ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа уравнСния: Как Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ уравнСния с комплСксными числами. Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ комплСксноС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·. (Π’ΠΈΠ»Π΅Π½ΠΊΠΈΠ½)

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·. (Π’ΠΈΠ»Π΅Π½ΠΊΠΈΠ½)
  

Π’ΠΈΠ»Π΅Π½ΠΊΠΈΠ½ Н.Π―., Π¨Π²Π°Ρ€Ρ†Π±ΡƒΡ€Π΄ Π‘.И. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·. Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠ΅ пособиС для IXβ€”X классов срСдних школ с матСматичСской спСциализациСй. M., ΠŸΡ€ΠΎΡΠ²Π΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅, 1969 Π³.

Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠ΅ пособиС для школ с матСматичСской спСциализациСй, снабТСнноС большим количСством Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΈ ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Как ΠΈ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅Π΄ΡˆΠ°Ρ Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ (1968 Π³.) ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π° «АлгСбра» Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ авторского ΠΊΠΎΠ»Π»Π΅ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π°, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ использована прСподаватСлями ΠΈ учащимися ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠΊΠΎΠ»Ρ‹.



ОглавлСниС

ΠŸΠ Π•Π”Π˜Π‘Π›ΠžΠ’Π˜Π• Π”Π›Π― Π£Π§Π˜Π’Π•Π›Π―
Π’Π’Π•Π”Π•ΠΠ˜Π•
2. ЧисловыС мноТСства.
3. ΠŸΡƒΡΡ‚ΠΎΠ΅ мноТСство.
4. ΠŸΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ.
5. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ мноТСств.
6. Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ мноТСств.
7. Π Π°Π·Π±ΠΈΠ΅Π½ΠΈΠ΅ мноТСств.

8. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ мноТСств.
9. ΠžΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ мноТСств.
10. ΠšΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΈΠ΅ историчСскиС свСдСния.
Π“Π»Π°Π²Π° I. ΠœΠΠžΠ“ΠžΠ§Π›Π•ΠΠ« ОВ ΠžΠ”ΠΠžΠ“Πž ΠŸΠ•Π Π•ΠœΠ•ΠΠΠžΠ“Πž
Β§ 1. ВоТдСствСнныС прСобразования ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ²
2. Π¦Π΅Π»Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ выраТСния ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
3. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ с Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ ΠΈ Π΅Π΅ свойства.
4. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹.
5. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ².
6. ЧисловыС ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π° ΠΈ поля.
7. ΠšΠΎΠ»ΡŒΡ†ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π½Π°Π΄ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ числовым ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ.
8. Π‘ΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°.
Β§ 2. Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ². ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ²
2. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π‘Π΅Π·Ρƒ. Π‘Ρ…Π΅ΠΌΠ° Π“ΠΎΡ€Π½Π΅Ρ€Π°.
3. ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°.
4. Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΠΎΠ»ΡΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹.
5. ΠšΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ.
6. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни.
7. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ с Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами.
8. ΠšΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΈΠ΅ историчСскиС свСдСния.
Π“Π»Π°Π²Π° II. ΠΠ›Π“Π•Π‘Π ΠΠ˜Π§Π•Π‘ΠšΠ˜Π• Π£Π ΠΠ’ΠΠ•ΠΠ˜Π― И НЕРАВЕНБВВА
Β§ 1. ΠžΠ±Ρ‰Π°Ρ тСория ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
2. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ допустимых Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ.
3. УравнСния.
4. Бовокупности ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
5. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
6. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
Β§ 2. УравнСния с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ нСизвСстным
2. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.
3. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ввСдСния Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ нСизвСстного.
4. Π‘ΠΈΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния.
5. Π’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния 3-ΠΉ ΠΈ 4-ΠΉ стСпСнСй.
Β§ 3. Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ нСравСнства
2. Π Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ нСравСнства.
3. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ нСравСнств.
4. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ нСравСнства.
5. РСшСниС нСравСнств Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни.
6. РСшСниС алгСбраичСских нСравСнств Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… стСпСнСй.
7. ΠšΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΈΠ΅ историчСскиС свСдСния.
Π“Π»Π°Π²Π° III. ΠžΠ‘ΠžΠ‘Π©Π•ΠΠ˜Π• ПОНЯВИЯ Π‘Π’Π•ΠŸΠ•ΠΠ˜. Π˜Π Π ΠΠ¦Π˜ΠžΠΠΠ›Π¬ΠΠ«Π• Π’Π«Π ΠΠ–Π•ΠΠ˜Π―
Β§ 1. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ с Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ
2. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ с Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ.
3. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ с Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ.
Β§ 2. ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ с Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ показатСлями
2. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ с Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ показатСлями.
3. Бвойства стСпСнСй с Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ показатСлями.
Β§ 3. Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ алгСбраичСскиС выраТСния
2. ΠžΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ выраТСния.
3. Π‘ΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ.
4. Π˜Π·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня ΠΈΠ· произвСдСния ΠΈ стСпСни.
5. ВынСсСниС алгСбраичСских Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ·-ΠΏΠΎΠ΄ корня ΠΈ внСсСниС ΠΈΡ… ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.
6. Π’ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ.
7. Π˜Π·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня ΠΈΠ· корня.
8. ΠŸΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ.
9. Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.
10. Π£Π½ΠΈΡ‡Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π² числитСлС алгСбраичСской Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ.
11. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π° …
12. Π‘ΠΌΠ΅ΡˆΠ°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.
Β§ 4. Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния ΠΈ нСравСнства
2. Π‘Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ.
3. Π£Π΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°.
4. Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ нСизвСстного.
5. ΠžΡΠΎΠ±Ρ‹Π΅ случаи Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
6. Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ нСравСнства.
7. ΠšΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΈΠ΅ историчСсиС свСдСния.
Π“Π»Π°Π²Π° IV. ΠœΠΠžΠ“ΠžΠ§Π›Π•ΠΠ« ОВ ΠΠ•Π‘ΠšΠžΠ›Π¬ΠšΠ˜Π₯ ΠŸΠ•Π Π•ΠœΠ•ΠΠΠ«Π₯. Π‘Π˜Π‘Π’Π•ΠœΠ« Π£Π ΠΠ’ΠΠ•ΠΠ˜Π™ И НЕРАВЕНБВВ
Β§ 1. БистСмы алгСбраичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
2. БистСмы ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
3. ГСомСтричСский смысл Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ систСм ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с двумя нСизвСстными.
4. Π‘ΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
5. Π Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ систСмы ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
6. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ подстановки.
7. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ алгСбраичСского слоТСния ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
8. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ввСдСния Π½ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… нСизвСстных.
9. БистСмы ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
10. ГСомСтричСская интСрпрСтация Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ систСм Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с двумя нСизвСстными.
Β§ 2. БистСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
2. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ систСм Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
3. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Гаусса.
4. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Гаусса (ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ систСмы ΠΊ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π½ΠΎ-Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ).
5. РСшСниС ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π½ΠΎ-Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
6. БистСмы ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
Β§ 3. БиммСтричСскиС ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΈ ΠΈΡ… прилоТСния ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ систСм ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
2. Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ стСпСнных сумм
3. Основная Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ симмСтричСских ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°Ρ… ΠΎΡ‚ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ….
4. БистСмы симмСтричСских алгСбраичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
5. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ симмСтричСских ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
Β§ 4. НСравСнства с ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ
2. Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ арифмСтичСскоС ΠΈ срСднСС гСомСтричСскоС Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… чисСл.
3. НСравСнство Коши (Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚).
4. Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° наибольшиС ΠΈ наимСньшиС значСния.
Β§ 5. РСшСниС нСравСнств
2. НСравСнства с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ.
3. Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ областСй нСравСнствами ΠΈ систСмами нСравСнств.
4. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ.
5. ΠšΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΈΠ΅ историчСскиС свСдСния.
Π“Π»Π°Π²Π° V. ΠšΠžΠœΠŸΠ›Π•ΠšΠ‘ΠΠ«Π• Π§Π˜Π‘Π›Π
Β§ 1. ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа Π² алгСбраичСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅
2. ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа.
3. Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл; ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа.
4. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл.
5. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния с Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами.
6. Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл.
7. БопряТСнныС комплСксныС числа.
8. Π˜Π·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠ· комплСксных чисСл.
Β§ 2. ВригономСтричСская Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° комплСксных чисСл
2. ΠŸΠΎΠ»ΡΡ€Π½Π°Ρ систСма ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.
3. ВригономСтричСская Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° комплСксного числа.
4. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл Π² тригономСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅.
5. Π’ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠœΡƒΠ°Π²Ρ€Π°.
6. Π˜Π·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня ΠΈΠ· комплСксного числа.
7. Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ комплСксного ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ прСобразования комплСксной плоскости.
Β§ 3. НСкоторыС Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ алгСбраичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
2. Π”Π²ΡƒΡ‡Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ уравнСния.
3. ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈΠ· Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ построСниС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ².
4. Π’Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ уравнСния.
Β§ 4. Основная Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² ΠΈ Π΅Π΅ слСдствия
2. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ с Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами.
3. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² с Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами.
4. ΠšΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΈΠ΅ историчСскиС свСдСния.
Π“Π»Π°Π²Π° VI. Π¦Π•ΠŸΠΠ«Π• Π”Π ΠžΠ‘Π˜
Β§ 1. ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ†Π΅ΠΏΠ½Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ
2. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ†Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ.
3. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ†Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ.
4. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ†Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ.
5. ΠŸΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΡΡ‰ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ.
6. Бвойства подходящих Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ.
8. ΠŸΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΡΡ‰ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ ΠΈ ΠΊΠ°Π»Π΅Π½Π΄Π°Ρ€ΡŒ.
9. ΠŸΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ†Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ подходящими дробями.
Β§ 2. БСсконСчныС Ρ†Π΅ΠΏΠ½Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ
2. ΠŸΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΡΡ‰ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ ΠΈ Π½Π°ΠΈΠ»ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΠ΅ приблиТСния ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ.
3. Π¦Π΅ΠΏΠ½Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ инструмСнт.
4. ΠšΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΈΠ΅ историчСскиС свСдСния.
Π“Π»Π°Π²Π° VII. ΠšΠžΠœΠ‘Π˜ΠΠΠ’ΠžΠ Π˜ΠšΠ
Β§ 1. ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ
Β§ 2. ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ. ΠŸΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Β§ 3. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹
Β§ 4. БоСдинСния с повторСниями
Β§ 5. ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ. ΠžΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅
Β§ 6. Π‘ΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π° ΠΈ Π΅Π³ΠΎ обобщСния
Β§ 7. ΠšΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΈΠ΅ историчСскиС свСдСния
Π“Π»Π°Π²Π° VIII. Π­Π›Π•ΠœΠ•ΠΠ’Π« Π’Π•ΠžΠ Π˜Π˜ Π’Π•Π ΠžΠ―Π’ΠΠžΠ‘Π’Π•Π™
Β§ 2. Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ вСроятности. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ слоТСния ΠΈ умноТСния. УсловныС вСроятности
Β§ 3. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ вычислСния вСроятностСй
Β§ 4. Полная Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° БайСса
Β§ 5. ΠŸΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ испытаний
Β§ 6. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ вычислСния вСроятностСй. ΠžΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅
Β§ 7. ΠšΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΈΠ΅ историчСскиС свСдСния

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ : ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ числа Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ появились Π² извСстном сочинСнии ΠšΠ°Ρ€Π΄Π°Π½ΠΎ Β«Π’Π΅Π»ΠΈΠΊΠΎΠ΅ искусство, ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ± алгСбраичСских ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°Ρ…Β» 1545 Π³ΠΎΠ΄Π°. По мнСнию Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€Π°, эти числа Π½Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ³ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ ΠΊ ΡƒΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ. Однако это ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π΄Π½Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€Π³Π½ΡƒΡ‚ΠΎ. Π’ частности, Π‘ΠΎΠΌΠ±Π΅Π»Π»ΠΈ Π² 1572 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ кубичСского уравнСния обосновал ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·Ρƒ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Ρ… чисСл.

Он составил основныС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° дСйствий с комплСксными числами.

И всС ΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎΠ΅ врСмя Π² матСматичСском ΠΌΠΈΡ€Π΅ Π½Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΎΠ³ΠΎ прСдставлСния ΠΎ сущности комплСксных чисСл.


ГСомСтричСскоС прСдставлСниС комплСксного числа

Π’ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ символ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Ρ… чисСл Π±Ρ‹Π» ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ Π²Ρ‹Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΡΡ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΌ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€ΠΎΠΌ. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Π°Ρ символика выглядСла ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: i = sqr -1, Π³Π΄Π΅ i β€” imaginarius, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Ρ„ΠΈΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΉ. Π’ заслугу Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ идСя ΠΎΠ± алгСбраичСской замкнутости поля комплСксных чисСл.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² числах Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° появилась ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ для случая D < 0 (Π³Π΄Π΅ D β€” дискриминант ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния). Π’ настоящСС врСмя комплСксныС числа нашли ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠ΅, Π³ΠΈΠ΄Ρ€ΠΎ- ΠΈ аэродинамикС, Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ упругости ΠΈ Ρ‚.ΠΏ.

ГрафичСская запись комплСксных чисСл ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄: a + bi, Π³Π΄Π΅ a ΠΈ b β€” Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, Π° i β€” мнимая Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°, Ρ‚.e. i2 = -1. Число a называСтся абсциссой, a b β€” ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΠΉ комплСксного числа a + bi.

Π”Π²Π° комплСксных числа a + bi ΠΈ a β€” bi Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ сопряТёнными комплСксными числами.

БущСствуСт ряд ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ», связанных с комплСксными числами:

  • Π’ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ записано Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ комплСксного числа: a+ 0 i ΠΈΠ»ΠΈ a β€” 0 i. К ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ, 5 + 0 i ΠΈ 5 β€” 0 i ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ число 5.
  • Π’ΠΎ-Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ…, комплСксноС число 0+ bi называСтся чисто ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹ΠΌ числом. Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒ bi ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ 0+ bi.
  • Π’ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠΈΡ…, Π΄Π²Π° комплСксных числа a + bi ΠΈ c + di ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ссли a = c ΠΈ b = d. Π’ ΠΈΠ½ΠΎΠΌ случаС комплСксныС числа Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

К основным дСйствиям Π½Π°Π΄ комплСксными числами относятся:

  • Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. КомплСксноС число ( a + c ) + ( b + d ) i называСтся суммой комплСксных чисСл a + bi ΠΈ c + di. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈ слоТСнии комплСксных чисСл ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈΡ… абсциссы ΠΈ ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹.

    Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ справСдливо ΠΊ дСйствиям с ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°ΠΌΠΈ.

  • Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅. КомплСксноС число ( a β€” c ) + ( b β€” d ) i называСтся Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄Π²ΡƒΡ… комплСксных чисСл a + bi (ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ΅) ΠΈ c + di (Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅). ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… комплСксных чисСл ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈΡ… абсциссы ΠΈ ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹.
  • Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ комплСксных чисСл a + bi ΠΈ c + di являСтся комплСксноС число ( ac β€” bd ) + ( ad + bc ) i. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ справСдливо ΠΏΡ€ΠΈ соблюдСнии Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ:
    1. числа a + bi ΠΈ c + di Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ алгСбраичСскиС Π΄Π²ΡƒΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹,
    2. число i ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ основным свойством: i2 = -1.

    К ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ, (a + bi)(a β€” bi) = a2 + b2. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… сопряТённых комплСксных чисСл Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ числу.


  • ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ, Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚, вСщСствСнная ΠΈ мнимая части

  • Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ комплСксноС число a + bi (Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΠΎΠ΅) Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ c + di (Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ) β€” Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ ΠΎΡ‚Ρ‹ΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ число e + f i (частноС), ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ c + di Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΠΎΠ΅ a + bi. Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² случаС, Ссли Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

    К ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ, (8 + i) : (2 β€” 3i) = 1 + 2i.

Π’ гСомСтричСском прСдставлСнии комплСксныС числа Π² ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° числовой прямой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ, ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости. Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ для этого ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ (Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹) ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±Π°ΠΌΠΈ Π½Π° осях. Π’ этом случаС комплСксноС число a + bi Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ прСдставлСно Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ Π  с абсциссой Π° ΠΈ ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΠΉ b. Вакая систСма ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ называСтся комплСксной ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ.

ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ комплСксного числа являСтся Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° OP, ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ комплСксноС число комплСксной плоскости. ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ комплСксного числа a + bi записываСтся Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ |a + bi| ΠΈΠ»ΠΈ Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ r ΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½: r = |a + ib| = sqr a2 + b2.

Π£ сопряТСнных комплСксных чисСл имССтся ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ.

АргумСнтом комплСксного числа являСтся ΡƒΠ³ΠΎΠ» Ο† ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ осью OX ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ OP, ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌ комплСксноС число. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, tan Ο† = b/a.

ВригономСтричСская Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° комплСксного числа выраТаСтся Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ r ΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Ο† абсциссы a ΠΈ ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ b комплСксного числа a + bi.

a = r cosφ, b = r sinφ. a + bi = r ( cosφ + i sinφ).

ΠŸΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ссылкой

Вопрос Π’ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ: РСшСниС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с комплСксными числами

Π‘Ρ‚Π΅Π½ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ 𝑧 ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ΠΌ π‘₯ плюс Π΄Π²Π° 𝑦𝑖 ΠΈ 𝑧 Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ΠΌ 𝑦 плюс π‘₯𝑖, Π³Π΄Π΅ π‘₯ ΠΈ 𝑦 β€” Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа. Учитывая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 𝑧 ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ минус 𝑧 Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ пяти плюс Π΄Π²Π° 𝑖, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ 𝑧 ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ 𝑧 Π΄Π²Π°.

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ посмотрим Π½Π° Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π΄Π°Π»ΠΈ. Нам Π΄Π°Π½ΠΎ Π΄Π²Π° комплСксных числа Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· π‘₯ ΠΈ 𝑦. И ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это комплСксныС числа, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ сказали, Ρ‡Ρ‚ΠΎ π‘₯ ΠΈ 𝑦 β€” Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа. Π­Ρ‚ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксного числа. И Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ, ΠΈ мнимая части комплСксных чисСл Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΡΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. Нам Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ этими двумя числами Ρ€Π°Π²Π½Π° пяти плюс Π΄Π²Π° 𝑖.

Напомним: Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ комплСксныС числа, ΠΌΡ‹ просто Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ части, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ части. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 𝑧 ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ минус 𝑧 Π΄Π²Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ частями 𝑧 ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ 𝑧 Π΄Π²Π°. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 𝑧 ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ минус 𝑧 Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ пяти. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 𝑧 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ΠΌ π‘₯, Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ нашСго Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ комплСксного числа Ρ€Π°Π²Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ΠΌ 𝑦. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΏΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ΠΌ π‘₯ минус Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ 𝑦.

ΠŸΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΌ этот процСсс для Π½Π°ΡˆΠΈΡ… ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Ρ… чисСл. Мнимая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ разности Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΄Π²ΡƒΠΌ. Мнимая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ числа 𝑧 ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΄Π²ΡƒΠΌ 𝑦, Π° мнимая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ числа 𝑧 Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° π‘₯. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π΄Π²ΡƒΠΌ 𝑦 минус π‘₯. И Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² π‘₯ ΠΈ 𝑦. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ любой ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π½Π°ΠΌ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π΅Π½, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ….

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ я Π΄ΡƒΠΌΠ°ΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ подстановка Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ для этих ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ это Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ π‘₯ ΡΡƒΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠΌ. ΠœΡ‹ добавляСм π‘₯ ΠΊ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΠΌ сторонам, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ Π΄Π²Π°. И ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ π‘₯ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π΄Π²ΡƒΠΌ 𝑦 минус Π΄Π²Π°. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ подставляСм это Π² нашС ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. И ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ΠΌ Π»ΠΎΡ‚Π°ΠΌ нашСго значСния π‘₯, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π΄Π²ΡƒΠΌ 𝑦 минус Π΄Π²Π°. А Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ эти Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ 𝑦.

РаспрСдСляСм эти скобки, умноТая ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ слагаСмоС Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅. И ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ восьми 𝑦 минус восСмь минус Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ 𝑦. Π’ΠΎΡΠ΅ΠΌΡŒ 𝑦 минус Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ 𝑦 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ 𝑦. ΠœΡ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌ это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠ² восСмь ΠΊ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΠΌ частям, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ 13 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ΠΌ 𝑦. А ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅. И ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 𝑦 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 13 большС Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ….

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ это Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ Π² любоС ΠΈΠ· Π½Π°ΡˆΠΈΡ… исходных ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Но Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния. π‘₯ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π΄Π²ΡƒΠΌ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π½Π° 13 Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ минус Π΄Π²Π°. Π”Π²Π° ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 13 Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 13 Π½Π° Π΄Π²Π°. А Π΄Π²Π° β€” это Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Π½Π° Π΄Π²Π°. 13 большС Π΄Π²ΡƒΡ… минус Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ большС Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π΄Π΅Π²ΡΡ‚ΡŒ большС Π΄Π²ΡƒΡ…. И Π½Π° этом ΠΌΡ‹ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΎΡΡ‚Π°Π½Π°Π²Π»ΠΈΠ²Π°Π»ΠΈΡΡŒ.

Но нас попросили Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ комплСксныС числа 𝑧 ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ 𝑧 Π΄Π²Π°. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ наши значСния для π‘₯ ΠΈ 𝑦 Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ…. ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ 𝑧 ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ равняСтся Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ΠΌ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π½Π° Π΄Π΅Π²ΡΡ‚ΡŒ Π½Π° Π΄Π²Π°, плюс Π΄Π²Π°, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π½Π° 13 Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ 𝑖. Π­Ρ‚ΠΎ 18 плюс 13 плюс Π΄Π²Π° 𝑖. 𝑧 Π΄Π²Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 13 Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ плюс Π΄Π΅Π²ΡΡ‚ΡŒ Π½Π° Π΄Π²Π° 𝑖. Π­Ρ‚ΠΎ 13 плюс Π΄Π΅Π²ΡΡ‚ΡŒ Π½Π° Π΄Π²Π° 𝑖.

И ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысл ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ наш ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚, вычитая 𝑧 Π΄Π²Π° ΠΈΠ· 𝑧 ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΠ²ΡˆΠΈΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡΡ‚ΡŒ плюс Π΄Π²Π° 𝑖. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ ΠΈΡ… Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ части. 18 минус 13 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ пяти, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ. И Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ ΠΈΡ… ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ части. 13 Π½Π° Π΄Π²Π° минус Π΄Π΅Π²ΡΡ‚ΡŒ Π½Π° Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ΠΌ Π½Π° Π΄Π²Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ упрощаСтся Π΄ΠΎ Π΄Π²ΡƒΡ…. А мнимая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΄Π²ΡƒΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ трСбуСтся.

ΠœΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ ΠΈ комплСксныС числа | АлгСбра 2 | ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ | ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа

ΠŸΠΎΠΏΡƒΠ»ΡΡ€Π½Ρ‹Π΅ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠΈ

ΠΏΠΎ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹ΠΌ ΠΈ комплСксным числам
    Как ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ чисто ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ числа?

    Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ числа Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Β«iΒ» β€” это Π½Π΅ пСрСмСнная, Π° вообраТаСмая Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°! Π’ этом руководствС ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ шаги, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Π΅ для нахоТдСния произвСдСния чисто ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Ρ… чисСл.

    Как ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ комплСксныС числа с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΠΎΠ»ΡŒΠ³ΠΈ?

    ΠŸΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ комплСксныС числа ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π€ΠžΠ›Π¬Π“Π! Π’ этом ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠΌ пособии Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ с процСссом умноТСния Π΄Π²ΡƒΡ… комплСксных чисСл.

    Как ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ комплСксныС числа?

    Если Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ комплСксныС числа, сначала ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΈΡ… Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹ Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΈΡΡŒ рядом Π΄Ρ€ΡƒΠ³ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ слоТитС ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹ вмСстС, ΠΈ Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚! Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡŒΡ‚Π΅ΡΡŒ с этим руководством.

    Как Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ комплСксныС числа?

    ΠŸΡ€ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠΈ комплСксных чисСл сначала Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊ минус Π½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ комплСксноС число. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹ Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΈΡΡŒ рядом Π΄Ρ€ΡƒΠ³ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ. ΠžΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹, ΠΈ Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚! ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ этот ΡƒΡ€ΠΎΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€!

    Как Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ комплСксныС числа с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ сопряТСнных чисСл?

    Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ комплСксныС числа, ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° комплСксно-сопряТСнноС число знамСнатСля. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠΉΡ‚Π΅ этому руководству, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ слоТноС сопряТСниС ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Π½Π΅Π³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅!

    Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΠ΅ стСпСни i?

    Когда ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ΅ число i ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ большой ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни, Π΅Π³ΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π·Π°Π½ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ врСмя. К ΡΡ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ, этот ΡƒΡ€ΠΎΠΊ даст Π²Π°ΠΌ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ быстро Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²Ρ‹ΡΠΎΠΊΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ числа Β«iΒ»!

    Как ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа?

    Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π° ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа. Π’Π°ΠΌ просто Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Β«iΒ» Π² своСм ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π΅! ΠžΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡŒΡ‚Π΅ΡΡŒ с этим руководством, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа.

    Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ значСния x ΠΈ y, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π²Π° комплСксных числа Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ?

    РСшСниС комплСксных чисСл Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ слоТно, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ ΡΠΎΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ части ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ части ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ! Π’ этом руководствС ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ комплСксныС числа для ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ….

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *