11. Графики
График — это множество пар, т. е. множество, каждый элемент которого является парой или кортежем длины 2. Множество Р называется графиком, если каждый элемент его пара.
Пример. Множество Р = {<а, B>, <а, 1>, <с, D>}Является графиком.
Если М — произвольное множество, то М2, а также любое множество СМ2 является графиком. В частности графиком является множество D2 действительных чисел. Пусть заданы множества А и В, тогда А×В, СА×В являются графиками.
Понятие графика является обобщенным. В принципе оно происходит от понятия графика функции.
Областью определения графика Р называется множество Пр1P(проекция на первую ось (ось абсцисс) данного графика).
Областью значения графика называется множество проекций на вторую ось (ось ординат) (Пр2Р).
Легко видеть, что если
Рассмотрим основные операции над графиками:
1. Инверсия (определяется через инверсию кортежа)
Инверсией графика Р называют множество инверсий пар из Р.
Пример. Р = {<с, D>, <а, B>}, Р-1 = {<D, С>, <B, а>}.
График Q называется инверсией графика Р, если αQ тогда и только тогда, когда α-1Р,где α — Произвольный кортеж.
В теоретико-множественном виде запишем:
α-1Р → αР-1
αР → α-1Р-1
График Р называется Симметричным, если он наряду с любой своей парой содержит ее инверсию. Например, Р = {<а, B>, <B, а>}
Пусть М — произвольное множество. Тогда считают ΔM — множество всех пар вида <х, Х>, где Х присутствует во всем множестве М.
Таким образом, если М = {а, B},то ΔM = {<а, а>, <B, B>}— является симметричным графиком и называется Диагональю.
2. Композиция
График R называется композицией двух графиков Р и Q, а также <X, Y>R, Тогда и только тогда, когда ZТакое, что <х, Z>Р &<Z, у>Q.
Переход от графиков Р и Q к их композиции (Р·Q) называется Компонированием графиков Р и Q.
Пример. Пусть Р = {<а, а>, <а, C>}, a
Композиция графика Р и Ø равна Ø, то есть Р·Ø = Ø·Р = Ø.
Если М — произвольное множество и РМ2, тогдаP·ΔM= ΔM· P=P.
Если операцию композиции графиков сопоставить с умножением чисел, то роль нуля будет играть пустое множество, а роль единицы диагональ (Δ).
Пусть <х, z>— произвольная пара из А·В. Тогда для нее справедливо высказывание:
<х, Z>А · В (Y(YW))(<X, Y>A&<Y, Z>B).
Если некоторая пара <х, z>не принадлежит А· B, то истинно высказывание:
<х, Z >А · В (Y(YW))(<X, Y>A&<Y, Z>B).
В операции композиции элемент у называется Компонирующим элементом для пар <х, у>А и <y, z>В. Если множество компонирующих элементов пусто, то и результат композиции является пустым множеством:
А · В = Ø Пр2АПр1В = Ø А·Ø = Ø·А = Ø.
Свойства операции композиции:
· A · B ≠ B · A – некоммутативность
· A · (B · С) = (A · B) ·C – ассоциативность
· A · (BC) = (A · B) (A · C) – дистрибутивность по объединению
· A · (BC) = (A · B) (A · C) – дистрибутивность по пересечению
· (A · B)-1 = В-1 · А-1
Некоторые тождества следуют из определения композиции, остальные тождества доказываются уже известными методами.
Пример. Пусть P, Q, R – графики. Необходимо доказать следующее тождество: (P · Q) · R = P · (Q· R)
Доказательство.
1.
Необходимость: <A, B>(P · Q) · R<A, Z>(P · Q) &<Z, B> R<A, X>P&<X, Z>Q&<Z, B>R<A, X>P&<X, B>(Q· R) <A, B>(P · (Q · R)) Перваячастьдоказана
2. Достаточность:<A, B>(P · (Q · R)) <A, X>P&<X, B>(Q· R) <A, X>P& (<X, D>Q&<D, B>R) <A, X>P&<
3. Значит, исходное тождество справедливо.
Основные свойства графиков:
· График Р называется Функциональным, если в нем нет пар с одинаковыми первыми и разными вторыми компонентами. Например, Р ={<b, а>, <с, а>, <d, a>}.
· График Р называется Инъективным, если в нем нет пар с различными первыми и одинаковыми вторыми компонентами. Например, Р ={<а, b>, < а, c>, <a, d>}.
Композиция функциональных графиков есть функциональный график, т. е. композиция сохраняет функциональность. Композиция инъективных графиков инъективна.
Итак, говорят, что график Р функционален тогда и только тогда, когда Р-1 инъективен. График Р инъективен тогда и только тогда, когда Р-1 функционален.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Дискретная математика, комбинаторика, теория чисел
Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное
Правила форума
В этом разделе нельзя создавать новые темы.
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
| Nogin Anton |
| ||
05/01/10 |
| ||
| |||
05.2011, 18:18
| ||||
27/04/09 |
| |||
| ||||
05.2011, 19:33 | Nogin Anton |
| ||
05/01/10 |
| ||
| |||
05.2011, 21:56 | cyb12 |
| ||
27/01/10 |
| ||
| |||
Наверное, можно проще.| Nogin Anton |
| ||
05/01/10 |
| ||
| |||
.| beroal |
| ||
17/04/11 |
| ||
| |||
Доказываем полезные свойства операций над отношениями: композиция отношений монотонна и так далее. Формулируем определение отношения эквивалентности без элементов:| Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию |
| Страница 1 из 1 | [ Сообщений: 6 ] |
Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |
| Найти: |
Состав отношений — javatpoint
следующий → ← предыдущая Пусть A, B и C — множества, R — отношение A к B, а S — отношение B к C. a (R◦S)c, если для некоторого b ∈ B имеем aRb и bSc. Это, R ◦ S = {(a, c)| существует b ∈ B, для которого (a, b) ∈ R и (b, c) ∈ S} Отношение R◦S известно как композиция R и S; иногда его обозначают просто RS. Пусть R — отношение множества A, то есть R — отношение множества A к самому себе. Тогда всегда представляется R◦R, композиция R с самой собой. Кроме того, R◦R иногда обозначается как R 2 . Точно так же R 3 = R 2 ◦R = R◦R◦R и так далее. Таким образом, R n определено для всех положительных n. Пример 1: Пусть X = {4, 5, 6}, Y = {a, b, c} и Z = {l, m, n}. Рассмотрим соотношение R 1 от X до Y и R 2 от Y до Z. R 1 = {(4, а), (4, б), (5, в), (6, а), (6, в)}
R 2 = {(а, л), (а, п), (б, л), (б, м), (в, л), (в, м), (в, п)}
Найти состав отношения (i) R 1 o R 2 (ii) R 1 o R 1 -1 Решение: (i) Связь состава R 1 или R 2 как показано на рис: R 1 o R 2 = {(4, л), (4, н), (4, м), (5, л), (5, м), (5, н), (6, l), (6, m), (6, n)} (ii) Соотношение состава R 1 или R 1 -1 , как показано на рис. Ч 1 или Ч 1 -1 = {(4, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (4 , 6), (6, 6)} Есть еще один способ найти R◦S. Пусть M R и M S обозначают соответственно матричные представления отношений R и S. Тогда Пример Пусть P = {2, 3, 4, 5}. Рассмотрим отношение R и S на P, определяемое равенством R = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5), (5, 3) } S = {(2, 3), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 2) , (5, 5)}. Найдите матрицы приведенных выше соотношений. Используйте матрицы, чтобы найти следующую композицию отношения R и S. (i)RoS (ii)RoR (iii)SoR Решение: Матрицы отношения R и S представлены на рис.: (i) Чтобы получить состав отношения R и S. Сначала умножьте M R на M S , чтобы получить матрицу M R x M S , как показано на рис. Ненулевые элементы в матрице M R x M S говорят об элементах, связанных в RoS. Итак, Следовательно, композиция R o S отношения R и S равна R о S = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}. (ii) Сначала умножьте матрицу M R саму на себя, как показано на рис. .Следовательно, композиция R o R отношения R и S равна R о R = {(2, 2), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 5)} (iii) Умножьте матрицу M S на M R , чтобы получить матрицу M S x M R , как показано на рис.: Ненулевые элементы в матрице M S x M R говорят об элементах, связанных в S или R. Следовательно, композиция S o R отношения S и R равна S o R = {(2, 4), (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}. Следующая темаВиды отношений ← предыдущая следующий → |
То есть R — подмножество A × B, а S — подмножество B. × C. Тогда R и S порождают отношение от A к C, обозначенное R◦S и определяемое как:
:
:Составные функции – объяснение и примеры
В математике функция – это правило, связывающее данный набор входных данных с набором возможных выходных данных.
Важно отметить, что каждый вход связан ровно с одним выходом.
Процесс именования функций известен как нотация функций. Наиболее часто используемые обозначения функций включают: «f(x) = …», «g(x) = …», «h(x) = …» и т. д.
В этой статье мы узнаем , что такое составной функции и способы их решения.
Что такое составная функция?
Если нам даны две функции, мы можем создать другую функцию, вставив одну функцию в другую. Шаги, необходимые для выполнения этой операции, аналогичны тому, когда любая функция решается для любого заданного значения. Такие функции называются составными функциями.
Составная функция — это обычно функция, написанная внутри другой функции. Композиция функции осуществляется путем замены одной функции на другую функцию.
Например, , f [g (x)] является составной функцией f (x) и g (x). Составная функция f[g(x)] читается как «f of g of x ». Функция g(x) называется внутренней функцией, а функция f(x) — внешней функцией.
Следовательно, мы можем также прочитать f [g (x)] как «функция g является внутренней функцией внешней функции f ”.
Как решать составные функции?
Решение сложной функции означает нахождение композиции двух функций. Мы используем маленький кружок (∘) для обозначения функции. Вот шаги по решению составной функции:
- Перепишите композицию в другой форме.
Например,
(f ∘ g) (x) = f [g (x)]
(f ∘ g) (x) = f [g (x)]
(f ∘ g) (x²) = f [g (x²)]
- Замените переменную x во внешней функции на внутреннюю.
- Упрощение функции.
Примечание: Порядок в композиции функции важен, потому что (f ∘ g) (x) НЕ совпадает с (g ∘ f) (x). Пример 1 ) (Икс).
Решение
Подставим x на 2x – 1 в функции f(x) = x 2 + 6.
(f ∘ g) (x) = (2x – 1) 2 + 6 = ( 2x — 1) (2x — 1) + 6
Применить фольгу
= 4x 2 — 4x + 1 + 6
= 4x 2 — 4x + 7
Пример 2
.
g (x) = 2x – 1 и f (x) = x 2 + 6, найдите (g ∘ f) (x).
Решение
Заменить x на x 2 + 6 в функции g (x) = 2x – 1
(g ∘ f) (x) = 2(x 2 + 6) – 1
Используйте распределительное свойство, чтобы убрать скобки. Пример 3
Решение
(f ∘ f) (x) = f[f(x)]
= 2(2x + 3) + 3
= 4x +
Найдите (g ∘ f) (x), учитывая, что f (x) = 2x + 3 и g (x) = –x 2 + 5
⟹ (g ∘ f) (x) = g [ f (x)]
Заменить x в g(x) = –x 2 + 5 на 2x + 3
= – (2x + 3) 2 + 5
= – (4x 2 + 12x + 9) + 5
= –4x 2 – 12x – 9 + 5
= –4x 2 – 12x – 4
Пример 5
при условии, что (fg,) (x) = 5x + 4 и g (x) = x – 3Решение
Сначала найдите значение f(g(x)).
⟹ f (g (x)) = 5(x – 3) + 4
= 5x – 15 + 4
= 5x – 11
Теперь замените x в f(g(x)) на 6
⟹ 5(6) – 11
⟹ 30 – 11
= 19
Следовательно, f [g (6)] = 19
Пример 6
9000] Найдите f (5) , f (x) = 4x + 3 и g (x) = x – 2.
Решение
Начните с нахождения значения f [g (x)].
⟹ f(x) = 4x + 3
⟹ g(x) = x – 2
f[g(x)] = 4(x – 2) + 3
= 4x – 8 + 3
= 4x – 5
Теперь оцените f [g (5)], заменив x в f[g(x)] на 5.
f [g (x)] = 4(5) – 5
= 15 Пример 7
Решение
(f ∘g) (x) = f [g(x)]
Замените x в f(x) = 8x² на (2x + 8)
⟹ (f ∘g) (x) = f [g(x)] = 8(2x + 8) ²
⟹ 8 [4x² + 8² + 2(2x) (8)]
⟹ 8 [4x² + 64 + 32x]
⟹ 32x² + 512 + 256 x
⟹ 32x² + 256 x + 512
Пример 8
Найти x² и g(x) = 14x + 4
Решение
⟹ (g ∘ f) (x) = g [f(x)]
Подставить x в g(x) = 14x + 4 с 6 x²
⟹g [f(x)] =14 (6 x²) + 4
= 84 x² + 4
Пример 9
Вычислить (f ∘ g) (x), используя f(x) = 2x + 3 и g(x) = -x 2 + 1,
Решение
1 900 ∘ g) (x) = f(g(x))
= 2 (g(x)) + 3
= 2(-x 2 + 1) + 3
= – 2 x 2 + 5
Пример 10
Учитывая f(x) = √ (x + 2) и g(x) = ln (1 – x 2 ), найдите область значений (g ∘ f) (x).