Корень минус корень равно корень: Квадратный корень — все что нужно для сдачи ОГЭ и ЕГЭ

Квадратный корень | это… Что такое Квадратный корень?

У этого термина существуют и другие значения, см. Корень (значения).

Квадра́тный ко́рень из (корень 2-й степени) — это решение уравнения вида . Наиболее часто под и подразумеваются числа, но в некоторых приложениях они могут быть и другими математическими объектами, например матрицами и операторами.

Содержание 1 Применение операции корня к числам 1.1 Рациональные числа 1.2 Действительные числа 1.3 Комплексные числа 2 Квадратный корень как элементарная функция 2.1 Вещественный анализ 3 Комплексный анализ 4 Обобщения 5 Квадратный корень в элементарной геометрии 6 Квадратный корень в информатике 7 Алгоритмы нахождения квадратного корня 7.1 Разложение в ряд Тейлора 7.2 Арифметическое извлечение квадратного корня 7.3 Грубая оценка 7. 4 Геометрическое извлечение квадратного корня 7.5 Итерационный аналитический алгоритм 7.6 Столбиком 8 См. также 9 Примечания 10 Ссылки

Применение операции корня к числам

Квадратный корень из числа  — это такое число, квадрат которого (результат умножения на себя) равен , то есть решение уравнения относительно переменной .^[1][2] Часто под этим понятием подразумевают более узкое — т. н. арифметический квадратный корень — неотрицательное число.

Рациональные числа

Корень из рационального числа является рациональным числом, только если и (после сокращения общих множителей) являются квадратами натуральных чисел.

Непрерывная дробь корня из рационального числа всегда является периодической (возможно с предпериодом) что позволяет с одной стороны легко вычислять хорошие рациональные приближения к ним с помощью линейных рекуррент, а с другой стороны ограничивает точность приближения: , где зависит от ^[3][4]. Верно и обратное: любая периодическая цепная дробь является квадратичной иррациональностью.

Действительные числа

При натуральных уравнение не всегда разрешимо в рациональных числах, что и привело к появлению новых числовых полей. Древнейшее из таких расширений — поле вещественных (действительных) чисел.

Теорема. Для любого положительного числа a существует ровно два вещественных корня, которые равны по модулю и противоположны по знаку.^[5]

Неотрицательный квадратный корень из положительного числа называется арифметическим квадратным корнем и обозначается с использованием знака радикала .^[6]

Комплексные числа

Над полем комплексных чисел решений всегда два, отличающихся только знаком (за исключением квадратного корня из нуля). Корень из комплексного числа часто обозначают как , однако использовать это обозначение нужно осторожно. Распространённая ошибка:

Для извлечения квадратного корня из комплексного числа удобно использовать экспоненциальную форму записи комплексного числа: если

,

то (см. Формула Муавра)

,

где корень из модуля понимается в смысле арифметического значения, а k может принимать значения k=0 и k=1, таким образом в итоге в ответе получаются два различных результата.

Квадратный корень как элементарная функция

Вещественный анализ

График функции

Квадратным корнем называют также функцию вещественной переменной , которая каждому ставит в соответствие арифметическое значение корня.^[7] Эта функция является частным случаем степенной функции с . Эта функция является гладкой при , в нуле же она непрерывна справа, но не дифференцируема.

Как функция комплексного переменного корень — двузначная функция, листы которой соединяются в начале координат.

Обобщения

Квадратные корни вводятся как решения уравнений вида и для других объектов: матриц^[8], функций^[9], операторов^[10] и т. п. В качестве операции при этом могут использоваться достаточно произвольные мультипликативные операции, например, суперпозиция.

В алгебре применяется следующее формальное определение: Пусть  — группоид и . Элемент называется квадратным корнем из если .

Квадратный корень в элементарной геометрии

Квадратные корни тесно связаны с элементарной геометрией: если дан отрезок длины 1, то с помощью циркуля и линейки можно построить те и только те отрезки, длина которых записывается выражениями, содержащими целые числа, знаки четырёх действий арифметики, квадратные корни и ничего сверх того. ^[11]

Квадратный корень в информатике

Во многих языках программирования функционального уровня (а также языках разметки типа LaTeX) функция квадратного корня обозначается как sqrt (от англ. square root «квадратный корень»).

Алгоритмы нахождения квадратного корня

Нахождение или вычисление квадратного корня заданного числа называется извлечением (квадратного) корня.

Разложение в ряд Тейлора

при .

Арифметическое извлечение квадратного корня

Для квадратов чисел верны следующие равенства:

и так далее.

То есть, узнать целую часть квадратного корня числа можно, вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, и посчитав количество выполненных действий. Например, так:

Выполнено 3 действия, квадратный корень числа 9 равен 3.

Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не точнее. В то же время такой способ вполне доступен детям, решающим простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного корня.

Грубая оценка

Многие алгоритмы вычисления квадратных корней из положительного действительного числа S требуют некоторого начального значения. Если начальное значение слишком далеко от настоящего значения корня, вычисления замедляются. Поэтому полезно иметь грубую оценку, которая может быть очень неточна, но легко вычисляется. Если S ≥ 1, пусть D будет числом цифр S слева от десятичной запятой. Если S < 1, пусть D

будет числом нулей, идущих подряд, справа от десятичной запятой, взятое со знаком минус. Тогда грубая оценка выглядит так:

Если D нечётно, D = 2n + 1, тогда используем

Если D чётно, D = 2n + 2, тогда используем

Два и шесть используются потому, что и

При работе в двоичной системе (как внутри компьютеров), следует использовать другую оценку (здесь D это число двоичных цифр).

Геометрическое извлечение квадратного корня

В частности, если , а , то ^[12]

Итерационный аналитический алгоритм

Основная статья: Итерационная формула Герона

тогда

Столбиком

Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью. Такой способ может быть освоен даже школьником. К недостаткам способа можно отнести увеличивающуюся сложность вычисления с увеличением количества найденных цифр.

Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Выписывается число, корень которого ищем. Справа от него будем постепенно получать цифры искомого корня. Пусть извлекается корень из числа с конечным числом знаков после запятой. Для начала мысленно или метками разобьём число N на группы по две цифры слева и справа от десятичной точки. При необходимости, группы дополняются нулями — целая часть дополняется слева, дробная справа. Так 31234.567 можно представить, как 03 12 34 . 56 70. В отличие от деления снос производится такими группами по 2 цифры.

1. Записать число (в примере — 69696) на листке.
2. Найти , квадрат которого меньше или равен группе старших разрядов числа (старшая группа — самая левая не равная нулю), а квадрат больше группы старших разрядов числа. Записать найденное справа от N (это очередная цифра искомого корня). (На первом шаге примера , а ).
3. Записать квадрат под старшей группой разрядов. Провести вычитание из старшей группы разрядов выписанного квадрата числа и записать результат вычитания под ними.
4. Слева от этого результата вычитания провести вертикальную черту и слева от черты записать число равное уже найденным цифрам результата (мы их выписываем справа от N) умноженное на 20. Назовём это число . (На первом шаге примера это число просто есть , на втором ).
5. Произвести снос следующей группы цифр, то есть дописать следующие две цифры числа справа от результата вычитания. Назовем число, полученное соединением результата вычитания и очередной группы из двух цифр. (На первом шаге примера это число , на втором ). Если сносится первая группа после десятичной точки числа , то нужно поставить точку справа от уже найденных цифр искомого корня.
6. Теперь нужно найти такое , что меньше или равно , но больше, чем . Записать найденное справа от N, как очередную цифру искомого корня. Вполне возможно, что окажется равным нулю. Это ничего не меняет — записываем 0 справа от уже найденных цифр корня. (На первом шаге примера это число 6, так как , но ) Если число найденных цифр уже удовлетворяет искомой точности прекращаем процесс вычисления.
7. Записать число под . Провести вычитание столбиком числа из и записать результат вычитания под ними. Перейти к шагу 4.

Наглядное описание алгоритма:

См. также

• Арифметический корень
• Корень квадратного уравнения
• Кубический корень
• Итерационная формула Герона
• Теорема Абеля — Руффини
• День квадратного корня
• Быстрый инверсный квадратный корень
• Вложенные радикалы

Примечания

1. ↑ «Корнем n-й степени из числа x называется число, n-я степень которого совпадает с x. При n = 2 и n = 3 корни называются соответственно квадратным и кубическим.» — определение из статьи «Алгебра» энциклопедии «Кругосвет»
2. ↑ «Извлечь корень n-й степени из числа а — это значит найти такое число (или числа) x, которое при возведении в n-ю степень даст данное число ()… Корень 2-й степени называется квадратным» — определение из статьи «Извлечение корня» «Большой советской энциклопедии» третьего издания.
3. ↑ Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел
4. ↑ См. А. Я. Хинчин, Цепные дроби, М. ГИФМЛ, 1960, §§ 4, 10.
5. ↑ Фихтенгольц, Григорий Михайлович. Курс дифференциального и интегрального исчисления Том. 1. Введение, § 4 // Мат. анализ на EqWorld
6. ↑ Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М., 1974 г., п. 1.2.1
7. ↑ Фихтенгольц, гл. 2, § 1
8. ↑ См., например: Гантмахер Ф. Р., Теория матриц , М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1953, или: Воеводин В., Воеводин В., Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ, Спб.: БХВ-Петербург, 2006.
9. ↑ См., например: Ершов Л. В., Райхмист Р. Б., Построение графиков функций, М.: Просвещение, 1984, или: Каплан И. А., Практические занятия по высшей математике, Харьков: Изд-во ХГУ, 1966.
10. ↑ См., например: Хатсон В., Пим Дж., Приложения функционального анализа и теории операторов, М. : Мир, 1983, или: Халмош П., Гильбертово пространство в задачах, М.: Мир, 1970.
11. ↑ Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. (ГЛАВА III Геометрические построения. Алгебра числовых полей)
12. ↑ Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. Стр. 148

Ссылки

• Алгоритмы вычисления квадратного корня
• A geometric view of the square root algorithm
• Соловьев Ю., Старый алгоритм

Чему равен корень из минус 1 — dj-sensor.ru

Главная » Компьютеры

На чтение 3 мин Просмотров 909 Опубликовано 12.01.2021

Дубликаты не найдены

У каждого слова есть значение. И значение слова мнимый — нереальный.

И ничего тут предполагать не надо. Это точное знание.

Запомните две истины, молодой человек. Во-первых не болтайте о том, в чем ничего не смыслите. Во-вторых комплексные числа — это не второе название мнимых чисел, а числа, которые состоят из реальной и мнимой частей.

Я опираюсь не на названия, а на то значение, которое имеют слова.

Натуральным или вещественным числом можно выразить количество предметов реального мира или результат измерений какого-то объекта реального мира.

Мнимым числом ничего измерить нельзя — это абстракция, которая введена для развития некоторых разделов математики.

Комплексным числом тоже нельзя выразить что либо в реальном мире, если только множитель мнимой части не нулевой.

У меня возникли сомнения в том, что вы понимаете слово «абстракция», уж простите. Как вы, к примеру, понимаете слово «существуют»?

Так как оно состоит из мнимой и действительной частей, то при нулевой мнимой части остается только действительная.

Таким образом вещественные числа — это подмножество комплексных чисел с нулевой мнимой частью.

А исходя из вашего определения, существует, например, огромный розовый слон, размером с планету, который живет на поверхности солнца.

Возможно дать то определение, которое вы в него вкладывает е при употреблении. Иначе как вы можете его употреблять не понимая смысла?

И да — мнимое число — это тоже подмножество комплексных чисел, с нулевой действительной частью.

Но, если у меня не получается дать, то определение, которое я пытаюсь вложить при употреблении.
Есть очень много спорных вещей.
Считать 0 четным или ни четным или не тем ни другим.
Это вопрос так называемой договорённости.
Мне кажется, что к вопросу о реальности можно подойти с разных сторон.
Судя по вашим доводам, комплексные числа нереальны.
Я хочу пойти по другой цепочке.
А можно ли считать числа искусственно созданным человеком аппаратом для его нужд?
По идее, всё, что создано человеком реально.
=> комплексные числа с этой точки зрения реальны.

В математике, физике мнимая единица обозначается как латинская i или j. Она позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Точное определение зависит от способа этого расширения.

Основной причиной введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение f(x) = 0 с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Например, уравнение x2 + 1 = 0 не имеет вещественных корней. Однако если предположить, что корнями являются комплексные числа, тогда это уравнение, как и любое другое полиномиальное уравнение, имеет решение.

Исторически мнимая единица была введена для решения кубического уравнения, так как если такое уравнение имеет три вещественных корня, для получения двух из них по формуле Кардано требуется брать комплексные значения используемых кубических корней.

Автор Владимер грошев пенсионер. задал вопрос в разделе Естественные науки

Чему равен корень из минус единицы? и получил лучший ответ

Ответ от Krab Вark[гуру]
Мнимой единице. Обозначается символом i, в электротехнике обычно как j, чтобы отличить от тока.
Если подробнее — изобретение чисел начинали с множества натуральных чисел, затем появились дробные, затем придумали ноль и отрицательные, но на этом не остановились. Следующим, но далеко не последним шагом, были мнимые и комплексные числа, среди них появились и корни из любых отрицательных чисел.

• Автор: Мария Сухоруких
• Распечатать

Оцените статью:

(3 голоса, среднее: 3.7 из 5)

Поделитесь с друзьями!

Квадратный корень из произведения отрицательных чисел

спросил 3 года 3 месяца назад

Изменено 3 года, 3 месяца назад

Просмотрено 995 раз

$\begingroup$

Меня интересует конкретное правило о квадратном корне из произведения двух чисел. Пусть $a,b>0$. затем $$ \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}. $$ У нас также есть это $$ \sqrt{-ab}=\sqrt{-a}\sqrt{b}. $$ Однако неправда, что $$ \sqrt{(-a)(-b)}=\sqrt{-a}\sqrt{-b}. $$ Действительно, если бы это было правдой, мы бы получили $1=\sqrt{1}=\sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=i^2=-1 $, противоречие.

У меня следующий вопрос: есть ли более веская причина, делающая это невозможным? Я имею в виду, кроме того, что это приводит к противоречию с тем, что мы знаем из действительных и комплексных чисел. Существует ли обобщение определения корня, включающее в себя такого рода манипуляции? Я ищу более глубокое понимание, любое понимание приветствуется.

• комплексные числа
• действительные числа
• радикалы

$\endgroup$

7 92 = г . $$ Не существует последовательного способа выбрать один из этих корней и назвать его $\sqrt{z}$, если только $z$ не окажется вещественным и положительным. В этом случае это выражение всегда означает положительный корень. Только в этой области $\sqrt{\ }$ является функцией.

Часто удобно писать $\sqrt{-r} = i\sqrt{r} $ для положительного действительного $r$, но это не формальное определение. Использование его в качестве одного приводит к противоречию в вопросе.

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Операция квадратного корня более честно рассматривается как функция, которая имеет два возможных значения. Лучше всего это пояснить на примере: $$\begin{выровнено} \sqrt{0} &= \{0\} \\ \sqrt{1} &= \{1, -1\} \\ \sqrt{-4} &= \{2i, -2i\} \\ \sqrt{2i} &= \{1 + i, -1 -i \} \end{выровнено}$$ Если мы интерпретируем квадратный корень так, где «умножение множеств» означает взятие всех возможных произведений, тогда все проблемы исчезнут: $$ \sqrt{1} = \{1, -1\} = \{i, -i\} \cdot \{i, -i\} = \sqrt{-1} \sqrt{-1}$$ но, к сожалению, я не могу продолжать, говоря $\sqrt{-1} \sqrt{-1} = i \cdot i = -1$, так как $\sqrt{-1}$ не равно $i$, оно равно на множество $\{i, -i\}$. Если вы принудительно выберете одно значение из квадратного корня, это нарушит его алгебраические свойства.

Вы можете выбрать один и только один из этого списка:

1. Квадратный корень — это функция, результатом которой является одно значение. Следует соблюдать осторожность при выполнении алгебры под знаком радикала.
2. Квадратный корень — это функция, результатом которой может быть множество значений. Вы можете свободно заниматься алгеброй под знаком радикала.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

В дополнение к другим ответам, я думаю, что часть «более глубокой» причины «закона» $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ заключается в том, что поле комплексных чисел не 92 = a$, и именно это соглашение делает формулу $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$.

Однако поле комплексных чисел, $\mathbb C$, не является упорядоченным полем, и на самом деле нет разумного способа сделать его таковым. Учитывая два комплексных числа, невозможно сказать, какое из них «первое», а какое «второе»; если представить, что вы сидите в точке $\mathbb C$, то нет четкого способа сказать, какой путь вперед, а какой — назад. {a \operatorname{Журнал} z} $$ А поскольку $\operatorname{Log}(z)$ — многозначная функция, степенная функция тоже многозначна. Это объясняет, почему есть два ответа на ваш квадратный корень.

См. эту страницу для дальнейшего изучения.

$\endgroup$

2

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

комплексных чисел — Могут ли квадратные корни быть отрицательными?

Внимательно прочитайте первый абзац того, что Википедия говорит о квадратных корнях, отметив разницу между определениями «квадратный корень» и «главный квадратный корень»:

https://en.wikipedia.org/wiki/Square_root

$\sqrt{x} \ $ не означает «квадратный корень из x». $\sqrt{x} \ $ означает, по определению, $\mathit{\ главный \ квадратный \ корень \ }$ из x, что означает, $\mathit{\ квадратный \ корень \ из \ x \ с \ положительным \ реальная \ часть }$ . Обратите внимание, что это определение можно применять и к комплексным числам, например. на следующий вопрос A-Level:

Если бы мы не требовали, чтобы главный квадратный корень имел положительную действительную часть, то ответ был бы таким: Решения равны 7-3i и -7+3i, тогда как с учетом определения главного квадратного корня, которое является стандартным соглашением , мы должны отбросить -7+3i, но оставить 7-3i как решение.

4 и −4 являются квадратными корнями из 16.

Однако $\sqrt{16} = 4$, $\mathit{not} \pm 4$.

В качестве дополнительных доказательств в пользу моего понимания общепринятого значения $\sqrt{} \ \ $, в PMA Рудина теорема 1.21 утверждает: 9{1/n}$.

Как ни странно, как указал LegionMammal978 в комментариях, Рудин упустил в своей книге тот факт, что y положительный.

Возвращаясь к первоначальным вопросам,

«Я знаю, что квадратный корень из действительных чисел не может быть отрицательным. Значит, t не может быть реальным.»

Согласен.

«Но я не знаю, может ли квадратный корень из мнимых чисел быть отрицательным или нет.»

Все комплексные числа имеют два квадратных корня (хотя они могут быть повторами). Воображаемое число, например $9i$ будет иметь два комплексных квадратных корня. Это верно и для комплексных чисел — у них тоже есть два комплексных квадратных корня.

Я на самом деле думаю, что вы хотели спросить здесь: «Можем ли мы извлечь корень из $\mathit{отрицательного}$ числа?» В сложной области да, но мы должны быть осторожны, если мы вычисляем главный квадратный корень и используем знак $\sqrt{} \ \ $. см.:

https://en.wikipedia.org/wiki/Imaginary_unit#Proper_use

, чтобы узнать, почему и когда мы должны быть осторожны.

-4 имеет два комплексных квадратных корня, а именно $2i$ и $-2i$. Поскольку действительная часть обоих этих квадратных корней равна 0, либо оба, либо ни один из них не считаются главными квадратными корнями, в зависимости от того, определяете ли вы главный квадратный корень как имеющий неотрицательную действительную часть или строго положительную действительную часть. Честно говоря, я не уверен, какой из них является «принятым/стандартным соглашением», но если бы мне пришлось угадывать, я бы сказал, что последний вариант правильный, то есть оба являются главными квадратными корнями из -4. Я готов подтвердить, верны или нет мои подозрения относительно «принятой/стандартной конвенции», если у кого-то есть источники, подтверждающие их утверждение.

Если вы спросите, является ли число отрицательным, то в этом контексте вы неявно подразумеваете, что число действительное и отрицательное, или целое и отрицательное и т.

No related posts.