ММО-2023 (12.03.2023)
Олимпиада для 8–11 классов прошла 12 марта 2023 года
(2 день для 11 кл. — 25 марта;
доступна орг. информация).
Условия задач, как они были выданы участникам (pdf):
(8 класс)
(9 класс)
(10 класс)
(11 класс, 1 день)
8 класс
Задача 1. Даны три различных ненулевых числа. Петя и Вася составляют квадратные уравнения, подставляя эти числа в качестве коэффициентов, но каждый раз в новом порядке. Если у уравнения есть хотя бы один корень, то Петя получает фантик, а если ни одного, то фантик достаётся Васе. Первые три фантика достались Пете, а следующие два — Васе. Можно ли определить, кому достанется последний, шестой фантик? (М. Евдокимов)
Задача 2. На столе в ряд стоят 23 шкатулки, в одной из которых находится приз. На каждой шкатулке написано либо «Здесь приза нет», либо «Приз в соседней шкатулке». Известно, что ровно одно из этих утверждений правдиво. Что написано на средней шкатулке? (М. Евдокимов)
Задача 3.
Задача 4. Назовём натуральное число хорошим, если в его десятичной записи есть только нули и единицы. Пусть произведение двух хороших чисел оказалось хорошим числом. Правда ли, что тогда сумма цифр произведения равна произведению сумм цифр сомножителей? (В. Клепцын, К. Кноп)
Задача 5. На сторонах равностороннего треугольника $ABC$ построены во внешнюю сторону треугольники $AB’C$, $CA’B$, $BC’A$ так, что получился шестиугольник $AB’CA’BC’$, в котором каждый из углов $A’BC’$, $C’AB’$, $B’CA’$ больше $120$ градусов, а для сторон выполняются равенства $AB’=AC’$, $BC’=BA’$, $CA’=CB’$. Докажите, что из отрезков $AB’$, $BC’$, $CA’$ можно составить треугольник. (Д. Бродский)
Задача 6. На каждую клетку доски $8 \times 8$ поставили по сторожу. Каждый сторож может смотреть в одном из четырёх направлений (вдоль линий доски) и сторожить всех сторожей на линии своего взгляда.
9 класс
Задача 1. Саша записывает числа 1, 2, 3, 4, 5 в каком-нибудь порядке, расставляет знаки арифметических операций «$+$», «$-$», «$\times$» и скобки и смотрит на результат полученного выражения. Например, он может получить число 8 с помощью выражения $(4 — 3) \times (2 + 5) + 1$. Может ли он получить число 123?
Формировать числа из нескольких других нельзя (например, из чисел 1 и 2 нельзя составить число 12). (А. Голованов, А. Соколов)
Задача 2. Даны две последовательности из букв А и Б, в каждой из которых по 100 букв. За одну операцию разрешается вставить в какое-то место последовательности (возможно, в начало или в конец) одну или несколько одинаковых букв или убрать из последовательности одну или несколько подряд идущих одинаковых букв. Докажите, что из первой последовательности можно получить вторую не более чем за 100 операций.
Задача 3. Периметр треугольника $ABC$ равен 1. Окружность $\omega$ касается стороны $BC$, продолжения стороны $AB$ в точке $P$ и продолжения стороны $AC$ в точке $Q$. Прямая, проходящая через середины $AB$ и $AC$, пересекает описанную окружность треугольника $APQ$ в точках $X$ и $Y$. Найдите длину отрезка $XY$. (Д. Бродский)
Задача 4. Дано натуральное число $n\gt1$. Назовём положительную обыкновенную дробь (не обязательно несократимую) хорошей, если сумма её числителя и знаменателя равна $n$. Докажите, что любую положительную обыкновенную дробь, знаменатель которой меньше $n$, можно выразить через хорошие дроби (не обязательно различные) с помощью операций сложения и вычитания тогда и только тогда, когда $n$ — простое число.
Напомним, что обыкновенная дробь — это отношение целого числа к натуральному. (Т. Казицына)
Задача 5. Правильный 100-угольник разрезали на несколько параллелограммов и два треугольника. Докажите, что эти треугольники равны.
(А. Юран)
Задача 6. Назовём тройку чисел триплетом, если одно из них равно среднему арифметическому двух других. Последовательность $(a_n)$ строится следующим образом: $a_0 = 0$, $a_1 = 1$ и при $n\gt 1$ число $a_n$ — такое минимальное натуральное число, большее $a_{n-1}$, что среди чисел $a_0, a_1, \ldots, a_n$ нет трёх, образующих триплет. Докажите, что $a_{2023} \leqslant 100\,000$. (Б. Бутырин)
10 класс
Задача 1. Про четыре целых числа $a,b,c,d$ известно, что $$ a+b+c+d=ab+bc+cd+da+1. $$ Докажите, что модули каких-то двух из этих чисел отличаются на 1. (А. Доледенок)
Задача 2. В эстафетном забеге Москва — Петушки участвовали две команды по 20 человек. Каждая из команд по-своему разделила дистанцию на 20 не обязательно равных отрезков и распределила их между участниками так, чтобы каждый бежал ровно один отрезок (скорость каждого участника постоянна, но скорости разных участников могут быть различны). Первые участники обеих команд стартовали одновременно, а передача эстафеты происходит мгновенно.
