Решите √x+√[x-√(1-x)] = 1 и найдите значение x
- Математические сомнения
- Проблемы
- Квадратные уравнения
Это алгебраическое уравнение относительно $x$, но оно имеет сложную радикальную форму.
Математически это уравнение можно решить, только если переменную $x$ вывести из подкоренной формы.
Возведение в квадрат обеих частей уравнения
Чтобы освободить это уравнение от радикальной формы, переместите член $\sqrt{x}$ в правую часть, а затем возведите в квадрат обе части уравнения. 92-2 \times 1 \times \sqrt{x}$
$\implies$ $x-\sqrt{1-x}$ $\,=\,$ $1+x-2\sqrt{x}$
Теперь упростим все алгебраическое уравнение.
$\implies$ $x-x-\sqrt{1-x}$ $\,=\,$ $1-2\sqrt{x}$
$\implies$ $\require{cancel} \cancel{x} -\cancel{x}-\sqrt{1-x}$ $\,=\,$ $1-2\sqrt{x}$
$\implies$ $-\sqrt{1-x}$ $\, =\,$ $1-2\sqrt{x}$
Возведение в квадрат обеих частей уравнения
Алгебраическое уравнение не может быть завершено без радикалов. Итак, возведите в квадрат обе части уравнения еще раз. 92-2 \times 1 \times 2\sqrt{x}$
$\implies$ $1-x$ $\,=\,$ $1+4x-4\sqrt{x}$
$\implies$ $1 -1-x$ $\,=\,$ $4x-4\sqrt{x}$
$\implies$ $\require{cancel} \cancel{1}-\cancel{1}-x$ $\ ,=\,$ $4x-4\sqrt{x}$
$\имплицит$ $-x$ $\,=\,$ $4x-4\sqrt{x}$
$\имплицит$ $4\ sqrt{x}$ $\,=\,$ $4x+x$
$\implies$ $4\sqrt{x}$ $\,=\,$ $5x$
Возведение в квадрат обеих частей уравнения
Переменная x еще не полностью исключена из формы квадратного корня, но на этот раз это можно сделать, возведя в квадрат обе части уравнения.
92-16x \,=\, 0$
Решите квадратное уравнение
Алгебраическое уравнение дополняется без радикалов и преобразуется в квадратное уравнение. Теперь решите квадратное уравнение для вычисления переменной $x$.
$\implies$ $x(25x-16) \,=\, 0$
Следовательно, $x = 0$ или $25x-16 = 0$ является решением этого уравнения.
$x = 0$ или $x = \dfrac{16}{25}$
Проверка корней
Пришло время проверить корни, подставляя их в данное алгебраическое уравнение один за другим.
1. Положим $x = \small 0$
$\sqrt{x}$ $+$ $\sqrt{x-\sqrt{1-x}}$ $\,=\,$ $\sqrt{ (0)}$ $+$ $\sqrt{(0)-\sqrt{1-(0)}}$
$=\,\,\,$ $0$ $+$ $\sqrt{0-\ sqrt{1}}$
$=\,\,\,$ $\sqrt{0-1}$
$=\,\,\,$ $\sqrt{-1}$
Значение алгебраическое выражение $\sqrt{x}$ $+$ $\sqrt{x-\sqrt{1-x}}$ равно $\sqrt{-1}$ для $x$ равно нулю, но должно быть единицей по заданному уравнению. Значит, значение $x$ не должно быть равно $0$ и не может быть корнем данного уравнения.
2. Положим $x = \small \dfrac{16}{25}$
$\sqrt{x}$ $+$ $\sqrt{x-\sqrt{1-x}}$ $\,= \,$ $\sqrt{\Bigg(\dfrac{16}{25}\Bigg)}$ $+$ $\sqrt{\Bigg(\dfrac{16}{25}\Bigg)-\sqrt{1- \Bigg(\dfrac{16}{25}\Bigg)}}$
$=\,\,\,$ $\dfrac{4}{5}$ $+$ $\sqrt{\Bigg(\dfrac {16}{25}\Bigg)-\sqrt{\dfrac{25-16}{25}}}$
$=\,\,\,$ $\dfrac{4}{5}$ $+$ $\sqrt{\dfrac{16}{25}-\sqrt{\dfrac{9}{25}}}$
$=\,\,\,$ $\dfrac{4}{5}$ $+ $ $\sqrt{\dfrac{16}{25}-\dfrac{3}{5}}$
$=\,\,\,$ $\dfrac{4}{5}$ $+$ $\ sqrt{\dfrac{16 \times 1 \,-\, 3 \times 5}{25}}$
$=\,\,\,$ $\dfrac{4}{5}$ $+$ $\sqrt{\dfrac{16-15}{25}}$
$=\,\,\, $ $\dfrac{4}{5}$ $+$ $\sqrt{\dfrac{1}{25}}$
$=\,\,\,$ $\dfrac{4}{5}+\ dfrac{1}{5}$
$=\,\,\, \dfrac{4+1}{5}$
$=\,\,\, \dfrac{5}{5}$
$=\,\,\, \require{cancel} \dfrac{\cancel{5}}{\cancel{5}}$
$=\,\,\, 1$
Когда $x$ равно к $\dfrac{16}{25}$ значение $\sqrt{x}$ $+$ $\sqrt{x-\sqrt{1-x}}$ равно $1$. Это заданное алгебраическое уравнение.