Сложная функция. Производная сложной функции
Похожие презентации:
Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)
Применение производной в науке и в жизни
Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»
Знакомство детей с математическими знаками и монетами
Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10
Методы обработки экспериментальных данных
Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ
Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии
Дифференциальные уравнения
Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи
Восточно-Казахстанский технологический колледж
Сложная функция.
Производная сложной
функции.
СРС
Подготовил: Муратов Е.А,13ОП
Семей 2017
Рассмотрим функции
f t sin t
g x x 2 x 5
2
y sin x 2 2 x 5
y f g x
Внешняя
функция
Внутренняя
функция
Примеры:
1) y 2 x 1
6
Внешняя функция
Внутренняя функция
2) y
sin 2 x
f t6
t 2x 1
1
2
sin x
2
sin x
y sin x
Внешняя функция
f t 2
2
Внутренняя функция
t sin x
3) y tg 2 x
4
Внешняя функция
Внутренняя функция
f tgt
t 2x
4
Определить внутреннюю и внешнюю
функции для данной сложной функции:
1) y 4 x 1
4
t 4x 1 — внутренняя функция
f t
4 — внешняя функция
Определить внутреннюю и внешнюю
функцию для данной сложной функции:
2) y sin 2 x
t 2x
— Внутренняя функция
f sin t — Внешняя функция
Определить внутреннюю и внешнюю
функцию для данной сложной функции:
1
3) y
3
x 1
t x 1
f t
3
y x 1
3
— Внутренняя функция
— Внешняя функция
Определить внутреннюю и внешнюю
функцию для данной сложной функции:
4) y cos x
2
t cos x
f t
2
y cos x
2
— Внутренняя функция
— Внешняя функция
Правило нахождения производной сложной функции
Производная сложной функции равна
производной внешней функции
на производную внутренней функции
1) y cos 4 x
t 4 x
f cos t
y f t
y cos t 4 x sin t 4 4 sin t
4 sin 4x
2) y ctg 2 x
3
t 2 x
3
f ctgt
y f t
1
2
y ctgt 2 x 2 2 2
3
sin t
sin t
2
sin 2 x
3
2
3) y sin x
y sin x
t sin x
2
f t
y f t
2
y t
2
2
sin x 2t cos x
2 sin x cos x sin 2x
4) y x 2 х
2
4
t x 2 х
y
f
t
f t 4
4
2
3
3
y t x 2 х 4t 2 x 2 8t x 1
2
8 х 1 x 2 х
2
3
Найти производные функций:
1) y 1 4 x
1) y 8 1 4 x
1
2) y
3x 2
3) y cos 3 x
3
2) y
2
3x 2
3) y 3 sin 3 x
2
4) y ctg 4 x 3
4
4) y 2
sin 4 x 3
y 0
Решить уравнение
1) y cos 2 x x 1
y cos 2 x x 1 cos 2 x x 1
t 2 x
f cos t
2 sin t 1 2 sin 2x 1
2 sin 2x 1 0
2 sin 2x 1
2 sin 2x 1
sin t a
1
sin 2 x
2
t 1 arcsin a k , k Z
k
1
2 x 1 arcsin k
2
k
k
k
,k Z
2 x 1 k , x 1
12 2
6
k
2) y sin 4 x 2 x 3
y 0
y sin 4 x 2 x 3 sin 4 x 2 x 3
t 4 x
f sin t
sin t 4 x 2 0 cos t 4 2 4 cos t 2
4 cos 4x 2
4 cos 4x 2 0
1
cos 4 x
2
cos t a
1
cos 4 x
2
t arccos a 2 n, n Z
1
4 x arccos 2 n,
2
4x
3
2 n
x
12
n
2
,n Z
x x
3) y sin
2 4
y 0
x x
x x
y sin sin
2 4
2 4
x
x 1
t ,
sin t x
2
2 4
f sin t
1 1 1
1
cos t cos t
2 4 2
4
1
x 1
cos
2
2 4
1
x 1
cos 0
2
2 4
1
x
1
cos
2
2
4
x
1
cos
2
2
x
1
arccos 2 n
2
2
x
2
2 n
2
3
4
x
4 n, n Z
3
English Русский Правила
| 1 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное х | |
| 2 | Оценить интеграл | интеграл натурального логарифма x относительно x | |
| 3 | Найти производную — d/dx | 92)||
| 21 | Оценить интеграл | интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x | |
| 22 | Найти производную — d/dx | грех(2x) | |
| 23 | Найти производную — d/dx | ||
| 41 | Оценить интеграл | интеграл от cos(2x) относительно x | |
| 42 | Найти производную — d/dx | 1/(корень квадратный из х) | |
| 43 | Оценка интеграла 9бесконечность | ||
| 45 | Найти производную — d/dx | х/2 | |
| 46 | Найти производную — d/dx | -cos(x) | |
| 47 | Найти производную — d/dx | грех(3x) | 92+1|
| 68 | Оценить интеграл | интеграл от sin(x) по x | |
| 69 | Найти производную — d/dx | угловой синус(х) | |
| 70 | Оценить предел | ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х | |
| 85 | Найти производную — d/dx | лог х | |
| 86 | Найти производную — d/dx | арктан(х) | |
| 87 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное 5х92 |
Математическая сцена — Производные, урок 5
Математическая сцена — Производные, урок 5 — Цепное правило2009 Расмус Эф и Джанн Сак |
Урок 5
Цепное правило
Пример 1
Дифференцировать f(x) =
(х 3 +1) 2 .
Единственный способ, который у нас есть делать это до сих пор, сначала умножая скобки, а затем дифференциация. Если мы сделаем это, мы получим
f(x) = x 6 + 2x 3 +1 и, следовательно, f(x) = 6x 5 +6x 2 .
Это не проблема с
простой пример, такой как приведенный выше, но что произойдет, если у нас, например,
f(x) = (x 3 +1) 6 ?
В этом случае требуется слишком много усилий, чтобы умножить скобки перед
дифференциация.
Чтобы различать составные функции, подобные этой, мы используем так называемое цепное правило.
Делаем пример 1
еще раз, чтобы увидеть, как это работает.
f(x) является примером
составная функция, представленная в функциях 2.
Его можно записать как f(u) = u 2 , где u = x 3 +1, ты
функция от x, то есть u(x) = x 3 +1.
Цепное правило гласит, что мы
сначала продифференцируем f(u) относительно u как переменной и получим f(u) = 2u (точно так же, как (x 2 ) = 2x)
Далее дифференцируем u и получаем
u(x) = 3x 2 .
Наконец, мы умножаем два результата
вместе и получите
е (х) =
2u3x 2 . Возвращая значение u, получаем f(x)
=2 ( х 3 +1)3х 2 = 6x 5 +6x 2
Это дает нам правило называемое Цепным правилом, которое гласит, что
(f(u(x)) = f(u(x))u(x) |
Мы только указали правило здесь, но его легко доказать для всех непрерывных дифференцируемых функции.
Пример 2
Дифференцировать композит функция f(x) = sin 2 х.
Обозначение грех 2 х другой способ записи (sin x) 2 так что квадрат — это внешняя функция, а sin x — внутренняя функция. Начать с мы разделим это на две части, но с практикой этого не будет необходимый.
ф(х) =
(sin x) 2 можно записать как f(u) =
и 2 где и = грех х.
f(u) = 2u и u= cos x , так что умножение вместе получаем
f(x) = 2ucos x = 2 sin x cos x
Цепное правило гласит, что для дифференцируем составную функцию, мы дифференцируем внешнюю функцию и умножить на производную внутренней функции.
Пример 2 +
Дифференцируем f(x) = sin x 2 . Это можно записать как f(u) = sin u, где ты = х 2
Таким образом, в этом случае синус является внешней функцией и квадрат является внутренним функция
f(x) = cos x 2 2x
Пример 3
Мы можем использовать правила cos x = sin (/ 2 x) и sin x = cos(/ 2 x), чтобы найти производную от cos x.
cos x = f(x) = sin (/ 2 x)
Производная синуса, внешняя функция является cos и производной от (/ 2 x), внутренняя функция равна 1, поэтому мы получаем
.ф(х) = cos(/ 2 х)(1)
= грех х (1)
= грех х
Пример 4
Найдите производную f(x) = sin 2 x 2 .
Это можно записать как f(x) = (sin x 2 ) 2 Итак, у нас есть тройная составная функция. Самая внешняя функция является квадратичной, затем синус и, наконец, еще один квадратичный.
Мы можем написать f = u 2 , где u = sinv и v = х 2 . Различение каждой функции и умножение дает нам 2 u cos v 2x, и сложив обратно значения u и v, получим результат:
f(x) = 2 sin x 2 cos x 2 2x | Первый мы дифференцируем квадрат, оставляя sin x 2 без изменений. Затем мы дифференцируем функцию синуса, чтобы получить cos и оставить х 2 без изменений, наконец, мы дифференцируем х 2 и получи 2х. |
Пример 5
а) f(x) = e 2x | Дифференцирование экспоненциальной функции оставляет ее неизменной. |
производная от 2x равна 2.
Дифференцирование экспоненциальной функции оставляет ее неизменной, т. производная от x 2 + 1 равна 2x. |
в) f(x) = e sin
x | Дифференцирование экспоненциальной функции оставляет ее неизменной, т. производная от sin x равна cos x. |
Теперь мы хотим найти правило для дифференциации f(x) = lnx.
Мы используем метод под названием неявное дифференцирование , что означает дифференциацию обеих сторон уравнение.
Если f(x) = ln x, то e f(x) = х.
Если мы продифференцируем обе части уравнения, мы получим следующее;
e f(x) = х
e f(x) ф(х) = 1 Использование цепного правила.
Решая f(x), мы получаем
.f(x) = 1/e f(x)
= 1/x Помните, что x = e f(x) .
Теперь мы можем найти производную от другого логарифмические функции.
Найдите производную f(x) = log x.
Сначала мы должны напомнить себе о правила логарифмирования и соотношение между логарифмами с разным основанием. Этот нужное нам правило:
Таким образом, мы можем переписать любой логарифм как натуральный логарифм, ln x.
Логарифм ln 10 является константой, которая не влияет на производная, остальное просто.
Аналогичные расчеты работают для любой функции журнала, поэтому мы можем обобщить следующие три правила:
Пример 6
Дифференцируем f(x) = ln(x 2 + 1).