Какое максимальное количество обгонов могло быть в таком забеге? Опережение на границе этапов обгоном не считается.
(Е. Неустроева)
Задача 3. Периметр треугольника $ABC$ равен 1. Окружность $\omega$ касается стороны $BC$, продолжения стороны $AB$ в точке $P$ и продолжения стороны $AC$ в точке $Q$. Прямая, проходящая через середины $AB$ и $AC$, пересекает описанную окружность треугольника $APQ$ в точках $X$ и $Y$. Найдите длину отрезка $XY$. (Д. Бродский)
Задача 4. На экране суперкомпьютера напечатано число $11\ldots 1$ (всего $900$ единиц). Каждую секунду суперкомпьютер заменяет его по следующему правилу. Число записывается в виде $\overline{AB}$, где $B$ состоит из двух его последних цифр, и заменяется на $2\cdot A + 8\cdot B$ (если $B$ начинается на нуль, то он при вычислении опускается). Например, $305$ заменяется на $2\cdot 3 + 8 \cdot 5 = 46$. Если на экране остаётся число, меньшее $100$, то процесс останавливается. Правда ли, что он остановится? (М. Евдокимов)
Задача 5.
На плоскости даны две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$, касающиеся внешним образом. На окружности $\omega_1$ выбран диаметр $AB$, а на окружности $\omega_2$ выбран диаметр $CD$. Рассмотрим всевозможные положения точек $A$, $B$, $C$ и $D$, при которых $ABCD$ — выпуклый описанный четырёхугольник, и пусть $I$ — центр его вписанной окружности. Найдите геометрическое место точек $I$.
(М. Евдокимов)
Задача 6. На острове живут хамелеоны 5 цветов. Когда один хамелеон кусает другого, цвет укушенного хамелеона меняется на один из этих 5 цветов по некоторому правилу, причём новый цвет зависит только от цвета укусившего и цвета укушенного. Известно, что 2023 красных хамелеона могут договориться о последовательности укусов, после которой все они станут синими. При каком наименьшем $k$ можно гарантировать, что $k$ красных хамелеонов смогут договориться так, чтобы стать синими?
Например, правила могут быть такими: если красный хамелеон кусает зеленого, укушенный меняет цвет на синий; если зеленый кусает красного, укушенный остается красным, то есть «меняет цвет на красный»; если красный хамелеон кусает красного, укушенный меняет цвет на жёлтый, и так далее.
(Конкретные правила смены цветов могут быть устроены иначе.)
(М. Раскин)
11 класс (1 день)
Задача 1. К графикам функций $y=\cos x$ и $y=a\operatorname{tg} x$ провели касательные в некоторой точке их пересечения. Докажите, что эти касательные перпендикулярны друг другу для любого $a\neq0$. (В. Клепцын, Г. Мерзон)
Задача 2. Пусть $ABCD$ — параллелограмм, отличный от прямоугольника, а точка $P$ выбрана внутри него так, что описанные окружности треугольников $PAB$ и $PCD$ имеют общую хорду, перпендикулярную $AD$. Докажите, что радиусы данных окружностей равны. (А. Заславский)
Задача 3. Дан многочлен $P(x)$ степени $n\gt 5$ с целыми коэффициентами, имеющий $n$ различных целых корней. Докажите, что многочлен $P(x)+3$ имеет $n$ различных действительных корней. (М. Малкин)
Задача 4. В турнире по теннису (где не бывает ничьих) участвовало более 4 спортсменов. Каждый игровой день каждый теннисист принимал участие ровно в одной игре.
📜 Инструкция по применению Солодки корни 💊 Состав препарата Солодки корни ✅ Применение препарата Солодки корни 📅 Условия хранения Солодки корни ⏳ Срок годности Солодки корни Сохраните у себя Поиск аналогов Описание лекарственного препарата Солодки корни (Glycyrrhizae radices) Основано на официально утвержденной инструкции по применению препарата и подготовлено для электронного издания справочника Видаль 2011 года, дата обновления: 2019. Владелец регистрационного удостоверения:Фирма ЗДОРОВЬЕ, OOO (Россия) Код ATX: V03AX (Прочие лечебные средства) Активное вещество: солодка (Liquorice) Ph.Eur. Европейская Фармакопея Лекарственная форма
Форма выпуска, упаковка и состав препарата Солодки корни
фильтр-пакеты (10) — пачки картонные. Клинико-фармакологическая группа: Фитопрепарат с отхаркивающим и противовоспалительным действием Фармако-терапевтическая группа: Отхаркивающее средство растительного происхождения Сохраните у себя Если вы хотите разместить ссылку на описание этого препарата — используйте данный код Солодки корни. Описание препарата в справочнике Видаль. |
5 г: фильтр-пакеты 10 или 20 шт.
