Лучший ответ по мнению автора | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика
| Похожие вопросы |
Решено
Вдоль дороги на одинаковом расстоянии друг от друга расположены 13 телеграфных столбов.
Расстояние между двумя крайними столбами равно 720 м.Каково расстояние между 5-ым и 10-ым телеграфными столбами?
Решено
В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=24, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 615. Найдите sin∠ABC.
3 класс
учебник по математике 4 класс истомина
ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА РЕШИТЬ ЗАДАЧУ про форвард
Пользуйтесь нашим приложением
Как найти приближенное значение квадратного корня. Приближенные методы извлечения квадратного корня (без использования калькулятора)
До появления калькуляторов студенты и преподаватели вычисляли квадратные корни вручную. Существует несколько способов вычисления квадратного корня числа вручную. Некоторые из них предлагают только приблизительное решение, другие дают точный ответ.
Шаги
Разложение на простые множители
Разложите подкоренное число на множители, которые являются квадратными числами.
В зависимости от подкоренного числа, вы получите приблизительный или точный ответ. Квадратные числа – числа, из которых можно извлечь целый квадратный корень. Множители – числа, которые при перемножении дают исходное число. Например, множителями числа 8 являются 2 и 4, так как 2 х 4 = 8, числа 25, 36, 49 являются квадратными числами, так как √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Квадратные множители – это множители, которые являются квадратными числами. Сначала попытайтесь разложить подкоренное число на квадратные множители.
- Например, вычислите квадратный корень из 400 (вручную). Сначала попытайтесь разложить 400 на квадратные множители. 400 кратно 100, то есть делится на 25 – это квадратное число. Разделив 400 на 25, вы получите 16. Число 16 также является квадратным числом. Таким образом, 400 можно разложить на квадратные множители 25 и 16, то есть 25 х 16 = 400.
- Записать это можно следующим образом: √400 = √(25 х 16).
Квадратные корень из произведения некоторых членов равен произведению квадратных корней из каждого члена, то есть √(а х b) = √a x √b.
Воспользуйтесь этим правилом и извлеките квадратный корень из каждого квадратного множителя и перемножьте полученные результаты, чтобы найти ответ.
- В нашем примере извлеките корень из 25 и из 16.
- √(25 х 16)
- √25 х √16
- 5 х 4 = 20
Если подкоренное число не раскладывается на два квадратных множителя (а так происходит в большинстве случаев), вы не сможете найти точный ответ в виде целого числа. Но вы можете упростить задачу, разложив подкоренное число на квадратный множитель и обыкновенный множитель (число, из которого целый квадратный корень извлечь нельзя). Затем вы извлечете квадратный корень из квадратного множителя и будете извлекать корень из обыкновенного множителя.
- Например, вычислите квадратный корень из числа 147. Число 147 нельзя разложить на два квадратных множителя, но его можно разложить на следующие множители: 49 и 3. Решите задачу следующим образом:
- = √(49 х 3)
- = √49 х √3
- = 7√3
Если нужно, оцените значение корня.
Теперь можно оценить значение корня (найти приблизительное значение), сравнив его со значениями корней квадратных чисел, находящихся ближе всего (с обеих сторон на числовой прямой) к подкоренному числу. Вы получите значение корня в виде десятичной дроби, которую необходимо умножить на число, стоящее за знаком корня.
- Вернемся к нашему примеру. Подкоренное число 3. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 1 (√1 = 1) и 4 (√4 = 2). Таким образом, значение √3 расположено между 1 и 2. Та как значение √3, вероятно, ближе к 2, чем к 1, то наша оценка: √3 = 1,7. Умножаем это значение на число у знака корня: 7 х 1,7 = 11,9. Если вы сделаете расчеты на калькуляторе, то получите 12,13, что довольно близко к нашему ответу.
- Этот метод также работает с большими числами. Например, рассмотрим √35. Подкоренное число 35. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 25 (√25 = 5) и 36 (√36 = 6). Таким образом, значение √35 расположено между 5 и 6. Так как значение √35 намного ближе к 6, чем к 5 (потому что 35 всего на 1 меньше 36), то можно заявить, что √35 немного меньше 6.
Проверка на калькуляторе дает нам ответ 5,92 — мы были правы.
- Этот метод также работает с большими числами. Например, рассмотрим √35. Подкоренное число 35. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 25 (√25 = 5) и 36 (√36 = 6). Таким образом, значение √35 расположено между 5 и 6. Так как значение √35 намного ближе к 6, чем к 5 (потому что 35 всего на 1 меньше 36), то можно заявить, что √35 немного меньше 6.
Проверка на калькуляторе дает нам ответ 5,92 — мы были правы.Еще один способ – разложите подкоренное число на простые множители . Простые множители – числа, которые делятся только на 1 и самих себя. Запишите простые множители в ряд и найдите пары одинаковых множителей. Такие множители можно вынести за знак корня.
- Например, вычислите квадратный корень из 45. Раскладываем подкоренное число на простые множители: 45 = 9 х 5, а 9 = 3 х 3. Таким образом, √45 = √(3 х 3 х 5). 3 можно вынести за знак корня: √45 = 3√5. Теперь можно оценить √5.
- Рассмотрим другой пример: √88.
- = √(2 х 44)
- = √ (2 х 4 х 11)
- = √ (2 х 2 х 2 х 11). Вы получили три множителя 2; возьмите пару из них и вынесите за знак корня.
- = 2√(2 х 11) = 2√2 х √11. Теперь можно оценить √2 и √11 и найти приблизительный ответ.
Вычисление квадратного корня вручную
При помощи деления в столбик
Этот метод включает процесс, аналогичный делению в столбик, и дает точный ответ.
Сначала проведите вертикальную линию, делящую лист на две половины, а затем справа и немного ниже верхнего края листа к вертикальной линии пририсуйте горизонтальную линию. Теперь разделите подкоренное число на пары чисел, начиная с дробной части после запятой. Так, число 79520789182,47897 записывается как «7 95 20 78 91 82, 47 89 70».- Для примера вычислим квадратный корень числа 780,14. Нарисуйте две линии (как показано на рисунке) и слева сверху напишите данное число в виде «7 80, 14». Это нормально, что первая слева цифра является непарной цифрой. Ответ (корень из данного числа) будете записывать справа сверху.
Для первой слева пары чисел (или одного числа) найдите наибольшее целое число n, квадрат которого меньше или равен рассматриваемой паре чисел (или одного числа). Другими словами, найдите квадратное число, которое расположено ближе всего к первой слева паре чисел (или одному числу), но меньше ее, и извлеките квадратный корень из этого квадратного числа; вы получите число n.
Напишите найденное n сверху справа, а квадрат n запишите снизу справа.- В нашем случае, первым слева числом будет число 7. Далее, 4
Вычтите квадрат числа n, которое вы только что нашли, из первой слева пары чисел (или одного числа). Результат вычисления запишите под вычитаемым (квадратом числа n).
- В нашем примере вычтите 4 из 7 и получите 3.
Снесите вторую пару чисел и запишите ее около значения, полученного в предыдущем шаге. Затем удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением «_×_=».
- В нашем примере второй парой чисел является «80». Запишите «80» после 3. Затем, удвоенное число сверху справа дает 4. Запишите «4_×_=» снизу справа.
Заполните прочерки справа.
- В нашем случае, если вместо прочерков поставить число 8, то 48 х 8 = 384, что больше 380. Поэтому 8 — слишком большое число, а вот 7 подойдет. Напишите 7 вместо прочерков и получите: 47 х 7 = 329. Запишите 7 сверху справа — это вторая цифра в искомом квадратном корне числа 780,14.
- В нашем случае, если вместо прочерков поставить число 8, то 48 х 8 = 384, что больше 380. Поэтому 8 — слишком большое число, а вот 7 подойдет. Напишите 7 вместо прочерков и получите: 47 х 7 = 329.
Вычтите полученное число из текущего числа слева. Запишите результат из предыдущего шага под текущим числом слева, найдите разницу и запишите ее под вычитаемым.
- В нашем примере, вычтите 329 из 380, что равно 51.
Повторите шаг 4. Если сносимой парой чисел является дробная часть исходного числа, то поставьте разделитель (запятую) целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Слева снесите вниз следующую пару чисел. Удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением «_×_=».
- В нашем примере следующей сносимой парой чисел будет дробная часть числа 780.14, поэтому поставьте разделитель целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Снесите 14 и запишите снизу слева. Удвоенным числом сверху справа (27) будет 54, поэтому напишите «54_×_=» снизу справа.
- В нашем примере следующей сносимой парой чисел будет дробная часть числа 780.14, поэтому поставьте разделитель целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Снесите 14 и запишите снизу слева. Удвоенным числом сверху справа (27) будет 54, поэтому напишите «54_×_=» снизу справа.
Повторите шаги 5 и 6. Найдите такое наибольшее число на место прочерков справа (вместо прочерков нужно подставить одно и тоже число), чтобы результат умножения был меньше или равен текущему числу слева.
- В нашем примере 549 х 9 = 4941, что меньше текущего числа слева (5114). Напишите 9 сверху справа и вычтите результат умножения из текущего числа слева: 5114 — 4941 = 173.
Если для квадратного корня вам необходимо найти больше знаков после запятой, напишите пару нулей у текущего числа слева и повторяйте шаги 4, 5 и 6. Повторяйте шаги, до тех пор пока не получите нужную вам точность ответа (число знаков после запятой).
Понимание процесса
Для усвоения данного метода представьте число, квадратный корень которого необходимо найти, как площадь квадрата S. В этом случае вы будете искать длину стороны L такого квадрата. Вычисляем такое значение L, при котором L² = S.
Задайте букву для каждой цифры в ответе.
Обозначим через A первую цифру в значении L (искомый квадратный корень). B будет второй цифрой, C — третьей и так далее.Задайте букву для каждой пары первых цифр. Обозначим через S a первую пару цифр в значении S, через S b — вторую пару цифр и так далее.
Уясните связь данного метода с делением в столбик. Как и в операции деления, где каждый раз нас интересует только одна следующая цифра делимого числа, при вычислении квадратного корня мы последовательно работаем с парой цифр (для получения одной следующей цифры в значении квадратного корня).
Рассмотрим первую пару цифр Sa числа S (Sa = 7 в нашем примере) и найдем ее квадратный корень. В этом случае первой цифрой A искомого значения квадратного корня будет такая цифра, квадрат которой меньше или равен S a (то есть ищем такое A, при котором выполняется неравенство A² ≤ Sa
- Допустим, что нужно разделить 88962 на 7; здесь первый шаг будет аналогичным: рассматриваем первую цифру делимого числа 88962 (8) и подбираем такое наибольшее число, которое при умножении на 7 дает значение меньшее или равное 8. То есть ищем такое число d, при котором верно неравенство: 7×d ≤ 8
- Допустим, что нужно разделить 88962 на 7; здесь первый шаг будет аналогичным: рассматриваем первую цифру делимого числа 88962 (8) и подбираем такое наибольшее число, которое при умножении на 7 дает значение меньшее или равное 8.
Мысленно представьте квадрат, площадь которого вам нужно вычислить. Вы ищите L, то есть длину стороны квадрата, площадь которого равна S. A, B, C — цифры в числе L. Записать можно иначе: 10А + B = L (для двузначного числа) или 100А + 10В + С = L (для трехзначного числа) и так далее.
- Пусть (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B² . Запомните, что 10A+B — это такое число, у которого цифра B означает единицы, а цифра A — десятки. Например, если A=1 и B=2, то 10A+B равно числу 12.(10A+B)² — это площадь всего квадрата, 100A² — площадь большого внутреннего квадрата, B² — площадь малого внутреннего квадрата, 10A×B — площадь каждого из двух прямоугольников. Сложив площади описанных фигур, вы найдете площадь исходного квадрата.
Сначала проведите вертикальную линию, делящую лист на две половины, а затем справа и немного ниже верхнего края листа к вертикальной линии пририсуйте горизонтальную линию. Теперь разделите подкоренное число на пары чисел, начиная с дробной части после запятой. Так, число 79520789182,47897 записывается как «7 95 20 78 91 82, 47 89 70».
Напишите найденное n сверху справа, а квадрат n запишите снизу справа.
Запишите 7 сверху справа — это вторая цифра в искомом квадратном корне числа 780,14.
Обозначим через A первую цифру в значении L (искомый квадратный корень). B будет второй цифрой, C — третьей и так далее.
То есть ищем такое число d, при котором верно неравенство: 7×d ≤ 8Извлечение квадратного корня «вручную»
На примере возьмём число 223729.
Для извлечения корня мы должны проделать следующие операции:
А) разбить число справа на лево на разряды по две цифры в разряде, ставя штрихи наверху- 223729→ 22″37″29″. Если бы это было число с нечётным числом цифр, как например, 4765983, то при разбиении к первой цифре слева надо приписать нуль, т.е. 4765983→04″76″59″83″.
Б) Навесить на число радикал и написатьзнак равенства:
22″37″29″→=… .
После этого начинаем, собственно, вычислять корень. Это делается шагами, причём на каждом шаге обрабатывается один разряд исходного числа, т.е. две очередных цифры слева направо, и получается одна цифра результата.
Шаг 1 ― извлечение квадратного корня с недостатком из первого разряда:
= 4… (с недостатком)
Итог шага 1 есть первая цифра искомого числа:
Шаг 2 ― первую полученную цифру возводим в квадрат, приписываем под первым разрядом и ставим знак минус вот так:
И производим вычисление так, как это уже написано.
Шаг 3 ― приписываем справа к результату вычитания две цифры следующего разряда и слева от получившегося числа ставим вертикальную черту вот так:
После этого, воспринимая цифры, стоящие после знака =, как обычное число, умножаем его на 2 и приписываем слева от вертикальной черты пропуск, в котором ставим точку и под этой точкой тоже ставим точку:
Поставленная точка обозначает поиск цифры.
Эта цифра будет второй в итоговом числе, т.е. встанет после цифры 4. Ищется она по следующему правилу:
Это наибольшая цифра k такая, что число 8 k , т.е. число, получающееся из 8 приписыванием цифры k , умноженное на k , не превосходит 637.
В данном случае это цифра 7, т.к. 87∙7=609637. Итак, мы имеем:
Шаг 4 ― проведём горизонтальную черту и под ней запишем результат вычитания:
637 – 609 = 28. К числу 28 приписываем последний разряд исходного подкоренного числа и получим число 2829. Слева от него проводим вертикальную черту, умножаем теперь уже 47 на 2 и полученное число 94 приписываем слева от вертикальной черты, оставив место в виде точки для поиска последней цифры. Цифра 3 подходит в точности без остатка, так как 943∙3=2829, значит, это последняя цифра искомого числа, т.е. = 473.
943 2829
В принципе, если бы остаток получился ненулевой, можно было бы поставить после найденных цифр числа запятую, списать в качестве следующего разряда два десятичных знака числа, или два нуля, если таковые отсутствуют, и продолжать все более и более точно извлекать квадратный корень.
Вот например:
= 4,123…
Приближенные методы извлечения квадратного корня
(без использования калькулятора).
1 метод.
Древние вавилоняне пользовались следующим способом нахождения приближенного значения квадратного корня их числа х. Число х они представляли в виде суммы а 2 +b, где а 2 ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а (а 2 ?х), и пользовались формулой . (1)
Извлечем с помощью формулы (1) корень квадратный, например из числа 28:
Результат извлечения корня из 28 с помощью калькулятора 5,2915026. Как видим способ вавилонян дает хорошее приближение к точному значению корня.
2 метод.
Исаак Ньютон разработал метод извлечения квадратного корня, который восходил еще к Герону Александрийскому (около 100 г. н.э.). Метод этот (известный как метод Ньютона) заключается в следующем.
Пусть а 1 — первое приближение числа (в качестве а 1 можно брать значения квадратного корня из натурального числа — точного квадрата, не превосходящего х) .
Пришло время разобрать способы извлечения корней . Они базируются на свойствах корней , в частности, на равенстве , которое справедливо для любого неотрицательного числа b.
Ниже мы по очереди рассмотрим основные способы извлечения корней.
Начнем с самого простого случая – с извлечения корней из натуральных чисел с использованием таблицы квадратов, таблицы кубов и т.п.
Если же таблицы квадратов, кубов и т.п. нет под руками, то логично воспользоваться способом извлечения корня, который подразумевает разложение подкоренного числа на простые множители.
Отдельно стоит остановиться на , что возможно для корней с нечетными показателями.
Наконец, рассмотрим способ, позволяющий последовательно находить разряды значения корня.
Приступим.
Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д.
В самых простых случаях извлекать корни позволяют таблицы квадратов, кубов и т.д. Что же представляют собой эти таблицы?
Таблица квадратов целых чисел от 0
до 99
включительно (она показана ниже) состоит из двух зон.
Первая зона таблицы располагается на сером фоне, она с помощью выбора определенной строки и определенного столбца позволяет составить число от 0
до 99
. Для примера выберем строку 8
десятков и столбец 3
единицы, этим мы зафиксировали число 83
. Вторая зона занимает оставшуюся часть таблицы. Каждая ее ячейка находится на пересечении определенной строки и определенного столбца, и содержит квадрат соответствующего числа от 0
до 99
. На пересечении выбранной нами строки 8
десятков и столбца 3
единицы находится ячейка с числом 6 889
, которое является квадратом числа 83
.
Таблицы кубов, таблицы четвертых степеней чисел от 0 до 99 и так далее аналогичны таблице квадратов, только они во второй зоне содержат кубы, четвертые степени и т.д. соответствующих чисел.
Таблицы квадратов, кубов, четвертых степеней и т.д. позволяют извлекать квадратные корни, кубические корни, корни четвертой степени и т.д. соответственно из чисел, находящихся в этих таблицах. Объясним принцип их применения при извлечении корней.
Допустим, нам нужно извлечь корень n -ой степени из числа a , при этом число a содержится в таблице n -ых степеней. По этой таблице находим число b такое, что a=b n . Тогда , следовательно, число b будет искомым корнем n -ой степени.
В качестве примера покажем, как с помощью таблицы кубов извлекается кубический корень из 19 683 . Находим число 19 683 в таблице кубов, из нее находим, что это число является кубом числа 27 , следовательно, .
Понятно, что таблицы n -ых степеней очень удобны при извлечении корней. Однако их частенько не оказывается под руками, а их составление требует определенного времени. Более того, часто приходится извлекать корни из чисел, которые не содержатся в соответствующих таблицах. В этих случаях приходится прибегать к другим методам извлечения корней.
Разложение подкоренного числа на простые множители
Достаточно удобным способом, позволяющим провести извлечение корня из натурального числа (если конечно корень извлекается), является разложение подкоренного числа на простые множители.
Его суть заключается в следующем : после его достаточно легко представить в виде степени с нужным показателем, что позволяет получить значение корня. Поясним этот момент.
Пусть из натурального числа a извлекается корень n -ой степени, и его значение равно b . В этом случае верно равенство a=b n . Число b как любое натуральное число можно представить в виде произведения всех своих простых множителей p 1 , p 2 , …, p m в виде p 1 ·p 2 ·…·p m , а подкоренное число a в этом случае представляется как (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Так как разложение числа на простые множители единственно, то разложение подкоренного числа a на простые множители будет иметь вид (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , что дает возможность вычислить значение корня как .
Заметим, что если разложение на простые множители подкоренного числа a не может быть представлено в виде (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , то корень n -ой степени из такого числа a нацело не извлекается.
Разберемся с этим при решении примеров.
Пример.
Извлеките квадратный корень из 144 .
Решение.
Если обратиться к таблице квадратов, данной в предыдущем пункте, то хорошо видно, что 144=12 2 , откуда понятно, что квадратный корень из 144 равен 12 .
Но в свете данного пункта нас интересует, как извлекается корень с помощью разложения подкоренного числа 144 на простые множители. Разберем этот способ решения.
Разложим 144
на простые множители:
То есть, 144=2·2·2·2·3·3 . На основании с полученным разложением можно провести такие преобразования: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2 ·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2 . Следовательно, .
Используя свойства степени и свойства корней , решение можно было оформить и немного иначе: .
Ответ:
Для закрепления материала рассмотрим решения еще двух примеров.
Пример.
Вычислите значение корня .
Решение.
Разложение на простые множители подкоренного числа 243 имеет вид 243=3 5 . Таким образом, .
Ответ:
Пример.
Является ли значение корня целым числом?
Решение.
Чтобы ответить на этот вопрос, разложим подкоренное число на простые множители и посмотрим, представимо ли оно в виде куба целого числа.
Имеем 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2 . Полученное разложение не представляется в виде куба целого числа, так как степень простого множителя 7 не кратна трем. Следовательно, кубический корень из числа 285 768 не извлекается нацело.
Ответ:
Нет.
Извлечение корней из дробных чисел
Пришло время разобраться, как извлекается корень из дробного числа. Пусть дробное подкоренное число записано в виде как p/q . Согласно свойству корня из частного справедливо следующее равенство . Из этого равенства следует правило извлечения корня из дроби : корень из дроби равен частному от деления корня из числителя на корень из знаменателя.
Разберем пример извлечения корня из дроби.
Пример.
Чему равен квадратный корень из обыкновенной дроби 25/169 .
Решение.
По таблице квадратов находим, что квадратный корень из числителя исходной дроби равен 5
, а квадратный корень из знаменателя равен 13
.
Тогда . На этом извлечение корня из обыкновенной дроби 25/169
завершено.
Ответ:
Корень из десятичной дроби или смешанного числа извлекается после замены подкоренных чисел обыкновенными дробями.
Пример.
Извлеките кубический корень из десятичной дроби 474,552 .
Решение.
Представим исходную десятичную дробь в виде обыкновенной дроби: 474,552=474552/1000 . Тогда . Осталось извлечь кубические корни, находящиеся в числителе и знаменателе полученной дроби. Так как 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13= (2·3·13) 3 =78 3 и 1 000=10 3 , то и . Осталось лишь завершить вычисления .
Ответ:
.
Извлечение корня из отрицательного числа
Отдельно стоит остановиться на извлечении корней из отрицательных чисел. При изучении корней мы сказали, что когда показатель корня является нечетным числом, то под знаком корня может находиться отрицательное число. Таким записям мы придали следующий смысл: для отрицательного числа −a
и нечетного показателя корня 2·n−1
справедливо .
Это равенство дает правило извлечения корней нечетной степени из отрицательных чисел : чтобы извлечь корень из отрицательного числа нужно извлечь корень из противоположного ему положительного числа, и перед полученным результатом поставить знак минус.
Рассмотрим решение примера.
Пример.
Найдите значение корня .
Решение.
Преобразуем исходное выражение, чтобы под знаком корня оказалось положительное число: . Теперь смешанное число заменим обыкновенной дробью: . Применяем правило извлечения корня из обыкновенной дроби: . Осталось вычислить корни в числителе и знаменателе полученной дроби: .
Приведем краткую запись решения: .
Ответ:
.
Порязрядное нахождение значения корня
В общем случае под корнем находится число, которое при помощи разобранных выше приемов не удается представить в виде n
-ой степени какого-либо числа. Но при этом бывает необходимость знать значение данного корня, хотя бы с точностью до некоторого знака.
В этом случае для извлечения корня можно воспользоваться алгоритмом, который позволяет последовательно получить достаточное количество значений разрядов искомого числа.
На первом шаге данного алгоритма нужно выяснить, каков старший разряд значения корня. Для этого последовательно возводятся в степень n числа 0, 10, 100, … до того момента, когда будет получено число, превосходящее подкоренное число. Тогда число, которое мы возводили в степень n на предыдущем этапе, укажет соответствующий старший разряд.
Для примера рассмотрим этот шаг алгоритма при извлечении квадратного корня из пяти. Берем числа 0, 10, 100, … и возводим их в квадрат, пока не получим число, превосходящее 5 . Имеем 0 2 =05 , значит, старшим разрядом будет разряд единиц. Значение этого разряда, а также более младших, будет найдено на следующих шагах алгоритма извлечения корня.
Все следующие шаги алгоритма имеют целью последовательное уточнение значения корня за счет того, что находятся значения следующих разрядов искомого значения корня, начиная со старшего и продвигаясь к младшим.
К примеру, значение корня на первом шаге получается 2
, на втором – 2,2
, на третьем – 2,23
, и так далее 2,236067977…
. Опишем, как происходит нахождение значений разрядов.
Нахождение разрядов проводится за счет перебора их возможных значений 0, 1, 2, …, 9 . При этом параллельно вычисляются n -ые степени соответствующих чисел, и они сравниваются с подкоренным числом. Если на каком-то этапе значение степени превзойдет подкоренное число, то значение разряда, соответствующее предыдущему значению, считается найденным, и производится переход к следующему шагу алгоритма извлечения корня, если же этого не происходит, то значение этого разряда равно 9 .
Поясним эти моменты все на том же примере извлечения квадратного корня из пяти.
Сначала находим значение разряда единиц. Будем перебирать значения 0, 1, 2, …, 9
, вычисляя соответственно 0 2 , 1 2 , …, 9 2
до того момента, пока не получим значение, большее подкоренного числа 5
. Все эти вычисления удобно представлять в виде таблицы:
Так значение разряда единиц равно 2
(так как 2 2 5
).
Переходим к нахождению значения разряда десятых. При этом будем возводить в квадрат числа 2,0, 2,1, 2,2, …, 2,9
, сравнивая полученные значения с подкоренным числом 5
:
Так как 2,2 2 5
, то значение разряда десятых равно 2
. Можно переходить к нахождению значения разряда сотых:
Так найдено следующее значение корня из пяти, оно равно 2,23 . И так можно продолжать дальше находить значения : 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
Для закрепления материала разберем извлечение корня с точностью до сотых при помощи рассмотренного алгоритма.
Сначала определяем старший разряд. Для этого возводим в куб числа 0, 10, 100 и т.д. пока не получим число, превосходящее 2 151,186 . Имеем 0 3 =02 151,186 , таким образом, старшим разрядом является разряд десятков.
Определим его значение.
Так как 10 3 2 151,186
, то значение разряда десятков равно 1
. Переходим к единицам.
Таким образом, значение разряда единиц равно 2
. Переходим к десятым.
Так как даже 12,9 3
меньше подкоренного числа 2 151,186
, то значение разряда десятых равно 9
.
Осталось выполнить последний шаг алгоритма, он нам даст значение корня с требуемой точностью.
На этом этапе найдено значение корня с точностью до сотых: .
В заключение этой статьи хочется сказать, что существует масса других способов извлечения корней. Но для большинства задач достаточно тех, которые мы изучили выше.
Список литературы.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 — 11 классов общеобразовательных учреждений.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).
При решении различных задач из курса математики и физики ученики и студенты часто сталкиваются с необходимостью извлечения корней второй, третьей или n-ой степени. Конечно, в век информационных технологий не составит труда решить такую задачу при помощи калькулятора.
Однако возникают ситуации, когда воспользоваться электронным помощником невозможно.
К примеру, на многие экзамены запрещено приносить электронику. Кроме того, калькулятора может не оказаться под рукой. В таких случаях полезно знать хотя бы некоторые методы вычисления радикалов вручную.
Один из простейших способов вычисления корней заключается в использовании специальной таблицы . Что же она собой представляет и как ей правильно воспользоваться?
При помощи таблицы можно найти квадрат любого числа от 10 до 99. При этом в строках таблицы находятся значения десятков, в столбах — значения единиц. Ячейка на пересечении строки и столбца содержит в себе квадрат двузначного числа. Для того чтобы вычислить квадрат 63, нужно найти строку со значением 6 и столбец со значением 3. На пересечении обнаружим ячейку с числом 3969.
Поскольку извлечение корня — это операция, обратная возведению в квадрат, для выполнения этого действия необходимо поступить наоборот: вначале найти ячейку с числом, радикал которого нужно посчитать, затем по значениям столбика и строки определить ответ.
В качестве примера рассмотрим вычисление квадратного корня 169.
Находим ячейку с этим числом в таблице, по горизонтали определяем десятки — 1, по вертикали находим единицы — 3. Ответ: √169 = 13.
Аналогично можно вычислять корни кубической и n-ой степени, используя соответствующие таблицы.
