифференциальных уравнений.

Примеры задач, которые имеют отношение к курсу:

1. (для ее решения ходить на курс не нужно 🙂 ) Найти геометрическую прогрессию {zn},
все члены которой при n > 2 удовлетворяют уравнению

zn = 5zn-1 — 6zn-2.

2. Последовательность {zn} всех n > 3 удовлетворяет уравнению
6zn — 11zn-1 +6zn-2zn-3 = 0,
при этом z1 = 15; z2 = 7; z3 = 4.
Вычислить z1000 с точностью до 27-го знака.

3. Написать общую формулу для n-го члена всех последовательностей {zn},
удовлетворяющих уравнению
znzn-1zn-2 + zn-3

= 0.

Алексей Владимирович Савватеев «Четвёртое, и последнее, дно тройной дуэли»

Стреляются трое. Один бьёт наверняка, другой попадает
в среднем 4 раза из пяти, третий — через раз. Стреляются по очереди,
в строго оговоренном порядке, пока двое не погибнут. Единственный
выживший получает Принцессу.

Какие шансы на победу у каждого из них?

На первый взгляд кажется, что задачка эта не очень сложная — так,
«на полчасика прикинуть». Чёрта с два! Не верите — сами попробуйте!
Держу пари, что обязательно ошибётесь! (Попробуйте дорешать хотя
бы для какого-то одного порядка, из шести возможных. Не выйдет!)
У этой задачи очень длинная предыстория. «Окончательно верное»
решение, как нам кажется, было получено нами в 2010 году — но
кто знает, может и мы ошиблись? Придите и проверьте нас!

Владимир Шарич «Основная теорема алгебры комплексных чисел»

Любой многочлен с комплексными коэффициентами имеет комплексный корень.


Согласно источникам, математики начали догадываться об этом в 17 веке;
доказывали в 18 и окончательно доказали в 19 веке с изобретением аппарата матанализа.
Лекция будет посвящена обзору истории развития вопроса и некоторых известных доказательств:

1) самое короткое доказательство

2) доказательство методом крайнего

3) доказательство дамой с собачкой

4) доказательство расширениями полей.

Правдоподобные факты, за которыми стоят совершенно необходимые для полноты нудные рассуждения,
будут использоваться без строгого обоснования.

Найти число сочетаний элементов множества. Онлайн калькулятор

Комбинаторика. Сочетания. Теория.
Количество сочетаний в комбинаторике вычисляется по формуле Где n – количество элементов множества, m – количество объектов в сочетании. Для сочетания не имеет значения порядок расположения элементов в сочетании.
Например, имеется множество, состоящее из трех цветов {фиолетовый, красный, синий} сколько вариантов сочетаний, если количество цветов в каждом сочетании m= 2? Решение:
Ответ:
Вариант 1: фиолетовый
, красный
Вариант 2: фиолетовый, синий
Вариант 3: красный, синий
Вам могут также быть полезны следующие сервисы
Калькуляторы (Комбинаторика)
Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов
Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов
Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов
Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия
Калькулятор сложения и вычитания матриц
Калькулятор умножения матриц
Калькулятор транспонирование матрицы
Калькулятор нахождения определителя (детерминанта) матрицы
Калькулятор нахождения обратной матрицы
Длина отрезка. Онлайн калькулятор расстояния между точками
Онлайн калькулятор нахождения координат вектора по двум точкам
Калькулятор нахождения модуля (длины) вектора
Калькулятор сложения и вычитания векторов
Калькулятор скалярного произведения векторов через длину и косинус угла между векторами
Калькулятор скалярного произведения векторов через координаты
Калькулятор векторного произведения векторов через координаты
Калькулятор смешанного произведения векторов
Калькулятор умножения вектора на число
Калькулятор нахождения угла между векторами
Калькулятор проверки коллинеарности векторов
Калькулятор проверки компланарности векторов
Калькуляторы систем счисления
Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские
Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления
Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел
Системы счисления теория
N2 | Двоичная система счисления
N3 | Троичная система счисления
N4 | Четырехичная система счисления
N5 | Пятеричная система счисления
N6 | Шестеричная система счисления
N7 | Семеричная система счисления
N8 | Восьмеричная система счисления
N9 | Девятеричная система счисления
N11 | Одиннадцатиричная система счисления
N12 | Двенадцатеричная система счисления
N13 | Тринадцатеричная система счисления
N14 | Четырнадцатеричная система счисления
N15 | Пятнадцатеричная система счисления
N16 | Шестнадцатеричная система счисления
N17 | Семнадцатеричная система счисления
N18 | Восемнадцатеричная система счисления
N19 | Девятнадцатеричная система счисления
N20 | Двадцатеричная система счисления
N21 | Двадцатиодноричная система счисления
N22 | Двадцатидвухричная система счисления
N23 | Двадцатитрехричная система счисления
N24 | Двадцатичетырехричная система счисления
N25 | Двадцатипятеричная система счисления
N26 | Двадцатишестеричная система счисления
N27 | Двадцатисемеричная система счисления
N28 | Двадцативосьмеричная система счисления
N29 | Двадцатидевятиричная система счисления
N30 | Тридцатиричная система счисления
N31 | Тридцатиодноричная система счисления
N32 | Тридцатидвухричная система счисления
N33 | Тридцатитрехричная система счисления
N34 | Тридцатичетырехричная система счисления
N35 | Тридцатипятиричная система счисления
N36 | Тридцатишестиричная система счисления
Дроби
Калькулятор интервальных повторений
Учим дроби наглядно
Калькулятор сокращения дробей
Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную
Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную
Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей
Калькулятор возведения дроби в степень
Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную
Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную
Калькулятор сравнения дробей
Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю
Калькуляторы (тригонометрия)
Калькулятор синуса угла
Калькулятор косинуса угла
Калькулятор тангенса угла
Калькулятор котангенса угла
Калькулятор секанса угла
Калькулятор косеканса угла
Калькулятор арксинуса угла
Калькулятор арккосинуса угла
Калькулятор арктангенса угла
Калькулятор арккотангенса угла
Калькулятор арксеканса угла
Калькулятор арккосеканса угла
Калькуляторы (Теория чисел)
Калькулятор выражений
Калькулятор со скобками
Калькулятор разложения числа на простые множители
Калькулятор НОД и НОК
Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида
Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел
Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых
Калькулятор деления числа в данном отношении
Калькулятор процентов
Калькулятор перевода числа с Е в десятичное
Калькулятор экспоненциальной записи чисел
Калькулятор нахождения факториала числа
Калькулятор нахождения логарифма числа
Калькулятор квадратных уравнений
Калькулятор остатка от деления
Калькулятор корней с решением
Калькулятор нахождения периода десятичной дроби
Калькулятор больших чисел
Калькулятор округления числа
Калькуляторы площади геометрических фигур
Площадь квадрата
Площадь прямоугольника
Генератор Pdf с примерами
Тренажёры решения примеров
Тренажер сложения
Тренажёр вычитания
Тренажёр умножения
Тренажёр деления
Тренажёр таблицы умножения
Тренажер счета для дошкольников
Тренажер счета на внимательность для дошкольников
Тренажер решения примеров на сложение, вычитание, умножение, деление. Найди правильный ответ.
Тренажер решения примеров с разными действиями
Тренажёры решения столбиком
Тренажёр сложения столбиком
Тренажёр вычитания столбиком
Тренажёр умножения столбиком
Тренажёр деления столбиком с остатком
Калькуляторы решения столбиком
Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления столбиком
Калькулятор деления столбиком с остатком
Конвертеры величин
Конвертер единиц длины
Конвертер единиц скорости
Конвертер единиц ускорения
Калькуляторы (физика)

Механика

Калькулятор вычисления скорости, времени и расстояния
Калькулятор вычисления ускорения, скорости и перемещения
Калькулятор вычисления времени движения
Калькулятор времени
Второй закон Ньютона. Калькулятор вычисления силы, массы и ускорения.
Закон всемирного тяготения. Калькулятор вычисления силы притяжения, массы и расстояния.
Импульс тела. Калькулятор вычисления импульса, массы и скорости
Импульс силы. Калькулятор вычисления импульса, силы и времени действия силы.
Вес тела. Калькулятор вычисления веса тела, массы и ускорения свободного падения

Оптика

Калькулятор отражения и преломления света

Электричество и магнетизм

Калькулятор Закона Ома
Калькулятор Закона Кулона
Калькулятор напряженности E электрического поля
Калькулятор нахождения точечного электрического заряда Q
Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q
Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q
Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q
Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля
Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы

Конденсаторы

Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе
Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе
Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора
Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора. Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
Калькуляторы по астрономии
Вес тела на других планетах
Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках
Генераторы
Генератор примеров по математике
Генератор случайных чисел
Генератор паролей

Элементы комбинаторики. Размещения - презентация онлайн

1. Элементы комбинаторики

Размещения

2. Задача 1. Сколькими способами 9 человек могут встать в очередь в театральную кассу?

Решение:
P9 = 9! = 9·8·7·6·5·4·3·2·1 = 362 880.
Ответ: 362 880.

3. Задача 2. Сколько шестизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр: а) 1, 2, 5, 6, 7, 8; б) 0, 2, 5, 6, 7, 8?

Решение:
а) P6 = 6! = 720;
Ответ: а) 720;
б) 1 способ (метод исключения лишних
вариантов):
P6 – P5 = 6! – 5! = 720 -120 = 600;
2 способ (правило произведения): 5·5·4·3·2·1 =
600.
Ответ: б) 600.

4. Задача 3. Решите уравнение: а) n! = 7·(n-1)!; б) (k – 10)! = 77·(k – 11)!

Решение:
n! = 7·(n-1)!
n·(n-1)! = 7·(n-1)!
n=7
Ответ: 7.
Решение:
(k – 10)! = 77·(k – 11)!
(k – 10)·(k – 11)! =
= 77·(k – 11)!
K – 10 = 77
K = 87
Ответ: 87.

5. Задача 4. Сколькими способами можно расставить на полке 7 книг, из которых 3 книги – это книги одного автора, так, чтобы книги

одного автора стояли рядом?
Решение:
Из 7 элементов 3 элемента можно «склеить» P3
= 3! = 6 различными способами.
Число различных перестановок из 5 элементов
(4 элемента + «склейка») равно P5 = 5! = 120.
Общее число способов расставить 7 книг, из
которых 3 должны стоять рядом, равно
6·120 = 720.
Ответ: 720.

6. Задача. Пусть имеется 4 шара (красный, синий, зеленый и желтый) и 4 пустых ячейки. Сколько существует способов размещения шаров

в ячейках?
Решение:
Число размещений 4 шаров в 4 ячейках равно
числу перестановок из 4 элементов
P4 = 4! = 24.
Ответ: 24.

7. Пусть имеется 4 шара (красный, синий, зеленый и желтый) и 3 пустых ячейки. Сколько существует способов размещения шаров в

ячейках?
Каждую упорядоченную тройку, которую
можно составить из четырех элементов,
называют размещением из четырех
элементов по три.

8. Определение.

Размещением из n элементов по k (k ≤ n) называется
любое множество, состоящее из любых k элементов,
взятых в определенном порядке из данных n
элементов.
Размещения отличаются друг от друга как составом,
так и порядком расположения элементов в
комбинации.
Число размещений из n элементов по k
обозначают
k
An

9. Дерево возможных вариантов или граф-дерево.

