Комплексные числа действия: Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Комплексные числа и действия над ними

«Комплексные числа и действия
над ними»
План
1. Историческая справка
2. Основные понятия
3. Геометрическое изображение
комплексных чисел
4. Формы записи комплексных чисел
5. Действия над комплексными числами
п.1 Историческая справка
Понятие комплексного числа возникло из практики и теории решения
алгебраических уравнений.
С комплексными числами впервые математики встретились при
решении квадратных уравнений. Вплоть до ХVI века математики всего мира,
не находя приемлемого толкования для комплексных корней, возникавших
при решении квадратных уравнений, объявляли их ложными и не принимали
во внимание.
Кардано, занимавшийся решением уравнений 3-й и 4-й степеней был
одним из первых математиков, формально оперировавших комплексными
числами, хотя их смысл во многом оставался для него неясным.
Смысл комплексных чисел разъяснил другой итальянский математик
Р.Бомбелли. В своей книге «Алгебра» (1572 г.) он впервые изложил правила
действий над комплексными числами в современной форме.
Вместе с тем, вплоть до XVIII века, комплексные числа считали
«воображаемыми» и бесполезными. Интересно отметить, что даже такой
выдающийся математик как Декарт, отождествлявший действительные числа
с отрезками числовой прямой, считал, что для комплексных чисел не может
быть никакого реального истолкования, и они навечно останутся
воображаемыми, мнимыми. Аналогичных взглядов придерживались великие
математики Ньютон и Лейбниц.
содержание
Лишь в XVIII веке многие задачи математического анализа, геометрии,
механики требовали широкого применения операций над комплексными
числами, что создало условия для разработки их геометрического
истолкования.
В прикладных работах Даламбера и Эйлера в середине XVIII века авторы
представляют произвольные мнимые величины в виде z=a+ib, что позволяет
изображать такие величины точками координатной плоскости. Именно эта
интерпретация была использована Гауссом в работе, посвященной
исследованию решений алгебраического уравнения.
И только в начале XIX века, когда уже была выяснена роль комплексных
чисел в различных областях математики, была разработана очень простая и
естественная их геометрическая интерпретация, позволившая уяснить
геометрический смысл операций над комплексными числами.
Этому математика обязана Гауссу, опубликовавшему в 1831 г. свою
работу по теории чисел. Тем самым был положен конец сомнениям в
законном и полезном применении комплексного числа.
содержание
п.2 Основные понятия
Комплексным числом z называется выражение вида z=a+ib, где a и
b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется
соотношением:
i 2 1;
i 1.
При этом число a называется действительной частью числа z
(a = Re z), а b — мнимой частью (b = Im z).
Если a=Re z=0, то число z будет чисто мнимым, если b=Im z=0, то
число z будет действительным.
Числа z=a+ib и
z a ib называются комплексно – сопряженными.
Два комплексных числа z1=a1+ib1 и z2=a2+ib2 называются равными, если
соответственно равны их действительные и мнимые части:
a1=a2;
b1=b2
Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю
действительная и мнимая части
a=b=0.
Также комплексные числа можно записывать, например, в виде z=x+iy,
z=u+iv.
содержание
п.3 Геометрическое изображение комплексных чисел
Всякое комплексное число z=x+iy можно изобразить точкой M(x;y)
плоскости xOy такой, что х = Re z, у = Im z. И, наоборот, каждую точку
M(x;y) координатной плоскости можно рассматривать как образ
комплексного числа z=x+iy (рисунок 1).
y
y
M(x; y)
0
x
x
Рисунок 1
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется
комплексной плоскостью.
Ось абсцисс называется действительной осью, так как на ней лежат
действительные числа z=x+0i=x .
Ось ординат называется мнимой осью, на ней лежат мнимые
комплексные числа z=0+yi=yi.
содержание
r
OM ,
Часто вместо точек на плоскости берут их радиус-векторы
т.е. векторы, началом которых служит точка O(0;0), концом M(x;y) .
r,
Длина вектора
изображающего комплексное число z, называется
модулем этого числа и обозначается | z| или r.
Величина
угла между положительным направлением действительной оси
и вектором r , изображающим комплексное число, называется аргументом
этого комплексного числа, обозначается Arg z или φ.
Аргумент комплексного числа z=0 не определен.
Аргумент комплексного числа z≠0 — величина многозначная
определяется с точностью до слагаемого 2πk (k=0,-1,1,-2,2,..) :
и
Arg z=arg z+2 πk,
где arg z — главное значение аргумента, заключенное в промежутке
(- π, π].
содержание
п.4 Формы записи комплексных чисел
Запись числа в виде z=x+iy называют
комплексного числа.
алгебраической формой
Из рисунка 1 видно, что x=rcosφ, y=rsinφ, следовательно, комплексное
z=x+iy число можно записать в виде:
z x iy r cos ir sin r (cos i sin ).
Такая форма записи называется тригонометрической
записи комплексного числа.
формой
Модуль r=|z| однозначно определяется по формуле
r x2 y2 .
Аргумент φ определяется из формул
x
y
y
cos ; sin ; tg .
r
r
x
содержание
п.5 Действия над комплексными числами
1) Действия над
алгебраической форме
комплексными
числами,
заданными
в
а) Сложение комплексных чисел
Суммой двух комплексных чисел z1=x1+y1i и z2=x2+y2i называется
комплексное число, определяемое равенством
z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2).
Свойства операции сложения:
1. z1+z2= z2+z1,
2. (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3),
3. z+0=z.
б) Вычитание комплексных чисел
Вычитание определяется как действие, обратное сложению.
Разностью двух комплексных чисел z1=x1+y1i и z2=x2+y2i называется
такое комплексное число z, которое, будучи сложенным с z2, дает число z1 и
определяется равенством
z=z1 – z2=(x1 – x2)+i(y1 – y2).
содержание
в) Умножение комплексных чисел
Произведением комплексных чисел z1=x1+y1i и z2=x2+y2i называется
комплексное число, определяемое равенством
z=z1 z2=(x1 x2 –y1 y2 )+i(x1 y2 –x2 y1 ).
Отсюда, в частности, следует важнейшее соотношение
i2= – 1.
Свойства операции умножения:
1. z1z2= z2z1,
2. (z1z2)z3=z1(z2z3),
3. z1(z2+z3 ) =z1z2+z1z3,
4. z∙1=z.
содержание
г) Деление комплексных чисел
Деление определяется как действие, обратное умножению.
Частным двух комплексных чисел
z1 и z2≠0 называется
комплексное число z, которое будучи умноженным на z2, дает число z1,
z1
z , если z2 z = z1.
z2
Если положить z1=x1+y1i,
(x+yi)(x2+iy2)= x1+y1i, следует
т.е.
z2=x2+y2i≠0, z=x+yi, то из равенства
xx2 yy2 x1 ,
xy2 yx2 y1.
Решая систему, найдем значения x и y:
x1 x2 y1 y2
y1 x2 x1 y2
x
, y
.
2
2
2
2
x2 y 2
x2 y 2
Таким образом,
z
z1 x1 x2 y1 y2
y1 x2 x1 y2
i
.
2
2
2
2
z2
x2 y 2
x2 y 2
содержание
На практике вместо полученной формулы используют следующий прием:
умножают числитель и знаменатель дроби
z1
на число, сопряженное
z2
знаменателю («избавляются от мнимости в знаменателе»).
Пример 1. Даны комплексные числа 10+8i, 1+i. Найдем их сумму,
разность, произведение и частное.
Решение.
а) (10+8i)+(1+i)=(10+1)+(8+1)i=11+9i;
б) (10+8i)–(1+i) =(10–1)+(8–1)i=9+7i;
в) (10+8i)(1+i) =10+10i+8i+8i2=2+18i;
2
10
8
i
(
10
8
i
)(
1
i
)
10
10
i
8
i
8
i
18 2i
г)
9 i.
2
1 i
(1 i)(1 i)
1 i
2
содержание
Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик
французского происхождения.
Заслуги Муавра:
• открыл (1707) формулу Муавра для возведения в степень (и извлечения
корней) комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме;
• первый стал использовать возведение в степень бесконечных рядов;
• большой вклад в теорию вероятностей: доказал частный случаи теоремы
Лапласа, провёл вероятностное исследование азартных игр и ряда
статистических данных по народонаселению.
Формулу
Муавра
можно
использовать
для
тригонометрических функций двойного, тройного и т. д. углов.
нахождения
содержание

14. Вопросы для самоконтроля

1. Сформулируйте определение комплексного числа.
2. Какое комплексное число называется чисто мнимым?
3. Какие два комплексных числа называются сопряженными?
4. Объясните, что значит сложить комплексные числа, заданные в
алгебраической форме; умножить комплексное число на действительное.
5.
Объясните
принцип
деления
комплексных
чисел,
заданных
алгебраической форме.
6. Расскажите как изображаются комплексные числа на плоскости.
7. Сформулируйте определение модуля и аргумента комплексного числа.
в

Комплексные числа и действия над ними | План-конспект занятия:

Тема: Комплексные числа и действия над ними

Цель: научиться выполнять действия над комплексными числами в алгебраической форме, решать квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом.

Краткие теоретические сведения.

        Комплексные числа — числа вида Z = a + ib, где a,b – вещественные числа, а i =  — мнимая единица (i2 = −1). Множество комплексных чисел обозначается C.

        Действительные числа a и b комплексного числа Z = a + ib, называются действительной и мнимой частью числа z и обозначаются, соответственно, Rez=x и Imz=y.

        Два комплексных числа z1=a + ib и z2=c + id называются равными в том и только том случае, если a = c, b = d.

Запись Z=a + ib называют алгебраической формой комплексного числа z.

Числа Z=a + ib и =a − ib называют комплексно сопряженными. 

Геометрическое представление комплексного числа

        Если рассмотреть плоскость с прямоугольной системой координат, то любому комплексному числу z = a + ib можно сопоставить точку на этой плоскости с соответствующими координатами (a;b), и радиус-вектор R комплексного числа, т.е. вектор, соединяющий начало координат с точкой на плоскости, соответствующей числу (рис. 1). Данная плоскость называется комплексной. Действительные числа располагаются на горизонтальной (вещественной) оси, мнимые части – на вертикальной (мнимой) оси.

 — модуль комплексного числа — расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора.

 , где — аргумент комплексного числа.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Сложение:                                Z1 + Z2 = (a+ib)+(c+id) = (a+c) + (b+d)i.

Вычитание:                                Z1 — Z2 = (a+ib)-(c+id) = (a-c) + (b-d)i.

Умножение:                                Z1 · Z2 = (a+ib)(c+id)=(ac − bd)+(ad + cb)i.

Деление:                                 .

Умножение на сопряженное:        Z · =(a + bi)(a  -bi)= a2 –b2i2= a2 – b2·(-1) = a2 + b2 – квадрат суммы

Примеры решения задач:

Пример 1. Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраической форме:

Z1 = 4+ 5i,    Z2 = 6−9i.

        Решение:   1) Z1 + Z2 = (4+ 5i) + (6−9i)= 4+6+5i -9i.= 10 – 4i

           2) Z1 — Z2 = (4+ 5i) — (6−9i)= 4-6+5i +9i. = -2 + 14i

         3) Z1 ·Z2 = (4+5i)(6− 9i)= 24 −36i + 30i− 45i2= 24 -6i — 45·(-1) = 69 -6i.

         4)

Ответ: Z1 + Z2 =10 – 4i, Z1 — Z2 = -2 + 14i, Z1 ·Z2 =69 -6i,

Пример 2. Раскрыть скобки, используя формулы сокращенного умножения:

1) (2+ 3i)2 = 22 + 2·2·3i + (3i)2 = 4 +12i + 9·(-1) = -5+12i,

2) (5 + 4i)(5  — 4i)= 52 –42i2= 25 – 16·(-1) = 25 + 16 =4,

3) (3-5i)2 = 32 — 2·3·5i + (-5i)2 = 9 — 30i + 25(-1) = -16- 30i.

Пример 3. Изобразим на комплексной плоскости числа

Z1 = 2 + i;         Z2 = 3i;        

Z3 = -3 + 2i;         Z4 = -1 – i. 

Задания для самостоятельного решения

1. Изобразите на плоскости заданные комплексные числа:

Z1 = 4i                    Z2 = 3 + i

Z3= — 4 +3i             Z4= — 2 -5i

2 . Вычислите модуль комплексного числа

Z = 3 + 4i

3. Произведите сложение и вычитание комплексных чисел:

Z1 = (3 + 5i) ,    Z2 = (7 – 2i)

4. Выполните действие над комплексными числами:

а)  (2 + 3i)(5 – 7i),
б) (3 + 2i)(3 – 2i),

в) (3 + 5i)2,

г) .

5. Решите уравнения:

а) x2 – 4x + 13 = 0

б) 2,5×2 + x + 1 = 0

в) x2 + 3x + 4=0

Контрольные вопросы.

1. Дайте определение комплексного числа.
2. Какие числа называются комплексно – сопряженными?
3. Какие комплексные числа называются равными?
4. Как вычислить модуль комплексного числа?
5. Как производятся действия над комплексными числами в алгебраической форме?

вариационный принцип — уравнения Эйлера-Лагранжа из комплексного лагранжиана

$\begingroup$

Я ищу обобщения уравнений Эйлера-Лагранжа, которые можно было бы вывести из комплекснозначной лагранжевой плотности. Я понимаю, что «минимум» и «максимум» не имеют очевидного значения для комплекснозначного действия, поэтому я ищу уравнения Э-Л, которые соответствуют (а) постоянной амплитуде действия, (б) постоянной фазе действия, или (c) оба.

Документы, которые я нашел, в основном избегают этой проблемы, разрешая комплексные переменные поля в лагранжиане, но гарантируя, что сам лагранжиан является вещественным.

Эта статья может быть актуальна: Нестандартная комплексная лагранжева динамика

Будем рады любым советам.

• лагранжев формализм
• вариационный принцип
• действие
• комплексные числа
• вариационное исчисление

$\endgroup$

8

$\begingroup$

Если у вас есть сложное действие, вам нужно решить, что вам нужно, чтобы быть неподвижным. Это может быть а) действие, если его амплитуда постоянна; б) действие, если его фаза постоянна; в) амплитуда действия; г) фаза действия; д) реальная часть действия и т. д. В каждом из этих случаев это равносильно требованию стационарности некоторого реального действия, например, в случае в) можно выбрать действие, равное амплитуде «старого» сложного действия.

Так что же произойдет, если вы потребуете, чтобы и амплитуда, и фаза сложного действия были стационарными? Поскольку каждого из этих требований обычно достаточно для получения уравнений движения, оба этих требования вместе обычно дают переопределенную систему уравнений.

Возможно, однако, что эта сверхдетерминированная система непротиворечива и имеет смысл, но в данный момент я не могу предложить пример.

$\endgroup$

$\begingroup$

1. Стационарный принцип сложного действия $S_c=S_1+iS_2\in \mathbb{C}$ эквивалентен двум реальным стационарным принципам действия для действительной и мнимой частей, $S_1,S_2\in\mathbb{ Р} $. Другими словами, уравнения ЭЛ для $S_c$ — это в точности уравнения ЭЛ для $S_1$ и уравнения ЭЛ для $S_2$. Уравнения ЭЛ для $S_c$ можно организовать как комплексные уравнения, особенно если лагранжиан голоморфен.

2. В фейнмановском интеграле по траекториям $Z$ действие $S$ действительно, по крайней мере, в формулировке Минковского. Однако при оценке квазиклассического приближения методом наискорейшего спуска обычно деформируют контур интегрирования в комплексную плоскость, что может привести к комплексным вкладам в $Z$.

   Стационарные точки на комплексной плоскости могут иметь, а могут и не иметь прямой физической интерпретации как решения уравнений ЭЛ (продолжение анализа).

$\endgroup$

5

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

обучение с подкреплением — маска сложного действия в rllib

В примерах rllib представлена ​​параметрическая/переменная модель действия. В примере предполагается, что выходные данные представляют собой логиты для одного категориального действия dist. Как получить эту работу с более сложным выводом?

Например, в коробке 200 разных мячей. Каждый шаг 2 шара выбираются и кладутся обратно. Пространство действий может быть определено как Multidiscrete([200, 200]) или Tuple((spaces.Discrete(200),spaces.Discrete(200))).

Есть 3 ограничения, которые делают некоторые действия недействительными.

1. каждый раз 2 мяча разные. Таким образом, такие действия, как (1,1) или (2,2), недействительны.
2. Шары одного цвета нельзя собирать вместе. Например, мяч №2 и №3 оба желтые, поэтому их нельзя брать вместе в каком-то состоянии. Таким образом, действие (1,2) недопустимо в этом состоянии.
3. Некоторые шары не могут быть выбраны в определенном штате. Например, когда мяч № 2 помечен как «Не разрешено брать», все действия с мячом № 2, такие как действия (1, n) или (n, 1), недействительны.

Как применить эти 3 ограничения с помощью маскирования действий в rllib.

Предполагая, что есть 2 части нашего пространства наблюдения. Первое ограничение является неявным. Недопустимое действие может быть определено без места для наблюдения. Для второго ограничения A

real_obs помечает каждый шар числом, указывающим его цвет. Шары с одинаковым номером не могут быть собраны вместе. Для третьего ограничения An action_mask указывает, разрешено ли выбирать шары.

В частности, как реализовать пространство действия/наблюдения и функцию forward в пользовательской модели?

Если мое предположение о пространстве наблюдений неосуществимо. Вы можете определить свое пространство наблюдений и соответствующую пользовательскую модель.

Пример ParametricActionsModel в rllib

• обучение с подкреплением
• rllib

У меня была точно такая же проблема. Большая проблема заключается в зависимости между двумя вашими действиями (например, вы не можете взять один и тот же мяч дважды). Так что вы можете умножить их, чтобы у вас было одно большое пространство действий 200×200 = 40000. Затем вы можете создать полную маску в env и передать ее функции пересылки для маскировки. В противном случае вам нужно работать с зависимой выборкой действий и распределениями.

Для меня умножение не было вариантом, так как оно было бы слишком большим. Поэтому я делаю это следующим образом:

1. Env создает маску для Действия 1 и XXX Маски для зависимого Действия 2.
2. В модели вы сэмплируете действие 1 (с tf.random.categorical) с маской действия 1
3. В зависимости от действия 1 вы выбираете маску для действия 2 (tf.where) и образец действия 2.
4. Выходными данными модели должны быть логиты и выборочное действие.
5. Вам необходимо реализовать собственное распределение действий MultiCategorical, чтобы использовать уже выбранные вами действия.

   No related posts.