Корень из корня формула: Квадратный корень — все что нужно для сдачи ОГЭ и ЕГЭ

Свойства арифметического квадратного корня. Квадратный корень из степени. Преобразование выражений, содержащих

Тема 6: Квадратные корни

Урок 6: Свойства арифметического квадратного корня. Квадратный корень из степени. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

• Видео
• Тренажер
• Теория

Заметили ошибку?

Свойства арифметического квадратного корня. Квадратный корень из степени.

Арифметический квадратный корень обладает рядом свойств.

1. ab=ab (a,b≥0). Если a и b – неотрицательные числа, то корень из их произведения равен произведению корней.

   Доказательство: воспользуемся определением квадратного корня.

   (ab)2=ab

   (ab)2=ab

   Функция y=x2 при х≥0 принимает свои значения ровно один раз.

   Следовательно, ab=ab, так как равны их квадраты.

   Примеры:

   36·25=36∙25=6∙5=30

   8·50=8∙2∙25=16∙25=4∙5=20

   Рассмотрим обобщение первого свойства: abc=abc при a,b,c≥0.

   Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней этих множителей.

   Примеры:

   81·4·16=81416=9∙2∙4=72

   0,01·8·50=0,01∙8∙2∙25=0,011625=0,1∙4∙5=2

2. ab=ab (a>0, b≥0). Если а – неотрицательное число, а b – положительное число, то корень из их отношения равен отношению корней.

   Доказательство: воспользуемся определением квадратного корня.

   ab2=ab

   ab2=(a)2(b)2=ab

   Функция y=x2 при х≥0 принимает свои значения ровно один раз.

   Следовательно, ab=ab, так как равны их квадраты.

   Примеры:

   49=49=23

   1916=2516=2516=54=114

3.  

   a2n=an

   при a≥0, n∈N

   Доказательство: воспользуемся определением квадратного корня.

   (a2n)2=a2n

   (an)2=a2n

   Функция y=x2 при х≥0 принимает свои значения ровно один раз.

   Следовательно, a2n=an, так как равны их квадраты.

   Примеры:

   36=32∙3=33=27

   x8=x2∙4=x4 при x≥0

   Рассмотренные свойства широко используются в различных задачах.

   Разберем пример:

   132-122=(13-12)(13+12)=1∙25=5

   Конечно, в данном примере можно было просто вычислить квадраты указанных чисел, а затем посчитать их разность. Однако подсчёт «в лоб» станет слишком трудным для больших чисел.

   Рассмотрим одну из самых распространённых и грубейших ошибок, которую часто допускают при работе с квадратными корнями.

   Утверждение а±b=a±b – НЕВЕРНО!

   В качестве подтверждения рассмотрим следующий пример: 9+16=25=5, а 9+16=3+4=7. Как видим, применение неправильной формулы приводит к неправильным результатам.

    

Заметили ошибку?

Расскажите нам об ошибке, и мы ее исправим.

Квадратный корень в Excel — НА ПРИМЕРАХ

В статье показано, как найти квадратный корень в Excel, а также как вычислить корень n-ой степени.

Возведение числа в квадрат и извлечение квадратного корня – очень распространенные операции в математике. Но как извлечь квадратный корень в Excel? Либо используя функцию КОРЕНЬ, либо возвести число в степень 1/2. Рассмотрим конкретные примеры.

Как найти квадратный корень в Excel с использованием функции КОРЕНЬ

Самый простой способ найти квадратный корень в Excel – это использовать специально разработанную для этого функцию:

=КОРЕНЬ(число)

где число – это число или ссылка на ячейку, содержащую число, для которого вы хотите найти квадратный корень.

Например, чтобы извлечь квадратный корень из 225, вы используете эту формулу: =КОРЕНЬ(225)

Чтобы вычислить квадратный корень из числа в A2, используйте это: =КОРЕНЬ(A2)

Квадратный корень в Excel – Использование функции КОРЕНЬ для вычисления квадратного корня

Если число отрицательное, как в строках 7 и 8 на изображении выше, функция Excel КОРЕНЬ возвращает ошибку #ЧИСЛО! Это происходит потому, что квадратный корень отрицательного числа не существует среди множества действительных чисел. 0,5.

Как показано на изображении ниже, функция КОРЕНЬ в Excel и формула экспоненты дают одинаковые результаты:

Квадратный корень в Excel – Поиск квадратного корня с использованием экспоненты

Как найти квадратный корень функцией СТЕПЕНЬ

Функция СТЕПЕНЬ — это еще один способ найти квадратный корень в Excel, т. е. возвести число в степень 1/2.

Синтаксис функции СТЕПЕНЬ выглядит следующим образом:

=СТЕПЕНЬ(число; степень)

Соответственно, чтобы получить квадратный корень, вы задаете аргумент степень равным 1/2. Например:

=СТЕПЕНЬ(A2, 1/2)

Как показано на изображении ниже, все три формулы с квадратным корнем в Excel дают одинаковый результат:

Квадратный корень в Excel – Найти квадратный корень с помощью функции СТЕПЕНЬ

Как посчитать корень n-ой степени

Формула экспоненты, рассмотренная выше, не ограничивается поиском только квадратного корня. (1/5)

Квадратный корень в Excel – Извлечь корень n-ой степени

Чтобы выполнить несколько вычислений с помощью одной формулы, как в приведенном выше примере, используйте знак доллара ($). Для получения дополнительной информации см. статью Абсолютные и относительные ссылки в Excel.

Вот такими способами вы можете извлечь квадратный корень в Excel.

Формула квадратного корня

— Что такое формула квадратного корня? Примеры

Формула квадратного корня помогает представить любое число в форме его квадратного корня. Квадратный корень из любого числа — это то значение, которое при умножении само на себя дает исходное число. Он представлен с помощью символа «√». Каждое число имеет два квадратных корня, один с положительным значением, а другой с отрицательным значением. Например, число 4 имеет два квадратных корня, -2 и 2. Это можно выразить как √4 = ±2. Это можно проверить следующим образом: (-2) × (-2) = 4 и 2 × 2 = 4. Давайте узнаем больше о формуле квадратного корня на этой странице.

Что такое формула квадратного корня?

Квадратный корень из любого числа дается как число, возведенное в степень 1/2. При вычислении квадратного корня любого числа мы берем как отрицательные, так и положительные значения в качестве квадратного корня после вычисления. Формула квадратного корня для полного квадрата даст в результате целое число. Квадратный корень из отрицательного числа никогда не может быть действительным числом.

Формула квадратного корня

Формула квадратного корня из числа x задается как формула для вычисления квадратного корня из x будет выглядеть так:

√x = √(y × y) = y

, где y — квадратный корень из любого числа x. Это также означает, что если значение y является целым числом, то x будет идеальным квадратом.

Методы вычисления формул квадратного корня

Хотя существуют различные методы, которые можно удобно использовать для получения идеальных квадратов, метод деления в длину можно использовать для любого числа, независимо от того, является ли оно идеальным квадратом или нет.

• Метод многократного вычитания квадратного корня
• Извлечение квадратного корня методом простой факторизации
• Извлечение квадратного корня методом оценки
• Извлечение квадратного корня методом деления в длину

Давайте посмотрим на несколько решенных примеров, чтобы лучше понять формулу квадратного корня.

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Запись на бесплатный пробный урок

Примеры с использованием формулы квадратного корня

Пример 1: Используя формулу квадратного корня, вычислите квадратный корень из 144. простое разложение 144, мы получаем,

144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3

= (2 × 2 × 3) ²

Используя формулу квадратного корня,

√144 = ± ± [(2 × 2 × 3) ² ] ^{1/ 2}

√144 = ± 12

Ответ: квадратный корень 144 = ± 12

Пример 2: Определить квадратный корень 60.

Решение:

Чтобы найти квадратный корень. из 60 из простой факторизации 60, мы получаем,

60 = 2 × 2 × 3 × 5

= (2) ² × 3 × 5

Используя формулу квадратного корня,

√60 = [( 2) ² × 15 ] ^{1/ 2}

√60 = 2√15

Ответ: Квадратный корень из 60 = 2√15

Пример 3: Вычислите длину стороны квадрата, площадь которого равна 400 квадратных единиц.

Решение:

Найти: Длина стороны квадрата.

Дано, площадь квадрата = 400 квадратных единиц

Используя формулу квадратного корня или, точнее, формулу площади квадрата,

Сторона = √(площадь) = √(сторона) ²

= √400

= 20 шт.

Ответ: Длина стороны квадрата = 20 единицам

Часто задаваемые вопросы о формуле квадратного корня

Что такое формула квадратного корня в математике?

В математике формула квадратного корня используется для представления любого числа в форме его квадратного корня, например, для любого числа x его квадратный корень будет выражен как √x = x ^1/2

Что такое Формула квадратного корня для отрицательных чисел?

Мы знаем, что отрицательные числа не имеют действительных квадратных корней. Квадратные корни чисел, отличных от полного квадрата, считаются иррациональными числами. Главный квадратный корень любого отрицательного числа, скажем -x, равен: √(-x)= i√x, где i — квадратный корень из -1.

Каковы применения формулы квадратного корня?

Существует множество применений формулы квадратного корня.

• Используется в алгебре и геометрии. Он служит основой для формулы корней квадратного уравнения; квадратичные поля и кольца целых квадратичных чисел.
• Часто используется во многих физических законах.
• Для расчета площадей, объемов и других формул измерения.
• Широко используется плотниками, архитекторами и инженерами.

Как написать формулу квадратного корня словами?

На словах формула квадратного корня выражается следующим образом. Квадратный корень из любого числа — это число, возведенное в степень 1/2.

Формула факторизации простых чисел — Что такое формула факторизации простых чисел?

Прежде чем приступить к изучению формулы простой факторизации, давайте вспомним, что такое простая факторизация. Это способ выражения числа в виде произведения его простых множителей. Фундаментальная теорема арифметики гласит: «Каждое составное число можно разложить на множители как произведение простых чисел, и эта факторизация уникальна, независимо от порядка, в котором встречаются простые множители». Формула простой факторизации помогает найти простую факторизацию любого числа.

Что такое формула простой факторизации?

Мы можем представить любое составное число в виде произведения степеней простых чисел, и такой способ записи составного числа в виде произведения называется простой факторизацией. Формула простой факторизации любого числа задается следующим образом:

N = X ^a × Y ^b × Z ^c

, где

• N = любое число
• X, Y и Z = простые множители числа N
• a, b и c = показатели степени простых множителей X, Y и Z соответственно

Как найти простую факторизацию числа?

Следующий метод и формулы могут быть использованы для вычисления разложения любого числа на простые множители:

1.

Метод деления

Этапы вычисления простых множителей числа аналогичны процессу нахождения множителей числа. любой номер.

• Начните делить число на наименьшее простое число, т. е. на 2, затем на 3, 5 и т. д., чтобы найти наименьший простой делитель числа.
• Снова разделите частное на наименьшее простое число.
• Повторяйте процесс, пока частное не станет равным 1 после многократного деления.
• Наконец, представьте число как произведение всех простых множителей.

2. Метод факторного дерева

Представьте заданное число в виде дерева.

• Сохранить номер в центре как корень.
• Разделите число на его наименьший простой множитель и представьте множитель в виде числа в одной ветви.
• Представьте частное, полученное в другой ветви, и повторяйте для него вышеприведенный пункт, пока не получите 1 в качестве множителя для оставшегося числа.
• Каждая ветвь полученного таким образом дерева в конце концов оканчивается простым числом.

Давайте подробно разберем формулу простой факторизации, используя примеры в следующем разделе.

Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.

Забронируйте бесплатный пробный урок

Примеры с использованием формулы факторизации простых чисел

Пример 1:  Найдите разложение числа 40 на простые множители, используя формулу факторизации простых чисел (метод деления).

Решение:

, чтобы найти: основная факторизация 40

После повторного деления, чтобы получить все основные факторы 40, мы получаем:

9000 9000 9000

9000

9000 9000 9000 9000 9000 9000

9000 9000 9000 9000 9000

9000 9000 9000 9000

9000 9000 9000

9000

9000

Прайскую факторизация 40 может быть назначена как:

40 = 2 × 2 × 2 × 5

Ответ: Prime Factuliz = 2 × 2 × 2 × 5

Пример 2: Найдите простую факторизацию числа 54, используя формулу простой факторизации (метод дерева факторов).