Преимуществом способа является его простота и отсутствие дополнительных вычислений. Недостатки же очевидны: метод можно использовать только для ограниченного диапазона чисел (число, для которого находится корень, должно быть в промежутке от 100 до 9801). Кроме того, он не подойдёт, если заданного числа нет в таблице.
Разложение на простые множители
Если таблица квадратов отсутствует под рукой или с её помощью оказалось невозможно найти корень, можно попробовать разложить число, находящееся под корнем, на простые множители . Простые множители — это такие, которые могут нацело (без остатка) делиться только на себя или на единицу. Примерами могут быть 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т.
д.
Рассмотрим вычисление корня на примере √576. Разложим его на простые множители. Получим следующий результат: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². При помощи основного свойства корней √a² = a избавимся от корней и квадратов, после чего подсчитаем ответ: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.
Что же делать, если у какого-либо из множителей нет своей пары? Для примера рассмотрим вычисление √54. После разложения на множители получаем результат в следующем виде: √54 = √(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Неизвлекаемую часть можно оставить под корнем. Для большинства задач по геометрии и алгебре такой ответ будет засчитан в качестве окончательного. Но если есть необходимость вычислить приближённые значения, можно использовать методы, которые будут рассмотрены далее.
Метод Герона
Как поступить, когда необходимо хотя бы приблизительно знать, чему равен извлечённый корень (если невозможно получить целое значение)? Быстрый и довольно точный результат даёт применение метода Герона .
Его суть заключается в использовании приближённой формулы:
√R = √a + (R — a) / 2√a,
где R — число, корень которого нужно вычислить, a — ближайшее число, значение корня которого известно.
Рассмотрим, как работает метод на практике, и оценим, насколько он точен. Рассчитаем, чему равен √111. Ближайшее к 111 число, корень которого известен — 121. Таким образом, R = 111, a = 121. Подставим значения в формулу:
√111 = √121 + (111 — 121) / 2 ∙ √121 = 11 — 10 / 22 ≈ 10,55.
Теперь проверим точность метода :
10,55² = 111,3025.
Погрешность метода составила приблизительно 0,3. Если точность метода нужно повысить, можно повторить описанные ранее действия:
√111 = √111,3025 + (111 — 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 — 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.
Проверим точность расчёта:
10,536² = 111,0073.
После повторного применения формулы погрешность стала совсем незначительной.
Вычисление корня делением в столбик
Этот способ нахождения значения квадратного корня является чуть более сложным, чем предыдущие.
Однако он является наиболее точным среди остальных методов вычисления без калькулятора .
Допустим, что необходимо найти квадратный корень с точностью до 4 знаков после запятой. Разберём алгоритм вычислений на примере произвольного числа 1308,1912.
- Разделим лист бумаги на 2 части вертикальной чертой, а затем проведём от неё ещё одну черту справа, немного ниже верхнего края. Запишем число в левой части, разделив его на группы по 2 цифры, двигаясь в правую и левую сторону от запятой. Самая первая цифра слева может быть без пары. Если же знака не хватает в правой части числа, то следует дописать 0. В нашем случае получится 13 08,19 12.
- Подберём самое большое число, квадрат которого будет меньше или равен первой группе цифр. В нашем случае это 3. Запишем его справа сверху; 3 — первая цифра результата. Справа снизу укажем 3×3 = 9; это понадобится для последующих расчётов. Из 13 в столбик вычтем 9, получим остаток 4.
- Припишем следующую пару чисел к остатку 4; получим 408.
- Число, находящееся сверху справа, умножим на 2 и запишем справа снизу, добавив к нему _ x _ =. Получим 6_ x _ =.
- Вместо прочерков нужно подставить одно и то же число, меньшее или равное 408. Получим 66×6 = 396. Напишем 6 справа сверху, т. к. это вторая цифра результата. Отнимем 396 от 408, получим 12.
- Повторим шаги 3-6. Поскольку снесённые вниз цифры находятся в дробной части числа, необходимо поставить десятичную запятую справа сверху после 6. Запишем удвоенный результат с прочерками: 72_ x _ =. Подходящей цифрой будет 1: 721×1 = 721. Запишем её в ответ. Выполним вычитание 1219 — 721 = 498.
- Выполним приведённую в предыдущем пункте последовательность действий ещё три раза, чтобы получить необходимое количество знаков после запятой. Если не хватает знаков для дальнейших вычислений, у текущего слева числа нужно дописать два нуля.
В результате мы получим ответ: √1308,1912 ≈ 36,1689. Если проверить действие при помощи калькулятора, можно убедиться, что все знаки были определены верно.
Поразрядное вычисление значения квадратного корня
Метод обладает высокой точностью . Кроме того, он достаточно понятен и для него не требуется запоминать формулы или сложный алгоритм действий, поскольку суть способа заключается в подборе верного результата.
Извлечём корень из числа 781. Рассмотрим подробно последовательность действий.
- Выясним, какой разряд значения квадратного корня будет являться старшим. Для этого возведём в квадрат 0, 10, 100, 1000 и т. д. и выясним, между какими из них находится подкоренное число. Мы получим, что 10²
- Подберём значение десятков. Для этого будем по очереди возводить в степень 10, 20, …, 90, пока не получим число, превышающее 781. Для нашего случая получим 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. Значение результата n будет находиться в пределах 20
- Аналогично предыдущему шагу подбирается значение разряда единиц. Поочерёдно возведём в квадрат 21,22, …, 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784. Получаем, что 27
- Каждый последующий разряд (десятые, сотые и т. д.) вычисляется так же, как было показано выше. Расчёты проводятся до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность.
Получаем, что 27Одно из чисел отмечено на прямой точкой A. Какое это число?
Задача 236B9E из открытого банка заданий ОГЭ
Задача #1 (номер задачи на fipi.ru — 236B9E). Одно из чисел √40, √46, √53, √58 отмечено на прямой точкой A.
Какое это число?
- √40
- √46
- √53
- √58
Решение:
Посмотрим внимательно на рисунок и увидим, что точка А лежит на прямой между числами 6 и 7.
Как известно 6 = √36, а 7 = √49, таким образом, будет справедливо неравенство:
√36 < A < √49.
Данному неравенству удовлетворяют 2 числа: √40 и √46. Но так как точка A лежит ближе к числу 7, то, следовательно, точке А соответствует число √46.
Ответ: 2 — √46.
Задача B4A1A7 из открытого банка заданий ОГЭ
Задача #2 (номер задачи на fipi.
ru — B4A1A7). Одно из чисел √41, √48, √53, √63 отмечено на прямой точкой A.
Какое это число?
- √41
- √48
- √53
- √63
Решение:
Посмотрим внимательно на рисунок и увидим, что точка А лежит на прямой между числами 7 и 8.
Как известно 7 = √49, а 8 = √64, таким образом, будет справедливо неравенство:
√49 < A < √64.
Данному неравенству удовлетворяют 2 числа: √53 и √63. Но так как точка A лежит ближе к числу 7, то, следовательно, что точке А соответствует число √53.
Ответ: 3 — √53.
Задача 2B21CA из открытого банка заданий ОГЭ
Задача #3 (номер задачи на fipi.ru — 2B21CA). Одно из чисел √39, √44, √50, √62 отмечено на прямой точкой A.
Какое это число?
- √39
- √44
- √50
- √62
Решение:
Посмотрим внимательно на рисунок и увидим, что точка А лежит на прямой между числами 6 и 7.
Как известно 6 = √36, а 7 = √49, таким образом, будет справедливо неравенство:
√36 < A < √49.
Данному неравенству удовлетворяют 2 числа: √39 и √44. Но так как точка A лежит ближе к числу 7, то следовательно, что точке А соответствует число √44.
Ответ: 2 — √44.
Задача 0835E0 из открытого банка заданий ОГЭ
Задача #4 (номер задачи на fipi.ru — 0835E0). Одно из чисел √37, √47, √50, √62 отмечено на прямой точкой A.
Какое это число?
- √37
- √47
- √50
- √62
Решение:
Посмотрим внимательно на рисунок и увидим, что точка А лежит на прямой между числами 6 и 7.
Как известно 6 = √36, а 7 = √49, таким образом, будет справедливо неравенство:
√36 < A < √49.
Данному неравенству удовлетворяют 2 числа: √37 и √47. Но так как точка A лежит ближе к числу 6, то, следовательно, что точке А соответствует число √37.
Ответ: 1 — √37.
Задача 9444BA из открытого банка заданий ОГЭ
Задача #5 (номер задачи на fipi.ru — 9444BA).
Одно из чисел √29, √33, √39, √44 отмечено на прямой точкой A.
Какое это число?
- √29
- √33
- √39
- √44
Решение:
Посмотрим внимательно на рисунок и увидим, что точка А лежит на прямой между числами 6 и 7.
Как известно 6 = √36, а 7 = √49, таким образом, будет справедливо неравенство:
√36 < A < √49.
Данному неравенству удовлетворяют 2 числа: √39 и √44. Но так как точка A лежит ближе к числу 7, то, следовательно, что точке А соответствует число √44.
Ответ: 4 — √44.
Задача BEC0E9 из открытого банка заданий ОГЭ
Задача #6 (номер задачи на fipi.ru — BEC0E9). Одно из чисел √28, √29, √39, √47 отмечено на прямой точкой A.
Какое это число?
- √28
- √29
- √39
- √47
Решение:
Посмотрим внимательно на рисунок и увидим, что точка А лежит на прямой между числами 5 и 6.
Как известно 5 = √25, а 6 = √36, таким образом, будет справедливо неравенство:
√25 < A < √36.
