Корень из комплексного числа в алгебраической форме : Чулан (М)
Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное
Правила форума
В этом разделе нельзя создавать новые темы.
| qx87 |
| ||
05/11/11 |
| ||
| |||
| ИСН |
| |||
18/05/06 |
| |||
| ||||
Если угодно найти в явном таком же виде , то это сводится к решению кубического уравнения, там формула-то есть, но в ней тоже кубический корень.| qx87 |
| ||
05/11/11 |
| ||
|
| |||
| ИСН |
| |||
18/05/06 |
| |||
| ||||
| qx87 |
| ||
05/11/11 |
| ||
| |||
| ИСН |
| |||
18/05/06 с Территории |
| |||
| ||||
08.2015, 12:44 | nnosipov |
| |||
20/12/10 |
| |||
| ||||
08.2015, 13:23 | ewert |
| |||
11/05/08 |
| |||
| ||||
| Mavlik |
| ||
27/03/12 |
| ||
| |||
08.2015, 23:36 | Evgenjy |
| ||
13/08/14 |
| ||
| |||
| ИСН |
| |||
18/05/06 |
| |||
| ||||
| nnosipov |
| |||
20/12/10 |
| |||
| ||||
08.2015, 11:58 
| ИСН |
| |||
18/05/06 |
| |||
| ||||
Это радует, что всё получилось как надо. Но мой пойнт был в том, что эту систему вовсе не стоит решать: уравнения меньше третьей степени там ожидать нельзя, а третьей — у нас и так уже есть. А то, что оно комплексное, ничего не значит. Они все комплексные.| ewert |
| |||
11/05/08 |
| |||
| ||||
| Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию |
| Страница 1 из 1 | [ Сообщений: 14 ] |
Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |
| Найти: |
Корни комплексных чисел без Де Муавра
Поиск корней комплексных чисел может быть… сложным.
В этом посте описывается способ вычисления корней любых чисел — действительных или комплексных — с помощью систем уравнений без каких-либо преобразований в полярную форму или использования теоремы Де Муавра. Следуя «традиционному подходу», за одним примером, не связанным с технологиями, следует упрощение процесса CAS.
ТРАДИЦИОННЫЙ ПОДХОД:
Большинство источников описывают следующую процедуру для вычисления корней комплексных чисел (очевидно, включая подмножество действительных чисел).
- Запишите комплексное число, корень которого ищется, в общей полярной форме. При необходимости конвертируйте из декартовой формы.
- Примените теорему Де Муавра, чтобы получить полярную форму всех корней.
- При необходимости преобразовать числа из полярной формы обратно в декартову.
В качестве очень быстрого примера:
Вычислить все квадратные корни из -16.
Перефразируя, здесь запрашиваются все комплексные числа, z , которые удовлетворяют .
Основная теорема алгебры гарантирует два решения этого квадратного уравнения.
Комплексное декартово число, , преобразуется в полярную форму, , где . В отличие от декартовой формы, полярные представления чисел не уникальны, поэтому любое полное вращение от исходного представления было бы совпадающим и, следовательно, эквивалентным при преобразовании в декартово. Для любого целого числа n это означает
Привлечение теоремы Де Муавра,
Для , это дает полярные решения, и . Каждую из них можно преобразовать обратно в декартову форму, получив два квадратных корня из -16: и . Возведение в квадрат дает -16, что подтверждает результат.
Я всегда находил вращательную симметрию комплексных корней любого числа красивой, особенно для корней более высокого порядка. Эта симметрия прекрасно отражена в теореме Де Муавра, но, возможно, существует более простой способ их вычисления.
НОВЫЙ(?) НЕТЕХНИЧЕСКИЙ ПОДХОД:
Поскольку решение для каждого вычисления комплексных чисел может быть записано в форме, открываются новые возможности.
Исходный пример можно перефразировать:
Определите одновременные действительные значения x и y, для которых .
Начните с расширения и упрощения правой стороны обратно в форму. (Я писал о потенциально более простом подходе к упрощению степеней i в моем последнем посте.)
Обратите внимание, что два конца предыдущей строки — это два разных выражения для одного и того же комплексного числа. Следовательно, приравнивание действительных и мнимых коэффициентов дает систему уравнений:
Решение этой системы дает квадратные корни из -16.
Из последнего уравнения либо или . Подстановка в первое уравнение дает невозможное уравнение, потому что x и y являются действительными числами, как указано выше.
Подстановка в первое уравнение дает , что приводит к . Итак, и -ИЛИ- и являются единственными решениями– и –те же решения, найденные ранее, но на этот раз без использования полярной формы или Де Муавра! Обратите также внимание на то, что наличие ДВУХ решений возникло естественным образом.
Корни более высокого порядка могут привести к гораздо более сложным системам уравнений, но CAS может решить эту проблему.
CAS ПОДХОД:
Определить все корни четвертой степени .
Это эквивалентно нахождению всех одновременных значений x и y, удовлетворяющих . Расширение правой стороны быстро выполняется на CAS. Из моего CAS TI-Nspire:
Обратите внимание, что вывод упрощен до формы, которая в контексте этого конкретного примера дает систему уравнений,
Использование моего CAS для решения системы,
Во-первых, обратите внимание, что, как и ожидалось, есть четыре решения. Переписывая приближенный числовой вывод, мы получаем четыре комплексных корня четвертой степени из : , , и . Каждый может быть быстро подтвержден на CAS:
ВЫВОД:
При наличии надлежащей технологии нахождение нескольких корней комплексного числа не требует использования полярных представлений или теоремы Де Муавра.
Это действительно так же «просто», как расширение, где n — заданный корень, упрощение расширения до формы и решение полученной системы уравнений 2 × 2.
В тот момент, когда такие задачи будут представлены учащимся, их алгебраические знания должны быть такими, чтобы использование CAS для выполнения всей тяжелой алгебраической работы было вполне уместным.
В качестве последнего взгляда на красоту комплексных корней я ввел два уравнения из последней системы в Desmos, чтобы воспользоваться его очень хорошими неявными графическими возможностями. Вы видите четыре пересечения, соответствующие четырем решениям системы. Общеизвестно, что решения систем неявных уравнений трудно вычислить, поэтому я не удивился, когда Desmos не вычислил координаты точек пересечения, хотя график был красивым и на удивление быстрым.
Нравится:
Нравится Загрузка…
Запись опубликована в CAS с пометкой «комплексные числа», CAS, Теорема Де Муавра, Десмос, решение задач, корни, квадратный корень, TI Nspire.
Добавьте постоянную ссылку в закладки.
Корни комплексных чисел
Мнимый корень квадратной или полиномиальной функции называется комплексным корнем. Эти комплексные корни, которые выражаются как α = a + ib и β = c + id, являются типом комплексного числа. Мнимые корни квадратных уравнений со значением дискриминанта меньше нуля (D<0) представляются в виде комплексных целых чисел. Комплексные корни имеют действительную и мнимую части, и для вычисления комплексных корней можно использовать формулу i² = -1.
Корни комплексных чиселКомплексные корни — это мнимые корни квадратных уравнений, выраженные в виде комплексных целых чисел.
Поскольку извлечение квадратного корня из отрицательного числа невозможно, мы преобразуем его в комплексное число. Уравнения со значениями дискриминанта меньше нуля являются квадратными уравнениями.
b²-4ac<0 , я получаю сложные корни, преобразуя их с помощью. i²D в данном случае означает -D.
Комплексные целые числа a + ib используются для выражения комплексных корней. Реальная составляющая и искусственная сторона составляют комплексный корень. Z = a + ib — обычное представление комплексного корня. Здесь «а» обозначает действительную составляющую комплексного числа, т. е. Re(Z), а «b» обозначает мнимую часть, т. е. Im (Z). Здесь используется мнимое число ib.
Буква i обозначается как йота в мнимой составляющей комплексного числа. Чтобы определить квадратный корень из любого отрицательного числа, йота – i весьма полезна. Здесь i² = -1, а отрицательное число -N записывается как i²N, которое теперь стало положительным целым числом.
Свойства комплексных корнейВеличина комплексных корней
Комплексный корень α= a + ib представлен на плоскости Арганда в виде точки (a, +b), а расстояние между этой точкой и начало (0, 0) называется модулем комплексного числа.
Расстояние рассчитывается как основное линейное расстояние.
r= √a²+b²
Модуль комплексного корня представлен гипотенузой прямоугольного треугольника, основанием является действительная составляющая, а высота — мнимая часть, что легко понять с помощью теоремы Пифагора.
Аргумент комплексных корней
Комплексный корень можно представить в виде точки на плоскости аргана, а линия, соединяющая эту точку с началом координат, образует угол с положительной осью x в плоскости аргана, который известен как аргумент комплексного числа.
Инверсия тригонометрического тангенса мнимой составляющей, деленная на действительную часть, дает аргумент комплексного корня. что равно Arg z(θ)=b / a
Полярное представление комплексных корней
Модуль и аргумент комплексного числа в плоскости арганда могут использоваться для представления комплексного корня в полярной форме.
r(cosθ + isinθ ) — полярная форма сложного корня α= a + ib. Модуль комплексного корня равен r, а его аргумент равен θ.
Сложный корень, обратный
С помощью обратного сложного корня можно разделить один сложный корень на другой сложный корень. Произведение одного сложного корня на обратную величину другого сложного корня равно делению одного сложного корня на другой сложный корень.
Обратный комплексный корень α=a+ib равен a-1=1 / a+ib=a-ib / a²+b²=a / a²+b²
Определение корней комплексных чиселПри поиске корни комплексных чисел, помните о следующих процедурах.
- Обязательно преобразуйте комплексное число в полярную форму, если оно все еще имеет прямоугольную форму.
- Найдите или возведите в степень 1/n корень n-й степени
- Если нам нужно найти корень n-й степени, мы будем использовать формулу k= {0,1,2..n- 1}.
- Начните с деления θ на n, чтобы найти аргумент первого корня.
В этой статье мы делаем вывод, что мы можем легко получить корни комплексных чисел, взяв корень по модулю и разделив аргумент комплексных чисел на указанный корень.