Корни квадратные уравнения: Квадратные уравнения — урок. Алгебра, 8 класс.

Содержание

§ Квадратные уравнения. Формула для корней квадратного уравнения

Как решать квадратные уравнения Дискриминант Неполные квадратные уравнения

В предыдущих уроках мы разбирали «Как решать линейные уравнения», то есть уравнения первой степени. В этом уроке мы разберем, что называют квадратным уравнением и как его решать.

Что называют квадратным уравнением

Важно!

Степень уравнения определяют по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное.

Если максимальная степень, в которой стоит неизвестное — «2», значит, перед вами квадратное уравнение.

Примеры квадратных уравнений

  • 5x2 − 14x + 17 = 0
  • −x2 + x + = 0
  • x2 + 0,25x = 0
  • x2 − 8 = 0

Важно! Общий вид квадратного уравнения выглядит так:

ax2 + bx + c = 0

«a», «b» и «c» — заданные числа.

  • «a» — первый или старший коэффициент;
  • «b» — второй коэффициент;
  • «c» — свободный член.

Чтобы найти «a», «b» и «c» нужно сравнить свое уравнение с общим видом квадратного уравнения «ax2 + bx + c = 0».

Давайте потренируемся определять коэффициенты «a», «b» и «c» в квадратных уравнениях.

Уравнение Коэффициенты
5x2 − 14x + 17 = 0
  • a = 5
  • b = −14
  • с = 17
−7x2 − 13x + 8 = 0
  • a = −7
  • b = −13
  • с = 8
−x2 + x + = 0
  • a = −1
  • b = 1
  • с =
x2 + 0,25x = 0
  • a = 1
  • b = 0,25
  • с = 0
x2 − 8 = 0
  • a = 1
  • b = 0
  • с = −8

Как решать квадратные уравнения

В отличии от линейных уравнений для решения квадратных уравнений используется специальная формула для нахождения корней.

Запомните!

Чтобы решить квадратное уравнение нужно:

  • привести квадратное уравнение к общему виду «ax2 + bx + c = 0». То есть в правой части должен остаться только «0»;
  • использовать формулу для корней:

x1;2 =

−b ± √b2 − 4ac
2a

Давайте на примере разберем, как применять формулу для нахождения корней квадратного уравнения. Решим квадратное уравнение.

x2 − 3x − 4 = 0

Уравнение « x2 − 3x − 4 = 0 » уже приведено к общему виду «ax2 + bx + c = 0» и не требует дополнительных упрощений. Для его решения нам достаточно применить формулу нахождения корней квадратного уравнения.

Определим коэффициенты «a», «b» и «c» для этого уравнения.

Уравнение Коэффициенты
x2 − 3x − 4 = 0
  • a = 1
  • b = −3
  • с = −4

Подставим их в формулу и найдем корни.

x2 − 3x − 4 = 0
x1;2 =

−b ± √b2 − 4ac
2a

x1;2 =
−(−3) ± √(−3)2 − 4 · 1· (−4)
2 · 1

x1;2 =
3 ± √9 + 16
2

x1;2 =
3 ± √25
2

x1;2 =
3 ± 5
2

x1 =
3 + 5
2
x2 =
3 − 5
2
x1 =
x2 =
x1 = 4 x2 = −1

Ответ: x1 = 4; x2 = −1

Важно!

Обязательно выучите наизусть формулу для нахождения корней.

x1;2 =

−b ± √b2 − 4ac
2a

С её помощью решается любое квадратное уравнение.

В формуле «x1;2 =

−b ± √b2 − 4ac
2a

» часто заменяют подкоренное выражение
«b2 − 4ac» на букву «D» и называют дискриминантом. Более подробно понятие дискриминанта рассматривается в уроке «Что такое дискриминант».


Рассмотрим другой пример квадратного уравнения.

x2 + 9 + x = 7x

В данном виде определить коэффициенты «a», «b» и «c» довольно сложно. Давайте вначале приведем уравнение к общему виду «ax2 + bx + c = 0».

Используем правило переноса и упростим подобные члены.

x2 + 9 + x = 7x
x2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 − 6x = 0
x2 − 6x + 9 = 0

Теперь можно использовать формулу для корней.

x1;2 =

−(−6) ± √(−6)2 − 4 · 1 · 9
2 · 1

x1;2 =
6 ± √36 − 36
2

x1;2 =
6 ± √0
2

x1;2 =
6 ± 0
2

x =
x = 3
Ответ: x = 3


Бывают случаи, когда в квадратных уравнениях нет корней. Такая ситуация возникает, когда в формуле под корнем оказывается отрицательное число.

Мы помним из определения квадратного корня о том, что извлекать квадратный корень из отрицательного числа нельзя.

Рассмотрим пример квадратного уравнения, у которого нет корней.

5x2 + 2x = − 3
5x2 + 2x + 3 = 0
x1;2 =

−2 ± √22 − 4 · 3 · 5
2 · 5

x1;2 =
−2 ± √4 − 60
10

x1;2 =
−2 ± √−56
10

Ответ: нет действительных корней.

Итак, мы получили ситуацию, когда под корнем стоит отрицательное число. Это означает, что в уравнении нет корней. Поэтому в ответ мы так и записали «Нет действительных корней».

Важно!

Что означают слова «нет действительных корней»? Почему нельзя просто написать «нет корней»?

На самом деле корни в таких случаях есть, но в рамках школьной программы они не проходятся, поэтому и в ответ мы записываем, что среди действительных чисел корней нет. Другими словами «Нет действительных корней».

Неполные квадратные уравнения

Иногда встречаются квадратные уравнения, в которых отсутсвуют в явном виде коэффициенты «b» и/или «c». Как например, в таком уравнении:

4x2 − 64 = 0

Такие уравнения называют неполными квадратными уравнениями. Как их решать рассмотрено в уроке «Неполные квадратные уравнения».


Как решать квадратные уравнения Дискриминант Неполные квадратные уравнения

Квадратное уравнение и его корни 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

122. Квадратное уравнение и его корни

Квадратным уравнением называют уравнение вида ах2+bx+c = 0, где х –переменная, a, b, c – некоторые числа,

причем а≠0.

Приведем примеры квадратных уравнений:

2-5х+3 = 0, в этом уравнении а = 7, b = -5, с = 3;

-0,5х2+4 = 0, здесь a = -0,5; b = 0; c = 4;

2-6х = 0, здесь а = 3, b = -6, с = 0.

Числа а, b, с называют коэффициентами квадратного уравнения; а – первый коэффициент, b – второй коэффициент, с – свободный член.

Если а – коэффициент при х2 равен 1, то такое уравнение называется приведенным. Например, х2+4х+3 = 0.

Если второй коэффициент и/или свободный член равны 0, то такое квадратное уравнение называется

неполным.

Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:

ах2+с = 0, с≠0

ах2+bx = 0, b≠0

2 = 0

Рассмотрим решение каждого из этих видов:

  1. ах2+с = 0, с≠0

    ax2 = -c

    x2 = -c:a

    x=±-ca

  2. ах2+bx = 0, b≠0

    х(ах+b) = 0

    x1 = 0, x2 = -b:a

  3. 2 = 0

    x=0

Разберем решения на конкретных примерах.

  1. 2-125 = 0, здесь а = 5, b = 0, с = -125

    2 = 125

    х2 = 125:5 = 25

    х1 = 25 = 5

    х2 = -25 = -5

  2. 2+7х = 0

    x(6х+7) = 0

    x1 = 0

    6х+7 = 0

    6х = -7

    x2 = -76

  3. 23х2 = 0

    x2 = 0:23 = 0

    x = 0

Теперь рассмотрим решение квадратного уравнения, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Основной метод, который используется для выведения формул корней квадратных уравнений, – метод выделения полного квадрата. Рассмотрим несколько конкретных примеров квадратных уравнений, которые мы решим с помощью использования этого метода.

Пример 1. Решить квадратное уравнение х2-2х-3 = 0

Коэффициенты данного квадратного уравнения: а = 1, b = -2, c = -3.

Для применения метода выделения полного квадрата воспользуемся следующей формулой:

(x-t)2 = x2-2xt+t2

Метод выделения полного квадрата для данного примера состоит в том, чтобы подобрать число t так, чтобы -2xt = -2x. Значит, t=1.

Получаем:

x2-2x-3 = x2-2·x·1+12-12-3 = (x-1)2-4 = 0

Данное уравнение можно решать двумя способами.

Способ 1

(x-1)2 = 4

x-1 = ±2

Отсюда x = 3 или x = -1.

Ответ: -1; 3.

Способ 2

(x-1)2-4 = 0

(x-1)2-22 = 0

(x-1-2)(x-1+2) = 0

(x-3)(x+1) = 0

Произведение равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из его множителей равен 0. Поэтому данное уравнение эквивалентно двум: x-3 = 0, x = 3 и x+1 = 0, x = -1.

Ответ: -1; 3.

Мы рассмотрели метод выделения полного квадрата на частном примере. Рассмотрим еще один, чуть более сложный пример, в котором старший коэффициент не будет равняться 1.

Пример 2. Решить квадратное уравнение: 2x2-5x+2 = 0.

Коэффициенты данного квадратного уравнения: a = 2, b = -5, c = 2.

Прежде чем выделять полный квадрат, вынесем 2 за скобки в первых двух слагаемых:

2×2-52x+2=0

Теперь в скобках выделим полный квадрат. Опять же, необходимо подобрать t так, чтобы выполнялось -2tx=-52x. Значит, t=54.

Получаем следующее уравнение:

2×2-52x+2=2×2-2∙54∙x+542-542+2=2x-542-542+2=2x-542-258+2=2x-542-98=0

Отсюда:

2x-542=98

x-542=916

x-54=±34

Отсюда x=2 или x=12.

Ответ: 12; 2.

Разобрав конкретные примеры, можем перейти к получению общей формулы корней квадратного уравнения.

Итак, рассмотрим уравнение ax2+bx+c=0.

Вынесем старший коэффициент за скобки в первых двух слагаемых

ax2+bax+c=0.

Теперь выделим в скобочках полный квадрат

ax2+2∙b2a∙x+b2a2-b2a2+c=0

ax+b2a2-b24a2+c=0

ax+b2a2-b24a+c=0

ax+b2a2=b24a-c

ax+b2a2=b2-4ac4a

Теперь поделим обе части уравнения на a, так как знаем, что в квадратном уравнении a≠0

x+b2a2=b2-4ac4a2

Выражение D=b2-4ac называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D.

Пока мы будем считать, что в нашем уравнении D≥0, то есть из него можно извлечь корень.

Тогда получаем:

x+b2a2=D4a2

x+b2a=±D2a

x=-b±D2a

То есть x1=-b-D2a; x2=-b+D2a

Это и есть формула для корней квадратного уравнения в общем виде.

Если теперь мы вернемся к нашим примерам, то в уравнении x2-2x-3 = 0 дискриминант равен

D = (-2)2-4·1·(-3) = 4+12 = 16.

Тогда:

x1=-(-2)-42=-1;

x2=-(-2)+42=3.

Если дискриминант меньше нуля, то уравнение действительных корней не имеет.

О квадратных уравнениях в правильном порядке / Хабр

Как вам преподавали квадратные уравнения в школе? Это был 7-8 класс, примерно. Вероятнее всего, вам рассказали что есть формулы корней через дискриминант, что направление ветвей зависит от старшего коэффициента. Через пару занятий дали теорему Виета. Счастливчикам еще рассказали про метод переброски. И на этом решили отпустить.

Вы довольны такой базой? Вам не рассказали ни геометрический смысл, ни как это получить.

Спустя некоторое время обдумывания сей несправедливости, я решил написать эту статью и тем самым закрыть гештальт о фрагментарности знаний.

Вы не найдете здесь ничего нового по факту, но, возможно, это даст посмотреть на такое простое понятие с другой стороны.

Начнем с конца

Когда я перечислял темы, касающиеся квадратных уравнений, я делал это примерно в том же порядке, в котором изучают их в школе. Но такой порядок не оправдан с точки зрения обучения, и вот почему:

  • Дискриминант дается просто как данность (за редким исключением, когда показывают вывод этих формул через приведение к полному квадрату)

  • Мощнейшая по своей сути теорема Виета дается в конце и только как эвристический способ решения

Гораздо проще начать с теоремы Виета.

Рассмотрим квадратный трехчлен

В силу основной теоремы алгебры (примем её как данность, так как её действительно тяжело доказать), мы знаем, что у этого уравнения должно быть два корня. Допустим, что это некоторые числа . Тогда можно переписать изначальное уравнение как выражение его корней:

Оба эти уравнения эквиваленты, так как они оба зануляются в (первое по определению , второе по построению).

Раскрывая скобки, мы получим следующее:

Откуда приравняв соответствующие коэффициенты с имеющимися, получим знаменитую систему:

Мы только что доказали теорему Виета на случай квадратного трехчлена. Это потрясающий результат: мы начинаем получать некоторую информацию о корнях, которые, как мы предположили, существуют. И этот результат мы будем использовать далее.

Геометрия параболы

Вершина

Здесь можно было бы рассказать весь первый курс алгебры университета: о фокусах, директрисах, о конических сечениях, первой и второй производной…

Но раз мы ограничились школьной программой (7-8 класс, если быть точным), то и рассуждения у нас будут простые.

Самая, на мой субъективный взгляд, интересная точка параболы – это её вершина. Она уникальным образом задает положение параболе и дает понимание о том, как устроены корни.

Но формулу для нее мы не знаем, до первых понятий о производной нам еще 3 года в среднем. Будем выкручиваться.

Парабола – симметричная фигура. До того момента, как мы сдвинули ее относительно оси , ось служит для нее осью симметрии. Когда же мы начинаем ее сдвигать, становится видно, что она продолжает быть симметричной, но уже относительно оси, проходящей через вершину.

Парабола, вершина и ось симметрии

Тогда от вершины в обе стороны до корней равные расстояния, а это значит, что вершина параболы лежит ровно между корнями. Тогда координата вершины это среднее между ее корнями

Пока что мы не знаем наши корни. Но благодаря теореме Виета мы знаем, чему равна сумма корней!

Потрясающий результат, который нам пригодится далее.

Ещё немного про корни

Мы знаем, что корни, графически, это те точки, в которых кривая пересекает ось . Очень полезное знание, учитывая, что смотря на параболу, исключительно визуально, мы понимаем что у нас может быть 3 случая:

  1. Корней нет, при этом

    1. Либо значение в вершине больше нуля и старший коэффициент больше нуля

    2. Либо значение в вершине меньше нуля и старший коэффициент меньше нуля

  2. Корень один, но кратности 2 (не забываем основную теорему алгебры), и значение в вершине равно нулю

  3. Корня два

Второй случай тривиален, до третьего мы еще дойдем. Интересно математически взглянуть на первый. Найдем значение квадратного трехчлена в вершине:

И теперь все же рассмотрим первый случай: парабола висит над осью ветвями вверх.

Первый случай

Домножим первое неравенство на . Учитывая, что , знак неравенства сменится на противоположный:

Это условие, при котором корней нет.

Рассмотрим вкратце противоположный случай: парабола висит под осью ветвями вниз.

Второй случай

Какая-то магия. Получается, что это условие инвариантно относительно положения параболы. Но тем оно лучше.

На данном этапе прошу заметить, что это только условие отсутствия действительных корней. Да, это похоже на дискриминант, но давайте представим, что вы этого не знаете.

Понятие дискриминанта

Мы уже многое поняли о корнях: в какой они связи с коэффициентами, когда они не существуют, каким образом они лежат относительно вершины. Все это безумно полезно, но это все до сих пор не способ найти значения алгебраически.

Давайте будем отталкиваться от того, что мы уже знаем: от вершины. Если бы мы каким-то образом знали расстояние между корнями, то могли бы однозначно найти и сами корни.

Таки что мешает нам это сделать? Но как настоящие математики, давайте находить квадрат расстояния между корнями. Не теряя общности, будем считать, что – больший корень. Тогда

Пока что выглядит не очень, но на что-то это очень сильно похоже. Не видите? Давайте выделим полный квадрат, но по сумме, а не по разности: добавим , но чтобы все осталось в точности так же, это же и вычтем.

Все еще не видите? Воспользуемся снова теоремой Виета:

Мы получили квадрат расстояния между корнями с учетом растяжения коэффициентом .

Так мы теперь можем найти корни! Вершина параболы да половину расстояния между корнями в обе стороны:

Или, немного преобразовав

Квадрат расстояния между корнями квадратного трехчлена и есть дискриминант.

В общем случае, дискриминант — более сложное понятие, связанное с кратными корнями. Но для квадратного уравнения в 7 классе этого достаточно.

Теперь, если рассуждать о дискриминанте как о расстоянии, становится логично и понятно, почему если он равен нулю, то корень всего один; а если отрицательный, то действительных корней вообще нет.

Заключение

Заметьте, что единственное, что мы предположили, что корня два и они существуют. Единственное, что приняли на веру, это основную теорему алгебры. До всего остального мы дошли исключительно умозрительными заключениями и простейшей алгеброй.

Как по мне, это именно то, как должны преподавать эту тему в школе.

Исследование корней квадратного уравнения — МАТВОКС

Исследование корней квадратного уравнения — МАТВОКС

Перейти к содержанию

ПОИСК

Страница Вконтакте открывается в новом окне

Вы здесь:

Исследование корней квадратного уравнения по его коэффициентам

 

Чтобы исследовать корни квадратного уравнения по его коэффициентам, необходимо свести его к приведенному виду:

  • Если c<0, то уравнение имеет вещественные корни c противоположными знаками.
  • Если c>0, то уравнение может иметь вещественные корни или не иметь вещественных корней.
  • Если c>0, и известно, что уравнение имеет вещественные корни, то:

если b>0, оба корня отрицательны,

если b<0, оба корня положительны.

Примечание 1

Данный метод исследования корней используют, когда нужно определить знаки корней.

Примечание 2

Вещественные корни – это все действительные числа (все рациональные и иррациональные числа). Дело в том, что на самом деле, корень четной степени из отрицательного числа существует (такие числа называют комплексными). Поэтому и оговаривается, что по коэффициентам можно судить только о корнях, которые являются действительными числами.

Пример 1

Так как c<0, то уравнение имеет 2 корня разных знаков.

Пример 2

В данном уравнении c>0, поэтому сразу не определить, имеет данное уравнение вещественные корни или не имеет. При решении уравнения становится ясно, что корней нет.

Пример 3

В данном уравнении c>0, поэтому сразу не определить, имеет данное уравнение вещественные корни или не имеет. Найденный дискриминант покажет, что данное уравнение имеет корни. Так как c>0 и b<0, то оба корня будут положительными.

Пример 4

В данном уравнении c>0, поэтому сразу не определить, имеет данное уравнение вещественные корни или не имеет. Найденный дискриминант покажет, что данное уравнение имеет корни. Так как c>0 и b>0, то оба корня будут отрицательными.

Исследование корней квадратного уравнения по дискриминанту

 

Дискриминант квадратного уравнения — это величина, которая находится по формуле:

  • Если D<0, вещественных корней нет,
  • Если D=0, один вещественный корень (т. е. два одинаковых), который находится по формуле:

 

Примечание

Данный метод исследования корней используют, когда нужно определить, имеет ли квадратное уравнение корни и сколько их.

 

Пример

 Рассмотрим квадратное уравнение и определим, имеет ли оно корни и сколько их:

Воспользуемся формулой дискриминанта:

Выделим коэффициенты:

Подставим их в формулу:

Итак,

Следовательно, рассматриваемое

квадратное уравнение имеет два корня.

Найдем их, воспользовавшись формулами корней:

Получим:

И:

Теорема Виета, чтобы исследовать корни квадратного уравнения

 

Применение теоремы Виета — исследование знаков корней

приведенного квадратного уравнения по его коэффициентам:

  • Если c<0, то произведение корней отрицательно, следовательно, корни имеют разные знаки.
  • Если c>0 и известно, что корни существуют, то произведение корней положительно, следовательно, корни имеют одинаковые знаки:

если

b>0, то сумма корней отрицательна, следовательно, оба корня отрицательны,

если

b<0, то сумма корней положительна, следовательно, оба корня положительны.

Применение обратной теоремы Виета для исследования корней

 

Обратную теорему Виета применяют, чтобы проверить, является ли пара чисел корнями квадратного уравнения.

Если нарушается одно или оба условия обратной теоремы, пара чисел не является корнями квадратного уравнения.

9E09BEAE0A118E93DED3D74128EA2C147A65428915829EB11235F7758F7B38C3

MATHVOX

Вверх

Этот сайт использует файлы cookies для более комфортной работы пользователя. Продолжая просмотр страниц сайта, вы соглашаетесь с использованием  файлов cookies. Если вам нужна дополнительная информация , пожалуйста, посетите страницу Политика Конфиденциальности Принять

Privacy & Cookies Policy

Don`t copy text!

Формулы корней в зависимости от коэффициентов квадратного уравнения

Формулы корней в зависимости от коэффициентов квадратного уравнения — МАТВОКС

Перейти к содержанию

ПОИСК

Страница Вконтакте открывается в новом окне

Вы здесь:

Если сумма коэффициентов в квадратном уравнении равна нулю

 

Пусть дано квадратное уравнение:

такое что:

В таких случаях один корень всегда равен

единице, а другой корень равен частному от деления свободного члена на первый коэффициент:

Пример

Найти корни квадратного уравнения:

Решение

Определим коэффициенты:

Найдем сумму коэффициентов:

Так как сумма коэффициентов в квадратном уравнении равна нулю, то:

Отсюда:

Корни квадратного уравнения, если a-b+c=0

 

Пусть дано квадратное уравнение:

такое что:

В таких случаях один корень всегда равен

минус единице, а второй корень равен минус частному от деления свободного члена на первый коэффициент:

Пример

Найти корни квадратного уравнения:

Решение

Определим коэффициенты:

Найдем:

Получим:

Так как выражение a-b+c равно нулю, то:

Следовательно:

Корни квадратного уравнения, если b=a

2+1, а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а»

 

Пусть дано квадратное уравнение:

такое что:

То есть, если квадратное уравнение можно представить как:

то, в таких случаях один корень всегда равен

минус первый коэффициент, а второй корень равен минус частному от деления единицы на первый коэффициент:

Пусть дано квадратное уравнение:

такое что:

То есть, если квадратное уравнение можно представить как:

то, в таких случаях один корень всегда равен

первому коэффициенту, а второй корень равен частному от деления единицы на первый коэффициент:

Другими словами, если в уравнении:

Коэффициенты равны:

То:

Пример 1

Найти корни квадратного уравнения:

Решение

Определим коэффициенты:

Найдем, чему равно :

Получим:

И:

Итак,

Таким образом, квадратное уравнение можно переписать:

Значит, корни будут равны:

Следовательно:

Пример 2

Найти корни квадратного уравнения:

Решение

Определим коэффициенты:

Найдем, чему равно :

Получим:

И:

Итак,

Таким образом, квадратное уравнение можно переписать:

Значит, корни будут равны:

Следовательно:

Корни квадратного уравнения, если b=a

2-1, а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а»

 

Пусть дано квадратное уравнение:

такое что:

То есть, если квадратное уравнение можно представить как:

то, в таких случаях один корень всегда равен

минус первый коэффициент, а второй корень равен частному от деления единицы на первый коэффициент:

Пусть дано квадратное уравнение:

такое что:

То есть, если квадратное уравнение можно представить как:

то, в таких случаях один корень всегда равен

первому коэффициенту, а второй корень равен минус частному от деления единицы на первый коэффициент:

Пример 1

Найти корни квадратного уравнения

Определим коэффициенты:

Найдем:

Получим:

И:

Итак,

Таким образом, квадратное уравнение можно переписать:

Значит, корни будут равны:

Следовательно:

 

Пример 2

 

Найти корни квадратного уравнения

Определим коэффициенты:

Найдем:

Получим:

И:

Итак,

Таким образом, квадратное уравнение можно переписать:

Значит, корни будут равны:

Следовательно:

9E09BEAE0A118E93DED3D74128EA2C147A65428915829EB11235F7758F7B38C3

MATHVOX

Вверх

Этот сайт использует файлы cookies для более комфортной работы пользователя. 2-4ac\),

где D – дискриминант, а a, b, c – коэффициенты квадратного уравнения.

 

Чем конкретно нам может помочь дискриминант?

  1. Если D < 0 – то квадратное уравнение не имеет решений;
  2. Если D = 0 – то уравнение будет иметь только один корень;
  3. Если D > 0 – то уравнение имеет два решения.

То есть благодаря дискриминанту мы будем знать о результате и количестве решений квадратного уравнения.

Итак, мы посчитали, чему равен наш дискриминант, потом определили количество решений уравнения, что дальше? А дальше определяем корни квадратного уравнения по формулам.

  1. В первом случае, когда D < 0, считать ничего не нужно, т.к. уравнение не имеет решений. Это значит, что корней квадратного уравнения на множестве действительных чисел нет.
  2. Во втором варианте, когда D = 0, решение будет одно и единственный корень квадратного уравнения будет равен: \(x=\frac{-b}{2a}\)
  3. Третий случай, при D > 0, наиболее сложный из всех трех возможных: в ответе должно получиться два корня квадратного уравнения.

\(x_1=\frac{-b+\sqrt D}{2a}\)– первый корень квадратного уравнения;

\(x_1=\frac{-b-\sqrt D}{2a}\)– второй корень квадратного уравнения.

 

Решение квадратных уравнений на самом деле не настолько сложное, как кажется на первый взгляд. Всего-то нужно запомнить несколько формул и алгоритм действий. Главное — не бояться вида квадратных уравнений, мы уверены: все у тебя получится! Запишись на бесплатный пробный урок тут и разберись с тем, что тебе непонятно.

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Наши преподаватели

Наталья Игоревна Шестакова

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Московский государственный открытый университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 1-5 классов. Я люблю математику за точность и порядок, за живость ума. Мне очень нравится работать с детьми и видеть результат работы и ними. Математика является фундаментом для всех наук. И независимо на каком языке разговаривают люди, они все подчиняются одинаковым и неизменным законам правилам математики. Мы с Вами можем окунуться в удивительный мир цифр, задач и формул, по которому будем путешествовать на волшебном пути знаний. Будем учиться совершенствоваться, поступательно двигаться вперед к намеченной цели. И обязательно ее достигнем! Я, в свою очередь, хочу передать все свои знания и умения, чтобы соприкасаться с Вами в этом замечательном пути. Дети — наше будущее и мы должны приложить все усилия для их развития и становления.

Ангелина Витальевна Брусенкова

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Гродненский государственный университет имени Янки Купалы

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по русскому языку для 1-8 классов. Самое большое чудо, что создал человек – это язык. Без языка невозможна жизнь на Земле, невозможно развитие человека, его культуры, искусства, науки и техники. На уроках мы будем изучать русский язык при помощи увлекательных заданий. Также обучаю белорусскому языку.

Лиля Алексеевна Шевченко

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Армавирский государственный педагогический институт

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по математике 5-9 классы. Подготовка к ВПР/ОГЭ, повышение успеваемости. Я люблю математику за то, что она учит логично мыслить, правильно доказывать сначала теорему, а потом и отстаивать свою точку зрения!

Похожие статьи

  • Касательная к окружности. Точка касания окружности
  • Свойства скалярного произведения
  • Как быстро умножить число на 1,5
  • Как найти делитель?
  • И снова про логарифмические неравенства
  • Решаем задание №13 из ОГЭ
  • Задачи на вычисление степенных выражений
  • Гипотиреоз у детей: симптомы и лечение

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Биоматематика: квадратичные функции

В этом разделе мы узнаем, как найти корень(и) квадратного уравнения. Корни также называют х — точками пересечения или нулями. Квадратичная функция графически изображается параболой с вершиной, расположенной в начале координат ниже оси x или выше оси x . Следовательно, квадратичная функция может иметь один, два или нулевые корни.

Когда нас просят решить квадратное уравнение, на самом деле нас просят найти его корни. Мы уже видели, что завершение квадрата является полезным методом решения квадратных уравнений. Этот метод можно использовать для вывода квадратной формулы, которая используется для решения квадратных уравнений. На самом деле корни функции

f ( x ) = ax 2 + bx + c

даются квадратичной формулой. Корни функции — это точки пересечения x . По определению координата х точек, лежащих на оси х , равна нулю. Следовательно, чтобы найти корни квадратичной функции, мы устанавливаем f ( x ) = 0 и решаем уравнение

топор 2 + бх + с = 0.

Мы можем сделать это, заполнив квадрат как,

Решая для x и упрощая имеем,

Таким образом, корни квадратичной функции задаются выражением

Эта формула называется квадратичной формулой , и ее вывод включен, чтобы вы могли видеть, откуда она взялась. Мы называем термин b 2 −4 ac дискриминант . Дискриминант важен, потому что он говорит вам, сколько корней имеет квадратичная функция. В частности, если

1. b 2 −4 ac < 0 Действительных корней нет.

2. b 2 −4 ac = 0 Существует один действительный корень.

3. б 2 −4 ак > 0 Есть два действительных корня.

Мы рассмотрим каждый случай индивидуально.

Случай 1: нет действительных корней

Если дискриминант квадратичной функции меньше нуля, эта функция не имеет действительных корней, а парабола, которую она представляет, не пересекает ось x . Поскольку квадратичная формула требует извлечения квадратного корня из дискриминанта, отрицательный дискриминант создает проблему, потому что квадратный корень из отрицательного числа не определен относительно действительной прямой. Пример квадратичной функции без действительных корней дан,

f ( х ) = х 2 — 3 х + 4.

Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) отрицателен,

б 2 -4 ак = (-3) 2 — 4 · 1 · 4 = 9 — 16 = -7.

Эта функция графически представлена ​​параболой, которая направлена ​​вверх, вершина которой лежит над осью x. Таким образом, граф никогда не может пересекать x — ось и не имеет корней, как показано ниже,

Вариант 2: один реальный корень

Если дискриминант квадратичной функции равен нулю, эта функция имеет ровно один действительный корень и пересекает ось x в одной точке. Чтобы увидеть это, мы устанавливаем b 2 −4 ac = 0 в квадратичной формуле, чтобы получить

Обратите внимание, что это координата x вершины параболы. Таким образом, парабола имеет ровно один действительный корень, когда вершина параболы лежит прямо на x — ось. Простейший пример квадратичной функции, имеющей только один действительный корень:

.

у = х 2 ,

, где реальный корень равен x = 0,

.

Другой пример квадратичной функции с одним действительным корнем дается выражением

.

f ( x ) = −4 x 2 + 12 x − 9,

Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) равно нулю,

б 2 -4 ак = (12) 2 — 4 · -4 · -9 = 144 — 144 = 0,

Эта функция графически представлена ​​параболой, которая раскрывается вниз и имеет вершину (3/2, 0), лежащую на оси x . Таким образом, график пересекает ось x ровно в одной точке (т.е. имеет один корень), как показано ниже,

 

 

Случай 3: два действительных корня

Если дискриминант квадратичной функции больше нуля, эта функция имеет два действительных корня ( x -пересечений). Извлечение квадратного корня из положительного действительного числа хорошо определено, а два корня равны

.

Пример квадратичной функции с двумя вещественными корнями:

ф ( х ) = 2 х 2 − 11 х + 5.

Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) больше нуля,

b 2 − 4 ac = (−11) 2 − 4 · 2 · 5 = 121 − 40 = 81.

Эта функция графически представлена ​​параболой, которая открывается вверх, вершина которой лежит ниже оси x . Таким образом, график должен пересекать ось x в двух местах (т.е. иметь два корня), как показано ниже,

*****

В следующем разделе мы будем использовать квадратную формулу для решения квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений

Квадратное уравнение. Формула, примеры

Квадратные уравнения представляют собой алгебраические выражения второй степени и имеют вид значит квадрат. Другими словами, квадратное уравнение — это «уравнение второй степени». Существует множество сценариев, в которых используется квадратное уравнение. Знаете ли вы, что когда ракета запускается, ее траектория описывается квадратным уравнением? Кроме того, квадратное уравнение имеет множество приложений в физике, технике, астрономии и т. д.

Квадратные уравнения — это уравнения второй степени относительно x, которые имеют максимум два ответа относительно x. Эти два ответа для x также называются корнями квадратных уравнений и обозначаются как (α, β). Мы узнаем больше о корнях квадратного уравнения в нижеследующем содержании.

1. Что такое квадратное уравнение?
2. Корни квадратного уравнения
3. Квадратичная формула
4. Природа корней квадратного уравнения
5. Формулы, относящиеся к квадратным уравнениям
6. Методы решения квадратных уравнений
7. Факторизация квадратного уравнения
8. Способ заполнения квадрата
9. График квадратного уравнения
10. Квадратные уравнения, имеющие общие корни
11. Максимальное и минимальное значение квадратного выражения
12. Часто задаваемые вопросы о квадратных уравнениях

Что такое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение является алгебраическим уравнением второй степени относительно x. Квадратное уравнение в стандартной форме имеет вид ax 2 + bx + c = 0, где a и b — коэффициенты, x — переменная, а c — постоянный член. Первым условием для того, чтобы уравнение было квадратным уравнением, является коэффициент x 2 — ненулевой член (a ≠ 0). Для записи квадратного уравнения в стандартной форме сначала записывается член x 2 , затем член x и, наконец, записывается постоянный член. Числовые значения a, b, c обычно не записываются в виде дробей или десятичных знаков, а записываются в виде целых значений.

Далее в реальных математических задачах квадратные уравнения представляются в разных формах: (x — 1)(x + 2) = 0, -x 2 = -3x + 1, 5x(x + 3) = 12x , х 3 = х(х 2 + х — 3). Все эти уравнения необходимо преобразовать в стандартную форму квадратного уравнения перед выполнением дальнейших операций.

Корни квадратного уравнения

Корнями квадратного уравнения являются два значения x, которые получаются путем решения квадратного уравнения. Эти корни квадратного уравнения также называют нулями уравнения. Например, корни уравнения x 2 — 3x — 4 = 0 равны x = -1 и x = 4, поскольку каждое из них удовлетворяет уравнению. т. е.

  • При x = -1, (-1) 2 — 3(-1) — 4 = 1 + 3 — 4 = 0
  • При х = 4, (4) 2 — 3(4) — 4 = 16 — 12 — 4 = 0

Существуют различные методы нахождения корней квадратного уравнения. Использование квадратичной формулы является одним из них.

Квадратичная формула

Квадратная формула — самый простой способ найти корни квадратного уравнения. Есть некоторые квадратные уравнения, которые нелегко разложить на множители, и здесь мы можем удобно использовать эту квадратную формулу, чтобы найти корни самым быстрым способом. Корни квадратного уравнения дополнительно помогают найти сумму корней и произведение корней квадратного уравнения. Два корня в квадратной формуле представлены как одно выражение. Положительный знак и отрицательный знак могут быть альтернативно использованы для получения двух различных корней уравнения.

Квадратная формула: Корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 равны x = [-b ± √(b 2 — 4ac)]/2a.

Пример: Найдем корни того же уравнения, которое было упомянуто в предыдущем разделе x 2 — 3x — 4 = 0, используя квадратичную формулу.

а = 1, б = -3 и с = -4.

х = [-b ± √(b 2 — 4ac)]/2a
= [-(-3) ± √((-3) 2 — 4(1)(-4))]/2(1)
= [3 ± √25] / 2
= [3 ± 5] / 2
= (3 + 5)/2 или (3 — 5)/2
= 8/2 или -2/2
= 4 или -1 являются корнями.

Доказательство квадратичной формулы

Рассмотрим произвольное квадратное уравнение: ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0

Чтобы определить корни этого уравнения, поступим следующим образом:

ax 2 + bx = -c ⇒ x 2 + bx/a = -c/a

Теперь представим левую часть в виде полного квадрата, введя новый член (b/2a) 2 с обеих сторон:

x 2 + bx/a + (b/2a) 2 = -c/a + (b/2a) 2

Левая сторона теперь идеальна квадрат:

(x + b/2a) 2 = -c/a + b 2 /4a 2 ⇒ (x + b/2a) 2 = (b 2 — 4ac)/ 4a 2

Это хорошо для нас, потому что теперь мы можем извлекать квадратные корни, чтобы получить:

x + b/2a = ±√(b 2 — 4ac)/2a

x = (-b ± √(б 2 — 4ac))/2a

Таким образом, заполнив квадраты, мы смогли выделить x и получить два корня уравнения.

Природа корней квадратного уравнения

Корни квадратного уравнения обычно представляются символами альфа (α) и бета (β). Здесь мы узнаем больше о том, как найти природу корней квадратного уравнения без фактического нахождения корней уравнения. А также ознакомьтесь с формулами, чтобы найти сумму и произведение корней уравнения.

Природа корней квадратного уравнения может быть найдена без фактического нахождения корней (α, β) уравнения. Это возможно, взяв значение дискриминанта, которое является частью формулы для решения квадратного уравнения. Значение b 2 — 4ac называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой ‘D’. На основе значения дискриминанта можно предсказать характер корней квадратного уравнения.

Дискриминант: D = b

2 — 4ac
  • D > 0, корни вещественные и различные
  • D = 0, корни вещественные и равные.
  • D < 0, корни не существуют или корни мнимые.
  • Сумма и произведение корней квадратного уравнения и произведение корней квадратного уравнения. Сумма и произведение корней квадратного уравнения могут быть вычислены непосредственно из уравнения, без фактического нахождения корней квадратного уравнения. Сумма корней квадратного уравнения равна отрицательному значению коэффициента при х, деленному на коэффициент при х 2 . Произведение корня уравнения равно постоянному члену, деленному на коэффициент x 2 . Для квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 сумма и произведение корней следующие.

    • Сумма корней: α + β = -b/a = — Коэффициент x/ Коэффициент x 2
    • Произведение корней: αβ = c/a = постоянный член/коэффициент x 2

    Квадратное уравнение также может быть составлено для заданных корней уравнения. Если α, β являются корнями квадратного уравнения, то квадратное уравнение выглядит следующим образом.

    х 2 — (α + β)x + αβ = 0

    Формулы, относящиеся к квадратным уравнениям

    Следующий список важных формул полезен для решения квадратных уравнений.

    • Квадратное уравнение в стандартной форме: ax 2 + bx + c = 0
    • Дискриминант квадратного уравнения равен D = b 2 — 4ac
    • При D > 0 корни вещественны и различны.
    • При D = 0 корни вещественные и равные.
    • При D < 0 действительные корни не существуют или корни мнимые.
    • Формула для нахождения корней квадратного уравнения: x = [-b ± √(b 2 — 4ac)]/2a.
    • Сумма корней квадратного уравнения равна α + β = -b/a.
    • Произведение корня квадратного уравнения равно αβ = c/a.
    • Квадратное уравнение, корнями которого являются α, β, равно x 2 — (α + β)x + αβ = 0,
    • Условие для квадратных уравнений 0 Имея те же корни (A 1 B 2 — A 2 B 1 ) (B 1 C 2 — B 2 C 1 ) = (A 2 C 1 ) = (A 2 C 1 ) = (A 2 C 1 ) = (A 2 C 1 ) = (A 2 C 1 ) = (A 2 C 1 ) c 1 — a 1 c 2 ) 2 .
    • Когда a > 0, квадратное выражение f(x) = ax 2 + bx + c имеет минимальное значение при x = -b/2a.
    • Когда a < 0, квадратное выражение f(x) = ax 2 + bx + c имеет максимальное значение при x = -b/2a.
    • Область определения любой квадратичной функции — это множество всех действительных чисел.
    • Для a > 0 диапазон квадратичной функции f(x) = ax 2 + bx + c равен [-(b 2 — 4ac)/4a, ∞)
    • При a < 0 диапазон квадратичной функции f(x) = ax 2 + bx + c равно: (-∞, -(b 2 — 4ac)/4a]

    Методы решения квадратных уравнений

    Можно решить квадратное уравнение, чтобы получить два значения x или два корня уравнения. Существует четыре различных метода нахождения корней квадратного уравнения. Четыре метода решения квадратных уравнений заключаются в следующем.

    • Факторизация квадратного уравнения
    • Использование квадратичной формулы (которую мы уже видели)
    • Метод завершения квадрата
    • Графический метод поиска корней

    Давайте подробно рассмотрим каждый из вышеперечисленных методов, чтобы понять, как использовать эти методы, их приложения и способы их использования.

    Факторизация квадратного уравнения

    Факторизация квадратного уравнения выполняется в несколько этапов. Для общей формы квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 нам нужно сначала разделить средний член на два члена, чтобы произведение членов было равно постоянному члену. Далее мы можем взять общие члены из имеющегося члена, чтобы окончательно получить требуемые коэффициенты. Для понимания факторизации общую форму квадратного уравнения можно представить следующим образом.

    • x 2 + (a + b)x + ab = 0
    • x 2 + топор + bx + ab = 0
    • х(х + а) + Ь(х + а)
    • (х + а) (х + б) = 0

    Давайте разберемся с факторизацией на следующем примере.

    • х 2 + 5х + 6 = 0
    • х 2 + 2х + 3х + 6 = 0
    • х(х + 2) + 3(х + 2) = 0
    • (х + 2)(х + 3) = 0

    Таким образом, два полученных множителя квадратного уравнения равны (x + 2) и (x + 3). Чтобы найти его корни, просто установите каждый множитель равным нулю и найдите x. т. е. x + 2 = 0 и x + 3 = 0, что дает x = -2 и x = -3. Таким образом, x = -2 и x = -3 являются корнями x 2 + 5x + 6 = 0.

    Далее есть еще один важный метод решения квадратного уравнения. Метод заполнения квадрата квадратного уравнения также полезен для нахождения корней уравнения.

    Метод завершения квадрата

    Метод завершения квадратного уравнения заключается в алгебраическом возведении в квадрат и упрощении для получения требуемых корней уравнения. Рассмотрим квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0. Чтобы определить корни этого уравнения, упростим его следующим образом:

    • топор 2 + Ьх + с = 0
    • топор 2 + Ьх = -с
    • x 2 + bx/a = -c/a

    Теперь представим левую часть в виде полного квадрата, введя новый член (b/2a) 2 с обеих сторон:

    • x 2 + bx/a + (b/2a) 2 = -с/а + (б/2а) 2
    • (х + b/2а) 2 = -с/а + b 2 /4а 2
    • (х + б/2а) 2 = (б 2 — 4ас)/4а 2
    • х + b/2а = + √(b 2 — 4ас)/2а
    • х = — б/2а + √(б 2 — 4ас)/2а

    Теперь, с помощью этого метода заполнения квадрата, мы можем консолидировать значение корней уравнения. Далее, при упрощении и извлечении квадратного корня два возможных корня квадратного уравнения: x = (-b + √(b 2 — 4ac))/2a. Здесь знак «+» соответствует одному корню, а знак «-» соответствует другому корню квадратного уравнения. Как правило, этого подробного метода избегают, и для получения требуемых корней используется только квадратичная формула.

    График квадратного уравнения

    График квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 можно получить, представив квадратное уравнение в виде функции y = ax 2 + bx + c. Далее, решая и подставляя значения x, мы можем получить значения y, мы можем получить множество точек. Эти точки можно представить на оси координат, чтобы получить график в форме параболы для квадратного уравнения. Для получения подробной информации о построении графика квадратичной функции нажмите здесь.

    Точки, в которых график пересекает горизонтальную ось х (обычно точки пересечения х), являются решением квадратного уравнения. Эти точки также можно получить алгебраически, приравняв значение y к 0 в функции y = ax 2 + bx + c и найдя x.

    Квадратные уравнения, имеющие общие корни

    Пусть два квадратных уравнения имеют общие корни:1 = 0 и a 2 x 2 + b 2 x + c 2 = 0. Решим эти два уравнения, чтобы найти условия, при которых эти уравнения имеют общий корень. Два уравнения решаются относительно x 2 и x соответственно.

    (x 2 ) (B 1 C 2 — B 2 C 1 ) = (-x)/(A 1 C 2 — A 9059 2 1999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 2 — A 1 C 2 — A 1 C 2 — A 1 C 2 — A ) = 1/(а 1 б 2 — а 2 б 1 )

    x 2 = (b 1 c 2 — b 2 c 1 ) / (a ​​ 1 b 2 — a 2 b 1 )

    x = (A 2 C 1 — A 1 C 2 ) / (A 1 B 2 — A 2 B 1 ) 2 B 9 1 )

    99, , B 9 1 ) 2 B 1 ) 2 B 1 ) выше двух выражений мы имеем следующее условие для двух уравнений, имеющих общий корень.

    ( 1 B 2 — A 2 B 1 ) (B 1 C 2 — B 2 C 1 ) = (A 2 C 1 ) = (A 2 C 1 ) = (A 2 C 1 ) = (A 2 C 1 ) = (A 2 C 1 ) = (A 2 C 1 ) с 2 ) 2

    Максимальное и минимальное значение квадратного выражения

    Максимальное и минимальное значение квадратного уравнения F(x) = ax 2 + bx + c = 0 можно увидеть на графиках ниже. При положительных значениях a (a > 0) квадратное выражение имеет минимальное значение при x = -b/2a, а при отрицательном значении a (a < 0) квадратное выражение имеет максимальное значение при x = -b /2а. x = -b/2a — координата x вершины параболы.

    Максимальное и минимальное значения квадратного выражения помогают найти диапазон квадратного выражения: Диапазон квадратного выражения также зависит от значения a. Для положительных значений a(a > 0) диапазон составляет [ F(-b/2a), ∞), а для отрицательных значений a ( a < 0) диапазон составляет (-∞, F(-b/ 2a)].

  • Для a < 0, диапазон: (-∞, f(-b/2a)]

Обратите внимание, что областью определения квадратичной функции является множество всех действительных чисел, т. е. (-∞, ∞).

Советы и рекомендации по квадратным уравнениям:

Некоторые из приведенных ниже советов и рекомендаций по квадратным уравнениям помогают упростить решение квадратных уравнений.

  • Квадратные уравнения обычно решаются с помощью факторизации. Но в случаях, когда она не может быть решена факторизацией, используется квадратичная формула.
  • Корни квадратного уравнения также называют нулями уравнения.
  • Для квадратных уравнений с отрицательными значениями дискриминанта корни представлены комплексными числами.
  • Сумму и произведение корней квадратного уравнения можно использовать для нахождения высших алгебраических выражений, включающих эти корни.

☛Похожие темы:

  • Калькулятор корней
  • Калькулятор корней квадратного уравнения

 

Примеры квадратных уравнений

  1. Пример 1: Меган занимается фитнесом и каждое утро ходит на пробежку. Парк, в котором она бегает, имеет прямоугольную форму и имеет размеры 12 х 8 м. Группа защитников окружающей среды планирует обновить парк и решает построить дорожку вокруг парка. Это позволит увеличить общую площадь до 140 кв.м. Какова будет ширина дорожки?

    Решение:

    Обозначим ширину пути через x.

    Тогда длина и ширина внешнего прямоугольника равны (12+2x) м и (8+2x) м.

    Учитывая, что площадь = 140

    (12 + 2x)(8 + 2x) = 140

    2(6 + x) 2(4 + x) = 140

    (6 + x)(4 + x) = 35

    24 + 6х + 4х + х 2 = 35

    х 2 + 10х -11 = 0

    х 2 + 11х — х — х — 901 = 20 — 1(х + 11) = 0

    (х + 11)(х — 1) = 0

    (х + 11) = 0 и (х — 1) = 0

    х = -11 и х = 1

    Поскольку длина не может быть отрицательной, мы принимаем x = 1.

    Ответ: Следовательно, ширина дорожки равна 1 м.

  2. Пример 2: Давайте узнаем, как вопрос о квадратном уравнении находит свое применение в области движения. Рита бросает мяч вверх с платформы, находящейся на высоте 20 м над землей. Высота мяча над землей в момент времени «t» обозначается буквой «h». Предположим, что h = -4t 2 + 16t + 20. Найдите максимальную высоту, на которую поднялся мяч.

    Решение:

    Мы можем переставить члены квадратного уравнения

    h = -4t 2 + 16t + 20

    таким образом, чтобы легко найти максимальное значение этого уравнения.

    h = -4t 2 + 16t + 20

    = -4t 2 + 16t + 20

    = -4(t 2 — 4t — 5)

    — 4 = 2(t ) 2 — 9)

    = -4(t — 2) 2 + 144

    Мы должны сохранить значение (t-2) 2 минимальным, чтобы найти максимальное значение h.

    Итак, минимальное значение (t-2) 2 , которое может принять 0.

    Ответ: Следовательно, максимальная достигнутая высота равна 144 м.

  3. Пример 3: Найдите квадратное уравнение, имеющее корни 5 и 8 соответственно.

    Решение:

    Квадратное уравнение с корнями α, β равно x 2 — (α + β)x + αβ = 0,

    При α = 5 и β = 8.

    Следовательно квадратное уравнение:

    x 2 — (5 + 8)x + 5×8 = 0

    x 2 — 13x + 40 = 0

    Ответ: Следовательно, искомое квадратное уравнение x + 2 3 — 130022 2 2 40 = 0

  4. Пример 4: Квадратное уравнение 2x 2 + 9x + 7 = 0 имеет корни α, β. Найдите квадратное уравнение, имеющее корни 1/α и 1/β.

    Решение:

    Метод 1:

    Квадратное уравнение, корни которого обратны корням уравнения ось 2 + bx + c = 0, is cx 2 + bx + a = 0,

    Данное квадратное уравнение имеет вид 2x 2 + 9x + 7 = 0,

    Следовательно, искомое уравнение, имеющее обратные корни, имеет вид 7x 2 + 9x + 2 = 0.

    Метод 2: Из данного уравнения

    α + β = -9/2 и α β = 7/2.

    Новое уравнение должно иметь корни 1/α и 1/β.

    Их сумма = 1/α + 1/β = (α + β) / α β = -9/7
    Их произведение = 1/α β = 2/7
    Таким образом, искомое уравнение:
    х 2 — (1/α + 1/β)x + 1/α β = 0
    х 2 — (-9/7)х + 2/7 = 0
    Умножение обеих сторон на 7,
    7x 2 + 9x + 2 = 0

    Ответ: Следовательно, уравнение 7x 2 + 9x + 2 = 0,

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по квадратному уравнению

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о квадратном уравнении

Что такое определение квадратного уравнения?

квадратное уравнение в математике представляет собой уравнение второй степени вида ax 2 + bx + c = 0. Здесь a, b — коэффициенты, c — постоянный член, а x — переменная. Поскольку переменная x имеет вторую степень, у этого квадратного уравнения есть два корня или ответа. Корни квадратного уравнения можно найти либо путем факторизации, либо с помощью квадратной формулы.

Что такое квадратичная формула?

Квадратная формула для решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0: x = [-b ± √(b 2 — 4ac)]/2a. Здесь мы получаем два значения x, применяя символы плюс и минус в этой формуле. Отсюда два возможных значения x: [-b + √(b 2 — 4ac)]/2a и [-b — √(b 2 — 4ac)]/2a.

Как найти характер корней квадратного уравнения?

Дискриминант помогает предсказать природу корней квадратного уравнения. Дискриминант квадратного уравнения ось 2 + bx + c = 0 is b 2 — 4ac. Дискриминант обозначается как D = b 2 — 4ac. Если D > 0, то корни вещественные и различные, при D = 0 корни равны, а при D < 0 корни являются мнимыми комплексными числами.

Как применять квадратную формулу?

Значения a, b и c подставляются в квадратную формулу x = [-b ± √(b 2 — 4ac)]/2a, чтобы получить два корня квадратного уравнения. Не забывайте применять знаки + и — отдельно.

Что такое определитель в квадратной формуле?

Величина b 2 — 4ac называется дискриминантом и обозначается буквой D. Дискриминант является частью квадратичной формулы. Дискриминанты помогают нам найти природу корней квадратного уравнения, фактически не находя корней квадратного уравнения.

Каковы некоторые реальные приложения квадратных уравнений?

Квадратные уравнения используются для нахождения нулей параболы и ее оси симметрии. Есть много реальных приложений квадратных уравнений. Например, его можно использовать в задачах на время бега для оценки скорости, расстояния или времени при путешествии на машине, поезде или самолете. Квадратные уравнения описывают взаимосвязь между количеством и ценой товара. Точно так же расчеты спроса и затрат также считаются задачами квадратного уравнения. Также можно отметить, что форма спутниковой антенны или телескопа-рефлектора определяется квадратным уравнением.

Чем квадратные уравнения отличаются от линейных уравнений?

Линейная степень — это уравнение одной степени и одной переменной, а квадратное уравнение — это уравнение двух степеней и одной переменной. Линейное уравнение имеет форму ax + b = 0, а квадратное уравнение имеет вид ax 2 + bx + c = 0. Линейное уравнение имеет один корень, а квадратное уравнение имеет два корня или два ответа. Кроме того, квадратное уравнение является произведением двух линейных уравнений.

Как упростить квадратное уравнение?

Первым шагом в процессе упрощения квадратного уравнения является преобразование его в стандартную форму ax 2 + bx + c = 0. Далее его можно упростить, найдя его множители в процессе факторизации. Также для уравнения, которое трудно разложить на множители, оно решается с помощью формулы. Кроме того, есть несколько других способов упростить квадратное уравнение.

Каковы 4 способа решения квадратного уравнения?

Ниже приведены четыре способа решения квадратного уравнения.

  • Метод факторизации
  • Метод формулы
  • Метод заполнения квадратов
  • Графический метод

Как решить квадратное уравнение с помощью факторинга?

Квадратное уравнение можно решить с помощью факторизации, состоящей из трех шагов. Сначала разделите средний член так, чтобы произведение разделенных членов было равно произведению первого и последнего членов. Предположим, что квадратное уравнение имеет вид x 2 + (a + b)x + ab = 0, и его можно разделить как x 2 + ax + bx + ab = 0. В качестве второго шага возьмите общий член из первых двух и последнего два термина. x(x + a) + b(x + a) = 0, (x + a)(x + b) = 0. Наконец, приравняем каждый из множителей к нулю и получим значения x. x + a = 0 и x + b = 0, и, следовательно, мы можем получить x = -a и x = -b

Как решить квадратное уравнение, заполнив квадрат?

Квадратное уравнение решается методом завершения квадрата по формуле (a + b)^2 = a 92 = а 2 — 2аб + б 2 .

Как найти значение дискриминанта?

Значение дискриминанта в квадратном уравнении можно найти из переменных и постоянных членов стандартной формы квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0. Значение дискриминанта D = b 2 — 4ac, и это помогает предсказать природу корней квадратного уравнения, фактически не находя корней уравнения.

Как решать квадратные уравнения с помощью графиков?

Квадратное уравнение можно решить аналогично линейному равенству с помощью графика. Возьмем квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0, поскольку y = ax 2 + bx + c . Здесь мы берем набор значений x и y и строим график. Две точки, где этот график встречается с осью x, являются решениями этого квадратного уравнения.

Насколько важен дискриминант в определении природы корней квадратного уравнения?

Дискриминант очень нужен, чтобы легко найти природу корней квадратного уравнения. Без дискриминанта нахождение природы корней уравнения — долгий процесс, так как сначала нужно решить уравнение, чтобы найти оба корня. Следовательно, дискриминант является важной и необходимой величиной, которая помогает легко найти природу корней квадратного уравнения.

Где найти программу решения квадратных уравнений?

Чтобы получить программу решения квадратных уравнений, щелкните здесь. Здесь мы можем ввести значения a, b и c для квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0, тогда оно даст вам корни вместе с пошаговой процедурой.

Когда четырехъядерные уравнения имеют одинаковые корни?

Данное четверное уравнение имеет одинаковые корни, если дискриминант равен нулю. Для квадратного уравнения вида ax 2 + bx + c = 0 дискриминант равен D = b 2 — 4ac = 0. Здесь оба корня равны, и каждый имеет значение x = -b/2a.

Для чего используются дискриминанты в квадратичной формуле?

Дискриминант (D = b 2 — 4ac) полезен для предсказания природы корней квадратного уравнения. При D > 0 корни действительны и различны, при D = 0 корни действительны и равны, а при D < 0 корни не существуют или являются мнимыми комплексными числами. С помощью этого дискриминанта и с наименьшими вычислениями мы можем найти природу корней квадратного уравнения.

Сколько корней у квадратного уравнения?

Это уравнение второй степени по x, поэтому получается два корня. Мы можем получить эти корни квадратного уравнения, используя квадратную формулу. Один корень можно получить с помощью положительного знака, а другой корень можно получить с помощью отрицательного знака в формуле.

Как решить квадратное уравнение, не используя квадратную формулу?

Существует два альтернативных метода квадратичной формулы. Один метод заключается в решении квадратного уравнения с помощью факторизации, а другой метод заключается в завершении квадратов. Всего существует три метода нахождения корней квадратного уравнения.

Как вывести квадратную формулу?

Алгебраическая формула (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 используется для решения квадратного уравнения и вывода квадратной формулы. 2+ bx + c = 0` есть два корня. Обозначим эти корни «альфа» и «бета» следующим образом: 92)`

`=c/a`

Резюме

Сумма корней «альфа» и «бета» квадратного уравнения:

`альфа + бета = -b/a`

Произведение корней «альфа» и «бета» определяется как:

`альфа-бета = с/а`

Также важно понимать, что если `альфа` и `бета` являются корнями, то:

`(х-альфа)(х-бета)=0`

Мы можем расширить левую часть приведенного выше уравнения, чтобы получить следующую форму квадратичной формулы: 92 — 2xx(-2,5) = 17,25`.

(d) Складываем наши дроби «1/альфа + 1/бета» следующим образом:

`1/альфа + 1/бета = (бета + альфа)/(альфа-бета) = (альфа + бета)/(альфа-бета)`

Мы знаем сумму (сверху) и произведение (снизу), поэтому можем просто написать:

`1/альфа + 1/бета = (альфа + бета)/(альфа-бета) = 3,5/(-2,5) = -1,4`

Пример 2

Найдите квадратное уравнение с корнями α и β задано α β = 2 и α 2 β 2 = 3,

Ответить

Мы составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными, чтобы найти «альфа» и «бета».

Вспоминая формулу разности квадратов, имеем

α 2 β 2 = ( α + β )( α β 2)

Из вопроса мы знаем, что α 2 β 2 = 3, так что это дает нам:

3 = ( α + β ) ( α β )

В вопросе говорится α β = 2, что мы можем подставить в правую часть, получив:

3 = 2( α + β )

Получается:

`(альфа + бета) = 3/2` 92 — 24x — 7 = 0`

Теперь продолжим изучение того, как график квадратичной функции представляет собой параболу: 4. График квадратичной функции

.

Нужна помощь в решении другой задачи по алгебре? Попробуйте решение проблем.

Отказ от ответственности: IntMath. com не гарантирует точность результатов. Решатель задач предоставлен Mathway.

Объяснение урока: Решение квадратных уравнений с комплексными корнями

В этом объяснении мы научимся решать квадратные уравнения, корнями которых являются комплексные числа.

Введение комплексных чисел открывает возможность нахождения решений уравнения, которые мы раньше не могли решить. Например, раньше, когда мы сталкивались уравнение, которое требовало от нас извлечения квадратного корня из отрицательного числа, мы не могли решить ее и правильно пришел к выводу, что реальных решений нет. Однако, используя комплексные числа, мы можем получить дополнительную информацию, исследуя сложные решения этих уравнений. Мы начали глядя на пример уравнения, которое мы не сможем решить, если ограничимся работа исключительно с действительными числами.

Пример 1. Решение уравнений с комплексными числами

Решите уравнение 5𝑥+1=−319.

Ответ

Начнем с того, что соберем наши подобные члены: 5𝑥=−320.

Разделив обе части на 5, мы изолируем 𝑥 слева уравнения следующим образом: 𝑥=−3205=−64.

Извлекая квадратный корень из обеих частей, помня, что мы можем взять как положительный, так и отрицательные корни, мы получаем 𝑥=±√−64.

Напомним свойство комплексных чисел, для положительного числа 𝑎, √−𝑎=𝑖√𝑎, мы можем переписать это как 𝑥=±𝑖√64=±8𝑖.

Как мы видели в предыдущем примере, методы, которые мы применяем для решения уравнений с действительными решениями, часто могут быть непосредственно применяется к уравнениям с комплексными решениями. При работе с квадратичным уравнения, такие методы, как разложение на множители и завершение квадрата, могут быть в равной степени применены к уравнения с комплексными решениями. В частности, мы также можем использовать квадратичную формулу.

Формула: Квадратная формула

Для квадратного уравнения 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 с 𝑎≠0 корни задаются как 𝑥=−𝑏±√𝑏−4𝑎𝑐2𝑎.

Обратите внимание, что эти корни иногда называют 𝐿 и 𝑀.

Используя квадратную формулу, мы можем решить любое квадратное уравнение, в том числе и с комплексными решениями. При использовании квадратичной формулы, мы сталкиваемся с тремя различными случаями. Чтобы различать их, мы ввести понятие дискриминанта.

Определение: Дискриминант

Определен дискриминант квадратного уравнения 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 как 𝑏−4𝑎𝑐. Часто Δ используется для обозначения дискриминант.

Используя дискриминант, мы идентифицируем три различных случая квадратных уравнений как Следует:

  1. Положительный дискриминант : 𝑏 -4𝑎𝑐> 0, два реальных корня,
  2. . , действительных корней нет.

Рассмотрим приведенные ниже графики, изображающие эти три случая.

В первую очередь сосредоточимся на графике (3), где квадратное уравнение не имеет действительных корней. введение комплексных чисел позволяет нам переформулировать это, как если бы мы имели комплексные корнеплоды. Хотя действительные числа также являются комплексными числами, когда мы говорим, что квадратное уравнение имеет комплексные корни, мы конкретно имеем в виду случай, когда корни являются недействительными комплексными числами. В этом объяснителе мы рассмотрим этот случай и свойства комплексных корней.

Рассмотрим пример, в котором мы будем использовать квадратную формулу для получения комплексных корней квадратного уравнения.

Пример 2. Решение квадратных уравнений с комплексными корнями

Решите квадратное уравнение 𝑥−4𝑥+8=0.

Ответ

Вспомним квадратную формулу для решения квадратного уравнения 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0: 𝑥=−𝑏±√𝑏−4𝑎𝑐2𝑎.

Данное квадратное уравнение имеет значения 𝑎=1, 𝑏=−4 и 𝑐=8. Подставляя эти значения в квадратичную формулу, имеем 𝑥=-(-4)±√(-4)-4×1×82×1.

Упрощая, получаем 𝑥=4±√16−322=42±√−162=2±12√−16.

Вспоминая свойство комплексных чисел для положительного числа 𝑎, √−𝑎=𝑖√𝑎, мы можем переписать это как 𝑥=2±12𝑖√16=2±12×4𝑖=2±2𝑖.

Отсюда имеем два решения квадратного уравнения: 𝑥=2+2𝑖,𝑥=2−2𝑖.

В предыдущем примере мы заметили, что квадратное уравнение имеет два комплексных решения. Когда мы внимательно изучаем решения, мы можем заметить, что два комплексных решения сопряжены друг с другом. Тот факт, что корни этого уравнения являются комплексно-сопряженной парой, не случаен. В на самом деле, это верно для любого квадратного уравнения с действительными коэффициентами, которое имеет комплексные решения.

В следующем примере мы подробно рассмотрим этот факт.

Пример 3. Условия на корни квадратных уравнений

Если дискриминант квадратного уравнения с вещественными коэффициентами отрицателен, будут ли его комплексные корни сопряженной парой?

Ответ

Напомним, что дискриминантом квадратного уравнения 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 является выражение 𝑏−4𝑎𝑐. Если дискриминант отрицателен, то мы знаем, что квадратное уравнение будет иметь комплексные корни. Проверим, должны ли эти комплексные корни быть комплексно-сопряженными.

Используя свойства комплексного сопряжения, мы приведем доказательство этого теорема. Для квадратичной функции 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐 пусть 𝑧 комплексный корень. Теперь рассмотрим 𝑓𝑧=𝑎𝑧+𝑏𝑧+𝑐.

Из свойств комплексного сопряжения мы знаем, что для любых двух комплексных чисел (𝑧𝑧)=𝑧𝑧; следовательно, 𝑧=(𝑧). Таким образом, мы имеем 𝑏 и 𝑐 — действительные числа, мы можем переписать это как 𝑓𝑧=(𝑎𝑧)+(𝑏𝑧)+𝑐.

Мы также знаем из свойств комплексного сопряжения, что для любых двух комплексных чисел (𝑧±𝑧)=𝑧±𝑧; следовательно, 𝑓𝑧=(𝑎𝑧+𝑏𝑧)+𝑐=(𝑎𝑧+𝑏𝑧+𝑐).

Однако, поскольку 𝑧 является корнем, мы знаем, что 𝑎𝑧+𝑏𝑧+𝑐=0. Следовательно, 𝑓𝑧=0=0. Следовательно, мы показали что 𝑧 также является корнем 𝑓.

Мы можем резюмировать результат предыдущего примера следующим образом.

Теорема: теорема о сопряженных корнях для квадратных уравнений

Комплексные корни квадратного уравнения 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 с вещественными коэффициенты встречаются в комплексно-сопряженных парах. Следовательно, если 𝑧=𝑚+𝑛𝑖 (где 𝑛≠0) — корень квадратного уравнения с вещественными коэффициентами, тогда 𝑧=𝑚−𝑛𝑖 также является корнем.

И эта теорема, и его доказательство можно обобщить на любой многочлен с действительными коэффициентами. В оставшейся части этот объяснитель, мы применим эту теорему к ряду примеров.

Пример 4. Комплексные корни квадратных уравнений

Комплексные числа 𝑎+𝑏𝑖 и 𝑐+𝑑𝑖, где 𝑎, 𝑏, 𝑐, и 𝑑 — действительные числа, являются корнями квадратного уравнения с действительными коэффициентами. Учитывая, что 𝑏≠0, каким условиям должны удовлетворять 𝑎, 𝑏, 𝑐 и 𝑑?