Калькулятор дробей
Этот калькулятор дробей выполняет базовые и расширенные операции с дробями, выражения с дробями в сочетании с целыми, десятичными и смешанными числами. Он также показывает подробную пошаговую информацию о процедуре расчета дроби. Калькулятор помогает найти значение из операций с несколькими дробями. Решайте задачи с двумя, тремя и более дробями и числами в одном выражении.
Правила выражения с дробями:
Дроби — используйте косую черту для деления числителя на знаменатель, т.е. для пятисотых введите 5/100 . Если вы используете смешанные числа, оставьте пробел между целой и дробной частями.
Смешанные числа (смешанные числа или дроби) сохраняют один пробел между целым числом и дробью
и используют косую черту для ввода дробей, например, 1 2/3 . Пример отрицательной смешанной дроби: -5 1/2 .
Поскольку косая черта одновременно является знаком дробной строки и деления, используйте двоеточие (:) в качестве оператора деления дробей, т. е. 1/2 : 1/3 .
Decimals (десятичные числа) вводятся с десятичной точкой . и они автоматически преобразуются в дроби — т.е. 1,45 .
Math Symbols
| Symbol | Symbol name | Symbol Meaning | Example |
|---|---|---|---|
| + | plus sign | addition | 1/2 + 1/3 |
| — | знак минус | вычитание | 1 1/2 — 2/3 |
| * | asterisk | multiplication | 2/3 * 3/4 |
| × | times sign | multiplication | 2 /3 × 5/6 |
| : | division sign | division | 1/2 : 3 |
| / | division slash | division | 1/3 / 5 1/2 • сложение дробей и смешанных чисел: 8/5 + 6 2/7 • деление целых чисел и дробей: 5 ÷ 1/2 • сложные дроби: 5/8 : 2 2/3 • десятичная дробь: 0,625 • Преобразование дроби в десятичную: 1/4 • Преобразование дроби в процент: 1/8 % • сравнение дробей: 1/4 2/3 • умножение дроби на целое число: 6 * 3/4 • квадратный корень дроби: sqrt(1/16) • уменьшение или упрощение дроби (упрощение) — деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число — эквивалентная дробь: 4/22 • выражение со скобками: 1/3 * (1/2 — 3 3/8) • составная дробь: 3/4 от 5/7 • кратные дроби: 2/3 от 3/5 • разделить, чтобы найти частное: 3/5 ÷ 2/3 Калькулятор следует известным правилам для порядка операций .
more math problems »
сколько-6-кратный-квадратный-из-2 — Googlesuche0004 Такой вариант Упростить 6/(квадратный корень из 2) — Mathway www.mathway.com › популярные-задачи › Алгебра Упростить 6/(квадратный корень из 2). 6√2 6 2. Шаг 1. Умножьте 6√2 6 2 на √2√2 2 2 . 6√2⋅√2√2 6 2 ⋅ 2 2. Шаг 2. Объединить и упростить знаменатель. Nutzer fragen auch Что такое корень 6 раз корень 2? Каково значение 6 корня 2? Чему равен квадратный корень из 6, умноженный на квадратный корень из 2? — Сократ socratic. 2√3. Объяснение: √a⋅√b=√a⋅b , таким образом, √6⋅√2=√6⋅2. √12→ Здесь есть полный квадрат (4), который можно убрать. √4⋅3. Как бы вы упростили sqrt2 в 6 раз? — Socratic socratic.org › вопросы › как бы упростить-… Объяснение: 6×√2=6√2. Это как умножить 6×x. Ответ — 6x, и мы понимаем, что это означает 6×x. Чему равен квадратный корень из 6, умноженный на квадратный корень из 2? — Веданту www.vedantu.com › вопрос-ответ › квадратный корень-… Полное пошаговое решение: Нам нужно найти значение произведения квадратного корня из 2, умноженного на квадратный корень из 6. Это квадратный корень. Калькулятор корней www.calculator.net › math Этот бесплатный калькулятор корней определяет корни чисел, включая общие корни, такие как квадратный корень или кубический корень. Найдите квадратный корень за один простой шаг — Omni Calculator www. 04.01.2023 · Самая ранняя глиняная табличка с правильным значением до 5 знаков после запятой √2 = 1,41421 происходит из Вавилонии (1800 г. до н.э. – 1600 г. до н.э.). Многие другие … Как упростить квадратные корни — YouTube www.youtube.com › смотреть 25.11.2018 · … учебник объясняет, как упростить квадратные корни. Обзор алгебры: https://www .video-tutor.net … Как умножить квадратный корень из отрицательного на 6, умноженный на … — Quora www.quora.com › Как-вы-умножаете-квадратный-корень-из-отрицательного-6-ti. .. Sqrt <6, Pi > равен Чему равен квадратный корень из 2, умноженный на квадратный корень из 2? — Quora www.quora.com › Что такое квадратный корень из двух, умноженный на квадратный корень из двух Ответ может быть любым из следующих: 1. |
Наиболее распространенные мнемоники для запоминания этого порядка операций: 
Какая десятичная дробь представляет долю выстрелов, которые делает Деа?
org › вопросы › что такое квадратный корень из…
omnicalculator.com › математика › квадратный корень