Число размещений
из 4 шаров по 3
к
с
з
с
ж
к
з
з
ж
к
с
ж
ж
к
с
з
з ж с ж с з з ж к ж к з с ж к ж к с с з к з к с

10. Таблица размещений из четырех элементов по три.

кcз
ксж
кзс
кзж
кжс
кжз
скз
скж
сзк
сзж
сжк
сжз
зкс
зкж
зск
зсж
зжк
зжс
жкс
жкз
жск
жсз
жзк
жзс

11. Правило произведения.

Первый шар можно выбрать четырьмя
способами, так как им может быть любой из
четырех шаров.
Для каждого выбранного первого шара можно
тремя способами выбрать из трех оставшихся
второй шар.
Для каждых первых двух шаров можно двумя
способами выбрать из двух оставшихся третий
шар.
A3 4 3 2 24
4

12. Вывод формулы для вычисления числа размещений из n элементов по k, где k ≤ n.

Первый элемент можно выбрать n способами.
Для каждого выбора первого элемента можно n-1 способами
выбрать второй элемент (из n-1 оставшихся).
Для каждого выбора первых двух элементов можно n-2 способами
выбрать третий элемент (из n-2 оставшихся) и так далее.
Наконец, для каждого выбора первых k-1 элементов можно
n-(k-1) способами выбрать k-й элемент (из n-(k-1) оставшихся).
Ank n(n 1)(n 2)
(n (k 1)).
Число размещений из n элементов по k равно
произведению k последовательных натуральных
чисел, из которых наибольшим является n.

13. Определение.

Произведение k натуральных чисел,
начинающееся с n, в котором каждый
следующий множитель уменьшается на
единицу, называется убывающим
k-факториалом от n и обозначается
(n)k.

14. Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4

различных предмета?
Решение:
Любое расписание на один день, составленное из 4 различных
предметов, отличается от другого либо предметами, либо
порядком следования предметов. Значит, речь идет о
размещениях из 8 элементов по 4.
A 8 7 6 5 1680
4
8

15. Задача № 1.

На странице альбома 6 свободных мест для
фотографий. Сколькими способами можно вложить в
свободные места:
а) 2 фотографии;
Ответ: 30.
б) 4 фотографии;
Ответ: 360.
в) 6 фотографий?
Ответ: 720.

16. Размещения из n элементов по n отличаются друг от друга только порядком элементов, т.е. представляют собой перестановки из n

элементов.
A 1 2
n
n
(n 2)( n 1) n n ! Pn .

17. Задача № 2.

Сколькими способами может
разместиться семья из трех человек в
четырехместном купе, если других
пассажиров в купе нет?
Ответ: 24.

18. Задача № 3.

Из 30 участников собрания надо
выбрать председателя и секретаря.
Сколькими способами можно это
сделать?
Ответ: 870.

19. Задача № 4.

Сколькими способами могут занять
первое, второе и третье места 8
участниц финального забега на
дистанции 100 м?
Ответ: 336.

20. Задача № 5.

На станции 7 запасных путей.
Сколькими способами можно
расставить на них 4 поезда?
Ответ: 840.

21. Задача № 6.

Сколькими способами 6 учеников,
сдающих экзамен, могут занять
места в аудитории, в которой стоит
20 одноместных столов?
Ответ: 27 907 200.

22. Задача № 7.

На плоскости отметили 5 точек.
Их надо обозначить латинскими
буквами. Сколькими способами это
можно сделать ( в латинском
алфавите 26 букв)?
Ответ: 7 893 600.

23. Задача № 8.

Сколько четырехзначных чисел, в
которых нет одинаковых цифр,
можно составить из цифр
1, 3, 5, 7, 9.
Ответ: 120.

24. Домашнее задание.

Задача №1. Сколькими способами организаторы
конкурса могут определить, кто из 15 его
участников будет выступать первым, вторым и
третьим?
Задача №2. Сколькими способами можно
изготовить трехцветный флаг с горизонтальными
полосами, если имеется материал 7 различных
цветов?
Составить и решить задачу на размещения из 25
элементов по 4.

Основные комбинаторные соотношения в теории вероятностей

В теории вероятностей, при подсчете числа исходов испытаний(попыток)  применяют следующие соотношения

Число перестановок по m элементов  из n различных элементов, в которых каждый элемент используется только один раз.

В частности, число перестановок из n различных  элементов равно

Число перестановок  по m элементов по n различных элементов, в которых  каждый элемент может использоватся любое допустимое (от 0 до m) число раз

Таким способом мы например высчитывали какой же запас автомобильных номеров может существовать при той или иной нумерации.

Число перестановок из n элементов, среди которых n

1 первого вида, n2 второго вида,...nm m-ого вида, или число способов рзмещения n различных элементов по m различным ячейкам при условии, что в i-ой ячейке помещается ni(i=1,...,m) элементов

где

Число перестановок из n различных элементов, в которых имеется ровно k несмещенных элементов(относительно исходного их расположения)

Значение  - есть субфакториал и  рассчитывается по реккуретной формуле

при 

Число сочетаний по m элементов из n различных элементов, в которых каждый элемент используется только один раз

Число сочетаний по m элементов из n различных элементов, в которых каждый элемент может повторятся любое допустимое  (от 0 до m) число раз

Число размещений m одинаковых элементов по n различным ячейкам при условии, что n-k из них остаются пустыми

а число всевозможных размещений

Число размещений m различных элементов по n различным ячейкам при условии, что n-k  из них остаются свободными

а число всевозможных размещений

Число размещений m различных элементов по n одинаковым ячейкам при условии, что n-k из них остаются свободными

а число всевозможных размещений

Число размещений m одинаковых элементов по n одинаковым ячейкам при условии, что n-k  из них остаются свободными

а число всевозможных размещений

Для правильного пользования приведенными комбинаторными соотношениями надо уяснить различие размещений при разных и одинаковых ячейках и элементах. Возможные комбинации условий и выражения для числа размещений при каждой комбинации приведены в таблице.

Ячейки, n Элементы,m
различные одинаковые
различные U(n,m) f(n,m)
одинаковые V(n,m) F(n,m)

 

  • Остаток числа в степени по модулю >>

Математика 6 класс - Образовательная онлайн-платформа МЭО

Описание

Интерактивный онлайн-сборник «Математика 6 класс» сможет заменить бумажный учебник или дополнить его. Содержание интерактивных курсов соответствует требованиям федеральных государственных образовательных стандартов (ФГОС). Онлайн-уроки построены таким образом, что перед изучением новой темы, предлагается повторить и закрепить ранее изученный материал Математики 5 класса. Онлайн-уроки подходят для самостоятельного изучения. Ребенок познакомится с теорией, проверит полученные знания с помощью онлайн-тренажеров и интерактивных заданий, подготовится к контрольным и проверочным работам, экзаменам, ВПР и ОГЭ. Такой формат занятий поможет разобраться в новой теме или подтянуть знания по предмету. Доступ к онлайн-урокам осуществляется через интернет (24/7). Это позволяет заниматься в дороге и дома, во время соревнований, выездов на олимпиады или в оздоровительный лагерь. Курс математики включает в себя теорию делимости чисел, все действия с обыкновенными дробями, пропорции, решение задач на пропорции, действия с положительными и отрицательными числами. В рамках курса решается много уравнений и задач при помощи уравнений, а также комбинаторные задачи. Большое внимание в курсе уделяется построениям в координатной плоскости и геометрическим фигурам. Пособие содержит наглядный материал — иллюстрации, видео, графики, схемы, это позволяет лучше понимать и быстрее запоминать материал. Интерактивные задания различных типов помогают проверить полученные знания самостоятельно и подготовиться к ВПР и к ОГЭ дистанционно. Онлайн-учебник Математика 6 класс включает в себя следующие темы:
  • Прямые на плоскости и в пространстве
  • Признаки делимости
  • Разложение на простые множители
  • Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
  • Основное свойство дроби
  • Сравнение дробей
  • Сложение и вычитание дробей
  • Умножение дробей
  • Деление дробей
  • Отношения и пропорции
  • Прямые и окружности
  • Положительные и отрицательные числа
  • Сложение и вычитание чисел
  • Умножение и деление положительных и отрицательных чисел
  • Рациональные числа
  • Симметрия
  • Уравнения
  • Координаты на плоскости
  • Многоугольники и многогранники
  • Комбинаторика
Онлайн-уроки содержат:
  • полный теоретический материал по предмету с гиперссылками;
  • дополнительные рубрики «Веселая переменка», «Это интересно», «Клуб знатоков», «Словарь», «Тренируемся» и другие;
  • интерактивное оглавление;
  • задачи с алгоритмами решения;
  • тематические контрольные работы;
  • мультимедийные объекты: иллюстрации, видео, графики и схемы, аудио, слайд-шоу, загадки, ребусы, кроссворды;
  • задания различных типов для проверки знаний, в том числе, для подготовки к проверочным, контрольным работам, к ВПР;
  • тесты с автоматической проверкой и задания с открытым ответом.

Оглавление   Занятие 1. Прямые на плоскости и в пространстве Интернет-урок 1. Пересекающиеся прямые Интернет-урок 2. Параллельные прямые Интернет-урок 3. Прямые в пространстве Интернет-урок 4. Расстояние Занятие 2. Признаки делимости Интернет-урок 1. Делители и кратные Интернет-урок 2. Признаки делимости на 2, на 5 и на 10 Интернет-урок 3. Признаки делимости на 3 и на 9 Занятие 3. Разложение на простые множители Интернет-урок 1. Простые и составные числа Интернет-урок 2. Разложение на простые множители Занятие 4. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное Интернет-урок 1. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа Интернет-урок 2. Наименьшее общее кратное Интернет-урок 3. Решение задач на НОД и НОК Занятие 5. Основное свойство дроби Интернет-урок 1. Основное свойство дроби Интернет-урок 2. Сокращение дробей Занятие 6. Сравнение дробей Интернет-урок 1. Приведение дробей к общему знаменателю Интернет-урок 2. Сравнение дробей Занятие 7. Сложение и вычитание дробей Интернет-урок 1. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями Интернет-урок 2. Сложение и вычитание смешанных чисел Занятие 8. Умножение дробей Интернет-урок 1. Умножение дробей Интернет-урок 2. Нахождение дроби от числа Интернет-урок 3. Как упростить вычисления Интернет-урок 4. Взаимно обратные числа Занятие 9. Деление дробей Интернет-урок 1. Деление дробей Интернет-урок 2. Нахождение числа по его дроби Интернет-урок 3. Дробные выражения Занятие 10. Отношения и пропорции Интернет-урок 1. Отношение чисел и величин Интернет-урок 2. Пропорции Интернет-урок 3. Масштаб Занятие 11. Прямые и окружности Интернет-урок 1. Прямая и окружность Интернет-урок 2. Две окружности на плоскости Интернет-урок 3. Круглые тела Занятие 12. Положительные и отрицательные числа Интернет-урок 1. Координаты на прямой Интернет-урок 2. Противоположные числа Интернет-урок 3. Модуль числа Интернет-урок 4. Сравнение чисел Занятие 13. Сложение и вычитание чисел Интернет-урок 1. Сложение чисел Интернет-урок 2. Вычитание чисел Занятие 14. Умножение и деление положительных и отрицательных чисел Интернет-урок 1. Умножение положительных и отрицательных чисел Интернет-урок 2. Деление положительных и отрицательных чисел Занятие 15. Рациональные числа Интернет-урок 1. Рациональные числа Интернет-урок 2. Свойства действий с рациональными числами Занятие 16. Симметрия Интернет-урок 1. Осевая симметрия Интернет-урок 2. Ось симметрии фигуры Интернет-урок 3. Центральная симметрия Занятие 17. Уравнения Интернет-урок 1. Раскрытие скобок Интернет-урок 2. Коэффициент Интернет-урок 3. Подобные слагаемые Интернет-урок 4. Решение уравнений Занятие 18. Координаты на плоскости Интернет-урок 1. Координаты на плоскости Занятие 19. Многоугольники и многогранники Интернет-урок 1. Параллелограмм и его виды Интернет-урок 2. Правильные многоугольники Интернет-урок 3. Площади Интернет-урок 4. Призма Интернет-урок 5. Пирамида Занятие 20. Комбинаторика Интернет-урок 1. Решение комбинаторных задач

Репетиторы онлайн по комбинаторике. Дистанционные занятия по скайпу

Иосиф Менделевич

Преподаватель вуза Стаж 49 лет

У репетитора есть видеопрезентация смотреть видеопрезентация

от 1 700 руб / час

свободен Связаться

Репетитор по математике

У ученика, дистанционно

Окончил школу с золотой медалью, при этом перешел из восьмого в десятый класс, сдав за девятый класс экстерном, поэтому не учился в девятом. Был Ленинским Развернуть

Отзывы

Замечательный преподаватель, с моей дочерью Юлией сразу нашли общий язык, занятия проходили интересно и эффективно, объяснял он очень понятно и доступно. Развернуть Дочь долго болела до этого, очень поздно мы обратились на ваш сайт с поисками репетитора. Мы занимались чуть больше месяца по 2 раза в неделю, но результат занятий был очень ощутим (алгебра и геометрия, ГИА, 9 класс). Мы с дочерью очень рады и благодарны Иосифу Менделевичу! В дальнейшем планируем продолжить сотрудничать с Иосифом Менделевичем в следующем учебном году. Все отзывы (84)

Надежда Павловна

Частный преподаватель Стаж 40 лет

У репетитора есть видеопрезентация смотреть видеопрезентация

от 3 000 руб / час

свободен Связаться

Репетитор по математике

У репетитора, дистанционно

Мои ученики поступают и успешно учатся в престижных колледжах и лицеях: Школа Queen Ethelburga"s College и лицей при Бауманке. А также в вузах: МГУ, Развернуть

Отзывы

Через Ассоциацию репетиторов искали преподавателя математики для пятнадцатилетней дочери, чтобы за 2 года (10 и 11 классы) подготовиться к сдаче ЕГЭ. Развернуть С Надеждой Павловной дочка занимается больше двух месяцев. Практически с первого занятия был полный контакт между учеником и педагогом. Никаких нареканий в адрес педагога у нас нет: все грамотно, основательно, профессионально, сложные моменты объясняются ребенку до полного понимания материала. Очень довольны и будем продолжать заниматься дальше. Все отзывы (67)

Дмитрий Александрович

Частный преподаватель Стаж 12 лет

У репетитора есть видеопрезентация смотреть видеопрезентация

от 2 200 руб / час

свободен Связаться

Репетитор по математике

У репетитора, у ученика, дистанционно

Доброго времени суток, мои будущие ученики и их родители!Если вы присматриваетесь к услугам репетитора, то, наверняка, у вас есть конкретная Развернуть

Отзывы

Дмитрий, зарекомендовал себя, как профессионал в области физики и математики, также коммуникативен, доброжелателен, воспитан и пунктуален. Хорошо находит Развернуть контакт с учеником. Пробелы в указанной области благодаря его опыту были восполнены. Все отзывы (70)

Александр Сергеевич

Преподаватель вуза Стаж 25 лет

У репетитора есть видеопрезентация смотреть видеопрезентация

от 2 000 руб / час

свободен Связаться

Репетитор по математике

У репетитора, у ученика, дистанционно

Приглашаю Вас на свои занятия. Провожу их как индивидуально, так и в группе, работаю и с сильными, и со слабыми учениками. Готовлю к ЕГЭ (максимальный Развернуть

Отзывы

Ребенок занимался физикой полгода. Разбирались задачи различного уровня сложности, включая программу ВУЗа. Промежуточную аттестацию в школе ребенок сдал Развернуть на отлично (до этого были четверки). Все отзывы (93)

Марсель Азатович

Частный преподаватель Стаж 5 лет

У репетитора есть видеопрезентация смотреть видеопрезентация

от 3 000 руб / час

свободен Связаться

Репетитор по математике

У ученика, дистанционно

Дорогие ученики и уважаемые родители!На наших занятиях мы готовимся к экзаменам (ОГЭ/ЕГЭ), Всероссийской и другим олимпиадам, как «Физтех», Развернуть

Отзывы

Марсель Азатович занимается с моим сыном уже год. Ставлю высший балл педагогу! Он хороший, внимательный и добрый преподаватель. Общительный, позитивный Развернуть человек, всегда оптимистично настроен по отношению к ученику, обладающий и нужным терпением в процессе обучения. У сына появилась уверенность в полученных знаниях и мотивация на получение хорошей оценки. Рекомендую! Все отзывы (32)

Никита Сергеевич

Преподаватель вуза Стаж 8 лет

от 2 500 руб / час

свободен Связаться

Репетитор по математике

У репетитора, у ученика, дистанционно

Рад буду помочь подготовиться к ЕГЭ по математике и информатике, а также к вступительным экзаменам в вузы (например, к ДВИ МГУ). Также готовлю к экзаменам Развернуть

Отзывы

Прекрасный репетитор! Нашел подход к гуманитарному ребенку. Благодаря Никите Сергеевичу, наша ситуация за один месяц в школе исправилась, оценки по алгебре Развернуть и геометрии повысились, у дочери появилась уверенность в себе перед сдачей ГИА. Никита Сергеевич очень доходчиво объясняет пройденный материал, готовит к новой теме и задает домашние задания, готовит к ГИА. Поскольку, нам было нужно только подтянуть знания, то мы закончим занятия в этом году, но будем всегда иметь его в виду и рекомендовать знакомым, в качестве отличного репетитора математики. Спасибо, Никите Сергеевичу, за помощь! Все отзывы (87)

Алексей Петрович

Частный преподаватель Стаж 10 лет

У репетитора есть видеопрезентация смотреть видеопрезентация

от 1 000 руб / час

свободен Связаться

Репетитор по математике

У репетитора, у ученика, дистанционно

Большой опыт при подготовке учеников к ОГЭ и ЕГЭ. На первом этапе, как правило, провожу тестовое занятие. Далее составляю индивидуальный план занятий, Развернуть

Отзывы

Алексей Петрович нашёл общий язык и подход к моему ребенку, заинтересовал его в получении знаний и хороших оценок, контролировал выполнение дополнительных Развернуть и помогал разобраться в сложностях домашних заданий ( математический класс). По результатам занятий сын сдал ОГЭ по математике на 4 балла. Рекомендую. Все отзывы (39)

Григорий Александрович

Аспирант Стаж 8 лет

от 1 350 руб / час

свободен Связаться

Репетитор по математике

У репетитора, у ученика, дистанционно

Призер ВСТФ 2011, ВСТФ 2012, IPT 2014 (г. Лозанна, Швейцария), УМНИК 2018. На 4 курсе проходил обучение в г. Бирмингем, Англия. Придумывал и придумываю Развернуть

Отзывы

Начиная с 8 сентября репетитор проводит с сыном 14 лет занятия 1 раз в неделю. Общаются на занятиях только по английски. Сын ходит с удовольствием! Все отзывы (53)

Денис Олегович

Частный преподаватель Стаж 6 лет

У репетитора есть видеопрезентация смотреть видеопрезентация

от 1 100 руб / час

свободен Связаться

Репетитор по математике

У репетитора, дистанционно

Рад приветствовать, Вас, дорогие ребята и родители. Кто очень хотел добить под конец года ЕГЭ до 100 баллов, или кому нужна экстренная помощь, у меня Развернуть

Отзывы

С Денисом мы занимались математикой и физикой с целью подготовки к ЕГЭ. На занятиях я не присутствовала, но ребенок был доволен. Всегда был на связи как Развернуть по учебным, так и по организационным вопросам. Не смотря на свой молодой возраст, Денис завоевал авторитет у ученика. Такого репетитора я и видела (молодого, влюбленного в свой предмет). Эффект от занятий пока не понятен, т.к. результатов ЕГЭ нет, но за процесс обучения, неравнодушие, отзывчивость и просто общение, Денису большое спасибо. Все отзывы (17)

Олег Олегович

Преподаватель вуза Стаж 10 лет

У репетитора есть видеопрезентация смотреть видеопрезентация

от 2 200 руб / час

свободен Связаться

Репетитор по математике

У ученика, дистанционно

Закончил Механико-математический факультет МГУ им. Ломоносова. Специальность – Математик, Механик, Преподаватель.Заниматься преподавательской Развернуть

Отзывы

Изумительный репетитор. Отлично знающий свои предметы и прекрасно их преподносит. Ребёнок в восторге. Занимались по математике и физике. Учителя школьные Развернуть за весь период обучения не смогли столько дать знаний ребёнку, сколько дал Олег Олегович за год. Все отзывы (25)

Семинары, школы

Постоянно действующие семинары отделов института


Теория и методы выпуклой и комбинаторной оптимизации, методы оптимальной коррекции несобственных оптимизационных задач, приложения в области распознавания образов, анализа данных и математического моделирования.
Участники: ОМП
Научный руководитель: М.Ю. Хачай
Периодичность проведения: По пятницам с 11:00
Место проведения: Актовый зал ИММ УрО РАН
Сайт семинара: http://www.mathnet.ru/php/conference.phtml?option_lang=rus&eventID=38&confid=545
Оптимальное управление, дифференциальные игры, уравнения Гамильтона – Якоби, математическое моделирование динамических систем
Участники: ОДС
Научный руководитель: Н.Н. Субботина, А.М. Тарасьев, В.Н. Ушаков
Периодичность проведения: 1 раз в неделю по средам с 15:00
Место проведения: актовый зал ИММ УрО РАН
Сайт семинара: http://home.imm.uran.ru/dsd/semin_.html

Уравнения и системы уравнений в частных производных первого порядка и задачи динамической оптимизации

Системы квазилинейных гиперболических уравнений и нелинейных уравнений Гамильтона – Якоби, обобщенные решения, двойственные задачи динамической оптимизации, функции цены, разрешающие стратегии
Участники: Сектор 4 ОДС
Научный руководитель: Н. Н. Субботина
Периодичность проведения: 1 раз в неделю по пятницам с 13:00
Место проведения: К. 601 лабораторного корпуса ИММ УрО РАН

Алгебраический семинар

Алгебра и алгебраическая комбинаторика
Участники: ОАиТ, секторы 1 и 3
Научный руководитель: А.А. Махнев, А.С. Кондратьев
Периодичность проведения: 1 раз в неделю по вторникам с 14.00 до 16.00
Место проведения: актовый зал ИММ УрО РАН

Участники: ОВС, ОСО, ОУС
Научный руководитель: Е.Е. Иванко
Периодичность проведения: понедельник 15-00
Место проведения: актовый зал ИММ УрО РАН
Сайт семинара: http://seminar130.uran.ru/

Технологии создания и особенности функционирования системного программного обеспечения вычислительных кластеров и информационных серверов

Участники: Отдел системного обеспечения (до 2018 г. - совместно с ОВТ)
Научный руководитель: А.С. Игумнов
Периодичность проведения: Объявляется дополнительно, в среднем – 1 раз в месяц

Архитектуры параллельных и распределенных вычислительных систем, решение прикладных задач на параллельных вычислительных системах
Участники: ОВТ (иногда совместно с ОСО)
Научный руководитель: А. В. Созыкин
Периодичность проведения: по четвергам, с 14.00
Место проведения: ауд. 115 ИММ УрО РАН
Сайт семинара: http://ovt.imm.uran.ru/ (архив за 2017 г.)
На семинарах рассматриваются актуальные вопросы визуализации высокопроизводительных вычислений, компьютерной графики, человеко-машинного взаимодействия, системного программирования параллельных и распределенных вычислений, а также смежные вопросы.
Участники: ОСО
Научный руководитель: В.Л. Авербух
Периодичность проведения: Каждый четверг, с 16:00
Место проведения: комната 303 нового здания ИММ
Сайт семинара: http://www.cv.imm.uran.ru/seminar

Семинар отдела управляемых систем

Управляемые системы, динамическое программирование, теория игр, оптимальное управление, комбинаторные алгоритмы, задача коммивояжера, теория уравнений Гамильтона – Якоби – Беллмана
Участники: ОУС
Научный руководитель: А.Г. Ченцов
Периодичность проведения: 1 раз в неделю

Моделирование и обработка изображений в системах технического зрения

Тематика определяется текущими прикладными задачами или научными интересами сотрудников
Участники: ОППУ
Научный руководитель: В. Б. Костоусов
Периодичность проведения: 1 раз в неделю по средам в 15.00

Семинар по топологии им. Н.В. Величко

Общая топология, теория множеств, функциональный анализ, комбинаторная топология
Участники: ОАиТ
Научный руководитель: А.В. Осипов
Периодичность проведения: каждый четверг

Теория функций и аппроксимации

Приближение функций и операторов, сплайны и всплески, экстремальный свойства полиномов и целых функций.
Участники: Объединенный семинар ОТПФ и ОАиП
Научный руководитель: Ю.Н. Субботин, Н.И. Черных
Периодичность проведения: 1 раз в неделю по четвергам с 10:00

Общие вопросы математической теории управления

Обсуждаются новые результаты в области теории управления динамическими системами в условиях неопределенности, в том числе исследования свойств множеств достижимости неопределенных систем, структуры границ указанных множеств, последние достижения в решении задач оптимизации таких систем, исследования в теории импульсного управления и другие вопросы.
Участники: отдел оптимального управления
Научный руководитель: Т.Ф. Филиппова, М.И. Гусев
Периодичность проведения: 1 раз в месяц по понедельникам

Маломерная топология

Топология трёхмерных многообразий, теория узлов
Участники: Отдел алгоритмической топологии (Челябинск)
Научный руководитель: С.В. Матвеев
Периодичность проведения: 1 раз в неделю
Место проведения: ОАТ ИММ УрО РАН (Челябинск)

Методы решения некорректных задач

Участники: ОНЗАП
Научный руководитель: В.В. Васин
Периодичность проведения: 1 раз в две недели

Математическое моделирование многомерных систем

Моделирование многомерных (распределенных) систем
Участники: ОДУ
Научный руководитель: В.И. Максимов
Периодичность проведения: 1 раз в два месяца

Калькулятор перестановок и комбинаций

Результат

Перестановки , n P r = = 30
Комбинации , n C

0 = 150006

0


Калькулятор связанной вероятности | Калькулятор размера выборки

Перестановки и комбинации являются частью раздела математики, называемого комбинаторикой, который включает изучение конечных дискретных структур. Перестановки - это особый выбор элементов в наборе, где важен порядок, в котором элементы расположены, в то время как комбинации включают выбор элементов без учета порядка. Например, типичный кодовый замок с технической точки зрения следует называть замком с перестановкой по математическим стандартам, поскольку важен порядок вводимых чисел; 1-2-9 - это не то же самое, что 2-9-1, тогда как для комбинации будет достаточно любого порядка этих трех чисел. Существуют разные типы перестановок и комбинаций, но калькулятор выше учитывает только случай без замены, также называемый без повторения.Это означает, что для приведенного выше примера кодового замка этот калькулятор не вычисляет случай, когда кодовый замок может иметь повторяющиеся значения, например 3-3-3.

Перестановки

Предоставленный калькулятор вычисляет одну из наиболее типичных концепций перестановок, в которой расположения фиксированного числа элементов r берутся из заданного набора n . По сути, это можно обозначить как r-перестановок n или частичных перестановок , обозначенных как n P r , n P r , P (n, r) , или P (n, r) среди других. В случае перестановок без замены рассматриваются все возможные способы, которыми элементы в наборе могут быть перечислены в определенном порядке, но количество вариантов уменьшается каждый раз, когда выбирается элемент, а не такой случай, как «комбинационная» блокировка. , где значение может встречаться несколько раз, например 3-3-3. Например, при попытке определить количество способов, которыми капитан команды и вратарь футбольной команды могут быть выбраны из команды, состоящей из 11 членов, капитан команды и вратарь не могут быть одним и тем же лицом, и, однажды выбранные, должен быть удален из набора.Буквы от A до K будут представлять 11 различных членов команды:

А Б В Г Д Е Ж З И К 11 членов; А выбран капитаном

B C D E F G H I J K 10 членов; B выбран хранителем

Как можно видеть, первым был выбран A в качестве капитана из 11 начальных членов, но поскольку A не может быть капитаном команды, а также вратарём, A был удален из набора ранее. может быть сделан второй выбор вратаря B .Полные возможности, если бы каждый член команды был задан, были бы 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × ... × 2 × 1, или 11 факториалов, записанных как 11 !. Однако, поскольку в этом случае были важны только выбранные капитан команды и вратарь, релевантны только первые два варианта: 11 × 10 = 110. Таким образом, уравнение для вычисления перестановок удаляет остальные элементы, 9 × 8 × 7 × ... × 2 × 1 или 9 !. Таким образом, обобщенное уравнение для перестановки можно записать как:

Или в данном случае конкретно:

11 P 2 = = = 11 × 10 = 110

Опять же, предоставленный калькулятор не вычисляет перестановки с заменой, но для любопытных ниже приведено уравнение:

n P r = n r

Комбинации

Комбинации связаны с перестановками в том смысле, что они по существу представляют собой перестановки, в которых все избыточности удаляются (как будет описано ниже), поскольку порядок в комбинации не важен. Комбинации, как и перестановки, обозначаются различными способами, включая n C r , n C r , C (n, r) или C (n, r) , или чаще всего просто

. Как и в случае перестановок, предоставленный калькулятор учитывает только случай комбинаций без замены, и случай комбинаций с заменой не обсуждается. Снова используя пример футбольной команды, найдите количество способов выбрать 2 нападающих из команды из 11 человек.В отличие от случая, приведенного в примере перестановки, где сначала был выбран капитан, а затем вратарь, порядок, в котором выбираются нападающие, не имеет значения, поскольку они оба будут нападающими. Снова обращаясь к футбольной команде как к буквам A - K , не имеет значения, будут ли выбраны нападающими A , а затем B или B , а затем A , только что они выбраны. Возможное количество аранжировок для всех n человек, просто n! , как описано в разделе перестановок. Чтобы определить количество комбинаций, необходимо удалить избыточность из общего количества перестановок (110 из предыдущего примера в разделе перестановок), разделив избыточность, которая в данном случае равна 2 !. Опять же, это связано с тем, что порядок больше не имеет значения, поэтому уравнение перестановки необходимо уменьшить на количество способов выбора игроков: A , затем B или B , затем A , 2 или 2! . Это дает обобщенное уравнение для комбинации, как для перестановки, деленной на количество избыточностей, и обычно известно как биномиальный коэффициент:

Или в данном случае конкретно:

Имеет смысл, что существует меньше вариантов для комбинации, чем для перестановки, поскольку избыточности удаляются.Опять же, для любопытных, ниже приведено уравнение для комбинаций с заменой:

n C r =
(г + п -1)!
р! × (п - 1)!

Комбинированный калькулятор | Лучший комбинированный генератор

Что такое комбинация?

Выбор элементов из коллекции таким образом, что порядок выбора не имеет значения. Номера различных групп, которые могут быть сформированы путем выбора некоторых или всех элементов, называются комбинациями этих чисел.

И перестановки, и комбинации - это раздел математики, известный как комбинаторика. Концепции сочетаний и перестановок отличаются от «Округление» и «Средняя точка». Вы можете узнать об этих концепциях из нашего калькулятора округления и калькулятора средней точки.

Что такое комбинированная формула?

Формула Комбинации: n P r означает количество Комбинаций без повторения «n» вещей, занимающих «r» за раз.

n C r = n! / р! (н-р)!

Что такое перестановка?

Количество различных расстановок, которые могут быть выполнены путем взятия некоторых или всех этих элементов, называемых перестановками. Это уникальный способ, с помощью которого можно заказать или выбрать несколько объектов. Например, если у нас есть три буквы ABC, мы можем расположить их как ABC или BCA. Это будут две разные перестановки. Третья перестановка будет CAB.

Что нам нужно знать, так это сколько существует перестановок этих объектов.Как вы видели, введено значительное количество алфавитов; ABC - это не то же самое, что BCA. Тогда как в комбинациях будет достаточно любого порядка этих трех алфавитов.

Что такое формула перестановки?

n P r = n (n-1) (n-2) (n-3) …………. (п-г + 1) = п! / (п-р)!

Для полного изучения и практики перестановки, найдите наш Калькулятор перестановок.

Как определить перестановку или комбинацию?

Иногда бывает сложно определить перестановку и комбинацию.Это похоже на выбор группы, состоящей из 11 игроков из доступных, штатных, 100 игроков. В этом случае, когда вы проводите беглый просмотр, неважно, кто был выбран первым.

В перестановке порядок важен. В приведенном выше случае предположим, что вы сфотографировали 11 игроков, тогда даже изменив положение одного игрока, мы получим другое фото. Каждая отдельная позиция - это отдельный заказ или расположение. Итак, в Перестановке есть Выбор и расположение, тогда как в Комбинации есть единственный выбор.

Ключевые моменты, которые следует помнить при вычислении перестановки

  • Перестановка, при которой конкретный элемент должен находиться в указанном месте
  • Перестановка кольцевой развязки при наличии "n" объектов их можно организовать (n-1) способами
  • Перестановки вещей не все разные! / п! д! р!
  • Перестановка с повторением n r

Как рассчитать комбинации и перестановки?

Когда это «n» вещей, и мы проводим их действия, принимая «r» за раз, мы получаем n P r планов.Где n P r определяет несколько «n» вещей, взятых «r» за раз.

Пример 1:

Узнайте, сколькими способами можно сформировать команду по крикету, состоящую из 11 игроков, из 15 доступных плательщиков высокого класса?

Решение: Согласно определению комбинации и формуле, значение «n» (общее количество игроков) равно 15, а значение «r» (выбираемые игроки) равно 11.

Подставляя оценки как «n», так и «r» в уравнение Комбинации, мы получаем

15 С 11 = 1365

Итак, команду можно сформировать 1365 способами.Цифр этого может быть много. Чтобы узнать такие цифры, найдите наш калькулятор Sig Fig.

Пример 2:

Комитет из 5 человек должен быть выбран из 6 мужчин и 4 женщин. Сколько комитетов возможно, если

а) Нет ограничений?

Sol: 10 C 5

b) Одно конкретное лицо должно быть выбрано в консультативную группу?

Sol: 1 x 9 C 4

c) Одна конкретная женщина должна быть исключена из консультативной группы?

Sol: 9 C 5

Пример 3:

В покере 5 карт управляются из обычной колоды из 52 карт.

(i) Каково возможное количество раздач, если нет ограничений?

Sol: 52 C 5

а) В каком количестве этих рук

б) 4 короля?

Решение: 4 C 4 x 48 C 1 или 1 x 48

Оставшееся значение является ответом, остальные значения также могут быть рассчитаны с помощью онлайн-калькулятора, такого как этот Калькулятор остатка.

Пример 4:

Если 4 книги по математике выбраны из 6 разных книг по математике и 3 книги по английскому выбраны из 5 разных книг по английскому, сколько способов можно расположить эти семь книг на полке?

а) Если нет ограничений?

Sol: 6 C 4 x 5 C 3 x 7!

б) Если учебники по математике останутся вместе?

Сол:

Это можно объяснить как перестановкой, так и комбинацией.Итак, ответ

6 P 4 x 5 C 3 x 4! Или ( 6 C 4 x 4!) X 5 C 3 x 4!

Зачем использовать комбинированный калькулятор?

Калькулятор комбинаций - самый простой инструмент для решения задач комбинирования. Что действительно важно для использования калькулятора комбинаций, так это понимание основных формул и функций калькулятора. Вы можете справиться с этой конкуренцией, так как в Интернете доступно множество калькуляторов комбинаций.

Этот калькулятор работает исключительно с nCr, чтобы получить наиболее достоверные и точные результаты, не отнимая у вас много времени. Если вы хотите узнать, сколько комбинаций можно составить из определенного числа, попробуйте наш калькулятор комбинаций.

Иногда люди путают комбинации со средними значениями, хотя оба они разные. Если у вас тоже есть такая же проблема, вы можете использовать Калькулятор средних значений для правильного понимания своих концепций.

Как пользоваться калькулятором комбинаций?

Наш калькулятор комбинаций - это инструмент, который помогает вам не только определять количество комбинаций, но также показывает возможные наборы, которые вы можете составить для каждой отдельной комбинации.Чтобы использовать наш калькулятор комбинаций, вам необходимо выполнить следующие шаги

  • Введите оценку «n» в первое поле
  • Введите оценку «r» во втором поле
  • Нажмите кнопку «РАССЧИТАТЬ»

После нажатия на кнопку «Рассчитать» вы получите комбинации определенного числа в течение нескольких секунд.

Надеюсь, вам понравился наш Комбинированный генератор и теория. У нас также есть другие онлайн-калькуляторы, такие как факторный калькулятор и факторный калькулятор, которые студенты и учителя могут использовать и экономить свое время.

Пожалуйста, поделитесь своими ценными отзывами, чтобы мы могли постоянно улучшаться. Ваше здоровье!

Мир математики - Mathigon

Введение

Леонард Эйлер (1707 - 1783)

Комбинаторика - это раздел математики, который насчитывает около с учетом - и мы откроем для себя множество захватывающих примеров «вещей», которые вы можете сосчитать.

Первые комбинаторные задачи изучались математиками Древней Индии, Арабской и Греции. Интерес к этому предмету возрос в XIX и XX веках, вместе с развитием теории графов и таких проблем, как теорема о четырех цветах.Среди ведущих математиков - Блез Паскаль (1623–1662), Якоб Бернулли (1654–1705) и Леонард Эйлер (1707–1783).

Комбинаторика имеет множество приложений в других областях математики, включая теорию графов, кодирование и криптографию, а также вероятность.

Факториалы

Комбинаторика может помочь нам подсчитать количество заказов , в которых что-то может случиться. Рассмотрим следующий пример:

В классе имеется В.CombA1 учеников и стульев V.CombA1 , стоящих в ряд. В скольких различных порядках ученики могут сидеть на этих стульях?

Перечислим возможности - в этом примере V.CombA1 разных ученика представлены V.CombA1 разных цветов стульев.

Существует {2: 2, 3: 6, 4: 24, 5: 120} [V.CombA1] различных возможных порядка. Обратите внимание, что количество возможных порядков очень быстро увеличивается по мере увеличения количества учеников.У 6 учеников есть 720 различных возможностей, и перечислять их все становится непрактично. Вместо этого нам нужна простая формула, которая говорит нам, сколько имеется заказов, чтобы n человек сели на n стульев. Затем мы можем просто заменить 3, 4 или любое другое число на n , чтобы получить правильный ответ.

Предположим, у нас есть стульев V.CombB1 и мы хотим разместить V.CombB1 == 1? 'Один ученик': V.CombB1 == 2? 'Два ученика': V.CombB1 == 3? 'Три ученика ': V.CombB1 == 4? 'Четыре ученика': V.CombB1 == 5? 'Пять учеников': V.CombB1 == 6? 'Шесть учеников': 'семь учеников' на них. {7: «Семь учеников могут сесть на первый стул. Затем есть 6 учеников, которые могли бы сесть на второй стул. Есть 5 вариантов для третьего стула, 4 варианта для четвертого стула, 3 варианта для пятого стула, 2 варианта для шестого стула и только один вариант для последнего стула. ', 6: «Есть 6 учеников, которые могли бы сесть на первый стул. Затем есть 5 учеников, которые могли бы сесть на второй стул. Есть 4 варианта для третьего стула, 3 варианта для четвертого стула, 2 варианта для пятого стула и только один вариант для последнего стула. ', 5: «Пятеро учеников могли бы сесть на первый стул. Затем есть 4 ученика, которые могут сесть на второй стул. Есть 3 варианта для третьего стула, 2 варианта для четвертого стула и только один вариант для последнего стула. ', 4: «Есть 4 ученика, которые могли бы сесть на первый стул. Затем есть 3 ученика, которые могут сесть на второй стул.Есть 2 варианта для третьего стула и только один вариант для последнего стула. ', 3: «Есть 3 ученика, которые могут сесть на первый стул. Затем есть 2 ученика, которые могут сесть на второй стул. Наконец, остался только один ученик, чтобы сесть на третий стул. ', 2: «Есть 2 ученика, которые могут сесть на первый стул. Далее остается только один ученик, который может сесть на второй стул. ', 1: 'Это только один вариант для одиночного стула.'} [V.CombB1] Всего есть

возможностей. Чтобы упростить обозначения, математики используют знак «!» называется факториалом. Например, 5! («Пять факториалов») то же самое, что 5 × 4 × 3 × 2 × 1. Выше мы только что показали, что существует n ! возможности заказать н объектов.

Насколько разными способами 23 ребенка могли сесть на 23 стула в классе математики? Если у вас 4 урока в неделю, а в году 52 недели, сколько лет нужно, чтобы изучить все возможности? Примечание: Возраст Вселенной составляет около 14 миллиардов лет.

Для 23 детей, чтобы сесть на 23 стула, их 23! = 25 852 016 738 884 800 000 000 возможностей (это число слишком велико для отображения на экране калькулятора). Испытание всех возможностей заняло бы

23! 4 × 52 = 124 288 542 000 000 000 000 лет.

Это почти в 10 миллионов раз больше нынешнего возраста Вселенной!

Перестановки

Вышеупомянутый метод требовал, чтобы у нас было столько же учеников, сколько стульев, на которых можно было бы сидеть. Но что будет, если стульев не хватит?

Сколько различных возможностей существует для любого Math.min (V.CombC1, V.CombC2) из V.CombC1 учеников, чтобы сесть на Math.min (V.CombC1, V.CombC2) стулья? Обратите внимание, что Math.max (0, V.CombC1-V.CombC2) останется включенным, и мы не должны включать его при перечислении возможностей.

Давайте начнем снова, перечислив все возможности:

Чтобы найти простую формулу, подобную приведенной выше, мы можем думать о ней очень похожим образом. «Есть ученики« + V.CombC1 + », которые могут сесть на первый стул. '+ (((Math.min (V.CombC1, V.CombC2)) == 2 || (Math.min (V.CombC1, V.CombC2)) == 3 || (Math.min (V.CombC1, V .CombC2)) == 4)? 'Тогда есть' + (V.CombC1-1) + 'ученики, которые могли бы сесть на второй стул.': '') + (((Math.min (V.CombC1, V.CombC2)) == 3 || (Math.min (V.CombC1, V.CombC2)) == 4)? 'Тогда есть' + (V.CombC1 -2) + 'ученики, которые могли бы сесть на третий стул.': '') + (((Math.min (V.CombC1, V.CombC2)) == 4)? 'Наконец, остался один ученик, который сядет на последний стул.':' ') + ((V.CombC1- (Math.min (V.CombC1, V.CombC2)) == 1 || V.CombC1- (Math.min (V.CombC1, V. CombC2)) == 2 || V. CombC1- (Math.min (V.CombC1, V.CombC2)) == 3)? 'Нас не волнуют оставшиеся' + (V.CombC1-V.CombC2) + 'дети, оставшиеся стоять.': ' ') Всего есть

возможностей. Мы снова должны подумать об обобщении этого. Мы начинаем, как и делали бы с факториалами, но останавливаемся, не дойдя до 1. Фактически, мы останавливаемся, как только достигаем числа студентов без стула. При размещении 7 студентов на 3 стульях их

7 × 6 × 5 = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 17 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 7 ! 4! = 7 ! ( 7 - 3 )!

возможностей, так как 4 × 3 × 2 × 1 будут компенсировать друг друга.Опять же, для этого есть более простое обозначение: 7 P 3 . Если мы хотим разместить n объектов на м позиций, то будет

n P м = n ! ( n - м )!

возможностей. P означает « p ermutations», поскольку мы подсчитываем количество перестановок (порядков) объектов. Если m и n такие же, как и в задаче в начале этой статьи, мы имеем

n P n = n ! ( n - n )! = n ! 0 !.

Чтобы понять это, мы определяем 0! = 1. Теперь n P n = n ! как и следовало ожидать от нашего решения первой проблемы.

К сожалению, вы не можете вспомнить код своего четырехзначного замка. Вы только знаете, что не использовали ни одну цифру более одного раза. Сколько разных способов вы должны попробовать? Что вы делаете по поводу безопасности этих замков?

Имеется 10 цифр (0, 1,…, 9), каждая из которых встречается не более одного раза.Число порядков этих цифр составляет 10 P 4 = 5040. Проверка такого количества комбинаций займет очень много времени, поэтому 4-значные блокировки очень безопасны.

Комбинации

Перестановки используются, когда вы выбираете объекты и заботитесь об их порядке - например, о порядке детей на стульях. Однако в некоторых задачах вы не заботитесь о порядке и просто хотите знать, сколько есть способов выбрать определенное количество объектов из большего набора.

В магазине есть пять разных футболок, которые вам нравятся: красный, синий, зеленый, желтый и черный.К сожалению, у вас достаточно денег, чтобы купить три из них. Сколько существует способов выбрать три футболки из пяти, которые вам нравятся?

Здесь нас не волнует порядок (неважно, покупаем ли мы сначала черный, а затем красный или сначала красный, а затем черный), а только количество комбинации футболок. Возможности

, итого их 10. Если бы мы вычислили 5 P 3 = 60, мы бы дважды подсчитали некоторые возможности, как показано в следующей таблице:

При перестановках мы считаем каждую комбинацию из трех футболок 6 раз, потому что их 3! = 6 способов заказать три футболки. Чтобы получить количество комбинаций из количества перестановок, нам просто нужно разделить на 6. Мы пишем

5 C 3 = 5 P 33! = 606 = 10.

Здесь C означает «комбинацию c ». В общем, если мы хотим выбрать r объектов из общего числа n , будет

объектов.

n C r = n P r r ! = n ! r ! ( n - r )!

различных комбинаций.Вместо n C r математики часто пишут n C r = ( n r ), как дробь в скобках, но без промежуточной линии. (Для упрощения набора мы продолжим использовать первую строчную нотацию.)

(a) В вашем классе 10 детей, но вы можете пригласить только пятерых на свой день рождения. Сколько разных комбинаций друзей вы могли бы пригласить? Объясните, следует ли использовать комбинации или перестановки.

(б) На вечеринке 75 человек. Каждый раз всем пожимает руку. Как часто в целом рукопожатие? Подсказка: сколько людей участвует в рукопожатии?

(a) Количество комбинаций друзей, которых вы можете пригласить, составляет 10 C 5 = 252. Мы использовали комбинации, потому что не имеет значения, в каком порядке мы приглашаем друзей, а на какие мы приглашаем.

(b) Вы хотите найти количество всех возможных пар гостей вечеринки.Это просто 75 C 2 = 2775. (Это много рукопожатий!)

Комбинаторика и треугольник Паскаля

Рассчитаем некоторые значения n C r . Начнем с 0 C 0. Затем находим 1 C 0 и 1 C 1. Затем 2 C 0, 2 C 1 и 2 C 2. Затем 3 C 0 , 3 C 1, 3 C 2 и 3 C 3. Мы можем записать все эти результаты в таблицу:

0 С 0 = 1
1 С 0 = 1 1 С 1 = 1
2 С 0 = 1 2 С 1 = 2 2 С 2 = 1
3 С 0 = 1 3 С 1 = 3 3 С 2 = 3 3 С 3 = 1
4 С 0 = 1 4 С 1 = 4 4 С 2 = 6 4 С 3 = 4 4 С 4 = 1
5 С 0 = 1 5 С 1 = 5 5 С 2 = 10 5 С 3 = 10 5 С 4 = 5 5 С 5 = 1

Это в точности треугольник Паскаля, который мы исследовали в статье о последовательностях. Его можно создать проще, если учесть, что любая ячейка представляет собой сумму двух ячеек, указанных выше. В треугольнике Паскаля скрыто бесчисленное множество узоров и числовых последовательностей.

Теперь мы также знаем, что число r в строке n также задается как n C r (но мы всегда должны начинать отсчет с 0, поэтому первая строка или столбец фактически нулевой ряд). Если мы применим то, что мы знаем о создании треугольника Паскаля, к нашим комбинациям, мы получим

( n r ) + ( n r + 1) знак равно ( n + 1 r + 1) .

Это известно как идентификатор Паскаля . Вы можете получить его, используя определение n C r в терминах факториалов, или вы можете думать об этом следующим образом:

Мы хотим выбрать r + 1 объектов из набора n + 1 объектов. Это в точности то же самое, что пометить один объект из n + 1 , который будет называться X, и либо выбрать X плюс r других (из оставшихся n), либо не выбрать X и r + 1 других ( от оставшихся n).

У многих задач комбинаторики есть простое решение, если вы подумаете о нем правильно, и очень сложное решение, если вы просто попробуете использовать алгебру ...

Звезды и решетки

Решение

Пример

Зеленщик на рынке хранит большое количество из различных видов фруктов. Какими способами мы можем составить мешок из или фруктов? Обратите внимание, что r может быть меньше, равно или больше n .

Обратите внимание, что с r n существует n C r способов выбрать по одному фрукту каждого вида. Однако мы также можем съесть более одного фрукта каждого вида, например, два яблока, одну клубнику и один банан.

Мы можем представить любой допустимый выбор фруктов цепочкой звезд и полосок, как показано в этом примере:

★★★ | ★★ | | ★★ |
3 типа 1 2 типа 2 0 типа 3 2 типа 4 1 типа 5

Всего r звездочек ( r фруктов, которые нам разрешено брать) и n - 1 столбик (деление на разных фруктов).Это составляет r + n - всего 1 место. Любой заказ r звездочек и n - 1 батончик соответствует ровно одному действительному выбору фруктов.

Теперь мы можем применить наши комбинаторные инструменты: есть r + n - 1 мест, и мы хотим выбрать n - 1 из них как столбцы (все остальные - звездочки). Что есть точно ( r + n - 1) C ( n - 1) возможностей для этого!

Предположим, есть пять видов фруктов, и мы хотим взять десять штук.Исходя из того, что мы подсчитали выше, всего

(10 + 5-1) C (5-1) = 14 C 4 = 24024

возможностей. Подумайте об этом в следующий раз, когда пойдете за покупками!

Комбинаторика и вероятность

Комбинаторика имеет множество приложений в теории вероятностей. Вы часто хотите найти вероятность одного конкретного события, и вы можете использовать уравнение

P ( X ) = вероятность того, что X произойдет = количество исходов, при которых случится X , общее количество возможных исходов

Вы можете использовать комбинаторику, чтобы вычислить «общее количество возможных результатов».Вот пример:

Четверо детей, которых зовут A, B, C и D, произвольно сидят на четырех стульях. Какова вероятность того, что А сядет на первый стул?

Мы уже показали, что всего существует 24 способа сесть на четыре стула. Если вы посмотрите на наше решение, вы также обнаружите, что А сидит на первом стуле в шести случаях. Следовательно,

P (A сидит на первом стуле) = количество результатов, где A сидит на первом стуле, общее количество возможных результатов = 624 = 14.

Этот ответ был ожидаемым, поскольку каждый из четырех детей с одинаковой вероятностью сядет на первый стул. Но в других случаях все не так просто…

(a) Почтальон должен доставить четыре письма в четыре разных дома на улице. К сожалению, дождь стер адреса, поэтому он просто раздает их случайным образом, по одной букве на дом. Какова вероятность, что каждый дом получит нужную букву? (☆ Какова вероятность, что каждый дом получит неправильную букву?)

(b) В лотерее нужно угадать 6 номеров из 49.Какова вероятность того, что вы все сделаете правильно? Если каждую неделю отправлять 100 предположений, сколько времени в среднем вам понадобится, чтобы выиграть?

(a) Всего 4! = 24 способа случайного распределения букв и только один способ получить их все правильно. Таким образом, вероятность того, что каждое письмо будет доставлено в нужный дом, составляет 1/24 = 0,0417 = 4,17%.

Определить вероятность того, что каждое письмо будет доставлено не в тот дом, немного сложнее.Это не просто 1 - 0,0417, так как во многих случаях один или два, но не , все домов получают правильную букву. В этом простом случае самым простым решением было бы записать все 24 варианта. Вы обнаружите, что в 9 из 24 случаев каждый дом получает неправильную букву, что дает вероятность 0,375 = 37,5%. Если домов слишком много, чтобы записать все возможности, вы можете использовать идею, называемую принцип включения-исключения .

(b) Существует 49 C 6 = 13 983 816 возможных результатов лотереи, поэтому вероятность получить правильное решение составляет 1/49 C 6 = 0.000000072.

В среднем также потребуется 13 983 816 попыток для победы. Если мы отправляем 100 предположений каждую неделю, это соответствует 139 838 неделям, что равняется 2689 годам. Урок, который нужно усвоить: не играйте в лото!

Калькулятор биномиальных коэффициентов

Добро пожаловать в калькулятор биномиальных коэффициентов , где у вас будет возможность вычислить и узнать все о загадочной формуле n выберите k . Выражение обозначает количество комбинаций k элементов из набора n -элементов и соответствует кнопке nCr на реальном калькуляторе .Чтобы получить ответ на вопрос « Что такое бином? », значение комбинации, решение «4 выбирают 2» и сравнение перестановки и комбинации, продолжайте и прокрутите вниз до разделов ниже !

Что такое бином?

В математике (точнее, алгебре) бином - это многочлен с двумя членами (отсюда и происходит префикс «bi-»). Например, выражения x + 1 , xy - 2ab или x³z - 0.5y⁵ - все биномиалы, но x⁵ , a + b - cd или x² - 4x² нет (последний имеет два члена, но мы можем упростить это выражение до -3x² , которое имеет единственный).

Теперь, когда мы знаем, что такое бином, давайте внимательнее посмотрим на показатель степени единицы:

(x² - 3) ³ .

Есть некоторые частные случаи этого выражения - короткие формулы умножения , которые вы, возможно, знаете из школы:

(a + b) ² = a² + 2ab + b² ,

(a - b) ² = a² - 2ab + b² .

Полином, который мы получаем справа, называется биномиальным разложением того, что у нас было в скобках. Вы не поверите, но мы можем найти их формулы для любой положительной целой степени . В общем, биномиальная теорема сообщает нам, как выглядит это расширение:

(a + b) n = C 0 a n + C 1 a n-1 b + C 2 a n-2 b 2 + ... + C n b n ,

где,

  • Cₖ - это количество всех возможных комбинаций из k элементов из набора n -элементов .

Кроме того, для данного n эти числа аккуратно представлены для последовательных значений n в строках так называемого треугольника Паскаля.

И это хороший момент для нас, чтобы проверить значение « комбинация » - как мы уже много раз упоминали.

Комбинация: означает

Представьте, что вы студент колледжа , вздремнув во время лекции. Внезапно учитель возвращает вас на землю, говоря: « Давайте наугад выберем группы для среднесрочных проектов. "Ну, похоже, тебе все-таки придется поработать.

Проблема в том, что есть только один парень, с которым вы хотели бы работать над проектом . Если в группе человек двадцать человек, и учитель делит вас на группу по четыре человек, насколько вероятно, что вы будете со своим другом?

Каждая возможная группа - это пример комбинации . В данном случае комбинация четырех элементов из набора из двадцати элементов или, если хотите, из четырех учеников из группы из двадцати человек . Если вы хотите немного уточнить детали, выбор комбинации означает выбор подмножества большего набора. Что здесь наиболее важно, порядок элементов, которые мы выбираем, не имеет значения . В конце концов, все члены проектной группы равны (кроме тех, кто не выполняет никакой работы).

Количество комбинаций k элементов из набора n элементов обозначено

(как дробь от n , деленная на k , но без промежуточной линии), которую мы читаем как « n выберите k ."Это также символ, который появляется , когда мы выбираем push nCr на калькуляторе (не в нашем калькуляторе биномиальных коэффициентов, а в обычном, реальном). Например,

- «4 выбирают 2» и

- «6 выбирают 2». В некоторых учебниках биномиальный коэффициент также обозначается как C (n, k) , что делает его функцией от n и k . « А как его посчитать? » Ну, достаточно легко. n выбираем k формула равно

н! / (к! * (п - к)!) .

Восклицательный знак называется факториалом. Выражение n! - это , произведение первых n натуральных чисел , то есть

н! = 1 * 2 * 3 * ... * n .

Это означает, что, например, 4, выберите 2 из выше, это

4! / (2! * (4-2)!) = (1 * 2 * 3 * 4) / (1 * 2 * 1 * 2) = 6 ,

и 6 выбирают 2 - это

6! / (2! * (6-2)!) = (1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6) / (1 * 2 * 1 * 2 * 3 * 4) = 15 .

Итак, мы можем выбрать два элемента из набора из четырех шестью различными способами и из набора из шести пятнадцатью способами.

Прежде чем двигаться дальше, давайте еще раз взглянем на n , выберем k формулу . Из него можно получить довольно интересное свойство симметрии .

Если мы возьмем n и выберем n - k , то получим

н! / ((п - к)! * (п - (п - к))!) = п! / ((п - к)! * к!)

, который совпадает с n , выберите k (поскольку умножение коммутативно).Другими словами, у нас

или C (n, k) = C (n, n-k) в других обозначениях.

Перестановка и комбинация

В предыдущем разделе мы видели , что такое факториал . В комбинаторике он обозначает количество перестановок. Перестановка длины n означает размещение n элементов в некотором порядке. Например, если у нас есть три выражения милого котенка, скажем 😹, 😻 и 🙀, то мы можем упорядочить их шестью разными способами:

(😹, 😻, 🙀)

(😹, 🙀, 😻)

(😻, 😹, 🙀)

(😻, 🙀, 😹)

(🙀, 😹, 😻)

(🙀, 😻, 😹).

Обратите внимание, что этот согласуется с тем, что говорит нам факториал :

3! = 3 * 2 * 1 = 6 .

Обратите внимание, что мы также можем понять эту формулу как : мы выбираем первый элемент из трех (3 варианта), второй из двух оставшихся (потому что мы уже выбрали один - 2 варианта), а третий из того, что осталось (потому что мы уже выбрали два - 1 вариант). Умножаем количество вариантов: 3 * 2 * 1 = 6 , и получаем факториал.

Когда мы сравниваем перестановку и комбинацию, ключевым словом является порядок . Как мы уже говорили в предыдущем разделе, значение комбинации состоит в том, чтобы выбрать несколько элементов из более крупной коллекции . По сути, мы говорим, какие из них выбираем, но не говорим, какие из них являются первыми, вторыми и т. Д. Они образуют набор в целом.

Перестановка, однако, размещает элементы в фиксированном порядке , один за другим, делая их скорее последовательностью, чем набором. Более того, перестановка использует все элементы из имеющегося у нас набора, а комбинация выбирает только некоторые из них.

В качестве примера еще раз поставьте себя на место студента колледжа. Когда учитель выбрал для вас группу , они выбрали комбинацию . И когда приходит время представить свой проект, и они задают по одному вопросу каждому из вас, они выбирают перестановку (определяющую порядок, в котором они задают вам вопросы). И все мы знаем, насколько важен порядок для вашей итоговой оценки.

Пример: использование калькулятора биномиальных коэффициентов

Биномиальные коэффициенты - одна из самых важных числовых последовательностей в дискретной математике и комбинаторике.Они очень часто появляются в статистике и расчетах вероятностей и, возможно, являются наиболее важными в биномиальном распределении (положительная и отрицательная версии). Означает ли это, что только чудаковатым математикам он пригодится?

Вовсе нет! Каждая азартная игра основана на шансе, и биномиальные коэффициенты являются жизненно важными для игрока . Простое подбрасывание монеты - самый простой пример. Однако давайте сделаем еще один шаг и взглянем на покер.

Вы когда-нибудь задумывались , почему одни руки в покере более ценны, чем другие ? Это просто потому, что они реже (если только кто-то не обманывает, но мы видели достаточно гангстерских сериалов, чтобы понять, что это обычно плохая идея).

В обычной колоде 52 карты , а в техасском холдеме игрок получает пять карт . Наш калькулятор биномиальных коэффициентов и n выбирают формулу k (в нашем случае n = 52 и k = 5 ) говорят нам, что это переводится в 2598 960 возможных рук в игре в покер. Довольно много , не правда ли? А теперь рассмотрим лучшую возможную руку - флеш-рояль в трефах (туз, король, дама, валет и 10). Эта рука может выпасть только в одном случае - когда мы получаем именно эти карты. Это означает, что это 1 2,598,960 шанс получить его. Мы бы не рекомендовали вкладывать все свои сбережения в эти разногласия.

Возьмем другой пример - фулл-хаус (тройка и пара).На этот раз возможностей значительно больше . В конце концов, любая из 13 карт одной масти может быть тройкой, а пара находится в одной из других карт 12 (она не может быть того же достоинства, что и тройка). Более того, тройка присутствует только в трех из четырех карточных символов, и аналогично пара - только в двух.

И это , где мы вспоминаем значение комбинации ! Нам нужно выбрать три из четырех символов для тройки и комбинацию два из четырех для пары.Формула n выбрать k преобразует это в 4 выбрать 3 и 4 выбрать 2 , и калькулятор биномиальных коэффициентов считает их 4 и 6 соответственно. В общем, если мы теперь умножим числа, которые мы получили , мы обнаружим, что есть

13 * 12 * 4 * 6 = 3,744

возможных рук, дающих фулл-хаус. Что ж, не так уж и много по сравнению со всеми возможностями , но, по крайней мере, это 3744 раз более вероятно, чем королевская вспышка на трефах.

Тем не менее, мы рекомендуем регулярно откладывать деньги как лучший способ инвестирования, чем азартные игры.

Комбинаторный счет

Этот сайт является частью обучающих объектов JavaScript E-labs для принятия решений. Другой JavaScript в этой серии классифицирован по различным областям приложений в разделе MENU на этой странице.

Ниже приведен набор JavaScript для вычисления перестановок и комбинаций с подсчетом с повторениями или без них.

Многие дисциплины и науки требуют ответа на вопрос: сколько? В теории конечной вероятности нам нужно знать, сколько результатов будет для конкретного события, и нам нужно знать общее количество исходов в пространстве выборки.

Комбинаторика , также называемая Комбинаторная математика , представляет собой область математики, занимающуюся проблемами выбора, расположения и работы в конечной или дискретной системе.Его цель: как считать без счета. Поэтому одной из основных задач комбинаторики является определение количества возможных конфигураций объектов данного типа.

Вы спросите, а почему комбинаторика? Если пробелы содержат конечный набор результатов, определение вероятности события часто является проблемой подсчета. Но часто числа слишком велики, чтобы их можно было сосчитать обычными способами 1, 2, 3, 4.

Основной результат: Если операция состоит из двух шагов, из которых первый может быть выполнен n1 способами, а для каждого из них второй может быть выполнен n2 способами, тогда вся операция может быть выполнена в общей сложности n1 & раз n2 способами.

Это простое правило можно обобщить следующим образом: если операция состоит из k шагов, из которых первый может быть выполнен n1 способами, и для каждого из них второй шаг может быть выполнен n2 способами, для каждого из них третий шаг может выполняется n3 способами и так далее, тогда вся операция может быть выполнена n1 × n2 × n3 × n4 × . . × nk способами.

Числовой пример: Инспектор по контролю качества хочет выбрать одну деталь для проверки из каждой из четырех различных ячеек, содержащих 4, 3, 5 и 4 части соответственно.Общее количество способов, которыми могут быть выбраны части, составляет 4 × 3 × 5 и times4 или 240 способов.

Факториальное обозначение: обозначение n! (читается как n факториал) означает по определению продукт:

п! = (п) (п-1) (п-2) (п-3) ... (3) (2) (1). Обратите внимание, что по соглашению 0! = 1, (т.е. 0! º 1). Например, 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720

Перестановки по сравнению с комбинацией: Перестановка - это расположение объектов из набора объектов.То есть объекты выбираются из определенного набора и перечисляются в определенном порядке. Комбинация - это выбор объектов из набора объектов, то есть объекты выбираются из определенного набора и перечисляются, но порядок, в котором они перечислены, не имеет значения.

Количество способов выстраивания k объектов одновременно из n различных объектов обозначено как n P k , и согласно предыдущему мы имеем:

n P k = (n) (n-1) (n-2) (n-3). ..... (п-к + 1) Следовательно, количество перестановок n различных объектов, взятых k за раз, можно записать как: n P k = n! / (п - к)! Комбинации: Есть много проблем, в которых мы заинтересованы в определении количества способов, которыми k объектов могут быть выбраны из n различных объектов, независимо от порядка, в котором они выбираются. Такие выборки называются комбинациями или k-наборами. Может быть полезно думать о комбинациях как о комитете.Главное здесь - невнимание к порядку.

Количество комбинаций k объектов из набора с n объектами составляет n C k . Например, комбинации {1,2,3,4}, взятые k = 2 за раз, следующие: {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2, 4}, {3,4}, всего 6 = 4! / [(2!) (4-2)!] Подмножества.

Общая формула:

n C k = n! / [k! (н-к)!].

Перестановка с повторениями: Сколько разных буквенных комбинаций можно составить, используя буквы P E P P E R?

В общем, есть полиномиальные коэффициенты:

п! / (n 1 ! n 2 ! n 3 !. .. n r !) различные перестановки n объектов, из которых n 1 одинаковы, n 2 одинаковы, n 3 одинаковы, ..... n r одинаковы. Следовательно, ответ - 6! / (3! 2! 1!) = 60 возможных расстановок букв P E P P E R.
МЕНЮ:
  1. Перестановка n объектов в группе размера k
  2. Перестановка n объектов в группе размера k, повторения допускаются
  3. Объединение n объектов в группу размером k
  4. Объединение n объектов в группу размером k, повторение разрешено

Введите положительные целые значения для n и k, а затем нажмите Calculate .


Перестановка n объектов в группе размера k, k £ n

Перестановка n объектов в группе размера k, повторения разрешены

Объединение n объектов в группу размером k, k £ n

Объединение n объектов в группу размером k, повторение разрешено

Как рассчитать вероятность комбинаций - видео и стенограмма урока

Формула комбинаций

Глядя на уравнение для вычисления комбинаций, вы можете видеть, что факториалы используются во всей формуле. Помните, что формула для расчета комбинаций: n C r = n ! / r ! * ( n - r ) !, где n представляет количество элементов, а r представляет количество элементов, выбираемых за раз. Давайте посмотрим на примере, как рассчитать комбинацию.

На этой неделе вы можете взять напрокат десять новых фильмов на DVD. Джон хочет выбрать три фильма для просмотра в эти выходные. Сколько комбинаций фильмов он может выбрать?

В этой задаче Джон выбирает три фильма из десяти новых выпусков.10 будет представлять переменную n , а 3 будет представлять переменную r . Итак, наше уравнение будет выглядеть так: 10C3 = 10! / 3! * (10 - 3) !.

Первый шаг, который необходимо сделать, - это вычесть 10 минус 3 в нижней части этого уравнения. 10 - 3 = 7, поэтому наше уравнение выглядит как 10! / 3! * 7 !.

Затем нам нужно расширить каждый из наших факториалов. 10! будет равно 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 сверху и 3! * 7! будет 3 * 2 * 1 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1. Самый простой способ решить эту проблему - исключить подобные термины. Мы видим, что есть 7, 6, 5, 4, 3, 2 и 1 как сверху, так и снизу нашего уравнения. Эти условия могут быть отменены. Теперь мы видим, что в нашем уравнении 10 * 9 * 8 слева вверху и 3 * 2 * 1 слева внизу. Отсюда мы можем просто размножаться. 10 * 9 * 8 = 720 и 3 * 2 * 1 = 6. Итак, наше уравнение теперь 720/6.

Чтобы закончить эту задачу, мы разделим 720 на 6 и получим 120. Теперь Джон знает, что на этой неделе он мог выбрать 120 различных комбинаций новых фильмов.

Вероятность

Для расчета вероятности наступления события воспользуемся формулой: количество благоприятных исходов / количество общих исходов.

Давайте рассмотрим пример того, как рассчитать вероятность наступления события. На кассе в магазине DVD Джон также купил пакет жевательных резинок. В мешочке жевательных резинок было пять красных, три зеленых, четыре белых и восемь желтых жевательных резинок. Какова вероятность того, что Джон, нарисовавший наугад, выберет желтую жевательную резинку?

Джон знает, что если сложить все жевательные резинки вместе, в сумке окажется 20 жевательных шариков. Итак, общее количество исходов равно 20. Джону также известно, что существует восемь желтых жевательных резинок, которые представляют количество благоприятных исходов. Таким образом, вероятность случайного выбора желтой жевательной резинки из пакета равна 8 из 20.

Однако все дроби необходимо упростить. Итак, и 8, и 20 делятся на 4. Итак, 8/20 уменьшится до 2/5. Джон знает, что вероятность того, что он выберет желтую жевательную резинку из мешка наугад, составляет 2/5.

Вероятность комбинаций

Чтобы подсчитать общее количество исходов и благоприятных исходов, вам может потребоваться вычислить комбинацию.Помните, что комбинация - это способ расчета событий, порядок которых не имеет значения.

Рассмотрим пример. Чтобы насладиться своими фильмами, Джон решает заказать пиццу. Глядя на меню, Джон видит, что Король пиццы предлагает восемь разных начинок (четыре мяса и четыре овоща). Начинки: пепперони, ветчина, бекон, колбаса, перец, грибы, лук и оливки. У Джона есть купон на пиццу с тремя начинками. Выбирая ингредиенты наугад, какова вероятность того, что Джон выберет пиццу только с мясом?

Джон ищет вероятность выбора пиццы только с мясом.Для этого ему нужно будет подсчитать общее количество благоприятных исходов по всем возможным исходам. Давайте сначала посчитаем общее количество исходов. Чтобы рассчитать общие результаты, мы будем использовать формулу для комбинаций, потому что порядок начинки пиццы не имеет значения. Формула для комбинаций: n C r = n ! / r ! * ( n - r ) !, где n представляет количество элементов, а r представляет количество элементов, выбираемых за раз.

Джон выбирает три начинки из восьми, предлагаемых Pizza King. 8 будет представлять наш член n , а 3 будет представлять наш член r . Итак, наше уравнение будет иметь вид 8C3 = 8! / 3! * (8 - 3) !.

Чтобы решить это уравнение, нам нужно вычесть 8 - 3 = 5. Итак, наше уравнение теперь выглядит как 8! / 3! * 5 !. Затем нам нужно раскрыть каждый из этих факториалов. 8! будет равно 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1, деленное на 3! * 5 !, что равняется 3 * 2 * 1 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1.

Помните, чтобы упростить эту задачу, мы можем сократить одинаковые члены как в верхней, так и в нижней части этого уравнения. Мы видим, что есть 5, 4, 3, 2 и 1 как сверху, так и снизу. Эти условия могут быть отменены. Умножив сверху 8 * 7 * 6, получим 336. Внизу 3 * 2 * 1, что равно 6. Разделив 336 на 6, мы можем увидеть, что общее количество пицц, которые может заказать Джон, равно 56.

Теперь Джон должен найти количество благоприятных исходов. Джон хотел знать вероятность выбора пиццы только с мясом.Глядя на меню, мы видим, что есть четыре вида мяса на выбор, а Джон выбирает только три.

Это еще один пример проблемы комбинирования, потому что порядок, в котором выбираются мясные начинки, не имеет значения. Чтобы рассчитать количество благоприятных исходов, нам нужно использовать формулу комбинации n C r = n ! / r ! * ( n - r ) !, где n представляет количество элементов, а r представляет количество элементов, выбираемых за раз.

Поскольку существует четыре вида мяса, и Джон выбирает три, член n будет равен 4, а член r будет равен 3. Наше уравнение будет выглядеть как 4C3 = 4! / 3! * (4 - 3) !. Затем нам нужно вычесть 4–3 снизу, что равно 1. Итак, наше уравнение теперь выглядит как 4! / 3! * 1 !.

Теперь давайте расширим верхнюю и нижнюю части нашего уравнения, чтобы найти общие члены, которые мы можем сократить. Развернув верх, мы получим 4 * 3 * 2 * 1, а нижний будет 3 * 2 * 1 * 1.Мы видим, что как сверху, так и снизу есть 3 * 2 * 1, которые можно отменить.

Джон теперь может видеть, что есть только четыре комбинации пиццы с 3 начинками, которые будут содержать только мясо. Для расчета вероятности Джону нужно будет использовать количество благоприятных исходов, равное 4, по сравнению с общим количеством исходов, равным 56. Вероятность будет 4/56, которую можно уменьшить до 1/14. Таким образом, вероятность того, что Джон выберет пиццу с 3 начинками, которая будет содержать только мясо, равна 1/14.

Краткое содержание урока

Помните, что комбинаций - это способ вычисления общих результатов события, порядок которых не имеет значения. Для расчета комбинаций воспользуемся формулой n C r = n ! / r ! * ( n - r ) !, где n представляет количество элементов, а r представляет количество элементов, выбираемых за раз.

Чтобы определить вероятность события, вам, возможно, придется найти комбинации.Чтобы рассчитать вероятность наступления события, вы воспользуетесь формулой количества благоприятных исходов по отношению к количеству общих исходов.

Результаты обучения

По завершении этого урока вы сможете:

  • Определить формулы для вычисления комбинаций и вероятностей
  • Вычислить факториалы
  • Решите вероятностные задачи, которые также содержат комбинации

Комбинаторика: формулы и примеры - видео и стенограмма урока

Типичные комбинаторные вычисления

Факториал выражается как n !. Мы читаем это как: n факториал.

Некоторые факты о факторике включают:

Например:

Факториал появится в наших расчетах. Вот одна из этих формул:

В левой части мы читаем: n взять k . Допустим, n равно 5, а k равно 2.Затем мы получаем формулу с подключенными значениями, которые вы видите ниже, и которая в конечном итоге равна 10.

Кстати, верно и то, что:

Мы можем показать это в следующей формуле:

Наш последний тип математических вычислений выражается в двойных скобках, как вы можете видеть здесь:

Вот пример этого разыгрывания, которое, как вы можете видеть, в конечном итоге равняется 15.

Теперь мы можем изучить, как использовать эту математику для подсчета возможностей.

Подсчет возможностей

Прежде чем мы начнем использовать формулы, давайте посчитаем возможности для нашей ситуации рецепта. Затем мы можем использовать формулы и проверить результаты.

Для краткости мы будем использовать C для тмина, O для орегано и B для базилика.

При определении количества возможных вариантов выбора, когда мы выбираем k из n , мы сначала решаем, имеет значение порядок или нет.

Допустим, у нас есть эти три специи, и мы можем выбрать любые две для рецепта. Одна специя добавляется в начале процесса приготовления. Другая специя добавляется в конце. Здесь порядок имеет значение.

Теперь мы решаем, разрешено ли повторение. Предположим, что одна и та же переменная не повторяется (в нашем случае это пряность). Это называется перестановкой с недопустимым повторением . Формула имеет следующий вид:

Перечислим фактически возможные рецепты: ( C, O ), ( O, C ), ( C, B ), ( B, C ), ( O, B ) , ( B, O ).Есть шесть возможных рецептов при выборе 2 из 3, где порядок имеет значение и нет повторений.

Что дает нам формула? Как видим, получается:

Мы можем думать об этом как о трех вариантах для первой специи и двух вариантах для второй. Это дает 3 x 2 = 6 возможных рецептов.

Перестановка с допустимыми повторениями имеет формулу:

В примере рецепта перестановки с повторениями могут произойти, если вы можете использовать одну и ту же специю в начале и в конце.Список комбинаций специй увеличился: ( C, C ), ( O, O ), ( B, B ), ( C, O ), ( O, C ), ( C, B ), ( B, C ), ( O, B ), ( B, O ). Есть 9 возможных рецептов.

Наша формула для перестановок с допустимыми повторениями будет:

Мы можем думать об этой ситуации как о том, что есть 3 варианта для первой специи и 3 варианта для второй специи.Тогда 3 x 3 = 9 возможных рецептов.

Теперь перейдем к случаям, когда порядок не имеет значения. Когда порядок не имеет значения и повторение не допускается, у нас есть комбинация без повторения . Формула:

Допустим, в этом рецепте мы можем использовать любые 2 из 3 специй. Если выбранные специи объединяются и добавляются один раз, то заказ не имеет значения. Кроме того, если мы не повторим одну и ту же специю для нашего выбора из двух специй, то у нас будет комбинация без повторения.

Вот список возможных рецептов: ( C, O ), ( C, B ), ( O, B ). Есть 3 возможных рецепта.

Давайте проверим это с помощью нашей формулы, которая, как мы видим, выглядит так:

Наша четвертая возможная группировка - это когда порядок не имеет значения и допускается повторение. Это называется комбинацией с повторением . Формула:

Что, если наш рецепт позволяет использовать две столовые ложки из трех доступных специй и мы можем использовать одну и ту же специю дважды? Выбранные специи смешиваются и добавляются за один раз.Здесь порядок не имеет значения, повторение разрешено. Это сочетание с повторением.

Список рецептов: ( C, C ), ( O, O ), ( B, B ), ( C, O ), ( C, B ), ( О, В ). Есть 6 возможных рецептов.

Как видите, наша формула в конечном итоге дает нам:

Другие примеры

Пример 1

Допустим, у вас есть класс с 15 учениками.Из этого класса мы хотели бы сформировать меньшую группу из трех учеников, которые будут представлять весь класс. Будет капитан, первый помощник и второй помощник. Сколько способов мы можем выбрать эту меньшую группу?

Решение 1: Здесь важен порядок, и нет повторения одного и того же человека. Это перестановка с недопустимым повторением. Как мы видим, это становится:

Пример 2

Мы хотели бы выбрать три шарика мороженого для смешивания с нашим молочным коктейлем.Доступные вкусы: шоколад, ваниль, фисташки и клубника. Сколько вариантов мы могли сделать?

Решение 2: Здесь порядок не имеет значения, повторение разрешено. Это сочетание с повторением. Мы видим, что это превращается в:

Итоги урока

Давайте кратко рассмотрим. Выбор количества доступных возможностей - это область комбинаторики . Когда порядок имеет значение, у нас есть так называемая перестановка .Если порядок не имеет значения, у нас комбинация . Мы также должны учитывать, разрешены ли повторений или нет. Это приводит к четырем формулам в этом исследовании комбинаторики. Четыре формулы выглядят следующим образом:

Теперь у вас не должно возникнуть проблем с тем, чтобы понять, как открыть для себя все возможные комбинации вкусов в следующий раз, когда вы будете покупать мороженое.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *