$\varnothing$
$\varnothing$
Оба уравнения не имеют решений
$\implies$ уравнения равносильны
п.2. Правила преобразования уравнений
При решении уравнения его стараются заменить более простым равносильным уравнением. При этом используют следующие правила.
п.3. Примеры
Пример 1. Решите уравнение $ \frac {1}{5}x = 12 — 7x$
Решение:
$ \frac {1}{5}x = 12 — 7x \iff \frac {1}{5}x + 7x = 12 \iff 7 \frac {1}{5}x = 12 \iff x = 12:7 \frac {1}{5} \iff$
$ x = 12 \cdot \frac {5}{36} = \frac {5}{3} =1 \frac {2}{3} $
Ответ: x = 1 \frac {2}{3}
Пример 2. Решите уравнение $ \frac {3x}{7} — \frac {x}{14} = 10$
Решение:
$ \frac {3x}{7} — \frac {x}{14} = 10 | \times 14 \iff 6x — x = 140 \iff 5x = 140 \iff x = 140 : 5 = 28$
Ответ: x = 28
Пример 3. Решите уравнение $7x — \frac {2}{5} =\frac 15 (3x+14)$
Решение:
$7x — \frac 25 = \frac 15 (3x + 14) | \times 5 \iff 35x — 2 = 3x + 14 \iff 35x — 3x = 14 + 2 \iff$
$ \iff 32x = 16 \iff x = \frac {16}{32} = \frac 12$
Ответ: x = \frac 12
Пример 4.
Решите уравнение $\frac {5x-1}{2} — \frac {3x+4}{8} = \frac {x-3}{4}$
Решение:
$\frac {5x-1}{2} — \frac {3x+4}{8} = \frac {x-3}{4} | \times 8 \iff 4(5x-1)-(3x+4)=2(x-3) \iff $
$ \iff 15x=2 \iff x= \frac {2}{15} $
Ответ: x = $\frac {2}{15}$
Пример 5. При каких значениях a равносильны уравнения
3(x-1)=5-x и ax=x+a
Решение:
Найдём корень первого уравнения
$3(x-1)=5-x \iff 3x-3=5-x \iff 3x+x=5+3 \iff 4x=8 \iff x=2$
Подставим во второе
$a \cdot 2=2+a \iff 2a-a=2 \iff a=2$
При a=2 оба уравнения имеют один корень x=2.
Ответ: a=2
Рейтинг пользователей
за неделю
- за неделю
- один месяц
- три месяца
Помогай другим
Отвечай на вопросы и получай ценные призы каждую неделю
См.
подробности
Решение уравнений с модулем
Решение уравнений и неравенств с модулем часто вызывает затруднения. Однако, если хорошо понимать, что такое модуль числа, и как правильно раскрывать выражения, содержащие знак модуля, то наличие в уравнении выражения, стоящего под знаком модуля, перестает быть препятствием для его решения.
Немного теории. Каждое число имеет две характеристики: абсолютное значение числа, и его знак.
Например, число +5, или просто 5 имеет знак «+» и абсолютное значение 5.
Число -5 имеет знак «-» и абсолютное значение 5.
Абсолютные значения чисел 5 и -5 равны 5.
Абсолютное значение числа х называется модулем числа и обозначается |x|.
Как мы видим, модуль числа равен самому числу, если это число больше или равно нуля, и этому числу с противоположным знаком, если это число отрицательно.
Это же касается любых выражений, которые стоят под знаком модуля.
Правило раскрытия модуля выглядит так:
|f(x)|= f(x), если f(x) ≥ 0, и
|f(x)|= — f(x), если f(x) < 0
Например |x-3|=x-3, если x-3≥0 и |x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0.
Чтобы решить уравнение , содержащее выражение, стоящее под знаком модуля, нужно сначала раскрыть модуль по правилу раскрытия модуля.
Тогда наше уравнение или неравенство преобразуется в два различных уравнения, существующих на двух различных числовых промежутках.
Одно уравнение существует на числовом промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно.
А второе уравнение существует на промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля отрицательно.
Рассмотрим простой пример.
Решим уравнение:
|x-3|=-x2+4x-3
1. Раскроем модуль.
|x-3|=x-3, если x-3≥0, т.е. если х≥3
|x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0, т.
е. если х<3
2. Мы получили два числовых промежутка: х≥3 и х<3.
Рассмотрим, в какие уравнения преобразуется исходное уравнение на каждом промежутке:
А) При х≥3 |x-3|=x-3, и наше уранение имеет вид:
x-3=-x2+4x-3
Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х≥3!
Раскроем скобки, приведем подобные члены:
x2 -3х=0
и решим это уравнение.
Это уравнение имеет корни:
х1=0, х2=3
Внимание! поскольку уравнение x-3=-x2+4x-3 существует только на промежутке х≥3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х2=3.
Б) При x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:
3-x=-x2+4x-3
Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х<3!
Раскроем скобки, приведем подобные члены. Получим уравнение:
x2-5х+6=0
х1=2, х2=3
Внимание! поскольку уравнение 3-х=-x2+4x-3 существует только на промежутке x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку.
Этому условию удовлетворяет только х1=2.
Итак: из первого промежутка мы берем только корень х=3, из второго — корень х=2.
Ответ: х=3, х=2
3-8
Кубический корень — это то же самое, что возведение в степень 1/3?
Недавно я столкнулся с интересным несоответствием, связанным с функцией кубического корня.
Кубический корень
В Wolfram|Alpha (который использует систему компьютерной алгебры Mathematica в своей основе), если вы попросите его построить график, вы получите следующее, как и ожидалось:
[Источник изображения: Wolfram|Alpha]
В поле поиска я ввел «кубический корень из x», и он указал, что «Результат» был правильно записан как .
Этот график является отражением графика y = x 3 в линии y = x . Это обратные функции.
Мы знаем, что этот кубический корень из отрицательного числа является отрицательным, поэтому, например, и мы можем видеть, что это имеет смысл на графике выше.
Wolfram|Alpha утверждает, что существует один корень ( x = 0), а домен и диапазон являются действительными числами, что согласуется с графиком выше.
ПРИМЕЧАНИЕ:
Мелким шрифтом Wolfram|Alpha указано:Предположим, что «кубический корень из» является действительным корнем.
Есть возможность посмотреть «главный корень», но это дало тот же результат.
Возведение в степень 1/3
На раннем этапе изучения корней и дробных степеней мы узнаем, что можем записывать корни в терминах дробных показателей. В общем, это означает:
Таким образом, для квадратного корня мы имеем:
и для кубического корня:
.
Таким образом, мы ожидаем, что график для будет таким же, как и график для .
Но это не так. Вот что возвращает Wolfram|Alpha, когда я прошу его построить график:
[Источник изображения: Wolfram|Alpha]
Синяя кривая помечена как «реальная часть», а красная — как «воображаемая часть».
Любопытно, что значение «Ввод» указано как: , но на самом деле это не то, что я ввел. Итак, часть ответа касается, а остальная часть ответа — нет.
Мы знаем из раздела о комплексных корнях (см. особенно Упражнение 4 в конце), что кубическое уравнение будет иметь 3 корня (точно так же, как квадратное уравнение имеет 2 корня).
Эти 3 корня могут быть действительными или смесью действительных и комплексных корней.
Wolfram|Alpha верно указывает, что существуют мнимые части, но правилен ли их график? Ведь кубический корень из отрицательного числа должен быть отрицательным?
Пример: Чему равны все кубические корни из −8?
Я немного уменьшил масштаб, чтобы получить этот график, и добавил несколько направляющих сегментов (зеленым цветом):
[Источник изображения: Wolfram|Alpha]
Используя то же мышление, что и в упражнении 4, упомянутом ранее, комплексные решения для x 3 = −8 должны быть разделены на 120°, что дает (где ):
x = −2
x = 1 + 1,73j
x = 1 − 1,73j
Приведенный выше график дает нам одно из этих решений (среднее, поскольку мы видим, что действительная часть равна 1, а мнимая часть равна 1,73), но не дает двух других решений.
И снова страница сообщает нам, что предполагается «главный корень», и дает нам возможность выбрать «действительнозначный корень».
Если мы сделаем это на этот раз, мы получим настоящую версию только для root, выглядящую как график в верхней части страницы.
Ответ Scientific Notebook
Scientific Notebook дает следующие 2 графика, которые я наложил друг на друга.
Синий график — , и Scientific Notebook дает полное действительное решение (в первом и третьем квадрантах), а пурпурный (розовый) график — только в положительном квадранте.
Ответы Geogebra и Desmos
И Geogebra, и Desmos дают один и тот же график «полного реального значения» для обоих и .
Проблема аналогична квадратному корню
Я уже писал о количестве решений для √16. Ответ есть, конечно, одно решение, тогда как если вас попросят решить, вы получите 2 решения.
Wolfram|Alpha и Scientific Notebook признают, что есть разница между (каждый раз есть один «главный» ответ) и , где нам нужно помнить комплексные корни.
Заключение
Не верьте компьютеру на слово, когда он дает вам график или решение какого-то уравнения.