Ответ: $i.$
Найти действительные решения следующего уравнения:
1.431. $12((2x+i)(1+i)+(x+y)(3-2i))=17+6i.$
Ответ: $x=1/3; y=1/4.$
Решить следующие системы линейных уравнений:
1.432. $(3-i)z_1+(4+2i)z_2=1+3i;$
$(4+2i)z_1-(2+3i)z_2=7.$
Ответ: $z_1=1; z_2=i.$
1.433. $(2+i)z_1+(2-i)z_2=6;$
$(3+2i)z_1+(3-2i)z_2=8.$
Ответ: $z_1=2+i; z_2=2-i.$
Откуда есть пошло комплексное число / Хабр
В современной математике комплексное число является одним из фундаментальнейших понятий, находящее применение и в «чистой науке», и в прикладных областях. Понятно, что так было далеко не всегда. В далекие времена, когда даже обычные отрицательные числа казались странным и сомнительным нововведением, необходимость расширения на них операции извлечения квадратного корня была вовсе неочевидной.
Существует распространенное заблуждение, что комплексные числа потребовались для того, чтобы решать квадратные уравнения. На самом деле, это совершенно не так: задача поиска корней квадратного уравнения никоим образом введение комплексных чисел не мотивирует. Вот совершенно.
Давайте убедимся сами. Всякое квадратное уравнение можно представить в виде:
.
Геометрически, это означает, что мы хотим найти точки пресечения некоторой прямой и параболы
Я тут даже картинку сделал, для иллюстрации.
Как нам всем хорошо известно из школы, корни квадратного уравнения (в указанных выше обозначениях) находятся по следующей формуле:
Оказываются возможными 3 варианта:
1.
Подкоренное выражение положительно.
2. Подкоренное выражение равно нулю.
3. Подкоренное выражение отрицательно.
В первом случае имеются 2 различных корня, во втором два совпадающих, в третьем уравнение «не решается». Все эти случаи имеют вполне наглядную геометрическую интерпретацию:
1. Прямая пересекает параболу (синяя прямая на рисунке).
2. Прямая касается параболы.
3. Прямая не имеет с параболой общих точек (сиреневая прямая на рисунке).
Ситуация проста, логична, непротиворечива. Пытаться извлекать квадратный корень из отрицательного числа нет совершенно никаких оснований. Никто и не пытался.
Обстановка существенно изменилась, когда пытливая математическая мысль добралась до кубических уравнений. Чуть менее очевидно, используя некоторую несложную подстановку, всякое кубическое уравнение можно свести к виду: . С геометрической точки зрения ситуация похожа на предыдущую: мы ищем точку пересечения прямой и кубической параболы.
Взгляните на картинку:
Существенное отличие от случая квадратного уравнения в том, что какую бы прямую мы не взяли, она всегда пересечет параболу. Т.е., уже из чисто геометрических соображений, кубическое уравнение всегда имеет хотя бы одно решение.
Найти его можно воспользовавшись формулой Кардано:
где
.
Немного громоздко, но пока, вроде бы, все в порядке. Или нет?
Вообще, формула Кардано — это яркий пример «принципа Арнольда» в действии. И что характерно, Кардано никогда на авторство формулы не претендовал.
Вернемся, однако, к нашим баранам. Формула замечательная, без преувеличение великое достижение математики начала-середины XVI века. Но есть у нее один нюанс.
Возьмем классический пример, который рассматривал еще Бомбелли:
.
Внезапно,
,
и, соответственно,
.
Приплыли. А формулу жалко, а формула-то хорошая. Тупик. При том, что решение у уравнения, безусловно, есть.
Идея Рафаэля Бомбелли заключалась в следующем: давайте прикинемся шлангом и сделаем вид, что корень из отрицательного — это какое-то число. Мы, конечно, знаем, что таких чисел нет, но тем не менее, давайте представим, что оно существует и его, как обычные числа, можно складывать с другими, умножать, возводить в степень и т.п.
Используя подобный подход, Бомбелли установил, в частности, что
,
и
.
Давайте проверим:
.
Заметьте, в выкладках никаких предположений о свойствах квадратных корней из отрицательных чисел не предполагалось, кроме упомянутого выше допущения, что они ведут себя как «обычные» числа.
В сумме получаем . Что вполне себе правильный ответ, который элементарно проверяется прямой подстановкой. Это был настоящий прорыв. Прорыв в комплексную плоскость.
Тем не менее, подобные выкладки выглядят как некоторая магия, математический фокус. Отношение к ним, как к некоему трюку, сохранялось среди математиков еще очень долго.
Собственно, придуманное Рене Декартом для корней из отрицательных название «мнимые числа» вполне отражает отношение математиков тех времен к таким развлечениям.
Однако, время шло, «трюк» применялся с неизменным успехом, авторитет «мнимых чисел» в глазах математического общества рос, сдерживаемый, однако, неудобством их использования. Лишь получение Леонардом Эйлером (кстати, это именно он ввел ныне общеупотребительное обозначение для мнимой единицы) знаменитой формулы
открыло комплексным числам дорогу в самые различные области математики и ее приложений. Но это уже совсем другая история.
Радикальные уравнения и комплексные числа
Радикальные уравнения и комплексные числа
Радикальные уравнения
Если у нас есть уравнение с одним радикалом, мы следуем процедуре:
Шаг 1. Изолируйте радикал так, чтобы радикал был один с левой стороны.
уравнения со всем остальным на другой стороне уравнения.Шаг 2 Возведите в квадрат обе части уравнения.
Шаг 3. Математика 152A (старый материал).
Шаг 4. Проверьте свой ответ на наличие посторонних решений.
уравнения со всем остальным на другой стороне уравнения.
Пример
Решать
— 2 = 5
Раствор
= 7
7x + 4 = (7) 2
7x + 4 = 49
7x = 45
x = 45/7
Теперь подключите и проверьте:
знак равно 7 — 2 = 5 ок.
Упражнения
Решать
+ 3 = 6
+ 5 = 2
Комплексные числа (Определения)
Напомним, что мы определили Естественное, Целое, Целое, Рациональное, Иррациональное,
и действительные числа.
Определение комплексных чисел Мы определяем я = (так что i 2 = -1) а также пусть Комплексные числа ( C ) быть числами вида а + би где а и б являются действительными числами. Мы называем реальная часть и b мнимая часть . Комплексное число называется чистым . мнимый если а = 0.
|
Пример
2+ = 2 + = 2 + 3i
Упражнение
Представим в комплексной форме следующее:
+ 8
6
Сложение и вычитание комплексных чисел
Пусть a + bi и c + di — комплексные числа, тогда
(а + би) + (в + ди) = (а + в) + (б + г) я
Примеры
(2 — 3и) + (5 + 6и) = (2 + 5) + (-3 + 6) i = 7 + 3i
(4 + 2и) — (3 — i) = (4 — 3) + (2 + 1) i = 1 + 3i
Умножение комплексных чисел
Чтобы умножить два комплексных числа, мы в шутку используем FOIL и помним, что
я 2 = -1
Пример(2 — 3и)(5 + я) = 10 + 2i — 15i — 3i 2
знак равно 10 — 13i — 3(-1) = 13 — 13i
Упражнения
Умножьте комплексные числа.
(3 + 2и)(3 — 2и)
(5 — я) (2 — 3я)
(4 — и) 2
Отдел комплексных чисел
Пусть a + bi будет комплексным числом, тогда мы определим комплексное сопряжение будет а — би
У нас есть
(а + би) (а — би) = а 2 + b 2
Для деления комплексных чисел надо умножить числитель и знаменатель на комплекс сопряженный.
Пример
Разделять
5 —
3i
4 + 2и
Решение
Умножьте верх и низ на 4 — 2i:
(5 — 3и)(4 — 2и)
(4 + 2i)(4 —
2и)
20 — 10i — 12i + 6i 2
знак равно
16 + 4
14 —
22i 7–11i
знак равно
=
20
10
7 11
знак равно
—
я
10 10
Упражнения
Разделите следующее:
1
я3 — я
3 + я1 + 2i
3 — 5и
Назад на страницу Экспоненты и радикалы
Назад на страницу «Основная алгебра, часть II»
Назад к математике Домашняя страница отдела
электронная почта Вопросы и предложения
Для чего используются мнимые числа? (7 примеров) – JDM Educational
Мнимые числа могут показаться не очень полезными, но они появляются в самых разных областях математики.
