Комплексные числа. Новый ум короля [О компьютерах, мышлении и законах физики]
Комплексные числа
Оказывается, что действительные числа — это не единственная математически мощная и изящная система чисел. Система действительных чисел все же не лишена некоторых неудобств. Например, квадратные корни можно извлекать только из положительных чисел (или нуля), но никак не из отрицательных чисел. С математической точки зрения — и отвлекаясь пока что от вопроса о непосредственной связи с физическом миром — было бы очень удобно иметь возможность извлекать квадратные корни как из положительных, так и из отрицательных чисел. Давайте постулируем существование, или попросту «изобретем» квадратный корень из числа -1. Обозначим его буквой i. Тогда мы имеем:
i 2 = -1.
Величина i, конечно же, не может быть действительным числом, поскольку произведение действительного числа на самого себя всегда положительно (или равно нулю, если само число равно нулю).
Имея квадратный корень из -1, можно без особого труда получить квадратные корни для всех действительных чисел. Если а является положительным действительным числом, то величина i х ?a есть квадратный корень из отрицательного действительного числа — а
. (У этого числа есть еще другой квадратный корень, а именно — i х ?а.
) Ну, а что же можно сказать о самом числе i ? Есть ли у него квадратный корень? Разумеется есть, поскольку, как легко проверить, величина1+i /?2
(равно как и та же величина, взятая с отрицательным знаком), будучи возведена в квадрат, равна i. А у этой величины, в свою очередь, есть квадратный корень? Ответ опять положительный: квадрат числа
или того же числа, взятого с отрицательным знаком, действительно равен (1 + i)/?2.
Обратите внимание, что при образовании такого рода величин мы позволили себе складывать действительные и мнимые числа, а также умножать наши числа на произвольные действительные числа (или делить их на произвольные ненулевые действительные числа, а это то же самое, что умножать их на обратные величины). Получаемые таким образом объекты называются 
Правила сложения и умножения двух таких чисел вытекают из обычных правил (школьной) алгебры с одним дополнительным правилом i 2 = — 1:
(а + ib) + (с + id) = (а + с) + i(b + d),
(а + ib) х (с + id) = (ас — bd) + i(ad + bc).
Удивительное дело: к созданию этой системы чисел нас подтолкнуло желание иметь возможность извлечения квадратных корней из любых чисел. Эта цель достигнута, хотя само по себе это еще не очевидно. Но новая система чисел позволяет делать гораздо больше: безнаказанно извлекать кубические корни, корни пятой степени, корни девяносто девятой степени, корни ?-й степени, корни степени 1 + i и т. д. (это смог доказать еще в XVIII веке великий математик Леонард Эйлер). В качестве другого примера волшебных свойств комплексных чисел рассмотрим довольно сложные на вид тригонометрические формулы, которые проходят в школе. Так, синус и косинус суммы двух углов
sin (А + В) = sin A cos В + cos A sin В,
cos (А + В) = cos A cos В — sin A sin В
представляют собой, соответственно, просто-напросто мнимую и действительную части гораздо более простого (и легче запоминаемого!) комплексного уравнения[62]:
e iA+iB= e iA e iB
Все, что нам нужно здесь знать, это «формула Эйлера» (по-видимому, полученная за много лет до Эйлера замечательным английским математиком XVI века Роджером Котсом):
e iA= cosA+i sinA,
которую мы теперь подставим в приведенное выше уравнение.
В результате имеем:
cos (А + B) + i sin (А + В) = (cosА + i sinA)(cosВ + i sinВ),
и, выполнив умножение в правой части, получим искомые тригонометрические соотношения.
Более того, любое алгебраическое уравнение
(где a0, a1, a2….,an являются комплексными числами и an? 0) всегда имеет своим решением некоторое комплексное число z. Например, существует комплексное число, удовлетворяющее соотношению:
z102 + 999z33 — ?z2 = — 417 +i, хотя это совершенно не очевидно!
Это общее свойство иногда называют «основной теоремой алгебры». Многие математики XVIII века старались доказать этот результат. Получить удовлетворительное доказательство в общем случае оказалось не под силу даже Эйлеру. И только в 1831 году великий математик и естествоиспытатель Карл Фридрих Гаусс предложил потрясающий по своей оригинальности ход рассуждений и представил первое общее доказательство.
Ключевым компонентом этого доказательства было применение топологических[63] рассуждений к геометрическому представлению комплексных чисел.
На самом деле Гаусс не был первым, кто использовал геометрическое представление комплексных чисел. Уоллис сделал то же самое примерно за двести лет до Гаусса, хотя далеко не столь результативно. Геометрическое представление комплексных чисел обычно связывают с именем Жана Робера Аргана — швейцарского бухгалтера, описавшего это представление в 1806 году, хотя полное описание этого представление было на самом деле дано девятью годами раньше норвежским геодезистом Каспаром Весселем. Согласно этой традиционной (хотя и не совсем правильной с исторической точки зрения) терминологии, я буду называть стандартное геометрическое представление комплексных чисел плоскостью Аргана.
Плоскость Аргана представляет собой обычную евклидову плоскость со стандартными декартовыми координатами x и y, где x обозначает расстояние по горизонтали (положительное вправо и отрицательное влево), а у — расстояние по вертикали (положительное вверху и отрицательное внизу).
В этом случае комплексное число z = х + iy представляется точкой на плоскости Аргана с координатами ( x, y) (рис. 3.8).
Рис. 3.8. Изображение комплексного числа z = х + iy на плоскости Аргана
Обратите внимание, что число 0 (рассматриваемое как комплексное число) соответствует началу координат, а число 1 — одной из точек на оси х.
Плоскость Аргана есть просто способ геометрически наглядной организации семейства комплексных чисел. Такое представление не является для нас чем-то совершенно новым. Мы уже знакомы с геометрическим представлением действительных чисел — в виде прямой линии, простирающейся на неограниченное расстояние в обоих направлениях. Одна из точек обозначена как 0, а еще одна — как 1.
Для примера я указал на рис. 3.9 приблизительные положения комплексных чиселu = 1 + i 1,3, v = —2 + i, w = —1,5 — i 0,4.
Рис. 3.9. Расположение чисел u = 1 + i1,3, v = —2 + i, ? = —1,5 — i0,4 на плоскости Аргана
Теперь основные алгебраические операции сложения и умножения комплексных чисел приобретают ясную геометрическую интерпретацию. Рассмотрим сначала сложение. Предположим, что 
Тогда сумма этих двух чисел u + v представляется «векторной суммой» двух точек, то есть точка u + v находится на месте недостающей вершины параллелограмма, образованного точками u, v и началом координат 0. Нетрудно убедиться, что эта конструкция (рис. 3.10) действительно дает сумму двух чисел, но соответствующее доказательство я здесь опускаю.
Рис. 3.10. Сумма u + v двух комплексных чисел определяется по правилу параллелограмма
Произведение uv двух комплексных чисел тоже имеет простую, хотя и, быть может, несколько менее очевидную геометрическую интерпретацию (рис. 3.11). (Я опять опускаю доказательство.)
Рис. 3.11. Произведение uv двух комплексных чисел u и v — это такое число, что треугольник, образованный точками 0, v и uv, подобен треугольнику, образованному точками 0, 1 и u.
То же самое можно сформулировать иначе: расстояние точки uv от 0 равно произведению расстояний от 0 до точек u и v, а угол между uv и действительной (горизонтальной) осью равен сумме углов между этой осью и отрезками к точкам и и v
Угол при начале координат между 1 и uv равен сумме углов между 1 и v и между 1 и u (все углы измеряются против часовой стрелки), а расстояние точки uv от начала координат равно произведению расстояний от начала координат до u и v. Это эквивалентно утверждению, что треугольник, образованный точками 0, v и uv подобен (и ориентирован подобно) треугольнику, образованному точками 0, 1 и u.
(Энергичные читатели, не знакомые с такого рода построениями, могут сами убедиться в том, что эти построения непосредственно следуют из только что приведенных алгебраических правил сложения и умножения комплексных чисел, также как и упомянутые выше тригонометрические тождества.)
Данный текст является ознакомительным фрагментом.
Числа на барабане
Числа на барабане Некий мистер Ли Таврос, мастер по изготовлению музыкальных инструментов, однажды попытался оживить свой бизнес «барабанной дробью» — с помощью загадок на числа. Во время ежегодного съезда собратьев по ремеслу он, стремясь привлечь публику к своему
Глава VII. СИМВОЛИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
Глава VII.
СИМВОЛИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
Прежде чем перейти к рассмотрению теории космических циклов, мы должны сделать несколько замечаний о роли символики чисел в произведении Данте. В работе профессора Родольфо Бенини[58] мы нашли об этом очень интересные замечания, однако он не
Мнения о продукте: «им нет числа»
Мнения о продукте: «им нет числа» Проще всего при выборе продукта воспользоваться чьим-либо авторитетным мнением. Основа мнения – теория и опыт. Теория: чем больше полезных (т. е. необходимых организму) веществ содержится в том или ином продукте, тем лучше, и наоборот.
Числа
Числа
Авторитет Фурье, Референция, Цитата, Наука, предшествующий Дискурс, позволяющий ему говорить и самому обладать властью над «глупостью 25 ученых веков, которые об этом и не думали», есть расчет (как сегодня для нас — формализация).
Этому расчету нет необходимости быть
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЛА
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЛА § 10. Вступление.Число является настолько основной и глубокой категорией бытия и сознания, что для его определения и характеристики можно брать только самые первоначальные, самые отвлеченные моменты того и другого. Математика— наука о числе—есть уже
Числа и рекурсия
Числа и рекурсия Благодаря восприятию множественности разум становится разумным. Люди умеют считать, различают объекты и ощущают одинаковость. Последовательный счёт и математические способности являются высшими феноменами, вершиной айсберга, которая опирается на
ФИЛОСОФИЯ ЧИСЛА
ФИЛОСОФИЯ ЧИСЛА «Жизнь подобна игрищам: иные приходят на них состязаться, иные — торговать, а самые счастливые — смотреть; так и в жизни: иные, подобно рабам, рождаются жадными до славы и наживы, между тем как философы — до единой только истины», — так говорил Пифагор (584 —
Числа, отличные от натуральных
Числа, отличные от натуральных В предыдущих параграфах мы рассматривали действия над натуральными числами и отметили тот замечательный факт, что машина Тьюринга может оперировать с натуральными числами произвольной величины, несмотря на то, что каждая машина имеет
Действительные числа
Действительные числа
Напомним, что натуральные числа являются целыми величинами:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11…Это самый элементарный и фундаментальный вид чисел.
Ими можно количественно измерить любую дискретную сущность: можно говорить о двадцати семи овцах в поле, двух
Числа, идущие назад
Числа, идущие назад Современному шаману – а потенциально мы все современные шаманы, наследники и научной, и традиционной мудрости – очень важно развертывать свой процесс, быть свободнее, воплощать его в повседневной жизни. Но это, как правило, заставляет нас забывать,
ЧИСЛА КАК ПОЛЯ
ЧИСЛА КАК ПОЛЯ Прежде чем думать о полях в математике, физике и психологии, давайте рассмотрим повседневное употребление термина «поле». Большинство из нас представляют себе поле как часть земли, выделенную для того или иного использования, например в качестве пастбища
Мнимые числа
Мнимые числа
Если бы мы жили несколько тысяч лет тому назад, мы бы, несомненно, предсказали открытие мнимых чисел, поскольку действительные числа – это лишь принадлежащие к общепринятой реальности варианты того, что мы переживаем, когда наблюдаем и считаем.
Если бы мы
Комплексные числа
Комплексные числа При добавлении мнимых чисел к полю действительных чисел их описательные способности увеличиваются. Получающаяся смесь действительных и мнимых чисел называется комплексными числами. Комплексные числа представляют собой сочетание действительных и
Комплексные числа в физике
Комплексные числа в физике По мере дальнейшего путешествия в миры шаманизма, психологии и физики мы будем снова исследовать комплексные числа. А пока давайте на несколько минут расслабимся и перенесемся в своей фантазии вперед во времени через сотни лет, от открытия
Комплексные числа в квантовой физике
Комплексные числа в квантовой физике
Физики используют мнимые числа для описания многих аспектов природы, в том числе волновой функции в квантовой механике и пространства-времени в теории относительности.
Поскольку мнимое число при умножении на само себя становится
господа, кто знает доказательства существования комплексного числа? в википедии оно неправильное) — Спрашивалка
господа, кто знает доказательства существования комплексного числа? в википедии оно неправильное) — СпрашивалкаЮА
Юлия Алимханова
- существование
- число
- википедия
- доказательство
Анастасия
Существование доказывать не нужно . Вот например, в древности были числа 1,2,3 …даже 0 не было. А как на троих разделить :))) Вот дроби и придумали. Затем отрицательные, вещественные … и комплексные … для удобства . Вместо двух соотношений (уравнений) стали писать одно. Еще интересней – кватернионы …
Кватернио́ны (от лат.
quaterni, по четыре) — система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел. Обычно обозначаются Н. Предложены Уильямом Гамильтоном в 1843 году.
Кватернионы удобны для описания изометрий трёх- и четырёхмерного евклидовых пространств, и поэтому получили широкое распространение в механике. Также их используют в вычислительной математике, например, при создании трёхмерной графики
Анри Пуанкаре писал о кватернионах: «Их появление дало мощный толчок развитию алгебры; исходя от них, наука пошла по пути обобщения понятия числа, придя к концепциям матрицы и линейного оператора, пронизывающим современную математику. Это была революция в арифметике, подобная той, которую сделал Лобачевский в геометрии
КК
Константин Ковалевский
Числа как таковые вообще не существуют — это абстракция в рамках некоторой алгебры, которая тоже абстракция. А в рамках абстракции может существовать любая абстракция.
Так что вопрос как-то не по существу.
ВБ
Василий Будрик-Былинский
Чё??? Сами ввели, и самим еще доказывать? )))))))))))))
АП
Александр П
Хм.. . это всего лишь число, т. е. что то, что придумано/введено для описания реальных явлений. Можно не использовать эти числа, от этого ничего не измениться. Тогда о каком доказательстве идет речь? зачем оно нужно? ну если хотите, можете ввести суперкомплексные числа, и пользоваться ими…
АО
Артур Ооо
Зачем же доказывать существование того, что не существует?
Алла
и что там в вики не правильного ?
Татьяна
Интересно, как может быть неправильным то, чего не существует?
Хотя, с точки зрения формальной логики, несуществующий объект может обладать любыми свойствами.. .
Доказывать существование числа невозможно…
Похожие вопросы
Помогите извлечь корень из комплексного числа!
Комплексные числа и действие с ними ?
Представить в показательной форме комплексное число
Комплексные Числа.
Help.
какой практический смысл в комплексных числах
показательная форма комплексного числа.
Зачем нужны комплексные числа? Где это используется?
Вот оно, божественное вмешательство, не это ли, доказательство существования бога? Вн…
формы комплексных чисел Как перевести комплексное число из тригонометрической формы в алгебраическую
Комплексные числа и физика
{2}=i\times i=-1\}. Все остальные мнимые числа умножаются на действительное число точно так же, как все действительные числа можно представить как 1, умноженное на другое число. С комплексными числами можно использовать такие арифметические функции, как сложение, вычитание, умножение и деление. Они также следуют коммутативным, ассоциативным и дистрибутивным свойствам, как и действительные числа. Набор комплексных чисел часто представляется с помощью символа C {\ displaystyle \ mathbb {C}}. [1] [2] Комплексные числа были обнаружены при попытке решить специальные уравнения, в которых есть показатели степени.
Это начало создавать настоящие проблемы для математиков. В качестве сравнения, используя отрицательные числа, можно найти x в уравнении для всех действительных значений a и b , но если только положительные числа разрешены для x , иногда невозможно найти положительное 9{2}=-9}. Чтобы решить эту проблему, математики ввели символ i и назвали его мнимой единицей . [1] Это мнимое число, которое даст -1 при возведении в квадрат.
Вероятно, первыми математиками, додумавшимися до этого, были Джероламо Кардано и Раффаэле Бомбелли. Они жили в 16 веке. [2] Вероятно, Леонард Эйлер ввел запись для этого числа.
Все комплексные числа можно записать в виде a+bi{\displaystyle a+bi} [3] (или a+b⋅i{\displaystyle a+b\cdot i}), где a называется действительной частью числа, а b называется мнимой частью . Мы пишем ℜ (z) {\ displaystyle \ Re (z)} или Re (z) {\ displaystyle \ operatorname {Re} (z)} для действительной части комплексного числа z {\ displaystyle z}.
Итак, если z = a + bi {\ displaystyle z = a + bi}, мы пишем a = ℜ (z) = Re (z) {\ displaystyle a = \ Re (z) = \ operatorname {Re} (z )}. Точно так же мы пишем ℑ (z) {\ displaystyle \ Im (z)} или Im (z) {\ displaystyle \ operatorname {Im} (z)} для мнимой части комплексного числа z {\ displaystyle z}; б = ℑ (z) = Im (z) {\ displaystyle b = \ Im (z) = \ operatorname {Im} (z)}, для того же z. [1] Каждое действительное число также является комплексным; это комплексное число z с ℑ (z) = 0 {\ displaystyle \ Im (z) = 0}.
Комплексное число также можно записать в виде упорядоченной пары ( a , b ), где a и b — действительные числа. Любое действительное число можно просто записать как a+0⋅i{\displaystyle a+0\cdot i} или как пару ( a , 0). [3]
Иногда вместо i {\ displaystyle i} пишется j {\ displaystyle j}. Например, в электротехнике я {\ displaystyle i} означает электрический ток, поэтому запись i {\ displaystyle i} может вызвать много проблем, потому что некоторые числа в электротехнике являются комплексными числами.
Сложение, вычитание, умножение и возведение в степень (возведение чисел в степень) возможны с комплексными числами. Деление возможно и для комплексных чисел, если делитель не равен нулю. Некоторые другие вычисления также возможны с комплексными числами.
Правило сложения и вычитания комплексных чисел довольно простое:
Пусть z = (a + bi), w = (c + di) {\ displaystyle z = (a + bi), w = (c + di)}, тогда z + w = (a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d) я {\ displaystyle z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i}, z − w = (a + bi) − (c + di) = (a−c) + (b−d) я {\ displaystyle zw = (a + bi) — (c + di) = (ac) + (б-г)и}. 9{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i.}
Другая примечательная операция для комплексных чисел — сопряжение . Комплексное сопряжение z¯{\displaystyle {\overline {z}}} с z=a+bi{\displaystyle z=a+bi} равно a−bi{\displaystyle a-bi}. Это довольно просто, но важно для расчетов, потому что z × z¯{\displaystyle z\times {\overline {z}}} на самом деле является действительным числом для всех сложных z{\displaystyle z}:
zz¯=(a+bi)(a−bi)=(a2+b2)+(ab−ab)i=a2+b2{\displaystyle z{\bar {z}}=(a+bi)( a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}}.
9{2}}}\left((cx+dy)+(dx-cy)i\right).}
Другие формы описания комплексных чисел[change | изменить источник]
Комплексные числа могут отображаться на так называемой комплексной плоскости. Если у вас есть число z = a + bi {\ displaystyle z = a + bi}, вы можете перейти к точке a на действительной оси и точке b на мнимой оси и нарисовать вектор из (0, 0) {\ displaystyle (0,0)} to (a, b) {\ displaystyle (a, b)}. Длину этого вектора можно вычислить с помощью теоремы Пифагора, а угол этого вектора — это просто угол между положительной вещественной осью и этим вектором, идущим против часовой стрелки. Длина вектора для числа называется его 9.0003 модуль или абсолютное значение (записывается как |z|{\displaystyle |z|}), а угол называется его аргументом (argz{\displaystyle \arg z}). [1]
Комплексное число можно изобразить в виде двух чисел, образующих вектор на диаграмме Аргана, представляющей комплексную плоскость.
Это приводит к тригонометрической форме описания комплексных чисел: по определениям синуса и косинуса следует, что для всех z{\displaystyle z}:
z =|z|(cosargz+isinargz).{\displaystyle z=|z|(\cos\arg z+i\sin\arg z).}
Это близко связано с формулой де Муавра.
Существует даже другая форма, называемая экспоненциальной формой .
С введением в математику комплексных чисел каждый многочлен с комплексными коэффициентами имеет корни в комплексных числах. Это введение также помогло открыть путь к созданию другого типа чисел, которые могли помочь решить и объяснить множество различных проблем. К ним относятся гиперкомплексные числа, седения, гиперреальные числа, сюрреалистические числа и многие другие. Для получения дополнительной информации см. Типы чисел.
- Сложная плоскость
- Множество Мандельброта
- Сфера Римана
- ↑ 1.0 1.1 1.2 1.
3 «Полный список символов алгебры». Математическое хранилище . 2020-03-25. Проверено 12 августа 2020 г. . - ↑ 2.0 2.1 «Комплексные числа | Brilliant Math & Science Wiki» . блестящий.org . Проверено 12 августа 2020 г. .
- ↑ 3,0 3.1 3.2 Вайсштейн, Эрик. «Комплексные числа». Wolfram MathWorld . Проверено 11 августа 2020 г.
{{cite web}}: CS1 maint: url-status (ссылка)
3 «Полный список символов алгебры». Математическое хранилище . 2020-03-25. Проверено 12 августа 2020 г. . - Поиск комплексного числа в Викиучебниках
абстрактная алгебра — График в Википедии $\deg(\mathrm{minpoly})$ комплексных чисел?
спросил
Изменено 9 лет, 5 месяцев назад
Просмотрено 329 раз
$\begingroup$
Относительно следующего изображения в статье Википедии для алгебраических чисел:
Описание:
Визуализация (счетного) поля алгебраических чисел в комплексной плоскости.
Если это так, то не является ли $\deg(\mathrm{minpoly}(c)) \le 2$ для всех $c \in \mathbb{C}?$ Почему на картинке больше цветов ? Я думаю, что я неправильно понял описание изображения. Что показывает этот сюжет?
Вот страница обсуждения WP для изображения, и, если уместно, вот исходный код.
- абстрактная-алгебра
- алгебраическая-теория чисел
9n-2$, поэтому очевидно, что мы имеем минимальные многочлены всех положительных степеней.С другой стороны, каждый элемент $\mathbb{C}$ (и, следовательно, все элементы $\overline{\mathbb{Q}}$ при каноническом отображении включения) удовлетворяют многочлену степени не выше $2$ над $\mathbb{R}[x]$, что, вероятно, и является причиной вашей путаницы.
Цвета обозначают степень многочлена, из которого число является корнем (красный = линейный, то есть рациональный, зеленый = квадратичный, синий = кубический, желтый = квартичный…). Точки становятся меньше по мере увеличения коэффициентов целочисленного полинома. Представление показывает целые числа 0,1 и 2 внизу справа, +i вверху. 92$, пусть $c = x+i y \in \mathbb{C}.$ Цвет является отображением $\deg(\mathrm{minpoly}(c))$.