Математический анализ. (Виленкин)
Математический анализ. (Виленкин)
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯВВЕДЕНИЕ 2. Числовые множества. 3. Пустое множество. 4. Подмножество. 5. Пересечение множеств. 6. Сложение множеств. 7. Разбиение множеств.  8. Вычитание множеств. 9. Отображение множеств. 10. Краткие исторические сведения. Глава I. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО § 1. Тождественные преобразования многочленов 2. Целые рациональные выражения и функции. 3. Степень с натуральным показателем и ее свойства. 4. Многочлены. 5. Умножение многочленов. 6. Числовые кольца и поля. 7. Кольцо многочленов над данным числовым полем. 8. Бином Ньютона. § 2. Деление многочленов. Корни многочленов 2. Теорема Безу. Схема Горнера. 3. Корни многочлена. 4. Интерполяционные формулы. 5. Кратные корни. 6. Многочлены второй степени. 7. Многочлены с целыми коэффициентами. 8. Краткие исторические сведения. Глава II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА § 1. Общая теория уравнений 2. Область допустимых значений. 3. Уравнения. 4. Совокупности уравнений. 5. Преобразования уравнений. 6. Теоремы о равносильности уравнений. § 2. Уравнения с одним неизвестным 2.  Метод разложения на множители.3. Метод введения нового неизвестного. 4. Биквадратные уравнения. 5. Возвратные уравнения 3-й и 4-й степеней. § 3. Функциональные неравенства 2. Равносильные неравенства. 3. Доказательство неравенств. 4. Линейные неравенства. 5. Решение неравенств второй степени. 6. Решение алгебраических неравенств высших степеней. 7. Краткие исторические сведения. Глава III. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ СТЕПЕНИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 1. Степени с целым показателем 2. Степень с нулевым показателем. 3. Степень с целым отрицательным показателем. § 2. Корни. Степени с рациональными показателями 2. Степени с рациональными показателями. 3. Свойства степеней с рациональными показателями. § 3. Иррациональные алгебраические выражения 2. Одночленные иррациональные выражения. 4. Извлечение корня из произведения и степени. 5. Вынесение алгебраических выражений из-под корня и внесение их под корень.  6. Возведение корня в степень. 7. Извлечение корня из корня. 8. Подобные корни. 9. Сложение и вычитание корней. 10. Уничтожение иррациональности в знаменателе или в числителе алгебраической дроби. 11. Преобразование выражений вида … 12. Смешанные задачи на преобразование иррациональных выражений. § 4. Иррациональные уравнения и неравенства 2. Сведение иррациональных уравнений к рациональным. 3. Уединение радикала. 4. Введение нового неизвестного. 5. Особые случаи решения иррациональных уравнений. 6. Иррациональные неравенства. 7. Краткие историчесие сведения. Глава IV. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ § 1. Системы алгебраических уравнений 2. Системы уравнений. 3. Геометрический смысл решений уравнений и систем уравнений с двумя неизвестными. 4. Совокупность уравнений. 5. Равносильные системы уравнений. 6. Метод подстановки. 7. Метод алгебраического сложения уравнений.  8. Метод введения новых неизвестных. 9. Системы однородных уравнений. 10. Геометрическая интерпретация решения систем двух уравнений с двумя неизвестными. § 2. Системы линейных уравнений 2. Теоремы о равносильности систем линейных уравнений. 3. Пример решения системы линейных уравнений методом Гаусса. 4. Метод Гаусса (приведение системы к обобщенно-треугольному виду). 5. Решение обобщенно-треугольной системы линейных уравнений. 6. Системы однородных линейных уравнений. § 3. Симметрические многочлены и их приложения к решению систем уравнений 3. Основная теорема о симметрических многочленах от двух переменных. 4. Системы симметрических алгебраических уравнений. 5. Применение симметрических многочленов к решению иррациональных уравнений. § 4. Неравенства с многими переменными 2. Среднее арифметическое и среднее геометрическое трех чисел. 3. Неравенство Коши (двумерный вариант). 4. Задачи на наибольшие и наименьшие значения.  § 5. Решение неравенств 2. Неравенства с двумя переменными. 3. Задание областей неравенствами и системами неравенств. 4. Понятие о линейном программировании. 5. Краткие исторические сведения. Глава V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА § 1. Комплексные числа в алгебраической форме 2. Комплексные числа. 3. Сложение комплексных чисел; умножение на действительные числа. 4. Умножение комплексных чисел. 5. Квадратные уравнения с действительными коэффициентами. 6. Деление комплексных чисел. 7. Сопряженные комплексные числа. 8. Извлечение квадратных корней из комплексных чисел. § 2. Тригонометрическая форма комплексных чисел 2. Полярная система координат. 3. Тригонометрическая форма комплексного числа. 4. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. 5. Возведение комплексных чисел в степень. Формула Муавра. 6. Извлечение корня из комплексного числа. 7. Функции комплексного переменного и преобразования комплексной плоскости.  § 3. Некоторые виды алгебраических уравнений 2. Двучленные уравнения. 3. Корни из единицы и построение правильных многоугольников. 4. Трехчленные уравнения. § 4. Основная теорема алгебры многочленов и ее следствия 3. Разложение на множители многочленов с действительными коэффициентами. 4. Краткие исторические сведения. Глава VI. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ § 1. Конечные цепные дроби 2. Пример цепной дроби. 3. Определение цепной дроби. 4. Представление рациональных чисел в виде конечной цепной дроби. 5. Подходящие дроби. 6. Свойства подходящих дробей. 8. Подходящие дроби и календарь. 9. Приближение цепной дроби подходящими дробями. § 2. Бесконечные цепные дроби 2. Подходящие дроби и наилучшие приближения иррациональных чисел рациональными. 3. Цепные дроби как вычислительный инструмент. 4. Краткие исторические сведения. Глава VII. КОМБИНАТОРИКА § 1. Комбинаторные задачи § 2.  Комбинаторные задачи. Продолжение§ 3. Определения и формулы § 4. Соединения с повторениями § 5. Комбинаторные задачи. Окончание § 6. Бином Ньютона и его обобщения § 7. Краткие исторические сведения Глава VIII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ § 2. Сложные вероятности. Теоремы сложения и умножения. Условные вероятности § 3. Примеры вычисления вероятностей § 4. Полная вероятность. Формула Байеса § 5. Повторение испытаний § 6. Примеры вычисления вероятностей. Окончание § 7. Краткие исторические сведения |
Основные темы математики : Комплексные числа
Комплексные или мнимые числа впервые появились в известном сочинении Кардано «Великое искусство, или об алгебраических правилах» 1545 года. По мнению автора, эти числа не были пригодны к употреблению. Однако это утверждение было позднее опровергнуто. В частности, Бомбелли в 1572 году при решении кубического уравнения обосновал пользу мнимых чисел.
И все же долгое время в математическом мире не было единого представления о сущности комплексных чисел.
Геометрическое представление комплексного числа
Впервые символ мнимых чисел был предложен выдающимся математиком Эйлером. Предложенная символика выглядела следующим образом: i = sqr -1, где i — imaginarius, что означает фиктивный. В заслугу Эйлера также входит идея об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел.
Итак, необходимость в числах нового типа появилась при решении квадратных уравнений для случая D < 0 (где D — дискриминант квадратного уравнения). В настоящее время комплексные числа нашли широкое применение в физике и технике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и т.п.
Графическая запись комплексных чисел имеет вид: a + bi, где a и b — действительные числа, а i — мнимая единица, т.e. i2 = -1. Число a называется абсциссой, a b — ординатой комплексного числа a + bi.
Существует ряд правил, связанных с комплексными числами:
- Во-первых, действительное число а может быть записано в форме комплексного числа: a+ 0 i или a — 0 i. К примеру, 5 + 0 i и 5 — 0 i означают одно и то же число 5.
- Во-вторых, комплексное число 0+ bi называется чисто мнимым числом. Запись bi означает то же самое, что и 0+ bi.
- В третьих, два комплексных числа a + bi и c + di считаются равными, если a = c и b = d. В ином случае комплексные числа не равны.
К основным действиям над комплексными числами относятся:
- Сложение. Комплексное число ( a + c ) + ( b + d ) i называется суммой комплексных чисел a + bi и c + di. Следовательно, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.
- Вычитание. Комплексное число ( a — c ) + ( b — d ) i называется разностью двух комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и c + di (вычитаемое).
Отсюда следует, что при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты. -
Умножение. Произведением комплексных чисел a + bi и c + di является комплексное число ( ac — bd ) + ( ad + bc ) i. Это определение справедливо при соблюдении двух требований:
- числа a + bi и c + di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,
- число i обладает основным свойством: i2 = -1.
К примеру, (a + bi)(a — bi) = a2 + b2. Отсюда следует, что произведение двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному положительному числу.
- Деление. Разделить комплексное число a + bi (делимое) на другое c + di (делитель) — значит отыскать третье число e + f i (частное), умножение которого на делитель c + di даёт в результате делимое a + bi. Деление возможно только в случае, если делитель не равен нулю.
К примеру, (8 + i) : (2 — 3i) = 1 + 2i.
Отсюда следует, что при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.Модуль, аргумент, вещественная и мнимая части
В геометрическом представлении комплексные числа в отличие от действительных, которые изображаются на числовой прямой точками, отмечаются точками на координатной плоскости. Возьмем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на осях. В этом случае комплексное число a + bi будет представлено точкой Р с абсциссой а и ординатой b. Такая система координат называется комплексной плоскостью.
Модулем комплексного числа является длина вектора OP, изображающего комплексное число комплексной плоскости. Модуль комплексного числа a + bi записывается в виде |a + bi| или буквой r и равен: r = |a + ib| = sqr a2 + b2.
У сопряженных комплексных чисел имеется одинаковый модуль.
Аргументом комплексного числа является угол φ между осью OX и вектором OP, изображающим комплексное число.
Отсюда получаем, tan φ = b/a.
Тригонометрическая форма комплексного числа выражается через модуль r и аргумент φ абсциссы a и ординаты b комплексного числа a + bi.
a = r cosφ, b = r sinφ. a + bi = r ( cosφ + i sinφ).
Поделиться ссылкой
Вопрос Видео: Решение уравнений с комплексными числами
Стенограмма видео
Пусть 𝑧 один равно четырем 𝑥 плюс два 𝑦𝑖 и 𝑧 два равно четырем 𝑦 плюс 𝑥𝑖, где 𝑥 и 𝑦 — действительные числа. Учитывая, что 𝑧 один минус 𝑧 два равно пяти плюс два 𝑖, найдите 𝑧 один и 𝑧 два.
Давайте внимательно посмотрим на то, что нам дали. Нам дано два комплексных числа через 𝑥 и 𝑦. И мы знаем, что это комплексные числа, потому что нам сказали, что 𝑥 и 𝑦 — действительные числа. Это важное определение комплексного числа. И действительная, и мнимая части комплексных чисел должны состоять из действительных чисел. Нам также говорят, что разница между этими двумя числами равна пяти плюс два 𝑖.
Напомним: чтобы вычесть комплексные числа, мы просто вычитаем действительные части, а затем отдельно вычитаем мнимые части. Это означает, что действительная часть 𝑧 один минус 𝑧 два должна быть равна разнице между действительными частями 𝑧 один и 𝑧 два. Действительная часть 𝑧 один минус 𝑧 два равно пяти. Действительная часть 𝑧 единицы равна четырем 𝑥, а действительная часть нашего второго комплексного числа равна четырем 𝑦. Итак, пять равно четырем 𝑥 минус четыре 𝑦.
Повторим этот процесс для наших мнимых чисел. Мнимая часть разности равна двум. Мнимая часть числа 𝑧 один равна двум 𝑦, а мнимая часть числа 𝑧 два равна 𝑥. Итак, два равно двум 𝑦 минус 𝑥. И теперь мы видим, что у нас есть пара одновременных уравнений в 𝑥 и 𝑦. Мы можем использовать любой метод, который нам удобен, чтобы решить их.
Теперь я думаю, что подстановка вполне подходит для этих уравнений. Давайте изменим это второе уравнение, чтобы сделать 𝑥 субъектом. Мы добавляем 𝑥 к обеим сторонам, а затем вычитаем два.
И мы получаем 𝑥 равно двум 𝑦 минус два. Затем мы подставляем это в наше первое уравнение. И мы видим, что пять равно четырем лотам нашего значения 𝑥, что равно двум 𝑦 минус два. А затем мы вычитаем эти четыре 𝑦.
Распределяем эти скобки, умножая каждое слагаемое на четыре. И мы видим, что пять равно восьми 𝑦 минус восемь минус четыре 𝑦. Восемь 𝑦 минус четыре 𝑦 равно четыре 𝑦. Мы решим это уравнение, добавив восемь к обеим частям, чтобы получить 13 равно четырем 𝑦. А потом поделим на четыре. И мы видим, что 𝑦 равно 13 больше четырех.
Мы можем подставить это значение обратно в любое из наших исходных уравнений. Но разумно выбрать переставленную форму второго уравнения. 𝑥 равно двум, умноженным на 13 на четыре минус два. Два умножить на 13 на четыре равно 13 на два. А два — это то же самое, что четыре на два. 13 больше двух минус четыре больше двух равно девять больше двух. И на этом мы обычно останавливались.
Но нас попросили найти комплексные числа 𝑧 один и 𝑧 два.
Поэтому нам нужно подставить наши значения для 𝑥 и 𝑦 в каждое из них. Мы получаем 𝑧 один равняется четырем, умноженным на девять на два, плюс два, умноженным на 13 на четыре 𝑖. Это 18 плюс 13 плюс два 𝑖. 𝑧 два четыре умножить на 13 на четыре плюс девять на два 𝑖. Это 13 плюс девять на два 𝑖.
И имеет смысл проверить наш ответ, вычитая 𝑧 два из 𝑧 одного и убедившись, что мы действительно получаем пять плюс два 𝑖. Вычитаем их действительные части. 18 минус 13 равно пяти, как и требовалось. И вычитаем их мнимые части. 13 на два минус девять на два равно четырем на два, что упрощается до двух. А мнимая часть равна двум, как и требуется.
Мнимые и комплексные числа | Алгебра 2 | Квадратные уравнения и функции | Комплексные числа
Популярные учебники
по мнимым и комплексным числамКак умножать чисто мнимые числа?
Вы можете перемножать мнимые числа так же, как перемножаете переменные. Просто помните, что «i» — это не переменная, а воображаемая единица! В этом руководстве показаны шаги, необходимые для нахождения произведения чисто мнимых чисел.
Как умножать комплексные числа с помощью фольги?
Потренируйтесь умножать комплексные числа методом ФОЛЬГА! В этом учебном пособии вы познакомитесь с процессом умножения двух комплексных чисел.
Как складывать комплексные числа?
Если вы хотите сложить комплексные числа, сначала перегруппируйте их так, чтобы одинаковые термины располагались рядом друг с другом. Затем сложите похожие термины вместе, и у вас есть ответ! Чтобы увидеть пример, ознакомьтесь с этим руководством.
Как вычитать комплексные числа?
При вычитании комплексных чисел сначала нужно разделить знак минус на второе комплексное число. Затем перегруппируйте термины так, чтобы похожие термины располагались рядом друг с другом. Объедините похожие термины, и вы получите ответ! Посмотрите этот урок, чтобы увидеть отличный пример!
Как делить комплексные числа с помощью сопряженных чисел?
Чтобы разделить комплексные числа, обычно нужно умножить на комплексно-сопряженное число знаменателя.
Следуйте этому руководству, чтобы узнать, как найти сложное сопряжение и умножить на него, чтобы выполнить деление!Как найти высшие степени i?
Когда мнимое число i имеет большой показатель степени, его упрощение может занять некоторое время. К счастью, этот урок даст вам возможность быстро найти более высокую степень числа «i»!
Как упростить извлечение квадратного корня из отрицательного числа?
Упрощение квадратного корня из отрицательного числа очень похоже на упрощение квадратного корня из положительного числа. Вам просто нужно помнить «i» в своем ответе! Ознакомьтесь с этим руководством, чтобы узнать, как упростить квадратный корень из отрицательного числа.
Как найти значения x и y, чтобы сделать два комплексных числа равными?
Решение комплексных чисел не так сложно, как может показаться. Просто сопоставьте реальные части и мнимые части и решить! В этом руководстве показано, как решить уравнение, включающее комплексные числа для определенных переменных.
Следуйте этому руководству, чтобы узнать, как найти сложное сопряжение и умножить на него, чтобы выполнить деление!