Данному неравенству удовлетворяют 2 числа: √28 и √32. Но так как точка A лежит ближе к числу 5, то, следовательно, что точке А соответствует число √28.
Ответ: 1 — √28.
Задача 94BE98 из открытого банка заданий ОГЭ
Задача #7 (номер задачи на fipi.ru — 94BE98). Одно из чисел √28, √33, √38, √47 отмечено на прямой точкой A.
Какое это число?
- √28
- √33
- √38
- √47
Решение:
Посмотрим внимательно на рисунок и увидим, что точка А лежит на прямой между числами 5 и 6.
Как известно 5 = √25, а 6 = √36, таким образом, будет справедливо неравенство:
√25 < A < √36.
Данному неравенству удовлетворяют 2 числа: √28 и √33. Но так как точка A лежит ближе к числу 6, то, следовательно, что точке А соответствует число √33.
Ответ: 2 — √33.
Задача 35275B из открытого банка заданий ОГЭ
Задача #8 (номер задачи на fipi.ru — 35275B).
Одно из чисел √29, √34, √39, √45 отмечено на прямой точкой A.
Какое это число?
- √29
- √34
- √39
- √45
Решение:
Посмотрим внимательно на рисунок и увидим, что точка А лежит на прямой между числами 5 и 6.
Как известно 5 = √25, а 6 = √36, таким образом, будет справедливо неравенство:
√25 < A < √36.
Данному неравенству удовлетворяют 2 числа: √29 и √34. Но так как точка A лежит ближе к числу 6, то, следовательно, что точке А соответствует число √34.
Ответ: 2 — √34.
Задача 0A0A91 из открытого банка заданий ОГЭ
Задача #9 (номер задачи на fipi.ru — 0A0A91). Одно из чисел √18, √24, √26, √32 отмечено на прямой точкой A.
Какое это число?
- √18
- √24
- √26
- √32
Решение:
Посмотрим внимательно на рисунок и увидим, что точка А лежит на прямой между числами 5 и 6.
Как известно 5 = √25, а 6 = √36, таким образом, будет справедливо неравенство:
√25 < A < √36.
Данному неравенству удовлетворяют 2 числа: √26 и √32. Но так как точка A лежит ближе к числу 5, то, следовательно, что точке А соответствует число √26.
Ответ: 3 — √26.
Задача 1A0438 из открытого банка заданий ОГЭ
Задача #10 (номер задачи на fipi.ru — 1A0438). Одно из чисел √17, √22, √28, √32 отмечено на прямой точкой A.
Какое это число?
- √17
- √22
- √28
- √32
Решение:
Посмотрим внимательно на рисунок и увидим, что точка А лежит на прямой между числами 4 и 5.
Как известно 4 = √16, а 5 = √25, таким образом, будет справедливо неравенство:
√16 < A < √25.
Данному неравенству удовлетворяют 2 числа: √17 и √22. Но так как точка A лежит ближе к числу 4, то, следовательно, что точке А соответсвует число √17.
Ответ: 1 — √17.
Квадратный корень из 28 — Как найти квадратный корень из 28?
LearnPracticeDownload
Знаете ли вы, что сумма первых пяти простых чисел, то есть 2, 3, 5, 7 и 11, равна 28? Еще один интересный факт о 28 заключается в том, что это совершенное число, потому что сумма всех чисел, которые делят 28 точно, равна 28.
1+2+4+7+14 = 28. Разве это не интересно? Число 28 также является треугольным числом. Это означает, что количество точек в семи рядах треугольных точек равно 28. В этой главе мы вычислим квадратный корень из 28 методом деления в большую сторону вместе с решенными примерами и интерактивными вопросами.
Давайте посмотрим, что такое квадратный корень из 28 .
- Квадратный корень из 28 : √ 28 = 5,29150
- Квадрат 28: 28 2 = 784
| 1. | Чему равен квадратный корень из 28? |
| 2. | Является ли квадратный корень из 28 рациональным или иррациональным? |
| 3. | Как найти квадратный корень из 28? |
| 4. | Часто задаваемые вопросы о квадратном корне из 28 |
Чему равен квадратный корень из 28?
Квадратный корень из 28 в радикальной форме представлен как √ 28, а в экспоненциальной форме он выражается как (28) 1/2 .
Неквадратные числа также имеют квадратный корень, просто они не являются целыми числами. Квадратный корень из 28, округленный до 6 знаков после запятой, равен 5,2
Является ли квадратный корень из 28 рациональным или иррациональным?
Рациональное число — это число в форме p/q, где p и q — целые числа, а q не равно 0. Число, которое нельзя выразить как отношение двух целых чисел, является иррациональным числом. Неконечные десятичные числа, имеющие повторяющиеся числа после запятой, являются рациональными числами. √ 28 = 5,2
Как вы думаете, десятичная часть заканчивается после 5,2
Число 5.2
Как найти квадратный корень из 28?
Квадратные корни можно вычислить двумя способами:
- Путем упрощения радикала чисел, являющихся полными квадратами
- С помощью метода деления в длину для полных и неполных квадратов
Число 28 лежит между 25 и 36, поэтому 28 не является полным квадратом целого числа.
Следовательно, для вычисления квадратного корня из 28 используется метод длинного деления.
Упрощенная радикальная форма квадратного корня из 27
Чтобы упростить квадратный корень из 28, давайте сначала представим 28 как произведение его простых множителей. Разложение числа 28 на простые множители – это 2 × 2 × 7. Таким образом, √ 28 можно еще упростить как √ (2 × 2 × 7) = 2 √ 7. Таким образом, мы выразили квадратный корень из 28 в виде простейшая радикальная форма как 2 √ 7.
Квадратный корень из 27 методом деления в длину
Выполните шаги, указанные ниже, чтобы найти квадратный корень из 28 путем деления в длину.
- Шаг 1. Объединяем цифры 2 и 8 в пару, помещая над ними черту. Поскольку наше число равно 28, давайте представим его внутри символа деления.
- Шаг 2. Находим наибольшее число, произведение которого при умножении на само себя меньше или равно 28. Мы знаем, что 5 × 5 = 25, поскольку 25 < 28.
- Шаг 3: Расставим пары десятичной точки и нулей и продолжим деление. Теперь умножьте частное на 2, и произведение станет начальной цифрой нашего следующего делителя.
- Шаг 4. Выберите наибольшее число вместо единицы для нового делителя, чтобы его произведение с числом было меньше или равно 300. Мы знаем, что 0 находится в разряде десятков, а наше произведение должно быть 204 и ближайшим умножение 102 × 2 = 204. Поэтому используйте число 2 в разряде единиц, что дает 102 × 2 = 204.
- . Шаг 5. Сократите следующую пару нулей и умножьте частное 52 (без учета десятичной дроби) на 2, что равно 104, и на начальную цифру нового делителя. Обратите внимание, что квадратный корень из 28 – иррациональное число, т. е. оно никогда не заканчивается. Итак, остановите процесс после еще 2 или 3 итераций, повторив шаги 3 и 4, и вы получите квадратный корень из 28 методом деления в большую сторону.
Изучение квадратного корня с помощью иллюстраций и интерактивных примеров
- Квадратный корень из 22
- Квадратный корень из 26
- Квадратный корень из 27
- Квадратный корень из 29
- Квадратный корень из 30
Важные примечания:
- Квадратный корень из 28 в подкоренной форме выражается как 2 √ 7.
- В форме экспоненты квадратный корень из 28 записывается как (28) 1/2 .
- Десятичное представление √ 28 равно 5,2915.
Аналитический центр:
- Можете ли вы придумать какое-нибудь квадратное уравнение, корни которого имеют вид √ 28?
- Поскольку ( √- 28) 2 = 28, можем ли мы сказать, что √ 28 также является квадратным корнем из 28?
Пример 1: Учитель Майка попросил его решить вопрос a 2 = 28. Можете ли вы помочь ему решить это?
Решение :
Представим 28 как произведение простых чисел. 28 = 2 × 2 × 7,
Рассмотрим уравнение a 2 = 28,
. а 2 = 28
а = √ 28 = √ (2 × 2 × 7) = 2 √ 7Пример 2: Джолли хочет использовать значения квадратного корня из 28 и квадратного корня из 29, чтобы найти квадратный корень из 812.
Вы можете ей помочь?Решение :
Мы можем записать 812 как: 812 = 28 × 29.
.
Используя свойство квадратных корней, мы можем записать это как √ 812 = √ 28 × √ 29 = 2 √ 7 × √ 29 = 2 √ 29 = 2 √ 9020 3. Таким образом, Джолли нашел квадратный корень из 812, используя значения квадратного корня из 28 и квадратного корня из 29
Вы можете ей помочь?перейти к слайдуперейти к слайду
Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.
Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.
Записаться на бесплатный пробный урок
перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы о квадратном корне из 28
Чему равен квадратный корень из 28?
Квадратный корень из 28 равен 2 √ 7.
Как упростить квадратный корень из 28?
Запишите 28 как произведение его простых множителей.
Итак, 27 = 2 × 2 × 7. Тогда поступим следующим образом: √28 =√(2 × 2 × 7) = 2√7
Является ли квадратный корень из 28 рациональным? 93-8
28 квадратный корень? | √28
| Пожалуйста, введите реальный номер: |
| Результат квадратного корня: |
Вот ответ на такие вопросы, как: 28 квадратный корень? | √28 или чему равен квадратный корень из 28?
Используйте приведенный ниже калькулятор квадратного корня, чтобы найти квадратный корень любого мнимого или действительного числа.
См. также на этой веб-странице таблицу квадратного корня от 1 до 100, а также вавилонский метод или метод Героя.
Вавилонский метод, также известный как метод Героя
Ниже показано, как шаг за шагом вычислить квадратный корень из 28 с помощью Вавилонского метода , также известного как Метод Героя .
Что такое квадратный корень?
Определение квадратного корня
Квадратный корень из числа «а» — это число x, такое что x 2 = a, другими словами, число x, квадрат которого равен a. Например, 5 — это квадратный корень из 25, потому что 5 2 = 5•5 = 25, -5 — это квадратный корень из 25, потому что (-5) 2 = (-5)•(-5) = 25.
Таблица квадратных корней 1-100
Квадратные корни от 1 до 100, округленные до тысячных.
| нет | нет 2 | √ |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1.000 |
| 2 | 4 | 1. 414 |
| 3 | 9 | 1.732 |
| 4 | 16 | 2.000 |
| 5 | 25 | 2.236 |
| 6 | 36 | 2.449 |
| 7 | 49 | 2.646 |
| 8 | 64 | 2.828 |
| 9 | 81 | 3.000 |
| 10 | 100 | 3.162 |
| 11 | 121 | 3.317 |
| 12 | 144 | 3.464 |
| 13 | 169 | 3.606 |
| 14 | 196 | 3.742 |
| 15 | 225 | 3.873 |
| 16 | 256 | 4.000 |
| 17 | 289 | 4.123 |
| 18 | 324 | 4.243 |
| 19 | 361 | 4. 359 |
| 20 | 400 | 4.472 |
| 21 | 441 | 4.583 |
| 22 | 484 | 4.690 |
| 23 | 529 | 4.796 |
| 24 | 576 | 4.899 |
| 25 | 625 | 5.000 |
| нет | нет 2 | √ |
|---|---|---|
| 26 | 676 | 5.099 |
| 27 | 729 | 5.196 |
| 28 | 784 | 5.292 |
| 29 | 841 | 5.385 |
| 30 | 900 | 5.477 |
| 31 | 961 | 5.568 |
| 32 | 1,024 | 5.657 |
| 33 | 1,089 | 5.745 |
| 34 | 1,156 | 5. 831 |
| 35 | 1,225 | 5.916 |
| 36 | 1,296 | 6.000 |
| 37 | 1,369 | 6.083 |
| 38 | 1,444 | 6.164 |
| 39 | 1,521 | 6.245 |
| 40 | 1,600 | 6.325 |
| 41 | 1,681 | 6.403 |
| 42 | 1,764 | 6.481 |
| 43 | 1,849 | 6.557 |
| 44 | 1,936 | 6.633 |
| 45 | 2,025 | 6.708 |
| 46 | 2,116 | 6.782 |
| 47 | 2,209 | 6.856 |
| 48 | 2,304 | 6.928 |
| 49 | 2 401 | 7.000 |
| 50 | 2 500 | 7. 071 |
| нет | нет 2 | √ |
|---|---|---|
| 51 | 2,601 | 7.141 |
| 52 | 2,704 | 7.211 |
| 53 | 2,809 | 7.280 |
| 54 | 2,916 | 7.348 |
| 55 | 3,025 | 7.416 |
| 56 | 3,136 | 7.483 |
| 57 | 3,249 | 7.550 |
| 58 | 3,364 | 7.616 |
| 59 | 3,481 | 7.681 |
| 60 | 3,600 | 7.746 |
| 61 | 3,721 | 7.810 |
| 62 | 3,844 | 7.874 |
| 63 | 3,969 | 7.937 |
| 64 | 4,096 | 8.000 |
| 65 | 4,225 | 8. 062 |
| 66 | 4,356 | 8.124 |
| 67 | 4,489 | 8.185 |
| 68 | 4,624 | 8.246 |
| 69 | 4,761 | 8.307 |
| 70 | 4,900 | 8.367 |
| 71 | 5,041 | 8.426 |
| 72 | 5,184 | 8.485 |
| 73 | 5,329 | 8.544 |
| 74 | 5476 | 8.602 |
| 75 | 5625 | 8.660 |
| нет | нет 2 | √ |
|---|---|---|
| 76 | 5,776 | 8.718 |
| 77 | 5,929 | 8.775 |
| 78 | 6,084 | 8.832 |
| 79 | 6,241 | 8.888 |
| 80 | 6,400 | 8. 944 |
| 81 | 6,561 | 9.000 |
| 82 | 6,724 | 9.055 |
| 83 | 6,889 | 9.110 |
| 84 | 7,056 | 9.165 |
| 85 | 7,225 | 9.220 |
| 86 | 7,396 | 9.274 |
| 87 | 7,569 | 9.327 |
| 88 | 7,744 | 9.381 |
| 89 | 7,921 | 9.434 |
| 90 | 8,100 | 9.487 |
| 91 | 8,281 | 9.539 |
| 92 | 8,464 | 9.592 |
| 93 | 8,649 | 9.644 |
| 94 | 8,836 | 9.695 |
| 95 | 9,025 | 9.747 |
| 96 | 9,216 | 9. 798 |
| 97 | 9,409 | 9.849 |
| 98 | 9,604 | 9.899 |
| 99 | 9,801 | 9.950 |
| 100 | 10,000 | 10.000 |
Что такое квадратный корень из 28?
| Square root of 28.00 | 5.2915 |
| Square root of 28.01 | 5.2924 |
| Square root of 28.02 | 5.2934 |
| Square root of 28.03 | 5.2943 |
| Square root of 28.04 | 5.2953 |
| Square root of 28.05 | 5.2962 |
| Square root of 28.06 | 5.2972 |
| Square root of 28.07 | 5.2981 |
| Square root of 28.08 | 5.2991 |
| Square root of 28.09 | 5. 3 |
| Square root of 28.10 | 5.3009 |
| Square root of 28.11 | 5.3019 |
| Square root of 28.12 | 5.3028 |
| Square root of 28.13 | 5.3038 |
| Square root of 28.14 | 5.3047 |
| Корень квадратный из 28,15 | 5,3057 |
| Корень квадратный из 28,16 | 5,3066 |
| Корень квадратный из 28,15 | 5 |
| Square root of 28.18 | 5.3085 |
| Square root of 28.19 | 5.3094 |
| Square root of 28.20 | 5.3104 |
| Square root of 28.21 | 5.3113 |
| Square root of 28,22 | 5,3122 |
| Квадратный корень из 28,23 | 5,3132 |
| Квадратный корень из 28,24 | 5,3141 |
| 5. 3141 | |
| 40024 5.3141 | |
| 4 | |
| 40024.0025 | 5.3151 |
| Square root of 28.26 | 5.316 |
| Square root of 28.27 | 5.317 |
| Square root of 28.28 | 5.3179 |
| Square root of 28.29 | 5.3188 |
| Корень квадратный из 28,30 | 5,3198 |
| Корень квадратный из 28,31 | 5,3207 |
| Корень квадратный из 28,32 | 5 |
| Square root of 28.33 | 5.3226 |
| Square root of 28.34 | 5.3235 |
| Square root of 28.35 | 5.3245 |
| Square root of 28.36 | 5.3254 |
| Square root of 28,37 | 5,3263 |
| Квадратный корень из 28,38 | 5,3273 |
| Квадратный корень из 28,39 | 5,3282 |
| 40024 5. 3282 | |
| 40024 5.3282 | |
| 40024 5.3282 | |
| 40024 | |
| 40024.0025 | 5.3292 |
| Square root of 28.41 | 5.3301 |
| Square root of 28.42 | 5.331 |
| Square root of 28.43 | 5.332 |
| Square root of 28.44 | 5.3329 |
| Квадратный корень из 28,45 | 5,3339 |
| Квадратный корень из 28,46 | 5,3348 |
| Квадратный корень из 28,45 | 775 |
| Square root of 28.48 | 5.3367 |
| Square root of 28.49 | 5.3376 |
| Square root of 28.50 | 5.3385 |
| Square root of 28.51 | 5.3395 |
| Square root of 28,52 | 5,3404 |
| Квадратный корень из 28,53 | 5,3413 |
| Квадратный корень из 28,54 | 5,3423 |
| 5. 3423 | |
| 40024 5.3423 | |
| 40024 | |
| 40024 | |
| 40024 | |
| 40024.0025 | 5.3432 |
| Square root of 28.56 | 5.3442 |
| Square root of 28.57 | 5.3451 |
| Square root of 28.58 | 5.346 |
| Square root of 28.59 | 5.347 |
| Корень квадратный из 28,60 | 5,3479 |
| Корень квадратный из 28,61 | 5,3488 |
| Корень квадратный из 28,65 | |
| 5 | |
| Square root of 28.63 | 5.3507 |
| Square root of 28.64 | 5.3516 |
| Square root of 28.65 | 5.3526 |
| Square root of 28.66 | 5.3535 |
| Square root of 28,67 | 5,3544 |
| Квадратный корень из 28,68 | 5,3554 |
| Квадратный корень 28,69 | 5,3563 |
| 40024 5,3563 | |
| 4 | 5,3563 |
| 44. 7563 | |
| 44.7563 | |
| 40024 5.3563 | |
| 40024.0025 | 5.3572 |
| Square root of 28.71 | 5.3582 |
| Square root of 28.72 | 5.3591 |
| Square root of 28.73 | 5.36 | |
| Square root of 28.74 | 5,361 | |
| Квадратный корень из 28,75 | 5,3619 | |
| Квадратный корень из 28,76 | 5,3628 | 5.3638 |
| Square root of 28.78 | 5.3647 | |
| Square root of 28.79 | 5.3656 | |
| Square root of 28.80 | 5.3666 | |
| Square root of 28.81 | 5.3675 | |
| Квадратный корень из 28,82 | 5,3684 | |
| Квадратный корень из 28,83 | 5,3694 | |
| Квадратный корень из 28,84 | ||
| 5 | ||
| Square root of 28. 85 | 5.3712 | |
| Square root of 28.86 | 5.3722 | |
| Square root of 28.87 | 5.3731 | |
| Square root of 28.88 | 5.374 | |
| Square root of 28.89 | 5.3749 | |
| Square root of 28.90 | 5.3759 | |
| Square root of 28.91 | 5.3768 | |
| Square root of 28.92 | 5.3777 | |
| Square root of 28.93 | 5.3787 | |
| Square root of 28.94 | 5.3796 | |
| Square root of 28.95 | 5.3805 | |
| Square root of 28.96 | 5.3814 | |
| Square root of 28.97 | 5.3824 | |
| Square root of 28.98 | 5.3833 | |
| Square root of 28.99 | 5.3842 | |
| Square root of 128 | 11.3137 | |
| Square root of 228 | 15. 0997 | |
| Square root of 328 | 18.1108 | |
| Square root of 428 | 20.6882 | |
| Square root of 528 | 22.9783 | |
| Square root of 628 | 25.0599 | |
| Square root of 728 | 26.9815 | |
| Square root of 828 | 28.775 | |
| Square root of 928 | 30.4631 | |
| Square root of 1,028 | 32.0624 | |
| Square root of 1,128 | 33.5857 | |
| Square root of 1,228 | 35.0428 | |
| Корень квадратный из 1328 | 36,4417 | |
| Корень квадратный из 1428 | 37,7889 | |
| Корень квадратный из 1,528 | 0025 | |
| Square root of 1,628 | 40.3485 | |
| Square root of 1,728 | 41.5692 | |
| Square root of 1,828 | 42. 7551 | |
| Square root of 1,928 | 43.909 | |
| Square root of 2,028 | 45.0333 | |
| Square root of 2,128 | 46.1303 | |
| Square root of 2,228 | 47.2017 | |
| Square root of 2,328 | 48.2494 | |
| Square root of 2,428 | 49.2747 | |
| Square root of 2,528 | 50.2792 | |
| Square root of 2,628 | 51.264 | |
| Square root of 2,728 | 52.2303 | |
| квадратный корень из 2828 | 53.1789 | |
| Квадратный корень из 2,928 | 54.111 | |
| квадратный корень 3,028 | ||
| квадратный корень 3,028 | ||
| квадратный корень 3,028 | ||
| квадратный корень 3,028 | ||
| .0025 | 55.0273 | |
| Square root of 3,128 | 55. 9285 | |
| Square root of 3,228 | 56.8155 | |
| Square root of 3,328 | 57.6888 | |
| Square root of 3,428 | 58.5491 | |
| Корень квадратный из 3528 | 59,397 | |
| Корень квадратный из 3628 | 60,2329 | |
| Корень квадратный из 3,728 | 50025 | |
| Square root of 3,828 | 61.8708 | |
| Square root of 3,928 | 62.6738 | |
| Square root of 4,028 | 63.4665 | |
| Square root of 4,128 | 64.2495 | |
| Square root of 4,228 | 65.0231 | |
| Square root of 4,328 | 65.7875 | |
| Square root of 4,428 | 66.5432 | |
| Square root of 4,528 | 67.2904 | |
| Square root of 4,628 | 68.0294 |
| Square root of 4,728 | 68. 7605 | |
| Square root of 4,828 | 69.4838 | |
| Square корень из 4928 | 70,1997 | |
| Корень квадратный из 5028 | 70,9084 | |
| Корень квадратный из 5122 | 0 80023Square root of 5,228 | 72.3049 |
| Square root of 5,328 | 72.9932 | |
| Square root of 5,428 | 73.675 | |
| Square root of 5,528 | 74.3505 | |
| Square root of 5,628 | 75.02 | |
| квадратный корень из 5 728 | 75,6836 | |
| Квадратный корень из 5,828 | 76,3413 | |
| 40024 76,3413 | ||
| 40024 76,3413 | ||
| 40024 76,3413 | ||
| 40024.28 | 76.9935 | |
| Square root of 6,028 | 77.6402 | |
| Square root of 6,128 | 78.2815 | |
| Square root of 6,228 | 78. 9177 | |
| Square root of 6,328 | 79.5487 | |
| Корень квадратный из 6428 | 80,1748 | |
| Корень квадратный из 6528 | 80,796 | |
| 8 Корень квадратный из 6,6280025 | ||
| Square root of 6,728 | 82.0244 | |
| Square root of 6,828 | 82.6317 | |
| Square root of 6,928 | 83.2346 | |
| Square root of 7,028 | 83.8332 | |
| Square root of 7,128 | 84.4275 | |
| Square root of 7,228 | 85.0176 | |
| Square root of 7,328 | 85.6037 | |
| Square root of 7,428 | 86.1858 | |
| Square root of 7,528 | 86.764 | |
| Square root of 7,628 | 87.3384 | |
| Square root of 7,728 | 87.909 | |
| Square root of 7,828 | 88,476 | |
| квадратный корень 7,928 | 89,0393 | |
| квадратный корень из 8,028 | 89,5991 | |
| квадратных корней из 8,1288 | ||
| квадратных корней из 8,1288 | ||
| квадратных корней из 8,1288 | ||
| квадратных корней из 8,5991 | ||
| . 0025 | 90.1554 | |
| Square root of 8,228 | 90.7083 | |
| Square root of 8,328 | 91.2579 | |
| Square root of 8,428 | 91.8041 | |
| Square root of 8,528 | 92.3472 | |
| Корень квадратный из 8628 | 92,887 | |
| Корень квадратный из 8728 | 93,4238 | |
| Корень квадратный из 8,828 | 5 | 50025 |
| Square root of 8,928 | 94.4881 | |
| Square root of 9,028 | 95.0158 | |
| Square root of 9,128 | 95.5406 | |
| Square root of 9,228 | 96.0625 | |
| Square root of 9,328 | 96.5816 | |
| Square root of 9,428 | 97.0979 | |
| Square root of 9,528 | 97.6115 | |
| Square root of 9,628 | 98.1224 | |
| Square root of 9,728 | 98. 6306 | |
| Square root of 9,828 | 99.1363 | |
| Square root of 9,928 | 99.6393 | |
| Square root of 10,028 | 100,1399 | |
| квадратный корень 11,028 | 105,0143 | |
| Квадратный корень 12,028 | 109,6722 | |
| Квадратный корень 13,0288229 | ||
| квадрат 13,0288 2 | ||
| .0025 | 114.1403 | |
| Square root of 14,028 | 118.4399 | |
| Square root of 15,028 | 122.5887 | |
| Square root of 16,028 | 126.6017 | |
| Square root of 17,028 | 130.4914 | |
| Квадратный корень из 18 028 | 134,2684 | |
| Квадратный корень из 19 028 | 137,942 | |
| Квадратный корень из 20 0258 | 141.5203 | |
| Square root of 21,028 | 145. 0103 | |
| Square root of 22,028 | 148.4183 | |
| Square root of 23,028 | 151.7498 | |
| Square root of 24,028 | 155.0097 | |
| Квадратный корень из 25 028 | 158,2024 | |
| Квадратный корень из 26 028 | 161,332 | |
| Квадратный корень из 27,020 91 028 | 25 9 | |
| Square root of 28,028 | 167.4157 | |
| Square root of 29,028 | 170.3761 |
| Square root of 30,028 | 173.2859 | |
| Square root of 31,028 | 176.1477 | |
| Корень квадратный из 32 028 | 178,9637 | |
| Корень квадратный из 33 028 | 181,7361 | |
Корень квадратный2 из025 | 184.4668 | |
| Square root of 35,028 | 187.1577 | |
| Square root of 36,028 | 189. 8104 | |
| Square root of 37,028 | 192.4266 | |
| Square root of 38,028 | 195.0077 | |
| Квадратный корень из 39 028 | 197,5551 | |
| Квадратный корень из 40 028 | 200,07 | |
Квадратный корень из 41 025824 202.5537 | ||
| Square root of 42,028 | 205.0073 | |
| Square root of 43,028 | 207.4319 | |
| Square root of 44,028 | 209.8285 | |
| Square root of 45,028 | 212.198 | |
| Квадратный корень из 46 028 | 214,5414 | |
| Квадратный корень из 47 028 | 216,8594 | |
| Квадратный корень из 48 028 | 5 | 5.1529 |
| Square root of 49,028 | 221.4227 | |
| Square root of 50,028 | 223.6694 | |
| Square root of 51,028 | 225. 8938 | |
| Square root of 52,028 | 228.0965 | |
| Квадратный корень из 53 028 | 230,2781 | |
| Квадратный корень из 54 028 | 232,4392 | |
| Квадратный корень из 25,020 54958 | 50025 | |
| Square root of 56,028 | 236.7023 | |
| Square root of 57,028 | 238.8054 | |
| Square root of 58,028 | 240.89 | |
| Square root of 59,028 | 242.9568 | |
| Square root из 60 028 | 245,0061 | |
| Квадратный корень из 61 028 | 247,0385 | |
| Квадратный корень из 62,028 | 400028 | |
| Square root of 63,028 | 251.0538 | |
| Square root of 64,028 | 253.0375 | |
| Square root of 65,028 | 255.0059 | |
| Square root of 66,028 | 256. 9591 | |
| Square root of 67,028 | 258.8977 | |
| Square root of 68,028 | 260.8218 | |
| Square root of 69,028 | 262.7318 | |
| Square root of 70,028 | 264.628 | |
| Square root of 71,028 | 266.5108 | |
| Square root of 72,028 | 268.3803 | |
| Square root of 73,028 | 270.2369 | |
| Square root of 74,028 | 272.0809 | |
| квадратный корень 75 028 | 273.9124 | |
| Квадратный корень из 76 028 | 275,7318 | |
| 275,7318 | ||
| 275,7318 | ||
| 275,7318 | ||
| 275,7318 | ||
| 275,7318 | ||
| 275,7318 | ||
| 277.5392 | ||
| Square root of 78,028 | 279. 3349 | |
| Square root of 79,028 | 281.1192 | |
| Square root of 80,028 | 282.8922 | |
| Square root of 81,028 | 284.6542 | |
| Square root of 82,028 | 286.4053 | |
| Square root of 83,028 | 288.1458 | |
| Square root of 84,028 | 289.8758 | |
| Square root of 85,028 | 291.5956 | |
| Square root of 86,028 | 293.3053 | |
| Square root of 87,028 | 295.0051 | |
| Square root of 88,028 | 296.6951 | |
| Квадратный корень из 89 028 | 298,3756 | |
| Квадратный корень из 90 028 | 300,0467 | |
| Квадратный корень из 91 0228 | 301.7085 | |
| Square root of 92,028 | 303.3612 | |
| Square root of 93,028 | 305. 0049 | |
| Square root of 94,028 | 306.6399 | |
| Square root of 95,028 | 308.2661 | |
| Квадратный корень из 96 028 | 309,8838 | |
| Квадратный корень из 97 028 | 311,4932 | |
| Квадратный корень из 98,028 | 5 342 | |
| Square root of 99,028 | 314.6871 | |
| Square root of 100,028 | 316.272 |
Square Root of 28 + Solution With Free Steps
When we take power 1/2 of a number 28 результирующая дает нам квадратный корень из числа 28, который представлен как √28 и равен 5,29. Если мы умножим квадратный корень из 28 дважды, как в этом случае, 5,29 × 5,29 = 28.
В этой статье мы проанализируем и найдем квадратный корень из 28 с использованием различных математических методов, таких как метод аппроксимации и метод длинного деления.
Чему равен квадратный корень из 28?
Квадратный корень из числа 28 равен 5,29.
Квадратный корень из может быть определен как количество, которое можно удвоить, чтобы получить квадрат этого же количества. Проще говоря, это можно объяснить так:
√28 = √(5,29 x 5,29)
√28 = √(5,29)2$
√28 = ±5,29
Квадрат можно сократить из квадратного корня, так как эквивалентно 1/2 ; следовательно, получив 5.29. Следовательно, 5,29 — это квадратный корень из 28. Квадратный корень генерирует положительных и отрицательных целых чисел .
Как вычислить квадратный корень из 28?
Вы можете вычислить квадратный корень из 28 , используя любой из двух широко используемых математических методов; один из них — метод приближения , а другой метод Long Division .
Символ √ интерпретируется как 28 , возведенный в степень 1/2 . Таким образом, любое число, умноженное само на себя, дает его квадрат, а когда из любого числа, возведенного в квадрат, извлекается квадратный корень, получается действительное число.
Давайте обсудим каждый из них, чтобы лучше понять концепции.
Извлечение квадратного корня методом деления в длину
Процесс деления в длину — один из наиболее распространенных методов, используемых для нахождения квадратных корней заданного числа. Его легко понять, и он дает более надежные и точные ответы. Метод длинного деления сводит многозначное число к его равным частям.
Научиться находить квадратный корень из числа легко с помощью метода деления в длинную сторону. Все, что вам нужно, это пять основных операций: разделить, умножить, вычесть, уменьшить или увеличить, а затем повторить.
Ниже приведены простые шаги, которые необходимо выполнить, чтобы найти квадратный корень из 9. 0009 28 , используя метод деления в большую сторону:
Шаг 1
Сначала запишите данное число 28 в символе деления, как показано на рисунке 1.
Шаг 2
Начиная с правой стороны числа, разделите число 28 на пар , таких как 00 и 28.
Шаг 3
Теперь разделите цифру 28 на число, получив число либо 28, либо меньше 28. Следовательно, в этом случае остаток равен 3, тогда как частное равно 5,
Шаг 4
После этого сносим следующую пару 00. Теперь делимое равно 300. Чтобы найти следующий делитель, нам нужно удвоить полученное ранее частное. Удвоение 5 дает 10; следовательно, считайте его следующим делителем.
Шаг 5
Теперь соедините 10 с другим числом, чтобы получить новый делитель, который при умножении на делитель дает $\leq$ 300. Если число не является правильным квадратом , добавьте пару нулей справа от числа перед началом деления.
Шаг 6
Прибавление 2 к делителю и умножение 102 на 2 дает 204 $\leq$ 300. Остаток получается 96. Переместите следующую пару нулей вниз и повторите описанный выше процесс.
Шаг 7
Продолжайте повторять те же шаги до тех пор, пока не будет получен нулевой остаток или, если процесс деления продолжается бесконечно, решите до двух знаков после запятой.
Шаг 8
Полученное частное 5,29 представляет собой квадратный корень из 28. На приведенном ниже рисунке 1 подробно показан процесс деления в длину:
рисунок 1
Извлечение квадратного корня методом аппроксимации
Метод аппроксимации включает в себя угадывание квадратного корня из несовершенного квадратного числа путем деления его на полный квадрат меньше или больше этого числа и получение среднего значения.
Необходимо выполнить указанные подробные шаги, чтобы найти квадратный корень из 28 с использованием метода аппроксимации.
Шаг 1
Рассмотрим совершенный квадрат числа 25 меньше 28.
Шаг 2
Теперь разделите 28 на √25.
28 ÷ 5 = 5,6
Шаг 3
Теперь возьмем среднее 5 и 5,6. Полученное число приблизительно равно квадратному корню из 28.
(5 + 5,6) ÷ 2 = 5,3
Важные моменты
- Число 28 не является полным квадратом.
- Число 28 является рациональным числом.
- Число 28 можно разложить на простые множители.
Является ли квадратный корень из 28 идеальным квадратом?
Число 28 равно , а не идеальному квадрату . Число является полным квадратом, если оно делится на две равные части или одинаковые целые числа. Если число является полным квадратом, оно также рационально.
Число, выраженное в форме p/q, называется рациональным числом . Все натуральные числа рациональны. Квадратный корень из полного квадрата — это целое число; следовательно, полный квадрат является рациональным числом.
Число, не являющееся квадратом, равно 9.{1/2}$
= 5,29
Это показывает, что 28 не является полным квадратом, так как в нем есть десятичные разряды; следовательно, это иррациональное число.
Следовательно, приведенное выше обсуждение доказывает, что квадратный корень из 28 эквивалентен 5,29.
Изображения/математические чертежи создаются с помощью GeoGebra.
Список квадратных корней
Таблица квадратов и квадратных корней
Квадратный корень числа — это число, которое при умножении само на себя дает желаемое значение. Так, например, квадратный корень из 49равно 7 (7×7=49). Сам процесс умножения числа на называется возведением в квадрат .
Числа, квадратные корни которых являются целыми числами (точнее, целыми положительными числами), называются совершенными квадратными числами. Числа с десятичными знаками не являются идеальными квадратными корнями.
Все положительные числа имеют положительное число в качестве квадратного корня, называемое главным, и отрицательное число. Все эти числа известны как действительные числа.
Все отрицательные числа будут иметь комплексное число в качестве квадратного корня. Комплексное число это число умноженное на я. i — это «мнимый» квадратный корень из -1. Оно называется воображаемым, но для математиков оно существует.
Как извлекать квадратные корни?
Уравнение с квадратным корнем записывается с использованием подкоренного знака или подкоренного символа (). Число, из которого мы хотим получить корень, находится после или под хвостом радикала (например, 3, если мы хотим найти квадратный корень из 3). Число после корня называется подкоренным. На калькуляторе вместо радикала вы можете увидеть «sqrt».
Для чего мы используем квадратные корни?
Возможно, это сложно представить, но квадратные корни — одни из самых полезных чисел. Функции квадратного корня очень важны для физических уравнений всех видов. Они также ценны для статистики; статистики постоянно используют квадратные корни при анализе корреляции между различными точками данных.
Список совершенных квадратов
Используйте эту таблицу, чтобы найти квадраты и квадратные корни чисел из от 1 до 100 .
Вы также можете использовать эту таблицу для оценки квадратных корней из больших чисел.
- Например, если вы хотите найти квадратный корень из 2000 , просматривайте средний столбец , пока не найдете число, ближайшее к 2000. Число в среднем столбце, ближайшее к 2000, равно . 2025 .
- Теперь посмотрите на число слева от 2025 , чтобы найти его квадратный корень. Квадратный корень из 2025 равен 9.0009 45 .
- Следовательно, приблизительный квадратный корень из 2000 равен 45 .
Чтобы получить более точное число, вам придется использовать калькулятор (44,721 — более точный квадратный корень из 2000).
Готовитесь к длительной учебной сессии? Возможно, вас заинтересует наш список лучших письменных стульев 2020 года. 0023
828 000 899 657 325 928 483 000 485 944 381 798| Среднее значение и медиана | Числа и формулы | Нахождение квадратных корней |