Конус формулы: Элементы конуса — урок. Геометрия, 11 класс.

Содержание

Конус. Формулы, признаки, свойства

План изучения темы

Понятие конуса.
Площадь поверхности конуса.
Объём конуса.
Усечённый конус.
Площадь поверхности усечённого конуса.
Объём усечённого конуса.
Решение задач на тему «Конус».

Понятие конуса

Конус — геометрическое тело, образованное конической поверхностью и пересекающей её плоскости, не проходящей через точку Р (рисунок выше). Конус — тело вращения, которое получается в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг его катета. На рисунке ниже треугольник РОА вращают вокруг катета РО.

Точка Р — вершина конуса. РО — ось конуса, а её отрезок, заключенный между вершиной и основанием — высота конуса. Основание конуса — это круг, на который опирается данная геометрическая фигура. Любая прямая, соединяющая вершину Р с точкой на окружности основания (РА, РВ) — это образующая конуса (обозначается l). Поверхность, составленная их образующих — это боковая поверхность конуса.

Площадь поверхности конуса

Как и цилиндр, конус имеет два вида площадей — площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности.

Развёртка конуса представляет собой сектор. Отсюда есть разные формулы нахождения площади боковой поверхности.

Это формула при использовании развёртки, как сектора. Если же учесть, что длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, то получаем равенство:

где r — радиус основания конуса. Тогда имеем вторую, более простую формулу нахождения площади боковой поверхности конуса:

Площадь полной поверхности состоит из боковой и основания конуса. Значит, формула нахождения этой площади:

Объём конуса

где r — радиус основания конуса, h — высота конуса.

Усечённый конус

Если на какой-либо высоте конуса провести секущую плоскость, параллельную основанию, то мы получим две фигуры: конус меньшего объёма сверху и усечённый конус внизу. При этом, составляющие элементы будут как у обычного конуса: образующие, ось, высота, боковая поверхность. Отличие — будет уже два основания, которые отличаются по площади.

Площадь поверхности усечённого конуса

Из-за того, что теперь у нас два основания, формула площади боковой поверхности усеченного конуса будет выглядеть иначе:

Само собой, меняется и формула площади полной поверхности:

Объём усечённого конуса

Решение задач на тему «Конус»

Пример 1 (Ященко 36 вариантов, 2021 год, вариант 7)

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 0,25 высоты. Объём жидкости составляет 5 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд.

Решение: объём конуса вычисляется по формуле:

Высота налитой жидкости 0,25 от всей высоты конуса. Значит, высота в 4 раза больше. Но при этом, не забывайте, что радиус всего конуса тоже увеличится в 4 раза. Так как мы на осевом сечении получаем случай подобных треугольников:

С учётом таких изменений, наш новый объём (объём всего конуса) примет вид:

Видим, что объём всего конуса в 64 раза больше налитой жидкости. Значит, в миллилитрах это будет:

Получается, что долить нужно 315 миллилитров.

Ответ: 315

Пример 2 (Ященко 36 вариантов, 2021 год, вариант 11)

Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Объём цилиндра равен 162. Найдите объём конуса.

Решение: формулы объёмов цилиндра и конуса отличаются незначительно.

Видим, что отличие только в дроби 1/3 в формуле объёма конуса. А раз по условию высота и основания совпадают, значит объём конуса будет просто в 3 раза меньше. Значит, он равен 54.

Ответ: 54

Пример 3 (Ященко 36 вариантов, 2021 год, вариант 25)

Площадь боковой поверхности конуса равна 30. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее его высоту в отношении 2:3, считая от вершины конуса. Найдите площадь боковой поверхности отсечённого конуса.

Решение: разберемся для начала, какие подобные треугольники тут можно получить.

Видим, что треугольник SAD подобен треугольнику SBC с коэффициентом подобия 2/5. Значит, площади боковых поверхностей конуса и отсечённого конуса будут иметь отношение подобия в квадрате (из-за того, что это площади, а не длины каких-то сторон).

Отсечённый конус — это тот, что сверху, маленький. Значит, с учётом коэффициента подобия:

Ответ: 4,8

Основные свойства прямого кругового конуса с рисунками

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства конуса, сопроводив их соответствующими рисунками для лучшего восприятия представленной информации.

Примечание: определение конуса, его основные элементы и разновидности мы рассмотрели в отдельной публикации, поэтому далее на них подробно останавливаться не будем.

Свойства конуса
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4

Приведенные свойства применимы к прямому круговому конусу (самый распространенный вид данной фигуры).

Свойство 1

Все образующие конуса имеют одинаковую длину.

Свойство 2

Конус образуется путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов на 360° или равнобедренного треугольника (состоит из двух равных прямоугольных треугольников) вокруг своей оси на 180°.

Следствия:

Углы при основании конуса (т.е. между основанием и образующими) равны.
Квадрат образующей конуса (гипотенуза прямоугольного треугольника) равняется сумме квадратов его высоты и радиуса основания (катеты прямоугольного треугольника).
c² = a² + b² или l² = R² + h²

Свойство 3

При пересечении конуса любой плоскостью, параллельной его основанию, получается круг (коническое сечение). Образованная между основанием и данным кругом фигура – это усеченный конус.

Другие варианты конического сечения:

1. Если секущая плоскость не параллельна основанию конуса, то результатом сечения является эллипс.

2. Если секущая плоскость проходит через основание конуса, то результатом сечения является парабола/гипербола.

3. Результатом сечения конуса плоскостью, проходящей через его ось (или высоту), является равнобедренный треугольник.

Свойство 4

Центр тяжести конуса расположен на четверти его высоты, считая от основания.

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Объем конуса

Горячая математика

А конус представляет собой трехмерную фигуру с одним круглым основанием.

Искривленная поверхность соединяет основание и вершину.

объем из 3 -мерное твердое тело — это объем пространства, которое оно занимает. Объем измеряется в кубических единицах ( в 3 , футов 3 , см 3 , м 3 , и так далее). Перед вычислением объема убедитесь, что все измерения приведены в одних и тех же единицах измерения.

Громкость В конуса с радиус р составляет треть площади основания Б раз больше высоты час .

В знак равно 1 3 Б час или же В знак равно 1 3 π р 2 час , куда Б знак равно π р 2

Запись : Формула объема косого конуса такая же, как и у прямого.

Объемы конуса и цилиндр связаны так же, как и объемы пирамиды и призма относятся к. Если высоты конуса и цилиндра равны, то объем цилиндра в три раза больше объема конуса.

Пример:

Найдите объем изображенного конуса. Округлите до десятых долей кубического сантиметра.

Решение

Из рисунка радиус конуса равен 8 см, а высота 18 см.

Формула объема конуса такова:

В знак равно 1 3 π р 2 час

Заменять 8 за р и 18 за час .

В знак равно 1 3 π ( 8 ) 2 ( 18 )

Упрощать.

В знак равно 1 3 π ( 64 ) ( 18 ) знак равно 384 π ≈ 1206,4

Следовательно, объем конуса примерно 1206,4 кубических сантиметров.

Калькулятор площади поверхности конуса

Калькулятор площади поверхности конуса поможет вам рассчитать площадь поверхности любого правильного конуса . В тексте ниже мы покажем вам площадь поверхности формулы конуса и как ее получить. Воспользовавшись нашим калькулятором и прочитав эту статью, вы будете очень уверены в том, как найти площадь поверхности конуса.

Для какого типа конуса подходит этот калькулятор?

Прежде чем мы объясним, как использовать наш калькулятор площади поверхности конуса, давайте сначала определим, на каком типе конуса вы можете его использовать. Общая форма конуса состоит из круглого или овального основания и вершины (или кончика) над основанием, соединенной с периметром базовой формы.

Этот калькулятор предназначен для конкретного типа конуса, называемого правым конусом (как показано на схеме над калькулятором). Он имеет круглое основание , а вершина находится прямо над центром основания. Следовательно, угол между основанием и воображаемой линией между основанием и вершиной равен 90°90\градус90°, обычно известный как прямой угол .

Этот инструмент нельзя использовать для наклонных конусов , у которых вершина смещена от центра. Для тех, кто знаком с расширенным исчислением, вы можете узнать больше о вычислении площади поверхности наклонного конуса, прочитав это обсуждение проблемы.

Как использовать калькулятор площади поверхности конуса

Калькулятор очень прост в использовании. Давайте рассмотрим это шаг за шагом:

Введите значение радиуса круглого основания. Помните, что радиус равен половине диаметра окружности. Вы можете выбрать разные единицы длины в зависимости от проблемы или выполненного измерения. Вместо можно ввести окружность круглого основания.
Введите высоту конуса или наклонную высоту конуса, в зависимости от того, какая из них известна. Высота равна перпендикулярному расстоянию между вершиной конуса и центром круглого основания. Наклонная высота — это расстояние между кончиком и внешним краем (периметром) основания.
Имейте в виду, что высота конуса должна быть больше нуля и что высота наклона (если вы ее вводите) должна быть длиннее радиуса основания.
Затем будет отображаться площадь поверхности правого конуса. Вы можете изменить единицы площади, в зависимости от вашего вкуса или общего размера конуса.

Как вычислить площадь поверхности конуса по формуле

Чтобы лучше понять, как работает этот калькулятор, мы сейчас рассмотрим формулу площади поверхности конуса и

как ее вывести 92Abase=π\cdotr2
где:
AbaseA_{\text{base}}Abase — площадь поверхности основания конуса;
π\piπ — отношение длины окружности к диаметру круга; и
ррр — Радиус окружности.
Позже мы добавим это уравнение площади основания к уравнению, которое мы выведем для боковой площади прямого конуса.
Сложенный конус образует сектор большего круга.
Представьте конус без основания, сделанный из бумаги. Затем вы раскатываете его так, чтобы он лежал квартира на столе . У вас получится форма, как на схеме выше. Это часть (или сектор) большего круга, радиус которого (l) равен наклонной высоте конуса . Длина дуги сектора ( c ) эквивалентна окружности основания конуса.
Объединив уравнение, используемое для расчета площади сектора с точки зрения радиуса и угла, с уравнением длины дуги сектора, мы можем записать площадь сектора как:

Alat=12⋅c⋅lA_{\text{lat}} = \frac{1}{2}\cdot c\cdot lAlat=21⋅c⋅l
где:
AlatA_{\text {lat}}Alat — боковая часть конуса
ccc — Длина дуги сектора и, следовательно, длина окружности конуса
lll — Радиус сектора и наклонная высота конуса
Теперь, используя формулу для длины окружности c=2⋅π⋅rc = 2\cdot\pi\cdot rc=2⋅π⋅r, приведенное выше уравнение можно переписать в терминах радиуса основания конуса: 92}\right)A=π⋅r⋅(r+h3+r2
)
где:
hhh — перпендикулярная высота конуса. 2 \end{split}A=π⋅r⋅(r+h3+r2 92 \end{split}A=π⋅r⋅(r+l)=π⋅5⋅(5+15)=314,16 in2
Теперь вы знаете, как найти площадь поверхности конуса, и уравнения, лежащие в основе это площадь поверхности конуса калькулятор.

Если вам нужно рассчитать площадь поверхности других трехмерных геометрических фигур, почему бы не попробовать наш калькулятор площади поверхности?
Часто задаваемые вопросы
Как найти площадь боковой поверхности конуса данной высоты?
Чтобы определить площадь боковой поверхности конуса по его перпендикулярной высоте и радиусу, необходимо:
Вычислить квадраты высоты и радиуса и сложить их вместе.
Извлеките квадратный корень из результата шага 1.
Умножить на радиус.
Умножить на π ≈ 3,14 .
Вот оно! В результате вы получите площадь боковой поверхности вашего конуса.
Какова площадь поверхности конуса высотой 4 и радиусом 3?
Ответ: 113,1 .
No related posts.