Координаты плоскости: описание, примеры, решение задач, найти множество точек координатной

описание, примеры, решение задач, найти множество точек координатной

В статье рассмотрим такой тип уравнений плоскости как общее уравнение, получим его вид и разберем на практических примерах. Рассмотрим частные случаи и понятие общего неполного уравнения плоскости.

Общее уравнение плоскости: основные сведения

Перед началом разбора темы вспомним, что такое уравнение плоскости в прямоугольной системе координат в трёхмерном пространстве. Пусть нам дана прямоугольная система координат Oxyz в трехмерном пространстве, уравнением плоскости в заданной системе координат будет такое уравнение с тремя неизвестными x, y, и z, которому отвечали бы координаты всех точек этой плоскости и не отвечали бы координаты никаких прочих точек. Иначе говоря, подставив в уравнение плоскости координаты некоторой точки этой плоскости, получаем тождество. Если же в уравнение подставить координаты какой-то другой точки, не принадлежащей заданной плоскости, равенство станет неверным.

Также вспомним определение прямой, перпендикулярной к плоскости: прямая является перпендикулярной к заданной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости.

Теорема 1

Любую плоскость, заданную в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного пространства, можно определить уравнением Ax + By + Cz + D = 0. В свою очередь, любое уравнение Ax + By + Cz + D = 0 определяет некоторую плоскость в данной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. A, B, C, D – некоторые действительные числа, и числа A, B, C не равны одновременно нулю.

Доказательство 

Теорема состоит из двух частей. Разберем доказательство каждой из них.

  1. Первая часть теоремы гласит, что любую заданную плоскость возможно описать уравнением вида Ax + By + Cz + D = 0. Допустим, задана некоторая плоскость и точка M0(x0, y0, z0), через которую эта плоскость проходит. Нормальным вектором этой плоскости является n→= (A, B, C). Приведем доказательство, что указанную плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz задает уравнение Ax + By + Cz + D = 0.

Возьмем произвольную точку заданной плоскости M(x, y, z).В таком случае векторы n→= (A, B, C) и M0M→=(x-x0, y-y0, z-z0) будут перпендикулярны друг другу, а значит их скалярное произведение равно нулю:

n→, M0M→=Ax-x0+B(y-y0)+C(z-z0)=Ax+By+Cz-(Ax0+By0+Cz0)

Примем D=-(Ax0+By0+Cz0) , тогда уравнение преобразуется в следующий вид: Ax + By + Cz + D = 0. Оно и будет задавать исходную плоскость. Первая часть теоремы доказана.

  1. Во второй части теоремы утверждается, что любое уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0 задает некоторую плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного пространства. Докажем это.

В теореме также указано, что действительные числа А, B, C одновременно не являются равными нулю. Тогда существует некоторая точка M0(x0, y0, z0), координаты которой отвечают уравнению Ax + By + Cz + D = 0, т.е. верным будет равенство Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0. Отнимем левую и правую части этого равенства от левой и правой частей уравнения Ax + By + Cz + D = 0. Получим уравнение вида

A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) + D = 0, и оно эквивалентно уравнению Ax + By + Cz + D = 0. Докажем, что уравнение A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) + D = 0 задает некоторую плоскость.

Уравнение A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) + D = 0 являет собой условие, необходимое и достаточное для перпендикулярности векторов n→=(A, B, C) и M0M→=x-x0, y-y0, z-z0. Опираясь на утверждение, указанное перед теоремой, возможно утверждать, что при справедливом равенстве A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) + D = 0 множество точек M(x, y, z) задает плоскость, у которой нормальный вектор n→=(A, B, C). При этом плоскость проходит через точку M(x0, y0, z0). Иначе говоря, уравнение A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) + D = 0 задает в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного пространства некоторую плоскость. Таким, образом, эквивалентное этому уравнению уравнение Ax + By + Cz + D = 0 также определяет эту плоскость. Теорема доказана полностью.

Уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0 называют общим уравнением плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного пространства.

Допустим, задано некоторое общее уравнение плоскости λ·Ax+λ·By+λ·Cz+λ·D=0, где λ – некое действительное число, не равное нулю. Это уравнение также задает в прямоугольной системе координат некоторую плоскость, совпадающую с плоскостью, определяемую уравнением Ax+By+Cz+D=0, поскольку описывает то же самое множество точек трехмерного пространства. Например, уравнения x-2·y+3·z-7=0 и -2·x+4·y-23·z+14=0 задают одну и ту же плоскость, поскольку им обоим отвечают координаты одних и тех же точек трехмерного пространства. 

Раскроем чуть шире смысл теорем.

В пределах заданной системы координат плоскость и общее уравнение, ее определяющее, неразрывно связаны: каждой плоскости отвечает общее уравнение плоскости вида Ax+By+Cz+D=0( при конкретных значениях чисел A, B, C, D). В свою очередь, этому уравнению отвечает заданная плоскость в заданной прямоугольной системе координат.

Укажем пример как иллюстрацию этих утверждений.

Ниже приведен чертеж, на котором изображена плоскость в фиксированной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Заданной плоскости отвечает общее уравнение вида 4x + 5y – 5z + 20 = 0, и ему соответствуют координаты любой точки этой плоскости. В свою очередь, уравнение 4x + 5y – 5z + 20 = 0 описывает в заданной системе координат множество точек, которые составляют изображенную плоскость.

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку

Повторимся: точка M0(x0, y0, z0) лежит на плоскости, заданной в прямоугольной системе координат трехмерного пространства уравнением Ax+By+Cz+D=0 в том случае, когда подставив координаты точки M0(x0, y0, z0) в уравнение Ax+By+Cz+D=0, мы получим тождество.

Пример 1

 Заданы точки M0(1, -1, -3) и N0(0, 2, -8) и плоскость, определяемая уравнением 2x+3y-z-2=0. Необходимо проверить, принадлежат ли заданные точки заданной плоскости.

Решение 

Подставим координаты точки М0 в исходной уравнение плоскости:

2·1+3·(-1)-(-3)-2=0⇔0=0

Мы видим, что получено верное равенство, значит точка M0(1, -1, -3) принадлежит заданной плоскости.

 Аналогично проверим точку N0. Подставим ее координаты в исходное уравнение:

2·0+3·2-(-8)-2=0⇔12=0

Равенство неверно. Таким, образом, точка N0(0, 2, -8) не принадлежит заданной плоскости.

Ответ: точка М0 принадлежит заданной плоскости; точка N0 – не принадлежит.

Приведенное выше доказательство теоремы об общем уравнении дает нам возможность использовать важный факт: вектор n→=(A, B, C) — нормальный вектор для плоскости, определяемой уравнением  Ax+By+Cz+D=0. Так, если нам известен вид общего уравнения, то возможно записать координаты нормального вектора заданной плоскости.

Пример 2

В прямоугольной системе координат задана плоскость 2x+3y-z+5=0. Необходимо записать координаты всех нормальных векторов заданной плоскости.

Решение

Мы знаем, что заданные общим уравнением коэффициенты при переменных x, y, z служат координатами нормального вектора заданной плоскости. Тогда, нормальный вектор n→ исходной плоскости имеет координаты 2, 3, -1 . В свою очередь, множество нормальных векторов запишем так:

λ·n→=λ·2, λ·3, -λ, λ∈R, λ≠0

Ответ:  λ·2, λ·3, -λ, λ∈R, λ≠0

Разберем обратную задачу, когда требуется составить уравнение плоскости по заданным координатам нормального вектора.

Очевидным фактом является то, что нормальный вектор n→=(A, B, C)является нормальным вектором бесконечного множества параллельных плоскостей. Поэтому для обозначения конкретной плоскости введем дополнительное условие: зададим некоторую точку M0(x0, y0, z0), принадлежащую плоскости. Так, задавая в условии нормальный вектор и некоторую точку плоскости, мы ее зафиксировали.

Общее уравнение плоскости с нормальным вектором  n→=(A, B, C) будет выглядеть так:  Ax+By+Cz+D=0. По условию задачи точка M0(x0, y0, z0) принадлежит заданной плоскости, т.е. ее координаты отвечают уравнению плоскости, а значит верно равенство:Ax0+By0+Cz0+D=0

Вычитая соответственно правые и левые части исходного уравнения и уравнения Ax0+By0+Cz0+D=0, получим уравнение вида A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0. Оно и будет уравнением плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющей нормальный вектор n→=(A, B, C).

Возможно получить это уравнение другим способом.

Очевидным фактом является то, что все точки М (x, y, z) трехмерного пространства задают данную плоскость тогда и только тогда, когда векторы n→=(A, B, C) и M0M→=(x-x0, y-y0, z-z0) перпендикулярны или, иначе говоря, когда скалярное произведение этих векторов равно нулю:

n→, M0M→=A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

Пример 3

Задана точка М0(-1, 2, -3), через которую в прямоугольной системе координат проходит плоскость, а также задан нормальный вектор этой плоскости n→=(3, 7, -5). Необходимо записать уравнение заданной плоскости.

Решение

Рассмотрим два способа решения.

  1. Исходные условия позволяют получить следующие данные:

x0=-1, y0=2, z0=-3, A=3, B=7, C=-5

Подставим их в общее уравнение плоскости, проходящей через точку, т.е. в A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 

И получим:

3(x-(-1))+7(y-2)-5(z-(-3))=0⇔3x+7y-5z-26=0

  1. Допустим, М (x, y, z) – некоторая точки заданной плоскости. Определим координаты вектора M0M→ по координатам точек начала и конца:

M0M→=(x-x0, y-y0, z-z0)=(x+1, y-2, z+3)

Чтобы получить искомое общее уравнение плоскости, необходимо также воспользоваться необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов и тогда:

n→, M0M→=0⇔3(x+1)+7(y-2)-5(z+3)=0⇔⇔3x+7y-5z-26=0

Ответ: 3x+7y-5z-26=0

Неполное общее уравнение плоскости

Выше мы говорили о том, что, когда все числа А, B, C, D отличны от нуля, общее уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0 называют полным. В ином случае общее уравнение плоскости является неполным.

Разберем все возможные варианты общих неполных уравнений в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

  1. В случае, когда D = 0, мы получаем общее неполное уравнение плоскости: Ax+By+Cz+D=0⇔Ax+By+Cz=0

Такая плоскость в прямоугольной системе координат проходит через начало координат. В самом деле, если подставим в полученное неполное уравнение плоскости координаты точки О (0, 0, 0), то придем к тождеству:

A·0+B·0+C·0=0⇔0≡0

  1. Если А = 0, В ≠ 0, С ≠ 0, или А ≠ 0, В = 0, С ≠0, или А ≠ 0, В ≠ 0, С = 0, то общие уравнения плоскостей имеют вид соответственно: By+Cz+D=0, или Ax+Cz+D=0, или Ax+By+D=0. Такие плоскости параллельны координатным осям Оx, Oy, Oz соответственно. Когда D=0, плоскости проходят через эти координатные оси соответственно. Также заметим, что неполные общие уравнения плоскостей By+Cz+D=0, Ax+Cz+D=0 и Ax+By+D=0 задают плоскости, которые перпендикулярны плоскостям Oyz, Oxz, Ozy соответственно.

  1. При А=0, В=0, С≠0, или А=0, В≠0, С=0, или А≠0, В=0, С=0 получим общие неполные уравнения плоскостей: Cz+D=0 ⇔z+DC=0⇔z=-DC⇔z=λ, λ∈R или By+D=0⇔y+DB=0⇔y=-DB⇔y=λ, λ∈R или Ax+D=0⇔x+DA=0⇔x=-DA⇔x=λ, λ∈R соответственно.

Эти уравнения определяют плоскости, которые параллельны координатным плоскостям Oxy, Oxz, Oyz соответственно и проходят через точки 0, 0, -DC, 0, -DB, 0 и -DA, 0, 0 соответственно. При D=0 уравнения самих координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz выглядят так: z=0, y=0, x=0

соответственно.

Пример 4

Задана плоскость, параллельная координатной плоскости Oyz и проходящая через точку М0(7, -2, 3). Необходимо составить общее уравнение заданной плоскости.

Р​​ешение

У​​​​​словием задачи определено, что заданная плоскость параллельна координатной плоскости Oyz, а, следовательно, может быть задана общим неполным уравнением плоскости Ax+D=0, A≠0⇔x+DA=0. Поскольку точка M0(7, -2, 3) лежит на плоскости по условию задачи, то очевидно, что координаты этой точки должны отвечать уравнению плоскости  x+DA=0, иначе говоря, должно быть верным равенство  7+DA=0 . Преобразуем: DA=-7, тогда требуемое уравнение  имеет вид: x-7=0.

Задачу возможно решить еще одним способом.

Вновь обратим внимание на заданную условием задачи параллельность данной плоскости координатной плоскости Oyz. Из этого условия понятно, что возможно в качестве нормального вектора заданной плоскости использовать нормальный вектор плоскости Oyz: i→=(1, 0, 0). Так, нам известны и точка, принадлежащая плоскости (задана условием задачи) и ее нормальный вектор. Таким образом, становится возможно записать общее уравнение заданной плоскости:                              

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0⇔⇔1·(x-7)+0·(y+2)+0·(z-3)=0⇔⇔x-7=0

Ответ: x-7=0

Пример 5

Задана плоскость, перпендикулярная плоскости Oxy и проходящая через начало координат и точку М0(-3, 1, 2).

Решение 

Плоскость, которая перпендикулярна координатной плоскости Oxy определяется общим неполным уравнением плоскости Ax+By+D=0 (А≠0, В≠0). Условием задачи дано, что плоскость проходит через начало координат, тогда D=0 и уравнение плоскости принимает вид Ax+By=0⇔x+BAy=0.

