Комбинаторные задачи что такое: Комбинаторные задачи | это… Что такое Комбинаторные задачи?

Комбинаторные задачи | это… Что такое Комбинаторные задачи?

ТолкованиеПеревод

Комбинаторные задачи

Комбинато́рика (Комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисление элементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Комбинаторика связана со многими другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей, и имеет широкий спектр применения, например в информатике и статистической физике.

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».

Иногда под комбинаторикой понимают более обширный раздел дискретной математики, включающий, в частности, теорию графов.

Содержание 1 Примеры комбинаторных конфигураций и задач 2 Разделы комбинаторики 2. 1 Перечислительная комбинаторика 2.2 Структурная комбинаторика 2.3 Экстремальная комбинаторика 2.4 Теория Рамсея 2.5 Вероятностная комбинаторика 2.6 Топологическая комбинаторика 3 См. также 4 Литература

Примеры комбинаторных конфигураций и задач

Для формулировки и решения комбинаторных задач используют различные модели комбинаторных конфигураций. Примерами комбинаторных конфигураций являются:

• Размещением из n элементов по k называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества.
• Перестановкой из n элементов (обычно чисел 1,2,…,n) называется всякий упорядоченный набор из этих элементов. Перестановка также является размещением из n элементов по n.
• Сочетанием из n по k называется набор
  k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.
• Композицией числа n называется всякое представление n в виде упорядоченной суммы целых положительных чисел.
• Разбиением числа n называется всякое представление n в виде неупорядоченной суммы целых положительных чисел.

Примерами комбинаторных задач являются:

1. Сколькими способами можно разместить n предметов по m ящикам так, что бы выполнялись заданные ограничения?
2. Сколько существует функций F из m-элементного множества в n-элементное, удовлетворяющих заданным ограничениям?
3. Сколько существует различных перестановок из 52 игральных карт?

   Ответ: 52! (52 факториал) то есть 80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000 или примерно 8.0658 × 10 ⁶⁷.

4. При игре в кости бросаются две кости и выпавшие очки складываются, сколько существует комбинаций, таких, что сумма очков на верхних гранях равна двенадцати?

   Решение: Каждый возможный исход соответствует функции (аргумент функции — это номер кости, значение — очки на верхней грани). Очевидно, что лишь 6+6 дает нам нужный результат 12. Таким образом существует лишь одна функция, ставящая в соответствие 1 число 6, и 2 число 6. Или другими словами, существует всего одна комбинация, такая, что сумма очков на верхних гранях равна двенадцати.

Разделы комбинаторики

Перечислительная комбинаторика

Перечислительная комбинаторика (или исчисляющая комбинаторика) рассматривает задачи о перечислении или подсчёте количества различных конфигураций (например, перестановок) образуемых элементами конечных множеств, на которые могут накладываться определенные ограничения, такие как: различимость или неразличимость элементов, возможность повторения одинаковых элементов и т. п.

Количество конфигураций, образованных несколькими манипуляциями над множеством, подсчитывается согласно правилам сложения и умножения.

Типичным примером задач данного раздела является подсчете количества перестановок (см. выше). Число перестановок n-элементного множества равно факториалу числа n, то есть n!. Другой пример — известная Задача о письмах.

Структурная комбинаторика

К данному разделу относятся некоторые вопросы теории графов, а также теории матроидов.

Экстремальная комбинаторика

Примером этого раздела может служить следующая задача: какова наибольшая размерность графа, удовлетворяющего определенным свойствам.

Теория Рамсея

Теория Рамсея изучает наличие регулярных структур в случайных конфигурациях элементов. Примером утверждения из теории Рамсея может служить следующее:

в группе из 6 человек всегда можно найти три человека, которые либо попарно знакомы друг с другом, либо попарно незнакомы.

В терминах структурной комбинаторики это же утверждение формулируется так:

в любом графе с 6 вершинами найдется либо клика, либо независимое множество размера 3.

Вероятностная комбинаторика

Этот раздел отвечает на вопросы вида: какова вероятность присутствия определенного свойства у заданного множества.

Топологическая комбинаторика

Аналоги комбинаторных концепций и методов используются и в топологии, при изучении дерева принятия решений, частично упорядоченных множеств, раскрасок графа и др.

См. также

• Оптимизация

Литература

• Андерсон Джеймс
  Дискретная математика и комбинаторика = Discrete Mathematics with Combinatorics. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 960. — ISBN 0-13-086998-8
• Р. Стенли Перечислительная комбинаторика = Enumerative Combinatorics. — М.: «Мир», 1990. — С. 440. — ISBN 5-03-001348-2
• Липский В. Комбинаторика для программистов: Пер. с польск. — М.: Мир, 1988. — 213 с, ил.
• Рейнгольд Э., Нивергельт Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы. Теория и практика. — М.: Мир, 1980. — 476 c.
• Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ, пер. с англ., М., 1963; Раизер Г. Дж. Комбинаторная математика, пер. с англ., М., 1966.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужен реферат?

• Комбинаторные аллофоны
• Комбинационное рассеяние света

Полезное

Комбинаторные задачи | это… Что такое Комбинаторные задачи?

ТолкованиеПеревод

Комбинаторные задачи

Комбинато́рика (Комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисление элементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Комбинаторика связана со многими другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей, и имеет широкий спектр применения, например в информатике и статистической физике.

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».

Иногда под комбинаторикой понимают более обширный раздел дискретной математики, включающий, в частности, теорию графов.

Содержание 1 Примеры комбинаторных конфигураций и задач 2 Разделы комбинаторики 2.1 Перечислительная комбинаторика 2.2 Структурная комбинаторика 2.3 Экстремальная комбинаторика 2.4 Теория Рамсея 2.5 Вероятностная комбинаторика 2.6 Топологическая комбинаторика 3 См. также 4 Литература

Примеры комбинаторных конфигураций и задач

Для формулировки и решения комбинаторных задач используют различные модели комбинаторных конфигураций. Примерами комбинаторных конфигураций являются:

• Размещением из n элементов по k называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества.
• Перестановкой из n элементов (обычно чисел 1,2,…,n) называется всякий упорядоченный набор из этих элементов. Перестановка также является размещением из n элементов по n.
• Сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.
• Композицией числа n называется всякое представление n в виде упорядоченной суммы целых положительных чисел.
• Разбиением числа n называется всякое представление n в виде неупорядоченной суммы целых положительных чисел.

Примерами комбинаторных задач являются:

1. Сколькими способами можно разместить n предметов по m ящикам так, что бы выполнялись заданные ограничения?
2. Сколько существует функций F из m-элементного множества в n
   -элементное, удовлетворяющих заданным ограничениям?
3. Сколько существует различных перестановок из 52 игральных карт?

   Ответ: 52! (52 факториал) то есть 80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000 или примерно 8. 0658 × 10⁶⁷.

4. При игре в кости бросаются две кости и выпавшие очки складываются, сколько существует комбинаций, таких, что сумма очков на верхних гранях равна двенадцати?

   Решение: Каждый возможный исход соответствует функции (аргумент функции — это номер кости, значение — очки на верхней грани). Очевидно, что лишь 6+6 дает нам нужный результат 12. Таким образом существует лишь одна функция, ставящая в соответствие 1 число 6, и 2 число 6. Или другими словами, существует всего одна комбинация, такая, что сумма очков на верхних гранях равна двенадцати.

Разделы комбинаторики

Перечислительная комбинаторика

Перечислительная комбинаторика

(или исчисляющая комбинаторика) рассматривает задачи о перечислении или подсчёте количества различных конфигураций (например, перестановок) образуемых элементами конечных множеств, на которые могут накладываться определенные ограничения, такие как: различимость или неразличимость элементов, возможность повторения одинаковых элементов и т. п.

Количество конфигураций, образованных несколькими манипуляциями над множеством, подсчитывается согласно правилам сложения и умножения.

Типичным примером задач данного раздела является подсчете количества перестановок (см. выше). Число перестановок n-элементного множества равно факториалу числа n, то есть n!. Другой пример — известная Задача о письмах.

Структурная комбинаторика

К данному разделу относятся некоторые вопросы теории графов, а также теории матроидов.

Экстремальная комбинаторика

Примером этого раздела может служить следующая задача: какова наибольшая размерность графа, удовлетворяющего определенным свойствам.

Теория Рамсея

Теория Рамсея изучает наличие регулярных структур в случайных конфигурациях элементов. Примером утверждения из теории Рамсея может служить следующее:

в группе из 6 человек всегда можно найти три человека, которые либо попарно знакомы друг с другом, либо попарно незнакомы.

В терминах структурной комбинаторики это же утверждение формулируется так:

в любом графе с 6 вершинами найдется либо клика, либо независимое множество размера 3.

Вероятностная комбинаторика

Этот раздел отвечает на вопросы вида: какова вероятность присутствия определенного свойства у заданного множества.

Топологическая комбинаторика

Аналоги комбинаторных концепций и методов используются и в топологии, при изучении дерева принятия решений, частично упорядоченных множеств, раскрасок графа и др.

См. также

• Оптимизация

Литература

• Андерсон Джеймс Дискретная математика и комбинаторика = Discrete Mathematics with Combinatorics. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 960. — ISBN 0-13-086998-8
• Р. Стенли Перечислительная комбинаторика = Enumerative Combinatorics. — М.: «Мир», 1990. — С. 440. — ISBN 5-03-001348-2
• Липский В. Комбинаторика для программистов: Пер. с польск. — М.: Мир, 1988. — 213 с, ил.
• Рейнгольд Э., Нивергельт Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы. Теория и практика. — М.: Мир, 1980. — 476 c.
• Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ, пер. с англ., М., 1963; Раизер Г. Дж. Комбинаторная математика, пер. с англ., М., 1966.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

• Комбинаторные аллофоны
• Комбинационное рассеяние света

Полезное

Глубокое обучение и комбинаторная оптимизация

Виртуальный семинар:  В ответ на COVID-19 все участники примут участие в этом семинаре виртуально через Zoom. Зарегистрированные на семинар получат ссылку на Zoom за несколько дней до начала семинара вместе с инструкциями по участию. Видеозаписи сеансов будут доступны на веб-сайте IPAM .

Обзор семинара: В последние годы глубокое обучение значительно улучшило области компьютерного зрения, обработки естественного языка и распознавания речи. Помимо этих традиционных областей, глубокое обучение было распространено на квантовую химию, физику, нейробиологию, а в последнее время — на комбинаторную оптимизацию (КО). Хорошо известными задачами СО являются задача коммивояжера, задачи назначения, маршрутизация, планирование, байесовский поиск и планирование. CO в основном используется каждый день в финансах и управлении доходами, транспорте, производстве, цепочке поставок, государственной политике, разработке оборудования, вычислительных и информационных технологиях.

Большинство комбинаторных задач трудно решить, что часто приводит к эвристическим решениям, требующим многолетней исследовательской работы и значительных специальных знаний. Например, знаменитая задача TSP изучается уже более 80 лет, а лучший решатель использует 30-летний опыт теоретических разработок, структур данных и эвристики компьютерных наук. За последние несколько лет глубокое обучение разработало некоторые предварительные, но многообещающие подходы к решению классических задач CO, таких как TSP, MaxCut, минимальное покрытие вершин, ранец, квадратичная задача назначения и задачи маршрутизации транспортных средств. DL особенно привлекателен для решения проблем CO благодаря его высокой гибкости, приближенному характеру и парадигме самообучения. Другими словами, ГО обладает потенциалом для изучения универсальных высококачественных алгоритмов и, следовательно, может привести к прорыву в традиционном CO, где алгоритмы создаются вручную. С другой стороны, синергия между алгоритмами DL и CO может привести к возможности взять лучшее из двух областей и получить новые алгоритмы, особенно для прикладных задач.

Семинар соберет экспертов в области математики (оптимизация, теория графов, разреженность, комбинаторика, статистика), CO (задачи назначения, маршрутизация, планирование, байесовский поиск, планирование), машинного обучения (глубокое обучение, контролируемое, самоконтролируемое и обучение с подкреплением) и конкретные прикладные области (например, финансы, транспорт, проектирование оборудования, вычислительная техника и информационные технологии), чтобы установить текущее состояние этих новых методов и обсудить следующие направления. Кроме того, такое обобщение методов глубокого обучения на проблемы КО также будет способствовать математическому анализу свойств этих систем обучения, таких как обобщение и перенос, стохастическая оптимизация и динамическое прогнозирование, которые обеспечивают успех этих методов.

Флаер программы PDF

Организационный комитет

Питер Батталья (технологии DeepMind)
Ксавье Брессон (Наньянский технологический университет, Сингапур)
Стефани Егелька (Массачусетский Институт Технологий)
Янн Лекун (Нью-Йоркский университет)
Андреа Лоди ( Политехническая школа Монреаля )
Стэнли Ошер (Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе (UCLA))
Ориол Виньялс (технологии DeepMind)
Макс Веллинг (Университет Амстердама)

Комбинаторное решение задач | ФРБ

Кредиты

6

Типы

Обязательная специализация (Advanced Computing)

Требования

У этого предмета нет требований, но есть предыдущие возможности

Отдел

КС

Интернет

http://www. cs.upc.edu/~erodri/cps.html

Комбинаторная задача состоит в том, чтобы при заданном конечном наборе объектов и наборе ограничений найти объект набора, удовлетворяющий всем ограничениям (и, возможно, оптимизирующий некоторую целевую функцию). Комбинаторные задачи встречаются повсеместно и имеют огромное практическое значение. В этом курсе мы изучим три различные общие парадигмы решения комбинаторных задач: линейное программирование, пропозициональную выполнимость и программирование в ограничениях. Для каждого из них мы изучим алгоритмические основы, а также методы моделирования.

Программа курса (резюме).
Примеры комбинаторных задач. Общие парадигмы: целочисленное линейное программирование, SAT и расширения, программирование с ограничениями. Методы моделирования и языки.

Учителя

Ответственное лицо

• Энрик Родригес Карбонелл ( )

Недельные часы

Теория

2

Проблемы

0

Лаборатория

1

Управляемое обучение

0,6

Автономное обучение

6. 4

Компетенции

Технические компетенции каждой специализации

Передовые вычисления

• CEE3.2 — Возможность использовать широкий и разнообразный спектр алгоритмических ресурсов для решения алгоритмических задач высокой сложности.
• CEE3.3 — Способность понимать вычислительные требования к задачам из неинформатических дисциплин и вносить значительный вклад в междисциплинарные группы, использующие вычисления.

Общие технические компетенции

Общий

• CG1 — Способность применять научный метод для изучения и анализа явлений и систем в любой области компьютерных наук, а также в концепции, разработке и реализации инновационных и оригинальных решений.
• CG3 — Способность к математическому моделированию, расчетно-экспериментальному проектированию в технологических и инженерных центрах компаний, в частности, в исследованиях и инновациях во всех областях компьютерных наук.

Сквозные компетенции

Рассуждение

• CTR6 — Способность к критическому, логическому и математическому мышлению. Способность решать проблемы в своей области исследования. Способность к абстракции: способность создавать и использовать модели, отражающие реальные ситуации. Способность разрабатывать и проводить простые эксперименты, а также анализировать и интерпретировать их результаты. Способность к анализу, синтезу и оценке.

Базовый

• CB6 — Способность применять полученные знания и способности для решения проблем в новых или неизвестных условиях в более широком (или междисциплинарном) контексте, связанном с их областью исследования.

Цели

1. Моделирование задач, возникающих из информатики и других дисциплин в парадигмах решения, рассматриваемых в курсе: программирование с ограничениями, линейное целочисленное программирование, пропозициональная выполнимость.
   Связанные компетенции: КБ6, CTR6, ЦВЕ3.3, CG1, CG3,
2. Знакомство с современными инструментами для решения парадигм, рассматриваемых в курсе: программирование с ограничениями, линейное целочисленное программирование, пропозициональная выполнимость.
   Связанные компетенции: CTR6, ЦВЕ3.2, CG3,
3. Понимание алгоритмических основ каждой из рассматриваемых в курсе парадигм решения: программирование с ограничениями, линейное целочисленное программирование, пропозициональная выполнимость.
   Связанные компетенции: ЦВЕ3.2,

Содержимое

1. Комбинаторные задачи.
   Неформальное определение. NP-полные задачи и задачи с полиномиальным временем. Некоторые примеры и приложения: пропозициональная выполнимость, раскраска графа, рюкзак, упаковка в корзину и т. д. Подходы к решению задач.
2. Программирование ограничений.
   Основные определения. Проблемы удовлетворения ограничений. Примеры. Локальная согласованность: согласованность дуги, согласованность направленной дуги, согласованность границ. Распространение ограничений для глобальных ограничений: все разные. Алгоритмы поиска: базовый возврат, проверка вперед, частичный/полный просмотр вперед. Эвристика упорядочения переменных и значений. Проблемы оптимизации ограничений. Моделирование и решение задач с CP.
3. Линейное программирование.
   Обзор линейного программирования: симплексный алгоритм. Двойственность и двойственный симплекс. Моделирование и решение задач линейного программирования. Смешанное целочисленное линейное программирование. Отвод и переплет, разделочные плоскости, отвод и разрез. Вполне унимодулярные матрицы. Сетевой симплексный алгоритм. Моделирование и решение задач смешанного целочисленного линейного программирования.
4. SAT решения и расширения.
   Логика высказываний. Проблема выполнимости (SAT). Алгоритм DPLL. Разрешение. Конфликтно-ориентированное обучение решателям SAT. Моделирование и решение проблем с SAT: ограничения кардинальности, псевдобулевы ограничения. Теории выполнимости по модулю.

Деятельность

Мероприятия Акт оценки

Введение в комбинаторные задачи

Введение в комбинаторные задачи
Объективы: 123
Содержимое:

• 1 . Комбинаторные задачи.

Теория

2 часа

Проблемы

0ч

Лаборатория

0ч

Управляемое обучение

2,5 часа

Автономное обучение

0ч

Программирование ограничений

Моделирование и решение с помощью программирования с ограничениями
Цели: 123
Содержание:

• 2 . Программирование ограничений.

Теория

8ч

Проблемы

0ч

Лаборатория

6ч

Управляемое обучение

2,5 часа

Автономное обучение

12,8ч

Линейное программирование

Моделирование и решение с помощью линейного программирования

• Теория: Понимание материалов теоретических занятий.
• Лаборатория: Резолюция практических занятий каждого лабораторного занятия.
• Автономное обучение: Повторение и дополнение материалов теоретических занятий. Разрешение теоретических упражнений.

Объективы: 123
Содержимое:

• 3 . Линейное программирование.

Теория

10ч

Проблемы

0ч

Лаборатория

4 часа

Управляемое обучение

2,5 часа

Автономное обучение

20,6ч

SAT и расширения

Моделирование и решение с помощью SAT и расширений

• Теория: Понимание материалов теоретических занятий.
• Лаборатория: Резолюция практических занятий каждого лабораторного занятия.
• Автономное обучение: Повторение и дополнение материалов теоретических занятий. Разрешение теоретических упражнений.

Объективы: 123
Содержимое:

• 4 . SAT решения и расширения.

Теория

8ч

Проблемы

0ч

Лаборатория

4 часа

Управляемое обучение

2,5 часа

Автономное обучение

12,8ч

Заключительный экзамен

Экзамен охватывает темы моделирования и решения с помощью программирования с ограничениями, линейного программирования и пропозициональной выполнимости.
Цели: 1 2 3
Неделя: 16
Тип: выпускной экзамен

Теория

2 часа

Проблемы

0ч

Лаборатория

0ч

Управляемое обучение

0ч

Автономное обучение

19ч

Практическая работа по программированию ограничений

Проект состоит в моделировании и решении комбинаторной задачи с программированием в ограничениях
Цели: 1 2 3
Неделя: 8
Тип: задание

Теория

0ч

Проблемы

0ч

Лаборатория

0ч

Управляемое обучение

0ч

Автономное обучение

10ч

Практическая работа по линейному программированию

Проект состоит в моделировании и решении комбинаторной задачи с линейным программированием
Цели: 1 2 3
Неделя: 12
Тип: присвоение

Теория

0ч

Проблемы

0ч

Лаборатория

0ч

Управляемое обучение

0ч

Автономное обучение

10ч

Практическая работа SAT

Проект состоит в моделировании и решении комбинаторной задачи с SAT
Цели: 1 2 3
Неделя: 16
Тип: присвоение

Теория

0ч

Проблемы

0ч

Лаборатория

0ч

Управляемое обучение

0ч

Автономное обучение

10ч

Методика обучения

Главной особенностью методики обучения является использование материалов
доступный через Интернет, специально разработанный для самообучающегося
курс. Эти материалы позволяют переформулировать обучение таким образом
что традиционная модель классов в значительной степени исчезает.

Таким образом:

1. Он рассматривает класс как основу для работы, которую ученик должен выполнять
продолжать и углублять самостоятельно.

2. Он основан на высококачественных материалах (слайды, списки задач,
решаемые задачи, примеры лабораторных практикумов, LP/SAT/CP
программное обеспечение, библиографические ссылки).

3. Он направлен на мотивацию учащихся, с примерами, обсуждением,
комментарии и т. д. Интуиция, стоящая за определениями, свойствами и
техника обсуждается в группе.

Лаборатория поощряет самостоятельную работу студентов.
Роль учителя будет заключаться в основном в оказании помощи и оценке
студенты, которые должны работать в основном автономно.

Методология оценки

50% итоговой оценки соответствует теории. Эта оценка будет получена посредством письменного экзамена в конце курса.

50% итоговой оценки соответствует лаборатории. Эта оценка будет получена как среднее значение трех последовательных проектов (один для CP, другой для LP и еще один для SAT), которые студенты должны будут сдать.

Библиография

Базовый:

• Справочник по выполнимости — Бире, А. [и др.] (ред.), IOS Press, 2009. ISBN: 9781586039295
  https://discovery.upc.edu/discovery/fulldisplay?docid=alma991003775439706711&context=L&vid=34CSUC_UPC:VU1&lang=ca
• Введение в алгоритмы — Кормен, Т.Х. [и другие.], MIT Press, 2009. ISBN: 9780262033848
  https://discovery.upc.edu/discovery/fulldisplay?docid=alma991003632289706711&context=L&vid=34CSUC_UPC:VU1&lang=ca
• Справочник по программированию в ограничениях — Росси, Ф .; Бик, П. ван; Уолш, Т. (ред.), Эльзевир, 2006.

  No related posts.