Они не только полезны в теории, но и имеют некоторые приложения в математике, которые делают возможными некоторые технологии.
Итак, для чего используются мнимые числа? Мнимые числа являются жизненно важной частью комплексных чисел, которые используются в различных темах, включая: вычисление интегралов в исчислении, дифференциальные уравнения второго порядка, вычисления переменного тока в электричестве, ряды Фурье, множество Мандельброта, квадратичные формулы, вращения и векторы.
Конечно, мнимое или комплексное число не является физической длиной или объектом, который мы можем видеть. Наоборот, это идея, которая может помочь нам лучше понять другие концепции.
В этой статье мы поговорим о том, для чего используются мнимые числа, и подробно рассмотрим 8 примеров, чтобы показать, насколько разнообразны приложения.
Начнем.
Для чего используются мнимые числа?
Мнимые числа необходимы для комплексных чисел, которые используются для различных приложений, в том числе:
- Исчисление – вычисление некоторых интегралов
- Дифференциальные уравнения – решение дифференциальных уравнений второго порядка.
- Электричество – расчеты в электронике переменного тока.
- Ряд Фурье — используется при обработке сигналов для беспроводных технологий.
- Множество Мандельброта – сходящееся фрактальное множество комплексных чисел.
- Квадратная формула – решения квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.
- Вращения и векторы — представление двухмерных и трехмерных вращений.
Давайте рассмотрим каждый из них более подробно, начиная с исчисления.
Мнимые числа в исчислении
При вычислении интегралов в исчислении иногда становится трудно найти первообразные тригонометрических функций (таких как степени синуса и косинуса).
Мы можем использовать формулу Эйлера и мнимые числа, чтобы найти более простые способы вычисления некоторых интегралов, включающих тригонометрические функции, такие как синус и косинус. Вместо этого мы можем использовать формулу Эйлера, чтобы найти уравнения для sin(x) и cos(x) в терминах экспонент.
Формула Эйлера говорит, что
- e ix = cos(x) + isin(x)
-x) + isin(-x)
Сложение двух уравнений e ix = cos(x) + isin(x) и E -IX = COS (x) -ISIN (x) дает нам:
- E IX + E -IX = 2COS (X) (x)
- 0 (x) (E (E (E
- 960 (x)
- 960 (x) (x) . + е -ix ) / 2 = cos(x)
Аналогично, вычитание двух уравнений дает: ix – e -ix ) / 2i = sin(x)
Затем мы можем использовать эти два тождества для перезаписи степеней sin(x) или cos(x) и более легкого вычисления интегралов.
Мнимые числа в дифференциальных уравнениях
При решении дифференциальных уравнений второго порядка вида
- ay» + by’ + cy = 0
решим для корней уравнения характеристик
- at 2 + bt + c = 0
1
- 6 В некоторых случаях это будет дают пару комплексно-сопряженных или мнимых корней. В частности, когда дискриминант отрицательный, или b 2 – 4ac < 0 (b 2 < 4ac), мы получим комплексные корни.
[E = напряжение = 8 + 6j и Z = импеданс = 2 + 3j]Во всех случаях мы можем выразить корни r 1 и r 2 в виде комплексных чисел вида c + di, где c и d — действительные числа (для вещественных корней d будет равно нулю).
Помните, что помимо тривиального решения y = 0 решения этого дифференциального уравнения будут иметь вид y = e rt .
Мы снова можем использовать формулу Эйлера, чтобы выразить эти решения через функции синуса и косинуса.
Некоторые дифференциальные уравнения требуют использования мнимых чисел для нахождения нетривиальных решений.Воображаемые числа в электричестве
При анализе цепей переменного тока полное сопротивление можно представить в виде комплексного числа a + bi:
- Сопротивление – действительная часть a
- Реактивное сопротивление – мнимая часть bi
Примечание: in В контексте электроники вместо i часто используется j, чтобы избежать путаницы с I (который представляет ток).
В цепях переменного тока мы используем следующую формулу для связи между напряжением, током и полным сопротивлением (которое включает компоненты сопротивления и реактивного сопротивления):
- E = IZ
, где E = напряжение (иногда используется V), I = ток и Z = импеданс.
В цепи переменного тока V или E — это напряжение, I — это ток, а импеданс (в состав которого входят сопротивление и реактивное сопротивление).Например, если цепь имеет напряжение 8 + 6j вольт и полное сопротивление 2 + 3j ом, мы можем найти ток следующим образом: + 3j)
- 6 В некоторых случаях это будет дают пару комплексно-сопряженных или мнимых корней. В частности, когда дискриминант отрицательный, или b 2 – 4ac < 0 (b 2 < 4ac), мы получим комплексные корни.
- (8 + 6j) / (2 + 3j) = I
Для упрощения умножим на комплексное сопряжение знаменателя сверху и снизу дроби в левой части уравнения.
Комплексное сопряжение 2 + 3j равно 2 – 3j, поэтому:
- (8 + 6j) / (2 + 3j)
- =(8 + 6j)(2 – 3j) / (2 + 3j)(2 – 3j)
- =(16 – 24j + 12j – 18j 2 ) / (4 – 6j + 6j – 9j 2 )
- =(16 – 12j + 18) / (4 + 9) [используется j 2 = -1 и объединены подобные члены]
- = (34 – 12j) / 13
- =34/13 – (12/13)j
Итак, ток равен 34/13 – (12/13)j.
Мнимые числа в рядах Фурье
В рядах Фурье (которые основаны на комплексных коэффициентах Фурье, определяемых интегралами) используется комплексная экспонента e inx . Мы можем использовать ряды Фурье для дискретного преобразования Фурье (ДПФ).
По сути, преобразование Фурье может помочь нам «разложить» вещи на составляющие синуса и косинуса. Например, звуковая волна может быть записана как сумма двух или более отдельных синусоидальных волн.
Преобразования Фурье могут использоваться в различных приложениях, включая:
- Схематическое проектирование
- Кристаллография
- Анализ изображений, сжатие, фильтрация и реконструкция
- Обработка сигналов (например, беспроводная связь)
- Спектроскопия
Вы можете узнать о другом типе рядов, геометрических рядах, в моей статье здесь.
Мнимые числа в множестве Мандельброта
Множество Мандельброта — известный набор комплексных чисел c, для которого f c (z) = z 2 + c имеет ограниченный модуль при повторении от z = 0. Это просто означает, что последовательность { |f c (0)|, |f c (f c (0))|, … } имеет верхний предел для значений в последовательности.
Множество Мандельброта — это подмножество комплексных чисел с ограниченным модулем.
Помните, что |z| — модуль комплексного числа z, и если z = a + bi, то |z| = √(a 2 + b 2 ) — расстояние от z до начала координат (0, 0) на комплексной плоскости.
Вы можете увидеть изображение множества Мандельброта на этой странице из Бостонского университета.
Мнимые числа из квадратичной формулы
При решении квадратного уравнения вида
- ах 2 + bx + c = 0
с действительными коэффициентами а, b, с, (а не равными нулю), можно решить с помощью формулы квадратичная формула, заданная как
Квадратичная формула дает комплексные решения, когда дискриминант (выражение под радикалом) отрицательный.Дискриминант D = b 2 – 4ac – это выражение под радикалом (подкоренным) в квадратичной формуле. Эта величина полностью определяет характер решений соответствующего квадратного уравнения:
- D > 0 (b 2 > 4ac): в этом случае у нас есть два различных действительных решения (действительных корня) квадратного уравнения. График этого квадратного уравнения (парабола) будет дважды пересекать ось абсцисс.
- D = 0 (b 2 = 4ac): в этом случае мы имеем одно повторяющееся действительное решение (двойной корень) квадратного уравнения. График этого квадратного уравнения (парабола) пересечет ось абсцисс один раз (вершина параболы опирается на ось абсцисс).
- D < 0 (b 2 < 4ac): в этом случае мы имеем два комплексно-сопряженных решения (комплексных корня) квадратного уравнения. График этого квадратного уравнения (парабола) никогда не будет пересекать ось x (он всегда будет выше или всегда ниже оси x).
График этого квадратного уравнения (парабола) будет дважды пересекать ось абсцисс.На изображении ниже показано, как значение дискриминанта говорит нам о решениях квадратного уравнения.
Дискриминантом является выражение b 2 – 4ac под радикалом в квадратичной формуле. Его знак может сказать нам о характере решений соответствующего квадратного уравнения. Когда дискриминант отрицательный (D < 0), мы извлекаем квадратный корень из отрицательного числа в квадратной формуле.
Квадратный корень из отрицательного числа даст нам мнимое число, и поэтому в этом случае мы получим два сложных (не действительных) решения.
Если в квадратном уравнении b равен нулю, а a и c имеют один и тот же знак, то мы получим чисто мнимые решения (действительная часть двух комплексно-сопряженных уравнений будет равна нулю).
Мнимые числа для вращений
Так как мнимые числа могут представлять векторы в 2D или 3D пространстве, мы также можем использовать их для вращений. Это полезно в графике для анимации при создании фильмов, видеоигр и симуляций/обучения.
Допустим, у нас есть вектор 1 + i в двумерном пространстве. Этот вектор заканчивается в точке, которая находится на расстоянии √2 от начала координат (0, 0), измеренном под углом 45 градусов от оси x в первом квадранте.
Умножение на комплексные числа позволяет вращать векторы в двумерном пространстве.Если мы умножим z = 1 + i на комплексное число i = 0 + i, мы получим:
- iz
- = (0 + i)(1 + i)
- =0 + 0i + 1i + i 2
- = -1 + i [используя i 2 = -1]
Этот новый вектор заканчивается в точке, которая находится на расстоянии √2 от начала координат (0, 0), измеренный под углом 45 градусов от оси x во втором квадранте (135 градусов от оси x в первом квадранте).
Итак, умножение на i эквивалентно повороту против часовой стрелки на 90 градусов.
Аналогично, умножение на -i эквивалентно повороту по часовой стрелке на 90 градусов (или повороту против часовой стрелки на 270 градусов).
Умножение на -1 эквивалентно повороту на 180 градусов.
Опять же, мы можем использовать формулу Эйлера, чтобы лучше понять эти вращения. Так как
- a + bi = re ix = r(cos(x) + isin(x))
Мы можем вычислить, какое комплексное число использовать для данного поворота на x (или, работая в обратном направлении, выяснить, на какой угол мы поворачиваемся, когда мы умножаем на определенное комплексное число).
Например, если мы хотим повернуться против часовой стрелки на 45 градусов (π/4), мы должны использовать комплексное число:
- 1e iπ/4
- =1(cos(π/4) + isin(π/4))
- =1(√2/2 + i√2/2)
- =√2/2 + i√2/2
Если мы начнем с комплексного числа i = 0 + i (которое лежит на окружности с радиусом 1, на 90 градусов от оси x в первом квадранте), мы можем повернуть против часовой стрелки на 45 градусов, если мы умножим на √2/2 + i√2/2:
- (0 + i)(√2/2 + i√2/2)
- =0 + 0 + i√2/2 + i 2 √2/2
- =-√2/2 + i√2/2
Это также точка на окружности с радиусом 1 (поскольку модуль или расстояние от начала координат равно 1), но он повернут на 45 градусов против часовой стрелки от 0 + i.
Обратите внимание, что если модуль r = |z| комплексного числа z равно 1, то умножение комплексного числа на z повернет комплексное число, оставив его на той же окружности в комплексной плоскости.
Однако, если модуль r = |z| комплексного числа z не равно 1, то изменится длина результирующего вектора произведения (в дополнение к происходящему повороту).
Если r > 1, результирующий вектор становится длиннее, а если r < 1, результирующий вектор становится короче.
В этой статье Джейкоба Белла на Medium мы немного глубже погружаемся в то, как использовать мнимые числа для вращения в контексте видеоигр.
Заключение
Теперь, когда вы знаете некоторые способы использования мнимых чисел, вам может быть интересно узнать о них больше.
Если да, то вы можете узнать больше о комплексных числах в моей статье здесь.
Вы также можете узнать больше о триггерных функциях и о том, как определить их знаки (на основе квадранта) в моей статье здесь.