Найдем значение BA. В исходных данных фигурирует точка М0(-3, 1, 2), координаты которой должны отвечать уравнению плоскости. Подставим координаты, получим верное равенство: -3+BA·1=0, откуда определяем BA=3.

Так, мы имеем все данные, чтобы записать требуемое общее уравнение плоскости: x+3y=0.

Ответ: x+3y=0.

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

03.08. Общее уравнение плоскости

Общее уравнение плоскости

Общее уравнение плоскости выводится аналогично общему уравнению прямой. Пусть в прямоугольной системе координат 0xyz известны: точка , через которую проходит заданная плоскость, и вектор , ей перпендикулярный, называемый НОpмальным вектоpом плоскости (pис. 4.15).

Рис. 4.15. Задание плоскости общим уравнением.

Задание этих характеристик однозначно определяет положение плоскости в пространстве. Пусть  – произвольная точка плоскости. Рассмотрим приведенные к началу отсчета векторы и . Для точек плоскости и только для них вектор

Будет перпендикулярен нормальному вектору, условием чего является равенство нулю скалярного произведения

Или

. (4.31)

Это есть векторная запись уравнения плоскости. В координатной форме оно будет иметь вид:

Или

(4.32)

Где

.

Уравнение (4.32) называется общим уравнением плоскости.

Выше установлено, что всякое уравнение первой степени относительно координат x и y задает на плоскости прямую. Аналогичными рассуждениями можно показать, что всякое линейное уравнение относительно x, y и z

Задает плоскость.

Нормальный вектор плоскости позволяет судить о ее расположении по отношению к координатным осям.

Если допустить, что одна из его проекций – нулевая, то нормальный вектор перпендикулярен соответствующей оси, а плоскость будет ей параллельна.

Например, плоскость

Параллельна оси Ох, так как координата нормального вектора А = 0 (рис. 4.16).

Рис. 4.16. Расположение плоскости
В системе координат 0Xyz.

Если какие-либо две координаты нормального вектора равны нулю, то данная плоскость параллельна двум координатным осям, а значит, и всей координатной плоскости, с ними связанной. Например:

Есть уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости 0уz. Для сравнения отметим, что это же самое уравнение на плоскости определяет прямую, параллельную оси 0y.

Если же в уравнении (4.32) свободный член D = 0, то плоскость проходит через начало координат.

Проведенные рассуждения позволяют легко получить уравнения координатных плоскостей:

X = 0 – уравнение плоскости 0уz;

Y = 0 – уравнение плоскости 0xz;

Z = 0 – уравнение плоскости 0xy.

Как и выше, для нахождении угла между произвольными плоскостями

 –

Воспользуемся формулой

.

Плоскости параллельны, если их нормальные векторы коллинеарны:

Где , или в координатной форме

Плоскости будут взаимно перпендикулярны, если будут взаимно перпендикулярны их нормальные векторы, то есть равно нулю скалярное произведение:

Или

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид . Но для плоскости такого типа уравнение специально не вводится. А между тем по аналогии можно рассмотреть, например, уравнение .

Каков смысл коэффициентов И b?

Если даны две плоскости:

То что можно сказать об их расположении при

A);

Б), ;

В);

Г);

Д) ?

< Предыдущая   Следующая >

Что такое координатная плоскость? — с Примерами

Координатная плоскость : Мы признали тот факт, что различные объекты вокруг нас трехмерны. Даже многие формы присутствуют вокруг нас в двух измерениях. Но знаем ли мы, что эти объекты могут быть представлены на бумаге с помощью определенных знаний об осях и плоскостях? Мы рисуем фигуры в 2D-плоскости, т. е. только в двух направлениях; х и у. Какая польза от представления фигур таким образом? В практической жизни нам необходимо знать координаты любого места или положения человека. Моряки используют концепцию координатной плоскости, чтобы отслеживать свой путь домой и рисовать карты. Таким образом, легче найти объект в кратчайшие сроки. Любопытно узнать, что такое координаты или что такое система координат? Продолжайте читать дальше, чтобы узнать больше.

Что такое координатная плоскость: Изучаем геометрию по-новому

Как упоминалось выше, координаты помогают нам найти объект в любой точке мира. И эти координаты представлены в координатной плоскости. Координатная плоскость — это двумерная (трехмерная при рассмотрении трехмерных объектов) плоскость, состоящая из вертикальной и горизонтальной осей. Горизонтальная ось известна как ось x, а вертикальная ось известна как ось y. Они перпендикулярны друг другу, а это значит, что они образуют 9Угол 0 градусов в точке их встречи.

Двумерная координатная плоскость — декартова плоскость, названная в честь известного французского математика Рене Декарта. Рене Декарт был первым, кто определил прямоугольную систему координат, с помощью которой мы можем представить каждую точку с помощью чисел, называемых координатами. Почему прямоугольная система координат? Потому что вся плоскость выглядит как прямоугольник! Прежде чем двигаться дальше к пониманию координатной плоскости, давайте посмотрим на детали в системе координат 9.0005

Из чего состоит координатная плоскость?

Вы уже видели координатную плоскость? На что это похоже? Координатная плоскость состоит из осей, начала координат и квадрантов. Две линии, вертикальная и горизонтальная, которые бесконечны в координатной плоскости, называются осями. Горизонтальная ось — это ось x или абсцисса, тогда как вертикальная ось — это ось y или ордината.

Эти оси встречаются в общей точке, называемой исходной точкой. Начало — это начальная точка любой координатной плоскости. Когда эти две линии пересекаются, они образуют четыре деления всей координатной плоскости. Эти четыре подразделения известны как квадранты. Итак, можно сказать, что вся система координат состоит из четырех квадрантов. Верхнее правое деление известно как первый квадрант. Верхний левый известен как второй квадрант. Нижний левый — это третий квадрант, а нижний правый — четвертый квадрант.

Учимся представлять координаты на координатной плоскости

Теперь мы знаем части на координатной плоскости. Мы также знаем квадранты на координатной плоскости. Но как вы представляете координаты? Так ли важно научиться представлять координаты? Безусловно, это так! Координаты различаются в каждом из упомянутых выше квадрантов координатной плоскости. Координаты — это набор чисел, которые представляют местоположение объекта. Координаты записываются как (x, y), где x — значение от начала координат в направлении оси x, а y — значение от начала координат в направлении оси y. Стандартная форма представления координат в системе координат известна как упорядоченная пара.

Каковы координаты начала координат? Поскольку происхождение является отправной точкой, как мы можем представить отправную точку? Под номером ноль, верно? Следовательно, координаты начала координат равны (0, 0).

В квадрантах координатной плоскости знак координат меняется. Универсальное правило таково: правая часть оси абсцисс положительна, а левая сторона оси абсцисс отрицательна. Точно так же верхняя часть оси Y положительна, а нижняя часть оси Y отрицательна. Теперь можем ли мы найти координаты в квадрантах координатной плоскости?

Квадранты координатной плоскости: нанесение точек на координатную плоскость 

Представление координат на координатной плоскости становится проще, если понять концепцию отрицательной и положительной осей. Следовали ли вы универсальному правилу, упомянутому выше?

В квадранте 1 знак оси x положительный, и знак оси y также положителен. Следовательно, координаты в квадранте 1 представлены как (x, y). В квадранте 2 ось x отрицательна, а ось y положительна. Поэтому координаты обозначаются как (-x, y). Точно так же можете ли вы вычислить координаты для двух других квадрантов координатной плоскости?

Вот краткое описание квадрантов координатной плоскости:

Квадрант Соглашение о знаках 
я (х, у)
II (-х, у)
III (-х, -у)
IV (х, -у)

Теперь мы поняли представление координат. Но можем ли мы разместить эти координаты на графике? Можно ли построить координатный график?

График координатной плоскости: аккуратное и чистое представление фигур

Вы когда-нибудь видели график? Каковы основные свойства графика? Все блоки в графе имеют одинаковую форму и размер, верно? Следовательно, представление координат на графике проще, чем случайное представление координат на плоскости. Оси нарисованы на графике, как показано на рисунке ниже. Это представление известно как пустая координатная плоскость. На пустой координатной плоскости видны только оси, квадранты и начало координат. С помощью пустой координатной плоскости мы можем научиться делать координаты на координатной плоскости.

Учтите, что (2, 3) необходимо представить в координатной плоскости на графике. Как мы можем сделать это? Поскольку обе координаты положительные, они должны быть в первом квадранте. Мы даже знаем, что первая координата представляет собой точку на оси x, а другая — на оси y. Следовательно, 2 должно быть на расстоянии 2 единиц от начала координат в направлении оси x, а 3 должно быть на расстоянии 3 единиц от начала координат в направлении оси y. Конечная координата будет (2, 3), как показано.

Это правило используется для представления двухмерных форм и фигур в координатной плоскости. Но тогда как представить 3D-объект на координатной плоскости и в соответствующих квадрантах?

3D-представление на 2D-координатной плоскости: вот как это сделать

При работе с двухмерным представлением координат на плоскости были рассмотрены два направления; слева и справа, и сверху и снизу. Но при изображении трехмерного объекта в двухмерной плоскости добавляется еще и третье направление, т. е. вперед и назад. Следовательно, в трехмерной координатной плоскости появляются три направления; влево и вправо, вверх и вниз, вперед и назад.

Рассмотрим представление формы на изображении ниже. Координаты синей точки (2, 4, 5), что означает, что точка находится на расстоянии 2 единиц от оси x, 4 единиц от оси y и 5 единиц от оси z. Поскольку все эти направления положительны, объект помещается в первый квадрант.

Знаете ли вы, сколько квадрантов в трехмерной системе координат? Или каковы их соглашения о знаках? Вот краткое изложение квадрантов координатной плоскости и их соглашений о знаках в трехмерной системе координат:

Квадрант Соглашение о знаках
я (х, у, г)
II (-х, у, г)
III (-х, -у, г)
IV (х, -у, г)
В (х, у, -з)
ВИ (-х, у, -з)
VII (-х, -у, -з)
VIII (х, -у, -з)

Итак, теперь мы знаем о системе координат, ее частях и способах представления объектов в двух и трех измерениях. Как насчет того, чтобы попрактиковаться в них на нескольких примерах?

Изучение координатной плоскости на примерах

Пример 1: Как представить (-3, 2) на пустой координатной плоскости?
Решение: После наблюдения за точками координат мы видим, что координата x отрицательна, а координата y положительна. Это означает, что эта точка лежит во 2-м квадранте декартовой плоскости. Следовательно, отведя 3 и 2 единицы в отрицательную и положительную стороны осей x и y соответственно, мы получим точку в пустой координатной плоскости, как показано на рисунке:

Пример 2: Представьте (-4, -2) в координатах p дорожки графика.

Решение: Изучив координаты (-4, -2), мы знаем, что координаты x и y отрицательны. Следовательно, эта координата будет лежать в 3-м квадранте.

Взяв 4 единицы с отрицательной стороны оси x и 2 единицы с отрицательной стороны оси y, мы представим (-4, -2), как показано ниже:

Пример 3: График A ( 1,2), В (3, -2), С (-3, -3), Г ( -4, 2), Е (-1, 2), Ж (3,0), Ж (0, — 3) на декартовой плоскости. Также скажите, какие точки лежат во втором и третьем квадранте?

Решение: Из точек мы видим,

    

A лежит в 1-м квадранте
B в 4-м квадранте
C в 3-м квадранте
D во 2-м квадранте
E во 2-м квадранте
F в 1-м квадранте, потому что даже если координата y равна нулю, координата x положительна. Следовательно, 1-й квадрант. Мы считаем 0 положительным при вычислении квадрантов координатной плоскости.
G в 4-м квадранте, можете понять почему?

Государственные координаты и высоты

Зоны координат в плоскости штата 1983

Источник: GPS для геодезистов

В некоторых случаях границы зон координат в плоскости штата сегодня, SPCS83 , система координат в плоскости штата на основе NAD83 2011 (2010.0) и ее опорного эллипсоида GRS80, отличаются от исходных границ зоны. Основой исходной системы координат штата, SPCS27, была NAD27 и ее опорный эллипсоид Clarke 1866. Как упоминалось ранее, географические координаты, широта и долгота NAD27 значительно отличаются от таковых в NAD83 2011 (2010.0). Фактически, преобразование географических координат, широты и долготы, в координаты сетки, y и x, и обратно — одно из трех основных преобразований в системе государственных координат. Это важно, потому что вся цель SPCS состоит в том, чтобы позволить пользователю работать с координатами на плоскости, но при этом иметь возможность выражать любую из рассматриваемых точек либо в широте и долготе, либо в координатах на плоскости без существенной потери точности. Поэтому, когда геодезический контроль был перенесен с NAD27 на NAD83 2011 (2010.0), система координат State Plane должна была остаться. Когда миграция была предпринята в 1970-х годов это дало возможность для капитального ремонта системы. Было рассмотрено множество вариантов, но в итоге было внесено всего несколько изменений. Одной из причин консервативного подхода был тот факт, что 37 штатов приняли законы, поддерживающие использование координат штата. Тем не менее, некоторые зоны получили новые номера, а некоторые зоны изменились. Зоны пронумерованы в системе SPCS83, известной как FIPS . FIPS расшифровывается как Federal Information Processing Standard , и каждой зоне SPCS83 присвоен номер FIPS. В наши дни зоны часто называют Зоны FIPS . Зоны SPCS27 не имели этих номеров FIPS. Как упоминалось ранее, исходная цель состояла в том, чтобы каждая зона была достаточно маленькой, чтобы гарантировать, что искажение масштаба составляет 1 часть на 10 000 или меньше, но когда был разработан SPCS83, этот масштаб не поддерживался в некоторых состояниях. В пяти штатах некоторые зоны SPCS27 были полностью ликвидированы, а охваченные ими территории объединены в одну зону или добавлены к соседним зонам. В трех из этих штатов в результате образовалась одна большая зона. Это штаты Южная Каролина, Монтана и Небраска. В SPCS27 в Южной Каролине и Небраске было две зоны; в SPCS83 у них всего одна, FIPS зона 3900 и зона FIPS 2600 соответственно. Раньше в Монтане было три зоны. У него есть одна зона FIPS 2500. Поэтому, поскольку площадь, охватываемая этими отдельными зонами, стала настолько большой, они не ограничены стандартом 1 часть на 10 000. Калифорния устранила зону 7 и добавила эту область к зоне 0405 FIPS, бывшей зоне 5. Две зоны ранее охватывали Пуэрто-Рико и Виргинские острова. У них есть один. Это зона FIPS 5200. В Мичигане полностью исключены три зоны поперечного Меркатора.

State Plane Projections

Источник: GPS для геодезистов

Как в поперечной проекции Меркатора, так и в конической проекции Ламберта положение осей одинаково во всех зонах SPCS. Как видно на иллюстрации, у каждой зоны есть центральный меридиан. Эти центральные меридианы являются истинными меридианами долготы вблизи геометрического центра зоны. Обратите внимание, что центральный меридиан не является осью и . Если бы это были координаты оси y , то были бы отрицательные координаты. Чтобы избежать их, фактические y -ось смещена далеко на запад от самой зоны. В старой схеме SPCS27 ось y находилась в 2 000 000 футов к западу от центрального меридиана в конической проекции Ламберта и в 500 000 футов в поперечной проекции Меркатора. В конструкции SPCS83 эти константы были изменены. Наиболее распространенными значениями являются 600 000 метров для Ламберта Коника и 200 000 метров для поперечной Меркатора. Однако эти цифры сильно различаются от штата к штату и от зоны к зоне. Однако во всех случаях y -ось все еще далеко к западу от зоны и нет отрицательных государственных координат. Никаких отрицательных координат, потому что ось x , также известная как базовая линия, находится далеко к югу от зоны. Место пересечения осей x и y является началом зоны, и это всегда к югу и западу от самой зоны. Такая конфигурация осей гарантирует, что все координаты плоскости состояния находятся в первом квадранте и, следовательно, всегда положительны.

Важно отметить, что основной единицей для SPCS27 был геодезический фут США, но «геодезический фут США будет поэтапно упразднен в рамках модернизации Национальной системы пространственной привязки (NSRS). международный фут будет называться просто фут». https://www.nist.gov/pml/us-surveyfoot. Основной единицей для SPCS83 является метр.

Масштабный коэффициент

Источник: GPS для геодезистов

Это подводит нас к масштабному коэффициенту, также известному как К-фактор и проекционный коэффициент. Именно этот фактор первоначальный проект системы государственных координат стремился ограничить до 1 части на 10 000. Как следует из этих усилий, масштабные коэффициенты — это коэффициенты, которые можно использовать в качестве множителей для преобразования длин эллипсоида, также известных как геодезические расстояния, в длины на поверхности проекции карты, также известные как расстояния по сетке, и наоборот. Обратите внимание, что геодезическое расстояние — это расстояние на эллипсоиде отсчета, а не расстояние, измеренное на поверхности земли. Таким образом, геодезическая длина линии на эллипсоиде, умноженная на соответствующий масштабный коэффициент, даст вам длину сетки этой линии на плоскости состояния (карте). И длина сетки, умноженная на обратную величину того же масштабного коэффициента, снова вернет вас к геодезической длине. Есть еще один фактор, который перенесет вас с топографической поверхности земли, где проводились измерения, на эллипсоид. Однако на данный момент мы говорим о масштабном факторе. Здесь, на этом изображении, вы видите плоскость состояния, а между основаниями красных стрелок указана горизонтальная линия. Обратите внимание, что между стандартными линиями масштаб слишком мал на государственной плоскости. И вне стандартных линий масштаб слишком велик на плоскости государства. Таким образом, линия между основаниями этих двух красных стрелок на эллипсоиде отсчета будет спроецирована внутрь от эллипсоида на плоскость состояния. По мере проецирования внутрь — линия укорачивается. Это означает, что между пересечением стандартных линий сетка (плоскость состояния) находится под эллипсоидом. В этой области расстояние от одной точки до другой больше на эллипсоиде, чем на плоскости состояния. Это означает, что прямо в середине зоны систем координат State Plane масштаб минимален. В середине типичный минимальный коэффициент масштабирования координат State Plane составляет не менее 0,9.999. Вне стандартных линий сетка (плоскость состояний) находится над эллипсоидом, где расстояние от одной точки до другой на эллипсоиде короче, чем на плоскости состояний. Там, на краю зоны, максимальный типичный масштабный коэффициент системы координат State Plane обычно не превышает 1,0001.

Проекция Ламберта, наиболее длинная с востока на запад, чаще всего используется для штатов. В этой проекции масштабный коэффициент для линий восток-запад является постоянным. Другими словами, масштабный коэффициент одинаков по всей линии. Один из способов подумать об этом — вспомнить, что расстояние между эллипсоидом и поверхностью картографической проекции не меняется в этой проекции с востока на запад. С другой стороны, вдоль линии север-юг масштабный коэффициент на конике Ламберта постоянно меняется. И неудивительно, что расстояние между эллипсоидом и поверхностью картографической проекции всегда меняется вдоль линии с севера на юг в этой проекции. Но глядя на поперечную проекцию Меркатора, которая чаще всего используется для штатов с протяженностью с севера на юг, ситуация совершенно обратная. В этом случае масштабный коэффициент одинаков по всей линии север-юг и постоянно изменяется по линии восток-запад.

И поперечная проекция Меркатора, и коническая проекция Ламберта использовали секущую поверхность проекции и изначально ограничивали ширину до 158 миль. Это были две стратегии, используемые для ограничения коэффициентов масштабирования, когда разрабатывались системы государственных координат. Там, где это было не оптимально, ширина иногда уменьшалась, что означало уменьшение искажений. По мере сужения пояса эллипсоида, спроецированного на карту, искажение становится меньше. Например, Коннектикут имеет ширину менее 80 миль с севера на юг. У него всего одна зона. Вдоль его северной и южной границ, за пределами стандартных параллелей, масштабный коэффициент составляет 1 часть на 40 000, что в четыре раза лучше, чем 1 часть на 10 000. А в середине штата масштабный коэффициент 1 часть на 79000, почти восьмикратное увеличение. С другой стороны, в Техасе масштабный коэффициент был немного меньше 1 части на 10 000. Таким образом, государство было полностью покрыто пятью зонами. И среди руководящих принципов 1933 года было охват штатов как можно меньшим количеством зон и установление границ зон в соответствии с линиями округов. Тем не менее, для охвата Аляски требуется десять зон и все три проекции.

При использовании SPCS 27 масштабные коэффициенты интерполировались из таблиц, опубликованных для каждого состояния. В таблицах для штатов, в которых использовалась коническая проекция Ламберта, масштабные коэффициенты изменяются с севера на юг с изменением широты. В таблицах для штатов, в которых использовалась поперечная проекция Меркатора, масштабные коэффициенты изменяются с востока на запад с изменениями в х -координата. Сегодня коэффициенты масштабирования не интерполируются из таблиц для SPCS83. Как для поперечной проекции Меркатора, так и для конической проекции Ламберта они рассчитываются непосредственно из уравнений. Существует также несколько программных приложений, которые можно использовать для автоматического расчета масштабных коэффициентов для конкретных станций. Их можно использовать для преобразования широты и долготы в координаты государственной плоскости. Учитывая широту и долготу рассматриваемых станций, частью доступных выходных данных этих программ обычно являются масштабные коэффициенты для этих станций. Чтобы проиллюстрировать использование этих факторов, рассмотрим линию длиной 130 210,44 фута на эллипсоиде, что составляет чуть более 24 миль. Это будет его геодезическое расстояние. Предположим, что масштабный коэффициент для этой линии равен 0,9. 999536, тогда расстояние сетки вдоль линии будет:

Геодезическое расстояние * Масштабное коэффициент = расстояние сетки

130,210,44 футов. более короткое расстояние сетки здесь составляет чуть более 6 футов. На самом деле это лучше, чем 1 часть на 20 000; Напомним, что соотношение 1 к 10 000 изначально считалось максимальным. Искажение уменьшается, и масштабный коэффициент приближается к 1, когда линия приближается к стандартной параллели. Также помните, что в проекции Ламберта линия восток-запад, т. е. линия, которая следует параллели широты, имеет одинаковый масштабный коэффициент на обоих концах и на всем протяжении. Однако линия, направленная в любом другом направлении, будет иметь разные масштабные коэффициенты на каждом конце. Линия север-юг будет иметь большую разницу в масштабном коэффициенте на ее северном конце по сравнению с масштабным коэффициентом на ее южном конце.

Где K — масштабный коэффициент для линии, K 1 — масштабный коэффициент на одном конце линии и K 2 — масштабный коэффициент на другом конце линии.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *