| 1 | Найти точное значение | sin(30) | |
| 2 | Найти точное значение | sin(45) | |
| 3 | Найти точное значение | sin(30 град. ) | |
| 4 | Найти точное значение | sin(60 град. ) | |
| 5 | Найти точное значение | tan(30 град. ) | |
| 6 | Найти точное значение | arcsin(-1) | |
| 7 | Найти точное значение | sin(pi/6) | |
| 8 | cos(pi/4) | ||
| 9 | Найти точное значение | sin(45 град. |
|
| 10 | Найти точное значение | sin(pi/3) | |
| 11 | Найти точное значение | arctan(-1) | |
| 12 | Найти точное значение | cos(45 град. ) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(30 град. ) | |
| 14 | Найти точное значение | tan(60) | |
| 15 | Найти точное значение | csc(45 град. ) | |
| 16 | Найти точное значение | tan(60 град. ) | |
| 17 | Найти точное значение | sec(30 град. ) |
|
| 18 | Найти точное значение | cos(60 град. ) | |
| 19 | Найти точное значение | cos(150) | |
| 20 | Найти точное значение | sin(60) | |
| 21 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 22 | Найти точное значение | tan(45 град. ) | |
| 23 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень из 3) | |
| 24 | Найти точное значение | csc(60 град. ) | |
| 25 | Найти точное значение | sec(45 град. ) |
|
| 26 | Найти точное значение | csc(30 град. ) | |
| 27 | Найти точное значение | sin(0) | |
| 28 | Найти точное значение | sin(120) | |
| 29 | Найти точное значение | cos(90) | |
| 30 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/3 | |
| 31 | Найти точное значение | tan(30) | |
| 32 | Преобразовать из градусов в радианы | 45 | |
| 33 | Найти точное значение | cos(45) | |
| 34 | Упростить | sin(theta)^2+cos(theta)^2 | |
| 35 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
| 36 | Найти точное значение | cot(30 град. ) |
|
| 37 | Найти точное значение | arccos(-1) | |
| 38 | Найти точное значение | arctan(0) | |
| 39 | Найти точное значение | cot(60 град. ) | |
| 40 | Преобразовать из градусов в радианы | 30 | |
| 41 | Преобразовать из радианов в градусы | (2pi)/3 | |
| 42 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
| 43 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 44 | Найти точное значение | tan(pi/2) | |
| 45 | Найти точное значение | sin(300) | |
| 46 | Найти точное значение | cos(30) | |
| 47 | Найти точное значение | cos(60) | |
| 48 | Найти точное значение | cos(0) | |
| 49 | Найти точное значение | cos(135) | |
| 50 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
| 51 | Найти точное значение | cos(210) | |
| 52 | Найти точное значение | sec(60 град. ) |
|
| 53 | Найти точное значение | sin(300 град. ) | |
| 54 | Преобразовать из градусов в радианы | 135 | |
| 55 | Преобразовать из градусов в радианы | 150 | |
| 56 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/6 | |
| 57 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/3 | |
| 58 | Преобразовать из градусов в радианы | 89 град. | |
| 59 | Преобразовать из градусов в радианы | 60 | |
| 60 | Найти точное значение | sin(135 град. ) |
|
| 61 | Найти точное значение | sin(150) | |
| 62 | Найти точное значение | sin(240 град. ) | |
| 63 | Найти точное значение | cot(45 град. ) | |
| 64 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/4 | |
| 65 | Найти точное значение | sin(225) | |
| 66 | Найти точное значение | sin(240) | |
| 67 | Найти точное значение | cos(150 град. ) | |
| 68 | Найти точное значение | tan(45) | |
| 69 | Вычислить | sin(30 град. ) |
|
| 70 | Найти точное значение | sec(0) | |
| 71 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
| 72 | Найти точное значение | csc(30) | |
| 73 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень из 2)/2) | |
| 74 | Найти точное значение | tan((5pi)/3) | |
| 75 | Найти точное значение | tan(0) | |
| 76 | Вычислить | sin(60 град. ) | |
| 77 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень из 3)/3) | |
| 78 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
| 79 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
| 80 | Найти точное значение | arcsin(-1/2) | |
| 81 | Найти точное значение | sin((4pi)/3) | |
| 82 | Найти точное значение | csc(45) | |
| 83 | Упростить | arctan( квадратный корень из 3) | |
| 84 | Найти точное значение | sin(135) | |
| 85 | Найти точное значение | sin(105) | |
| 86 | Найти точное значение | sin(150 град. ) |
|
| 87 | Найти точное значение | sin((2pi)/3) | |
| 88 | Найти точное значение | tan((2pi)/3) | |
| 89 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/4 | |
| 90 | Найти точное значение | sin(pi/2) | |
| 91 | Найти точное значение | sec(45) | |
| 92 | Найти точное значение | cos((5pi)/4) | |
| 93 | Найти точное значение | cos((7pi)/6) | |
| 94 | Найти точное значение | arcsin(0) | |
| 95 | Найти точное значение | sin(120 град. ) |
|
| 96 | Найти точное значение | tan((7pi)/6) | |
| 97 | Найти точное значение | cos(270) | |
| 98 | Найти точное значение | sin((7pi)/6) | |
| 99 | Найти точное значение | arcsin(-( квадратный корень из 2)/2) | |
| 100 | Преобразовать из градусов в радианы | 88 град. |
Алгебра. Учебник для 6-8 классов
Алгебра. Учебник для 6-8 классов
ОглавлениеГЛАВА ПЕРВАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ.§ 2. Алгебраические выражения. § 3. Допустимые значения букв. § 4. Порядок действий. § 5. Основные законы сложения и умножения. § 6. Краткие исторические сведения. ГЛАВА ВТОРАЯ.  РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.§ 7. Положительные и отрицательные числа. § 8. Числовая ось. § 9. Противоположные числа. § 10. Абсолютная величина числа. § 11. Сравнение рациональных чисел. § 12. Сложение рациональных чисел. § 13. Сложение нескольких чисел. § 14. Законы сложения. § 15. Вычитание рациональных чисел. § 16. Алгебраическая сумма. § 17. Умножение. § 18. Умножение нескольких чисел. § 19. Законы умножения. § 20. Деление. § 21. Свойства деления. § 22. Возведение в степень. § 23. Порядок выполнения действий. § 24. Уравнения. § 25. Решение задач с помощью уравнений. § 26. Графики. § 27. Краткие исторические сведения. (Из истории отрицательных чисел.) ГЛАВА ТРЕТЬЯ. ДЕЙСТВИЯ НАД ЦЕЛЫМИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ. § 28. Одночлен и многочлен. § 29. Тождества и тождественные преобразования. § 30. Коэффициент. § 31. Расположенные многочлены. § 32. Приведение подобных членов. § 33. Сложение одночленов и многочленов.  § 34. Противоположные многочлены. § 35. Вычитание одночленов и многочленов § 36. Умножение одночленов. § 37. Умножение многочлена на одночлен. § 38. Умножение многочленов. § 39. Умножение расположенных многочленов. § 40. Возведение одночленов в степень. § 41. Формулы сокращённого умножения. § 42. Общие замечания о делении целых алгебраических выражений. § 43. Деление одночленов. § 44. Деление многочлена на одночлен § 45. Примеры решения уравнений. ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ. § 47. Равносильные уравнения. § 48. Два основных свойства уравнений. § 49. Уравнения, содержащие неизвестное в обеих частях. § 50. Уравнение первой степени с одним неизвестным. § 51. Общие указания к решению уравнений. § 52. Решение задач с помощью уравнений. § 53. Краткие исторические сведения. (Из истории уравнений.) ГЛАВА ПЯТАЯ. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ. § 54. Понятие о разложении на множители.  § 55. Вынесение за скобки общего множителя. § 56. Способ группировки. § 57. Применение формул сокращённого умножения. § 58. Применение нескольких способов. § 59. Деление многочленов при помощи разложения на множители. ГЛАВА ШЕСТАЯ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ. § 60. Понятие об алгебраической дроби. § 61. Основное свойство дроби и сокращение дробей. § 62. Перемена знака у членов дроби. § 63. Целая отрицательная и нулевая степени числа. § 64. Приведение дробей к общему знаменателю. § 65. Сложение дробей. § 66. Вычитание дробей. § 67. Умножение дробей. § 68. Деление дробей. § 69. Возведение дроби в натуральную степень. § 70. Дробные уравнения. § 71. Примеры решения уравнений с буквенными коэффициентами. ГЛАВА СЕДЬМАЯ. КООРДИНАТЫ И ПРОСТЕЙШИЕ ГРАФИКИ. § 72. Координаты точки на плоскости. § 73. Прямо пропорциональная зависимость. § 74. График прямо пропорциональной зависимости. § 75. Линейная зависимость. § 76.  (1/3)§ 130. Примеры графического решения уравнений и систем уравнений. |
Н. Алгебра. Учебник для 6-8 классов. 11-е изд., стер. — М.: Просвещение, 1966. — 296 с.
комплексных чисел. Показать, что $\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ является кубическим корнем из 1?
спросил
Изменено 5 лет, 8 месяцев назад
Просмотрено 3к раз
$\begingroup$
Я знаю, как напрямую доказать, что комплексное число является одним из кубических корней из 1. Но решение из учебника также дает другое решение, как показано ниже,
Однако я не понимаю, как можно сделать вывод, что $\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ является корнем квадратного уравнения, следующего за двумя уравнениями вверху . Спасибо!
- комплексные числа
- квадратичные
$\endgroup$
6
$\begingroup$
Возможно, он использует теорему о комплексно-сопряженном корне и формулу Виета, чтобы сказать, что $\alpha+ \bar{\alpha}=-1$ и $\alpha \bar{\alpha}=1$.
3-1$. 92 = — (\ frac34) \\ (x- \ frac12) = \ pm \ frac {\ sqrt {- 3}} {2} \\
(x-\frac12)=\pm\frac {\sqrt{3}i}{2}\\
х = \ frac {1} {2} \ pm \ frac {\ sqrt {3} i} {2} $ $
$\endgroup$
Сколько кубических корней из 1 существует? | by Вир Вишал Дубей | Math Simplified
Кубический корень Unity? Это просто, верно? Это один! Вы были бы правы, но правы только на 1/3! Настало время глубже погрузиться в мир математики, исследовать числа за пределами нашего понимания и понять, что означает кубический корень из единицы и некоторые связанные с ним свойства. Но перед этим давайте рассмотрим некоторые основные понятия, связанные с комплексными числами и полиномами.
(если вы знакомы с основами алгебры и комплексными числами, вы можете сразу перейти к разделу, где я рассказываю о теореме Де Муавера)
Мы знаем, что любой многочлен с наибольшей степенью n имеет n корней, они могут равные или разные, или даже сложные по своей природе.
Другими словами, многочленов степени n будут иметь n корней, действительных или комплексных, равных или различных.
Но что это за сложные корни, о которых я говорю? Комплексные корни — это комплексные числа или числа в форме z=(a+ib), где i — мнимая единица. (I обозначает йоту, и его числовое значение равно √-1, где a и b — рациональные числа.)
Одна из замечательных особенностей комплексных корней заключается в том, что они идут парами. Сопряженные пары, чтобы быть более точным. Это означает, что если мой многочлен имеет корень (x+iy), он также должен иметь (x-iy) в качестве корня. Они идут парами, в которых знак величины множителя с йотой изменен.
Когда мы смотрим на набор координат, все, что мы представляем, это набор точек, определяемых их расстояниями от осей x и y. Но у нас также есть удивительная система, использующая параметрические координаты окружности, чтобы узнать, что такое координаты точки с помощью углов. Мы называем эту систему «Полярная система координат».
Основная идея заключается в том, что если у вас есть круг с центром в начале координат или (0,0) с радиусом ‘a’, любая координата может быть описана в виде (a cosθ, a sinθ) , просто из-за достоинства радиальной линии , соединяющей его и начало координат, и угла, который он образует с осью x. Это легко доказать с помощью простой тригонометрии. На самом деле, если вы укажете θ в качестве параметра, это даст вам геометрическое место окружности.
Точно так же вы можете найти точку, используя круг. Например, если мне нужно найти точку (0,5,0,855), я подставляю угол, соответствующий 0,5 по косинусу и 0,855 по греху (что равно пи/3 радиан или 60⁰), и получаю точку.
точка на единичной окружности может быть указана с использованием разных углов для разных значений cos и sin. Точно так же вы можете построить график комплексных чисел, используя ось Y в качестве мнимой части и ось X в качестве действительной части.
Точка (x,y) на этой плоскости (называемой плоскостью Гаусса) представляет (x+iy).
Чтобы теорема Муавра работала, вам нужно знать представление (a+bi) в полярной системе координат. Для этого делаем простые шаги.
Сначала возведите в квадрат действительную часть и действительный коэффициент i, сложите их и извлеките квадратный корень. Затем умножьте и разделите на этот коэффициент.
(a+bi)= √(a²+b²)(a+bi)/√(a²+b²)
Теперь разделите внутри скобки
(a+bi)= √(a²+b²) (а/√(а²+b²)+би/√(а²+b²))
Теперь найдите угол, значения которого в cos и sin дают a/√(a²+b²)&b/√(a²+b²) соответственно. Назовем этот угол θ.
(a+bi)= √(a²+b²)(cosθ+isinθ)
или
(a+bi)= √(a²+b²)(cisθ)
ci представляет (cisθ)
ci cosθ+isinθ). Здесь мы завершили преобразование в полярную форму. Теперь вернемся к теореме Муавра.
Важно отметить, что θ Должен быть углом в радианах,
9(p/q) = cos((2k π+ pθ/q)) + i sin((2k π+ pθ/q)) Расширение второго правилаЗдесь количество решений = q
, и мы даем значения k, начиная с 0 и до q-1, то есть множество значений k может принимать:
k ∈ {0,1,2,3,4,……,q -1}
Теперь, когда мы поняли правила Де Муавра, давайте приступим к делу.
Пусть есть комплексное число z( в виде a+ib, помните, что действительные числа также являются комплексными числами, потому что если b=0, то нет мнимой части ), который представлен в виде (cosθ+isinθ) в полярной форме, так что z-1³=0
Теперь проделаем нехитрые алгебраические вычисления, чтобы получить:
Извлечем кубический корень с обеих сторон:
Теперь преобразуем z к полярной форме.
Теперь нам нужно найти такое θ, что cos θ=1, а sin θ=0. Какой это может быть угол? Правильно, это 0⁰!.