Корень квадратный из комплексного числа: Извлечение корня из комплексного числа онлайн

alexxlab / / Разное

Извлечение квадратных корней из комплексных чисел в алгебраической форме — Bitbucket

Created by lamisperclea1986

snippet.markdown

———————————————————
>>> СКАЧАТЬ ФАЙЛ <<<
———————————————————
Проверено, вирусов нет!
———————————————————

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Корень -ой степени из комплексного числа обозначается символом и на. число задано в тригонометрической форме: , то все значения корня -ой. Затем записать ответ в виде Извлечение корня из комплексных чисел. с комплексными числами, Алгебраическая форма записи комплексного числа. 2) Алгебраическая форма комплексного числа. 5) Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнями. Найти корни уравнения и разложить квадратный двучлен на множители. п.6. Извлечение квадратного корня из комплексного числа. Формула квадратных корней из комплексного числа. В дальнейшем нам. Извлечение корней из комплексных чисел. Извлечение корней — квадратных и кубических — без калькулятора — Duration: 40:34. Формула для извлечения корня из комплексного числа и примеры решений. Комплексные числа возводят в степень в тригонометрической форме, для. Числа Извлечение корней из комплексных чисел Квадратное уравнение с. Теперь вы знаете как можно извлечь квадратный корень из отрицательного числа. мы получили можно перевести обратно в алгебраическую форму. Здесь мы учли, что аргумент комплексного числа определен с точностью до. Обе части равенства (18.3) суть комплексные числа, заданные в тригонометрической форме; условия их. Алгоритм извлечения квадратного корня.

19) ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ ИЗ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 123 в котором применяются. Если число о задано в тригонометрической форме, то при целом. Найти корень из комплексного числа онлайн, подробное решение. Для нахождения корня n-ой степени, сначала необходимо выбрать ( алгебраическую, тригонометрческую. два значения квадратного корня из 4. Муавра, причем комплексное число должно быть записано в тригонометрической форме. называется алгебраической формой записи комплексного числа; знаки между составляющими числа обычные. Извлечение корня из комплексного числа. В результате получаем два значения квадратного корня: √3−4i=2−i. Возведение комплексного числа в степень, корень из комплексного числа. Возведение комплексного числа в степень. Извлечение корня из комплексного числа. Если комплексное число задано в алгебраической форме, то для возведения числа в. Извлечь квадратный корень из комплексного числа i. Например, корень квадратный из числа 1 имеет два значения: 1 и – 1. Корень n-й степени из числа 1 в поле комплексных чисел должен иметь n значений.
В теореме Гаусса утверждается, что всякое алгебраическое уравнение с. правила действий над комплексными числами в современной форме. Квадра́тный ко́рень из a \displaystyle a a (корень 2-й степени, a \displaystyle \sqrt a. Для извлечения квадратного корня из комплексного числа удобно использовать экспоненциальную форму записи комплексного числа: если. Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел; ↑ См. А. Я. Ко́мпле́ксные чи́сла (устар. мнимые числа) числа вида x + i y \displaystyle x+iy x+iy. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных. квадратных и кубических уравнений, в которых в формулах для корней. 5.1 Алгебраическая форма; 5.2 Тригонометрическая форма. Корень n \displaystyle n n -й степени из числа a \displaystyle a a определяется как такое. Поскольку арифметический и алгебраический корни обозначаются одним и. Зарождение понятия комплексного числа исторически было связано с. Первые задачи, связанные с извлечением квадратного корня. сложение и умножение комплексных чисел в алгебраической форме.
deleted]]

[[/deleted]]

      [[#convert_markup]]

      This comment is currently being rendered in creole. Editing the comment will cause it to be rendered in markdown.

      [[/convert_markup]]

      Cancel

      This comment is currently being rendered in creole. Editing the comment will cause it to be rendered in markdown.

      Вычисление квадратного корня из числа в Python — UPROGER

      Вступление

      Квадратный корень из числа – очень распространенная математическая функция, используемая во всех областях науки – физике, математике, информатике и т.д. Квадратные корни чисел и выражений очень часто встречаются в формулах во всех областях науки, и особенно в том, как мы представляем реальность – моделируя то, что мы можем наблюдать с помощью исчисления.

      В этой статье мы рассмотрим различные способы вычисления квадратного корня из числа в Python. Наконец, мы проведем тест производительности с постоянными и случайными числами, а также со списками случайных чисел, чтобы проверить все подходы.

      Вычисление квадратного корня в Python с помощью NumPy

      NumPy – это библиотека научных вычислений, которая присутствовала во многих приложениях и вариантах использования. Естественно, в нем есть множество оболочек математических функций в качестве вспомогательных методов.

      Если она еще не установлена, вы можете установить ее через pip:

      $ pip install numpy

      В терминах NumPy функция sqrt() вычисляет квадратный корень из числа и возвращает результат:

      import numpy as np:
x = np.scrt(2)
print(x)

      Это приводит к:

      1.4142135623730951

      Помимо использования одной переменной в качестве аргумента, sqrt() также может анализировать списки и возвращать список квадратных корней:

      arr = [2, 3, 5, 7]
roots = np.sqrt(arr)
print(roots)

      Это приводит к:

      [1.41421356 1.73205081 2.23606798 2.64575131]

      Функция sqrt(), однако, имеет ограничение – она не может вычислять квадратный корень из отрицательного числа, поскольку операция квадратного корня с действительными числами определена только для положительных чисел.

      Попытка вставить -4 в функцию sqrt() приведет к исключению:

      print(np.sqrt(-4))

      Попытка вычислить квадратный корень из отрицательного числа приведет к появлению предупреждения и значению nan:

      RuntimeWarning: invalid value encountered in sqrt nan

      Вычисление квадратного корня из комплексного числа с помощью Numpy

      К счастью, NumPy не ограничивается работой только с действительными числами – он также может работать с комплексными числами:

      import numpy as np
complex_number = -1 + 1j
complex_array = [-2, 3, complex_number]
complex_root = np.sqrt(complex_number)
complex_array_roots = np.sqrt(complex_array)
print(f"Square root of '{complex_number}':\n {complex_root}")
print(f"Square roots of '{complex_array}':\n {complex_array_roots}")

      Если в списке есть хотя бы одно комплексное число, все числа будут приведены и обработаны как сложные, поэтому можно добавить даже отрицательные целые числа:

      Square root of '(-1+1j)':
 (0.45508986056222733+1.
      
  
      
  
       09868411346781j)
Square roots of '[-2, 3, (-1+1j)]':
 [0.        +1.41421356j 1.73205081+0.j         0.45508986+1.09868411j]

      Модуль math в Python

      Модуль math – это стандартный модуль, упакованный с Python. Он всегда доступен, но должен быть импортирован и предоставляет оболочки для некоторых общих функций, таких как квадратный корень, полномочия и т.д.:

      import math
math.sqrt()

      Функция sqrt() модуля math- это простая функция, которая возвращает квадратный корень из любого положительного числа:

      print(math.sqrt(2))

      Это приводит к:

      1.4142135623730951

      В отличие от функции sqrt() NumPy, она может работать только с одним элементом, поэтому, если вы хотите вычислить квадратный корень из всех элементов в списке, вам придется использовать цикл for или генератор списка:

      import math
arr = [2, 3, 5, 7]
roots = []
for x in arr:
    roots.append(math.sqrt(x))
# OR
roots = [math.sqrt(x) for x in arr]

      В обоих случаях список корней будет содержать:

      [1. 4142135623730951, 1.7320508075688772, 2.23606797749979, 2.6457513110645907]

      math.pow()

      Квадратный корень из числа также может быть вычислен путем возведения числа в степень ½:

      √x = x1/2

      Так что на самом деле, нахождение квадратного корня из числа может быть выражено как увеличение числа до степени ½. math.pow() принимает два аргумента – основание и показатель степени, и увеличивает основание до степени экспоненты:

      print(math.pow(2, 0.5))

      Естественно, это приводит к:

      1.4142135623730951

      Оператор **

      Оператор ** является двоичным оператором, что означает, что он работает с двумя значениями, как и обычное умножение с помощью *. Однако, поскольку это оператор, используемый для возведения в степень, мы повышаем его левый аргумент до степени его правого аргумента.

      Этот подход может быть использован в той же форме, что и предыдущий:

      print(2 ** 0.5)

      И это также приводит к:

      1.4142135623730951

      Функция pow()

      В Python есть еще один встроенный метод pow(), который не требует импорта математического модуля. Этот метод отличается от метода math.pow() внутренне.

      math.pow() неявно преобразует элементы в двойные, в то время как pow() использует внутреннюю реализацию объекта, основанную на операторе **. Хотя это различие в реализации может оправдать использование того или иного в определенных контекстах, если вы просто вычисляете квадратный корень из числа, вы на самом деле не увидите разницы:

      print(pow(2, 0.5))

      Это приводит к:

      1.4142135623730951

      Контрольный показатель производительности

      Итак, какой из них дает наилучшую производительность, и какой из них вы должны выбрать? Как обычно, нет одного явного победителя, и это зависит от использования методов. А именно, если вы работаете с постоянными числами, случайными числами или массивом случайных чисел в большем масштабе – эти методы будут работать по-другому.

      Давайте проверим их все на постоянных числах, случайных числах и массивах случайных чисел:

      import timeit
print("Time to execute 100k operations on constant number: \n")
print("math. sqrt(): %ss" % timeit.timeit("math.sqrt(100)", setup="import math", number=100000))
print("math.pow(): %ss" % timeit.timeit("math.pow(100, 0.5)", setup="import math", number=100000))
print("pow(): %ss" % timeit.timeit("pow(100, 0.5)", number=100000))
print("np.sqrt(): %ss" % timeit.timeit("np.sqrt(100)", setup="import numpy as np", number=100000))
print("** operator: %ss" % timeit.timeit("100 ** 0.5", number=100000))
print("\nTime to execute 100k operations on random number: \n")
print("math.sqrt() %ss" % timeit.timeit("math.sqrt(random.random())", setup="import math; import random;", number=100000))
print("math.pow(): %ss" % timeit.timeit("math.pow(random.random(), 0.5)", setup="import math; import random", number=100000))
print("pow(): %ss" % timeit.timeit("pow(random.random(), 0.5)", setup="import random", number=100000))
print("np.sqrt(): %ss" % timeit.timeit("np.sqrt(random.random())", setup="import numpy as np; import random", number=100000))
print("** operator: %ss" % timeit.timeit("random.
       
        random() ** 0.5", setup="import random", number=100000))
print("\nTime to execute 100k operations on list of random numbers: \n")
print("math.sqrt() %ss" % timeit.timeit("[math.sqrt(x) for x in np.random.rand(100)]", setup="import math; import numpy as np;", number=100000))
print("math.pow(): %ss" % timeit.timeit("[math.pow(x, 0.5) for x in np.random.rand(100)]", setup="import math; import numpy as np;", number=100000))
print("pow(): %ss" % timeit.timeit("[pow(x, 0.5) for x in np.random.rand(100)]", setup="import numpy as np;", number=100000))
print("np.sqrt(): %ss" % timeit.timeit("np.sqrt(np.random.rand(100))", setup="import numpy as np; import numpy as np;", number=100000))
print("** operator: %ss" % timeit.timeit("np.random.rand(100) ** 0.5", setup="import numpy as np", number=100000))

      Мы прошли все описанные выше методы через один и тот же тест – постоянное число (которое, вероятно, будет кэшировано для оптимизации), случайное число на каждой из 100 тыс. итераций и список из 100 случайных чисел.

      Примечание: Важны только относительные числа в каждом тесте по сравнению с другими методами в этом тесте, поскольку для генерации 100 случайных чисел требуется больше времени, чем при использовании (кэшированного) постоянного значения.

      Выполнение этого фрагмента кода приводит к:

      Time to execute 100k operations on constant number: 
math.sqrt(): 0.014326499999999999s
math.pow(): 0.0165132s
pow(): 0.018766599999999994s
np.sqrt(): 0.10575379999999998s
** operator: 0.0006493000000000193s
Time to execute 100k operations on random number: 
math.sqrt() 0.019939999999999958s
math.pow(): 0.022284300000000035s
pow(): 0.0231711s
np.sqrt(): 0.09066460000000004s
** operator: 0.018928s
Time to execute 100k operations on list of random numbers: 
math.sqrt() 2.7786073s
math.pow(): 2.9986906s
pow(): 3.5157339999999992s 
np.sqrt(): 0.2291957s
** operator: 0.2376024000000001s

      С постоянными числами – функции math.pow(), math.sqrt() и pow() значительно превосходят функцию Numpy sqrt(), поскольку они могут лучше использовать кэширование в процессоре на уровне языка.

      Со случайными числами кэширование работает не так хорошо, и мы видим меньшие расхождения.

      Со списками случайных чисел np.sqrt() значительно превосходит все три встроенных метода, и оператор ** работает в одной и той же области действия.

      Подводя итоги:

      • Для постоянных чисел оператор ** явно работает лучше всего на тестовой машине, выполняя в 16 раз быстрее, чем встроенные методы.
      • Для случайных чисел np.sqrt() превосходит встроенные методы и оператор **, хотя в результатах нет существенных расхождений.
      • Для случайных массивов функция np.sqrt() превосходит встроенные методы, но оператор ** очень близок.

      В зависимости от конкретного ввода, с которым вы имеете дело, вы будете выбирать между этими функциями. Хотя может показаться, что все они будут работать хорошо, и хотя в большинстве случаев это не будет иметь большого значения, при работе с огромными наборами данных даже сокращение времени обработки на 10 % может помочь в долгосрочной перспективе.

      В зависимости от обрабатываемых данных – протестируйте различные подходы на своем локальном компьютере.

      Вывод

      В этой короткой статье мы рассмотрели несколько способов вычисления квадратного корня из числа в Python.

      Мы рассмотрели функции pow() и sqrt() математического модуля, а также встроенную функцию pow(), функцию Numpy sqrt() и оператор **. Наконец, мы провели сравнительный анализ методов для сравнения их производительности на различных типах входных данных – постоянных числах, случайных числах и списках случайных чисел.

      Просмотры: 2 753

      2 = -1

      Квадрат каждого действительного числа положителен. Таким образом, мы должны использовать комплексные числа, чтобы расширить систему действительных чисел до более крупной системы. Комплексные числа представляют собой сумму действительного числа и мнимого числа. Например, если Z — комплексное число, то

      Z = a + ib

      , здесь Z = комплексное число

      a = действительная часть

      i = йота (√-1) (мнимая)

      ib = мнимое число

      йота (i) полезно для нахождения квадратного корня из комплексных чисел. 92 + 1 = 0

      Квадратный корень из комплексного числа

      Формула для нахождения квадратного корня из комплексного числа a + ib задается как

      (a+ib ) = ±(x + iy),

      Здесь, x и y — действительные числа

      Два комплексных числа z1 = a + ib и z2 = c + id будут равны, если a = c и b = d.

      Квадратные корни комплексного числа и мнимых чисел можно найти с помощью приведенной выше формулы.

      Квадратный корень из калькулятора комплексных чисел 92 = 3, xy = 2

      x = 2 и y = 1

      Ответ: √ (3 + 4i) = ±(2 + i)

      Квадратный корень из комплексного числа в полярной форме

      можно использовать для комплексных чисел, чтобы найти квадратный корень комплексного числа в полярной форме

      Согласно теореме о корнях n:

      Для комплексного числа z = r (cosθ + i sinθ),

      корень n-й степени определяется формулой z1/n = r1/n [cos [(θ + 2kπ)/n] + i sin [(θ + 2kπ)/n]], где k = 0, 1, 2, 3, …, n-1

      Чтобы получить периодические корни комплексного числа, добавьте 2kπ к θ. 2 92 = -25

      или квадратный корень из -25 равен ±5i

      Примеры квадратного корня из мнимых чисел

      Найти квадратный корень из -18

      Решение: √-18 = i√18

      90 004 i   √ (9 × 2)

      = I√9 √2

      = I x (± 3) x √2

      = ± 3i√2

      Ответ = √-18 = ± 3i√2

      Заключение

      Квадратный корень из отрицательного числа не существует в реальной системе счисления. Квадратный корень из комплексных чисел помогает найти многочисленные корни в полиномиальном уравнении. В числе вида а + ib, где а и b — действительные числа, а называется натуральной частью, а b — мнимой частью комплексного числа.

      Видео с вопросами: Нахождение квадратных корней комплексных чисел в полярной форме

      Стенограмма видео

      Определить в тригонометрической форме квадратные корни из минус пяти минус пять 𝑖 все разделить на минус пять плюс пять 𝑖 все возвести в девятую степень .

      В этом вопросе нас просят найти квадратные корни заданного комплексного числа. Нам нужно дать их в тригонометрической форме. Самый простой способ найти корни комплексных чисел — использовать теорему де Муавра для корней комплексных чисел. И мы помним, что это говорит нам, что если 𝑍 — комплексное число, записанное в тригонометрической форме, то есть 𝑍 равно 𝑟, умноженному на cos 𝜃 плюс 𝑖 sin 𝜃, то все 𝑛-е корни 𝑍 задаются следующей формулой. Они равны 𝑟 в степени единицы над 𝑛, умноженной на косинус 𝜃 плюс два 𝜋𝑘 над 𝑛 плюс 𝑖 грех 𝜃 плюс два 𝜋𝑘 по всему 𝑛, где наши значения 𝑘 — целые числа, и они варьируются от нуля до 𝑛 минус один.

      Таким образом, чтобы использовать эту формулу для нахождения квадратных корней нашего комплексного числа, мы захотим записать ее в тригонометрической форме. И есть несколько разных способов сделать это. Начнем с упрощения нашего выражения. У нас может возникнуть соблазн упростить это выражение, записав числитель и знаменатель отдельно в тригонометрической форме. Однако мы всегда должны сначала проверить, можем ли мы упростить это выражение другим способом. Мы видим, что и в нашем числителе, и в знаменателе делит множитель минус пять. Убрав это, мы получим минус пять раз один плюс 𝑖 все разделить на минус пять раз один минус 𝑖 все возвести в девятую степень. И мы можем отменить общий множитель минус пять в числителе и знаменателе.

      Далее мы можем упростить это, заметив, что мы делим два комплексных числа. И один из способов сделать это — умножить и числитель, и знаменатель на комплексно-сопряженное число знаменателя. Итак, внутри нашей экспоненты нам нужно умножить на один плюс 𝑖 разделить на один плюс 𝑖. В числителе у нас один плюс 𝑖 в квадрате. Мы можем распределить это, используя биномиальную теорему или метод FOIL. В любом случае, мы получаем один плюс два 𝑖 плюс 𝑖 в квадрате. В знаменателе у нас один минус 𝑖 умножается на один плюс 𝑖. Это факторизация разницы между квадратами, так что это один минус 𝑖 в квадрате. И помните, нам нужно все это возвести в девятую степень.

      Затем мы можем упростить это еще больше. Помните, 𝑖 — это квадратный корень из отрицательной единицы. Итак, 𝑖 в квадрате равен отрицательной единице. Если в это выражение подставить 𝑖 в квадрате отрицательную единицу, числитель станет один плюс два 𝑖 минус один, то есть два 𝑖. И знаменатель становится один плюс один, то есть два. Таким образом, мы получаем два 𝑖 над двумя, возведенными в девятую степень. Мы можем отменить общий множитель двойки. Следовательно, комплексное число, которое нам дали в вопросе, равно 𝑖 в девятой степени.

      Мы можем упростить это еще больше. Так как 𝑖 в квадрате отрицательная единица, 𝑖 в четвертой степени должно быть равно единице. А так как 𝑖 в девятой степени равно 𝑖 в четвертой степени, умноженной на 𝑖 в четвертой степени, умноженной на 𝑖, то 𝑖 в девятой степени равно 𝑖. Следовательно, комплексное число, из которого нас попросили найти квадратный корень, — это просто 𝑖. И есть несколько разных способов нахождения квадратных корней из этого числа. Мы просто воспользуемся формулой де Муавра. И чтобы использовать эту формулу, нам сначала нужно переписать 𝑖 в тригонометрической форме. И напомним, чтобы записать комплексное число в тригонометрической форме, нам просто нужно найти его модуль и его аргумент.

      Начнем с модуля. Модуль числа — это его расстояние от начала координат на диаграмме Аргана. Или, альтернативно, это квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой частей нашего комплексного числа. И в обоих случаях мы знаем, что модуль 𝑖 равен единице. Далее нам нужно найти аргументы нашего комплексного числа 𝑖. Помните, что это угол, измеренный против часовой стрелки от положительной оси 𝑥, которую 𝑖 образует на диаграмме Аргана. Таким образом, мы можем найти это значение из эскиза. Помните, что на диаграмме Аргана координата 𝑥 — это действительная часть нашего комплексного числа, а координата 𝑦 — это мнимая часть нашего комплексного числа. А поскольку 𝑖 имеет нулевую действительную часть и единицу мнимую часть, координаты 𝑖 на диаграмме Аргана равны нулю, единице.

      Итак, 𝑖 лежит на положительной вертикальной оси. Это означает, что его угол, измеренный против часовой стрелки от положительной горизонтальной оси, будет 𝜋 на два. Аргумент 𝑍 или аргумент 𝑖 равен 𝜋 на два. Следовательно, мы можем записать наше комплексное число 𝑖 в тригонометрической форме, подставив значение 𝑟 и значение 𝜃 в тригонометрическую форму. Его тригонометрическая форма равна cos 𝜋 на два плюс 𝑖 sin of 𝜋 на два.

      Теперь мы готовы использовать нашу формулу для нахождения квадратных корней этого комплексного числа 𝑍. Поскольку нам нужны квадратные корни, наше значение 𝑛 равно двум. И помните, мы обнаружили, что значение 𝑟 равно единице, а 𝜃 равно 𝜋 на два. Поэтому подставляем их в формулу. Это дает нам следующее выражение для 𝑛-го корня нашего комплексного числа. Они даны единицей в степени одного более чем в два раза больше, чем 𝜋 на два плюс два 𝜋𝑘 на два плюс 𝑖 грех 𝜋 на два плюс два 𝜋𝑘 на два. И помните, наши значения 𝑘 — целые числа, которые варьируются от нуля до 𝑛 минус один. Итак, 𝑘 находится между нулем и единицей.

      Это дает нам два квадратных корня: один, когда 𝑘 равно нулю, и один, когда 𝑘 равно единице. Итак, мы найдем наш первый корень, когда подставим 𝑘 равно нулю в это выражение и упростим. Во-первых, единица в степени половины просто равна единице. И умножение на единицу не изменит его значения. Далее, когда 𝑘 равно нулю, два 𝜋𝑘 равны нулю. Таким образом, у нас просто есть cos 𝜋 на два больше двух, что является cos 𝜋 на четыре. И то же самое верно и для нашего второго срока. Когда 𝑘 равно нулю, у нас есть 𝑖 грех 𝜋 на два больше двух, что равно 𝑖 грех 𝜋 на четыре. Это дает нам первый квадратный корень из нашего комплексного числа.

      Однако мы получим второй квадратный корень, если подставим 𝑘 равным единице. Подставив в это выражение 𝑘 равно единице, мы получим cos 𝜋 на два плюс два 𝜋 на все два плюс 𝑖 sin на 𝜋 на два плюс два 𝜋 на все два. И мы можем упростить это, заметив, что 𝜋 больше двух плюс два 𝜋 больше двух равно пяти 𝜋 на четыре. И мы могли бы просто оставить наш ответ так. Однако помните, что мы можем добавлять и вычитать из нашего аргумента целые числа, кратные двум 𝜋. Таким образом, мы также можем вычесть два 𝜋 из этого значения. Тогда это даст нам минус три 𝜋 на четыре.

      No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *