Комплексное число умножить на число: Сложение, умножение и деление комплексных чисел

alexxlab / / Разное

Содержание

Операции над комплексными числами. Умножение комплексных чисел.

Для того чтобы получить формулу для умножения комплексных чисел и , необходимо перемножить два комплексных числа по правилу умножения многочленов:

(16)

Таким образом, получили также комплексное число. Умножать в явном виде комплексные числа не очень удобно, гораздо проще если привести их к показательной форме и перемножить:

(17)

При перемножении в показательной форме модули комплексных чисел перемножаются, а фазы складываются.

Исходя из выражения (12), умножение комплексного числа на чисто мнимое число приводит к повороту вектора на против часовой стрелки (к фазе прибавляется ). При этом из выражения (13) следует что умножение комплексного числа на приводит повороту фазы на угол , а умножение комплексного числа на приводит к повороту вектора на по часовой стрелке (от фазы вычитается ).

Это очень важное замечание, так как емкости и индуктивности имеют чисто мнимые сопротивления и служат для поворота вектора комплексного тока или напряжения.

Комплексно-сопряженные числа.

Необходимо сделать еще одно замечание: числа и называются комплексно-сопряженными. При этом комплексно-сопряженное число обозначается звездочкой . Согласно выражениям (3) и (7) их модули равны, а фазы равны по модулю, но имеют противоположные знаки:

. (18)

Произведение комплексно-сопряженных чисел согласно выражению (16) равно:

(19)

Таким образом, произведение комплексно-сопряженных чисел есть действительное число, равное квадрату модуля этих чисел. Векторное представление комплексно-сопряженных чисел представлено на рис. 6.

Рис. 6. Векторное представление комплексно-сопряженных чисел

Из этого представления можно записать комплексно-сопряженные числа в показательной форме:

и . (20)

Операции над комплексными числами.

Деление комплексных чисел

Последняя операция, которую осталось рассмотреть, – операция деления комплексных чисел. Рассмотрим деление в показательной форме:

, (21)

где .

Таким образом, при делении комплексных чисел их модули делятся а фазы вычитаются. При делении необходимо, чтобы .

Рассмотрим, как можно поделить комплексные числа, записанные в алгебраической форме:

.

Умножим числитель и знаменатель на число, комплексно-сопряженное со знаменателем:

(22)

Выражение (22) – формула деления комплексных чисел в алгебраической форме. Как можно заметить операции сложения и вычитания удобнее выполнять в алгебраической форме, тогда как умножать и делить комплексные числа быстрее и легче в показательной форме.

Пример 6. Рассчитать выражение, представив результат в алгебраической и показательной форме:

.

Решение.

Последовательно будем преобразовывать комплексные числа из одной формы записи в другую. При этом если производится умножение или деление комплексных чисел, то все числа переводим в показательную форму, а если производится сложение или вычитание чисел, то переводим в алгебраическую форму.

Расчетное задание

1. Записать в алгебраической и показательной формах комплексные амплитуды напряжений и токов, мгновенные значения которых равны:

; ;

; ;

; .

2. Представить в алгебраической форме комплексные числа:

; ; ; ;

; ; ; .

3. Перевести в показательную форму записи комплексные числа, представленные в алгебраической форме:

; ; ; ;

; ; .

4. Вычислить значение комплексного выражения, записав результат в алгебраической и показательной формах:

.

5. Записать комплексные действующие значения напряжения и тока, векторные диаграммы которых имеет вид:

Амплитудные значения: ; ; ;

; ; .

12

Математический анализ. (Виленкин)

Математический анализ. (Виленкин)
  

Виленкин Н.Я., Шварцбурд С.И. Математический анализ. Учебное пособие для IX—X классов средних школ с математической специализацией. M., Просвещение, 1969 г.

Учебное пособие для школ с математической специализацией, снабженное большим количеством задач и упражнений. Как и вышедшая ранее (1968 г.) книга «Алгебра» того же авторского коллектива, может быть использована преподавателями и учащимися общеобразовательной школы.



Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
ВВЕДЕНИЕ
2. Числовые множества.
3. Пустое множество.
4. Подмножество.
5. Пересечение множеств.
6. Сложение множеств.
7. Разбиение множеств.
8. Вычитание множеств.
9. Отображение множеств.
10. Краткие исторические сведения.
Глава I. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 1. Тождественные преобразования многочленов
2. Целые рациональные выражения и функции.
3. Степень с натуральным показателем и ее свойства.
4. Многочлены.
5. Умножение многочленов.
6. Числовые кольца и поля.
7. Кольцо многочленов над данным числовым полем.
8. Бином Ньютона.
§ 2. Деление многочленов. Корни многочленов
2. Теорема Безу. Схема Горнера.
3. Корни многочлена.
4. Интерполяционные формулы.
5. Кратные корни.
6. Многочлены второй степени.
7. Многочлены с целыми коэффициентами.
8. Краткие исторические сведения.
Глава II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
§ 1. Общая теория уравнений
2. Область допустимых значений.
3. Уравнения.
4. Совокупности уравнений.
5. Преобразования уравнений.
6. Теоремы о равносильности уравнений.
§ 2. Уравнения с одним неизвестным
2. Метод разложения на множители.
3. Метод введения нового неизвестного.
4. Биквадратные уравнения.
5. Возвратные уравнения 3-й и 4-й степеней.
§ 3. Функциональные неравенства
2. Равносильные неравенства.
3. Доказательство неравенств.
4. Линейные неравенства.
5. Решение неравенств второй степени.
6. Решение алгебраических неравенств высших степеней.
7. Краткие исторические сведения.
Глава III. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ СТЕПЕНИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
§ 1. Степени с целым показателем
2. Степень с нулевым показателем.
3. Степень с целым отрицательным показателем.
§ 2. Корни. Степени с рациональными показателями
2. Степени с рациональными показателями.
3. Свойства степеней с рациональными показателями.
§ 3. Иррациональные алгебраические выражения
2. Одночленные иррациональные выражения.
3. Сокращение показателей и приведение корней к общему показателю.
4. Извлечение корня из произведения и степени.
5. Вынесение алгебраических выражений из-под корня и внесение их под корень.
6. Возведение корня в степень.
7. Извлечение корня из корня.
8. Подобные корни.
9. Сложение и вычитание корней.
10. Уничтожение иррациональности в знаменателе или в числителе алгебраической дроби.
11. Преобразование выражений вида …
12. Смешанные задачи на преобразование иррациональных выражений.
§ 4. Иррациональные уравнения и неравенства
2. Сведение иррациональных уравнений к рациональным.
3. Уединение радикала.
4. Введение нового неизвестного.
5. Особые случаи решения иррациональных уравнений.
6. Иррациональные неравенства.
7. Краткие историчесие сведения.
Глава IV. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
§ 1. Системы алгебраических уравнений
2. Системы уравнений.
3. Геометрический смысл решений уравнений и систем уравнений с двумя неизвестными.
4. Совокупность уравнений.
5. Равносильные системы уравнений.
6. Метод подстановки.
7. Метод алгебраического сложения уравнений.
8. Метод введения новых неизвестных.
9. Системы однородных уравнений.
10. Геометрическая интерпретация решения систем двух уравнений с двумя неизвестными.
§ 2. Системы линейных уравнений
2. Теоремы о равносильности систем линейных уравнений.
3. Пример решения системы линейных уравнений методом Гаусса.
4. Метод Гаусса (приведение системы к обобщенно-треугольному виду).
5. Решение обобщенно-треугольной системы линейных уравнений.
6. Системы однородных линейных уравнений.
§ 3. Симметрические многочлены и их приложения к решению систем уравнений
2. Выражение степенных сумм
3. Основная теорема о симметрических многочленах от двух переменных.
4. Системы симметрических алгебраических уравнений.
5. Применение симметрических многочленов к решению иррациональных уравнений.
§ 4. Неравенства с многими переменными
2. Среднее арифметическое и среднее геометрическое трех чисел.
3. Неравенство Коши (двумерный вариант).
4. Задачи на наибольшие и наименьшие значения.
§ 5. Решение неравенств
2. Неравенства с двумя переменными.
3. Задание областей неравенствами и системами неравенств.
4. Понятие о линейном программировании.
5. Краткие исторические сведения.
Глава V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Комплексные числа в алгебраической форме
2. Комплексные числа.
3. Сложение комплексных чисел; умножение на действительные числа.
4. Умножение комплексных чисел.
5. Квадратные уравнения с действительными коэффициентами.
6. Деление комплексных чисел.
7. Сопряженные комплексные числа.

8. Извлечение квадратных корней из комплексных чисел.
§ 2. Тригонометрическая форма комплексных чисел
2. Полярная система координат.
3. Тригонометрическая форма комплексного числа.
4. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме.
5. Возведение комплексных чисел в степень. Формула Муавра.
6. Извлечение корня из комплексного числа.
7. Функции комплексного переменного и преобразования комплексной плоскости.
§ 3. Некоторые виды алгебраических уравнений
2. Двучленные уравнения.
3. Корни из единицы и построение правильных многоугольников.
4. Трехчленные уравнения.
§ 4. Основная теорема алгебры многочленов и ее следствия
2. Многочлены с действительными коэффициентами.
3. Разложение на множители многочленов с действительными коэффициентами.
4. Краткие исторические сведения.
Глава VI. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
§ 1. Конечные цепные дроби
2. Пример цепной дроби.
3. Определение цепной дроби.
4. Представление рациональных чисел в виде конечной цепной дроби.
5. Подходящие дроби.
6. Свойства подходящих дробей.
8. Подходящие дроби и календарь.
9. Приближение цепной дроби подходящими дробями.
§ 2. Бесконечные цепные дроби
2. Подходящие дроби и наилучшие приближения иррациональных чисел рациональными.
3. Цепные дроби как вычислительный инструмент.
4. Краткие исторические сведения.
Глава VII. КОМБИНАТОРИКА
§ 1. Комбинаторные задачи
§ 2. Комбинаторные задачи. Продолжение
§ 3. Определения и формулы
§ 4. Соединения с повторениями
§ 5. Комбинаторные задачи. Окончание
§ 6. Бином Ньютона и его обобщения
§ 7. Краткие исторические сведения
Глава VIII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 2. Сложные вероятности. Теоремы сложения и умножения. Условные вероятности
§ 3. Примеры вычисления вероятностей
§ 4. Полная вероятность. Формула Байеса
§ 5. Повторение испытаний
§ 6. Примеры вычисления вероятностей. Окончание
§ 7. Краткие исторические сведения

Объяснение урока: Умножение комплексных чисел

В этом объяснителе мы научимся умножать два комплексных числа.

Алгебра комплексных чисел очень похожа на алгебру биномов. Следовательно, применяя знания, которые у нас есть о работе с биномами, помогут нам пройти долгий путь при работе с комплексные числа. Прежде чем мы рассмотрим умножение комплексных чисел в целом, мы рассмотрим более простые случаи комплексного числа, умноженного на действительное число, и комплексного число, умноженное на чисто мнимое число.

Рассмотрим комплексное число 𝑧=𝑎+𝑏𝑖. Если мы умножим обе части этого уравнение на вещественное число 𝑐, получаем 𝑐𝑧=𝑐(𝑎+𝑏𝑖). Используя свойство распределения, мы можем переписать это как 𝑐𝑧=𝑐𝑎+𝑐𝑏𝑖, как и следовало ожидать.

Пример 1. Умножение комплексных чисел на действительные числа

Если 𝑟=−5+2𝑖 и 𝑠=−8−2𝑖, найти 2𝑟+3𝑠.

Ответ

Подставляя значения 𝑟 и 𝑠 в выражение, мы получаем 2𝑟+3𝑠=2(−5+2𝑖)+3(−8−2𝑖).

Раскрывая скобки с помощью распределительного свойства, получаем 2𝑟+3𝑠=−10+4𝑖+(−24−6𝑖).

Наконец, мы можем собрать наши подобные термины, чтобы найти 2𝑟+3𝑠=−34−2𝑖.

Рассмотрев простейший случай умножения комплексного числа на действительное число, мы можем Теперь рассмотрим умножение комплексного числа на чисто мнимое число. Взяв 𝑧=𝑎+𝑏𝑖, мы можем умножить обе части уравнения на чисто мнимое число 𝑐𝑖 чтобы получить (𝑐𝑖)𝑧=𝑐𝑖(𝑎+𝑏𝑖). Еще раз, мы можем используйте распределительное свойство, чтобы переписать это как (𝑐𝑖)𝑧=𝑐𝑎𝑖+𝑐𝑏𝑖.

Поскольку 𝑖=−1, мы можем упростить это до (𝑐𝑖)𝑧=−𝑐𝑏+𝑐𝑎𝑖.

Формулы умножения комплексных чисел на действительные и мнимые числа не являются формулами что вам нужно учиться. Вместо этого мы должны сосредоточиться на знакомстве с алгебраическими методы, необходимые для работы с комплексными числами в целом.

Пример 2. Умножение комплексных чисел на мнимые числа

Что такое −7𝑖(−5+5𝑖)?

Ответ

Раскрывая скобки, используя распределительное свойство, мы можем написать −7𝑖(−5+5𝑖)=35𝑖−35𝑖.

Поскольку 𝑖=−1, мы можем упростить это до −7𝑖(−5+5𝑖)=35+35𝑖.

Теперь рассмотрим произведение двух общих комплексных чисел 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 и 𝑧=𝑐+𝑑𝑖: 𝑧𝑧=(𝑎+𝑏𝑖)(𝑐+𝑑𝑖).

биномы (фольга, сетка/площадь или длинное умножение), мы можем выразить это как это как 𝑧𝑧=𝑎𝑐−𝑏𝑑+(𝑎𝑑+𝑏𝑐)𝑖.

Подытожим это следующим образом.

Производство двух комплексных номеров

Для двух комплексных чисел 𝑧 = 𝑎+𝑏𝑖 и 𝑧 = 𝑐+𝑑𝑖, мы определяем продукт 𝑧𝑧 = 𝑎𝑐 𝑎𝑐+(𝑎𝑑+𝑏𝑐) 𝑖.

Хотя мы изложили общую форму, а не просто запомнили ее, это более Важно знать методы умножения комплексных чисел.

Теперь давайте рассмотрим пример, демонстрирующий умножение двух комплексных чисел.

Пример 3. Умножение комплексных чисел

Умножьте (−3+𝑖) на (2+5𝑖).

Ответ

Используя FOIL или любой другой метод, мы можем расширить скобки следующим образом: (−3+𝑖)(2+5𝑖)=(−3)×2+(−3)×5𝑖+2𝑖+5𝑖 =−6−15𝑖+2𝑖+5𝑖.

Поскольку 𝑖=−1, мы можем переписать это как (−3+𝑖)(2+5𝑖)=−6−15𝑖+2𝑖−5.

Наконец, собрав наши подобные термины, мы имеем (−3+𝑖)(2+5𝑖)=−11−13𝑖.

В следующем примере рассмотрим, как вычислить квадрат разности двух комплексных чисел.

Пример 4. Квадраты комплексных чисел

Если 𝑟=−2+4𝑖 и 𝑠=8−𝑖, найти (𝑟−𝑠).

Ответ

На подобный вопрос у нас есть выбор: умножить ли (𝑟−𝑠) а затем подставьте значения 𝑟 и 𝑠, или мы сделать наоборот? Если мы попробуем первый метод, мы обнаружим, что нам нужно вычислить 𝑟, 𝑠 и 𝑟𝑠. это много вычислений. Однако, если мы сначала вычислим 𝑟−𝑠, нам понадобится только чтобы найти квадрат результата, что намного эффективнее. Это техника, которую мы будет использовать здесь.

Сначала вычислим 𝑟−𝑠 следующим образом: 𝑟−𝑠=−2+4𝑖−(8−𝑖)=−10+5𝑖.

Чтобы найти квадрат этого числа, мы можем выразить его в виде произведения и использовать технику для умножения комплексных чисел. Следовательно, (𝑟−𝑠)=(−10+5𝑖)=(−10+5𝑖)(−10+5𝑖). 

Используя FOIL или другой метод раскрытия скобок, мы имеем (𝑟−𝑠)=( −10)+(−10)5𝑖+(−10)5𝑖+(5𝑖)=100−50𝑖−50𝑖+25𝑖.

Используя тот факт, что 𝑖=−1, мы можем собрать наши подобные члены и переписать это как (𝑟−𝑠)=75−100𝑖.

Этот пример поднимает вопрос о том, какова общая форма квадрата комплексного числа 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 есть. Используя методы, которые мы разрабатываем для умножения комплексных чисел, можно вывести формулу для него следующим образом: 𝑧=(𝑎+𝑏𝑖)(𝑎+𝑏𝑖).

Собирая подобные члены, мы можем сформулировать общую форму следующим образом.

Квадрат комплексного числа

Для комплексного числа 𝑧=𝑎+𝑏𝑖, 𝑧=𝑎−𝑏+2𝑎𝑏𝑖.

Несмотря на то, что очень важно знать методы, необходимые для вывода подобных уравнений, также может быть полезно запомнить общую форму квадрата комплексного числа. В следующем примере мы увидим, как запоминание формулы может упростить вычисления.

Теперь давайте рассмотрим пример, в котором нам нужно вычислить действительную часть квадрата комплексного числа.

Пример 5. Квадраты комплексных чисел

Найти Re(7−2𝑖).

Ответ

Начнем с вычисления квадрата 7−2𝑖 следующим образом: (7−2𝑖)=(7−2𝑖)(7−2𝑖).

Раскрывая скобки, имеем (7−2𝑖)=49+7(−2𝑖)+7(−2𝑖)+(−2) 𝑖=49−14𝑖−14𝑖+4𝑖.

Используя тот факт, что 𝑖=−1, и собирая подобные термины, имеем (7−2𝑖)=45−28𝑖.

Наконец, взяв действительную часть, мы получим Re(7−2𝑖)=45.

В качестве альтернативы мы могли бы сэкономить на некоторых вычислениях, используя тот факт, что для комплексное число 𝑧=𝑎+𝑏𝑖, 𝑧=𝑎−𝑏+2𝑎𝑏𝑖. Принимая действительную часть, имеем Re𝑧=𝑎−𝑏.

Следовательно, Re(7−2𝑖)=7−(−2)=49−4=45.

Пример 6: Степени комплексных чисел

Если 𝑟=2+𝑖, выразить 𝑟 в виде 𝑎+𝑏𝑖.

Ответ

Начнем с вычисления 𝑟: 𝑟=(2+𝑖)=(2+𝑖)(2+𝑖).

Раскрыв скобки, получим 𝑟=4+2𝑖+2𝑖+𝑖 =3+4𝑖.

Чтобы вычислить 𝑟, теперь мы можем умножить обе части уравнения на 𝑟, чтобы получить 𝑟=(3+4𝑖)(2+𝑖).  Умножая скобки, получаем 𝑟=6+3𝑖+8𝑖+4𝑖=2+11𝑖.

Ясно, что работать таким образом для вычисления все более и более высоких степеней комплексных чисел может быть довольно трудоемко. Однако по мере того, как мы узнаем больше о комплексных числах, мы изучаем альтернативные методы, которые значительно упростят процесс. Мы заканчиваем, взглянув на последний Пример, в котором мы можем применить наши знания о комплексных числах и умножении для решения задачи. уравнение с комплексными числами.

Пример 7. Решение уравнений с комплексными числами

Решите уравнение 𝑖𝑧=−4+3𝑖.

Ответ

На первый взгляд может показаться, что нужно разделить обе части уравнения на 𝑖 изолировать 𝑧. Однако, вспомнив, что 𝑖=−1, мы могли бы просто умножить все уравнение на 𝑖 или, еще лучше, на −𝑖.

Следовательно, умножая обе части уравнения на −𝑖, мы получаем (−𝑖)𝑖𝑧=(−𝑖)(−4+3𝑖).

Раскрывая скобки и упрощая, приходим к решению: 𝑧=3+4𝑖.

Всегда полезно проверить наш ответ. Для этого мы можем умножить наше решение на 𝑖 и убедитесь, что мы возвращаем исходное уравнение: 𝑖𝑧=𝑖(3+4𝑖).

Раскрывая скобки и упрощая, находим 𝑖𝑧=3𝑖+4𝑖=−4+3𝑖 как и требовалось.

Ключевые моменты

  • Для умножения комплексных чисел мы используем те же методы, что и для умножения биномы.
  • Для двух комплексных чисел 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 и 𝑧=𝑐+𝑑𝑖 произведение определяется как 𝑧𝑧=𝑎𝑐−𝑏𝑑+(𝑎𝑑+𝑏𝑐)𝑖.
  • Для комплексного числа 𝑧=𝑎+𝑏𝑖, 𝑧=𝑎−𝑏+2𝑎𝑏𝑖.
  • Хотя теоретически с помощью этих методик можно вычислить сколь угодно большие степени комплексных чисел, это требует большого объема вычислений.

Как умножать мнимые числа. Пошаговые примеры и практические задачи

Как умножать мнимые числа?

Рабочий лист с ключами ответов комплексные числа 9{ 3 }) \\ ( \ синий 6 ) ( \ красный {-i}) $$

Шаг 4

Разгруппировать термины

$$ \в коробке{-6i} $$

Как умножать мнимые числа
Пример 3

Упростите следующий продукт:

$$ 3\sqrt{-6} \cdot 5 \sqrt{-2} $$

Шаг 1

Сгруппируйте действительные коэффициенты (3 и 5) и мнимые члены

$$ ( \blue{ 3 \cdot 5} ) ( \red{ \sqrt{-6}} \cdot \red{ \sqrt{-2} } ) $$

Шаг 2

Умножьте действительные числа и отделите $$ \sqrt{-1}$$, также известные как $$ i $$, от мнимых чисел.

$$ (\ blue {15}) (\red{\sqrt{-1}} \sqrt{6} \cdot \red{\sqrt{-1}}\sqrt{2} ) \\ (\ blue {15}) (\red i \sqrt{6} \cdot \red i \sqrt{2} ) $$ 92 \cdot \color{green}{\sqrt{4 } \sqrt{3} }) \\ 15 ( -1 \cdot \color{green}{2 \sqrt{3} }) \\ \в коробке{-30\sqrt{3}} $$

Посмотрите внимательно на два примера задач ниже

Умножение двух радикалов (ссылка)

Пример задачи A

$ \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} \\ \sqrt{2\cdot 6} \\ \sqrt{12} \\ \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} \\ \в коробке{2 \sqrt{3}} $

Умножение двух мнимых чисел

Пример задачи B

$ \sqrt{-2} \cdot \sqrt{-6} \\ \sqrt{-2 \cdot -6} \\ \sqrt{12} \\ \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} \\ \в коробке{2 \sqrt{3}} $

Как мы получили тот же результат?

Мы получили тот же ответ, потому что сделали что-то не так в примере задачи B.

Пример задачи B

$ \sqrt{-2} \cdot \sqrt{-6} \\ \red{ \sqrt{-2 \cdot -6}} \\ \sqrt{12} \\ \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} \\ \в коробке{2 \sqrt{3}} $

Вы узнали, что можно переписать умножение радикалов/квадратичных корней, таких как $$\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} $$, как $$\sqrt{2\cdot 6} $$

Однако вы можете , а не сделать это с мнимыми числами (т. 3 $$ 90}) \\ (\синий{-27})(1) $$

Шаг 4

Разгруппировать термины

$$ \в коробке{-27} $$

Проблема 3

Оцените следующий продукт: $$ 4 \sqrt{-15} \cdot 2\sqrt{-3} $$

Шаг 1

Сгруппируйте действительные коэффициенты и мнимые члены

$$ (\ blue {4 \ cdot 2}) (\ red {\ sqrt {-15}} \ cdot \ red {\ sqrt {- 3}}) $$

Шаг 2

Умножьте действительные числа и отделите $$ \sqrt{-1}$$, также известный как $$ i $$ из воображаемых чисел

$$ (\ blue {8})(\red{\sqrt{-1}} \sqrt{15} \cdot \red{\sqrt{-1}} \sqrt{3}) \\ (\ blue {8})(\red{i} \sqrt{15} \cdot \red{i} \sqrt{3}) $$

Шаг 3

Умножьте настоящие радикалы