Ответ

Поскольку 𝑏≠0, мы знаем, что 𝑎+𝑏𝑖 является комплексным корнем квадратного уравнения с действительными коэффициентами. Напомним теорему о сопряженных корнях, которая утверждает, что комплексные корни квадратного уравнения с вещественными коэффициентами входят в комплексно-сопряженные пары. Кроме того, поскольку квадратное уравнение имеет только два корня, 𝑐+𝑑𝑖 должно быть сопряженным 𝑎+𝑏𝑖. Следовательно, 𝑐+𝑑𝑖=(𝑎+𝑏𝑖)=𝑎−𝑏𝑖.

Мы помним, что комплексные числа равны друг другу, если равны их действительные части и равны их мнимые части.

Следовательно, 𝑎, 𝑏, 𝑐 и 𝑑 должны удовлетворять 𝑎=𝑐 и 𝑑=−𝑏.

Мы также можем использовать наши знания о корнях квадратных уравнений с действительными коэффициентами для восстановления уравнения по одному из его комплексных корней, как продемонстрирует следующий пример.

Пример 5. Восстановление квадратного уравнения из комплексного корня

Найдите квадратное уравнение 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 с действительными коэффициентами 𝑏 и 𝑐, одним из корней которого является 5+𝑖.

Ответ

В этом примере нам дано, что квадратное уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексный корень. Напомним теорему о сопряженных корнях, которая утверждает, что комплексные корни квадратного уравнения с вещественными коэффициентами входят в комплексно-сопряженные пары. Следовательно, его корни будут 5+𝑖 и 5−𝑖. Поскольку коэффициент при 𝑥 равен 1, мы можем записать уравнение в виде (𝑥−(5+𝑖))(𝑥−(5−𝑖))=0.

Рассматривая (5+𝑖) и (5−𝑖) как отдельные термины, мы можем умножить через круглые скобки, чтобы получить 𝑥−(5+𝑖)𝑥−(5−𝑖)𝑥+(5+𝑖)(5−𝑖)=0.

Теперь мы можем умножить через скобки в (5+𝑖)(5−𝑖 ) и упростить: 𝑥−10𝑥+25−5𝑖+5𝑖−𝑖=0,

Используя 𝑖=−1, имеем 𝑥−10𝑥+26=0.

В предыдущем примере мы смогли найти квадратное уравнение с действительными коэффициентами, когда нам был задан один комплексный корень. В более общем случае, если у нас есть квадратное уравнение с корнями 𝛼 и 𝛽, мы можем записать уравнение как (𝑥−𝛼)(𝑥−𝛽)=0.

Умножая через скобки, получаем 𝑥−𝛼𝑥−𝛽𝑥+𝛼𝛽=0𝑥−(𝛼+𝛽)𝑥+𝛼𝛽=0.

Это верно для любого квадратного уравнения, независимо от того, являются ли его корни вещественными или комплексными. Однако, если 𝛼 и 𝛽 сопряженные пары, мы можем написать 𝛽=𝛼, что дает 𝑥−𝛼+𝛼𝑥+𝛼𝛼=0.

Напомним свойства комплексно-сопряженных чисел 𝛼+𝛼=2(𝛼)Re и 𝛼𝛼=|𝛼|, где |𝛼| — модуль комплексного числа 𝛼. Следовательно, если мы знаем, что 𝛼 является комплексным корнем квадратного уравнения с действительными коэффициентами, одно возможное квадратное уравнение имеет вид 𝑥−2(𝛼)𝑥+|𝛼|=0.Re

Применяя эти знания, можно значительно упростить расчет, представленный в предыдущем примере.

Давайте закончим повторением нескольких важных понятий из этого объяснения.

Ключевые моменты

  • Используя те же методы, разработанные для решения квадратных уравнений с действительными корнями, мы можем решать квадратные уравнения с комплексными корнями. Хотя технически действительное число также является комплексным числом, когда мы говорим о комплексных корнях квадратного уравнения, мы имеем в виду, что корни являются недействительными комплексными числами.
  • Комплексные корни квадратных уравнений с действительными коэффициентами встречаются в комплексно сопряженных парах. Следовательно, если 𝑧 — комплексный корень квадратного уравнения с действительными коэффициентами, мы знаем, что 𝑧 также является корнем.
  • Имея один комплексный корень квадратного уравнения с действительными коэффициентами, мы можем восстановить исходное уравнение. В частности, если один из корней равен 𝛼, одно возможное квадратное уравнение имеет вид 𝑥−2(𝛼)𝑥+|𝛼|=0.Re

Квадратные уравнения | Решенные задачи и практические вопросы

В этой статье мы рассмотрим квадратные уравнения – определения, форматы, решенные задачи и примеры практических вопросов.

Квадратное уравнение – это полином, наибольшая степень которого равна квадрату переменной (x 2 , y 2 и т. д.)

Определения

.

Пример: х 3 , 2x, y 2 , 3xyz и т. д.

Полином представляет собой алгебраическое выражение, содержащее более одного члена.

В качестве альтернативы можно указать –

Многочлен образуется путем сложения/вычитания нескольких одночленов.

Пример: x 3 +2y 2 +6x+10, 3x 2 +2x-1, 7y-2 и т. д.

Многочлен, содержащий два члена, называется биномиальным выражением

Многочлен, содержащий три члена, называется трехчленным выражением .

 

Стандартное квадратное уравнение выглядит так:

ax 2 +bx+c = 0

Где a, b, c — числа, a≥1.

a, b называются коэффициентами x 2 и x соответственно, а c называется константой.

 

Ниже приведены примеры некоторых квадратных уравнений:

1) x 2 +5x+6 = 0, где a=1, b=5 и c=6.

2) x 2 +2x-3 = 0, где a=1, b=2 и c= -3

3) 3x 2 +2x = 1

→ 3x 2 +2x-1 = 0, где a=3, b=2 и c= -1

4) 9x 2 = 4

→ 9x 2 -4 = 0, где a=9, b=0 и c= -4

 

У каждого квадратного уравнения может быть одно или несколько решений. Они называются корнями квадратного уравнения.

Для квадратного уравнения ax 2 +bx+c = 0,

сумма его корней = –b/a и произведение его корней = c/a.

Квадратное уравнение может быть выражено как произведение двух двучленов.

Например, рассмотрим следующее уравнение ) = 0

(x-a)(x-b) = 0

x-a = 0 или x-b = 0
x = a или x=b

Здесь a и b называются корнями данного квадратного уравнения.

 

Теперь давайте вычислим корни уравнения x 2 +5x+6 = 0.

Нам нужно взять два числа, сложив которые мы получим 5 и умножив которые мы получим 6. Это 2 и 3.

Выразим средний член как сложение 2х и 3х.

→ x 2 +2x+3x+6 = 0

→ x(x+2)+3(x+2) = 0

→ (x+2)(x+3) = 0

→ x+2 = 0       или        x+3 = 0

→ x = -2          или         x = -3

Этот метод называется факторинг .

Ранее мы видели, что сумма корней равна –b/a, а произведение корней равно c/a. Давайте проверим это.

Сумма корней уравнения x 2 +5x+6 = 0 равно -5, а произведение корней равно 6.

Корни этого уравнения -2 и -3 при сложении дают -5, а при умножение дает 6.

 

Решенные примеры квадратных уравнений

Решим еще несколько примеров, используя этот метод.

Задача 1: Решите для x: x 2 -3x-10 = 0

Решение :

Выразим -3x как сумму -5x и +2x.

→ x 2 -5x+2x-10 = 0

→ x(x-5)+2(x-5) = 0

→ (x-5)(x+2) = 0

→ x -5 = 0 или x+2 = 0

→ x = 5 или x = -2

Задача 2: Решение для x: x 2 -18x+45 = 0

Раствор :

Числа, которые в сумме дают -18 и при умножении дают +45, это -15 и -3.

Переписав уравнение,

→ x 2 -15x-3x+45 = 0

→ x(x-15)-3(x-15) = 0

→ (x-15) (x- 3) = 0

→ x-15 = 0      или         x-3 = 0

→ x = 15         или         x = 3

 

Решите уравнения, где коэффициент при x 2 больше 1.

Задача 3: Решите для x: 3x 2 +2x =1

Решение :

Переписывая наше уравнение, мы получаем 3x 2 +2x-1= 0

Здесь коэффициент x 2 равен 3. В этих случаях мы умножаем константу c на коэффициент х 2 . Следовательно, произведение выбранных нами чисел должно быть равно -3 (-1*3).

Выражение 2x в виде суммы +3x и –x

→ 3x 2 +3x-x-1 = 0

→ 3x(x+1)-1(x+1) = 0

→ ( 3x-1)(x+1) = 0

→ 3x-1 = 0      или         x+1 = 0

→ x = 1/3        или         x = -1

Задача 4: Решите для x: 11x 2 +18x+7 = 0

В этом случае сумма 90,702 : 90 числа, которые мы выбираем, должны равняться 18, а произведение чисел должно равняться 11*7 = 77.

Это можно сделать, представив 18x как сумму 11x и 7x.

→ 11x 2 +11x+7x+7 = 0

→ 11x(x+1) +7(x+1) = 0

→ (x+1)(11x+7) = 0

→ x+1 = 0       или         11x+7 = 0

→ x = -1          или         x = -7/11.

 

Метод факторизации — это простой способ нахождения корней. Но этот метод применим только к уравнениям, которые можно факторизовать.

Например, рассмотрим уравнение x 2 +2x-6=0.

Если мы возьмем +3 и -2, их умножение даст -6, но сложение не даст +2. Следовательно, это квадратное уравнение не может быть факторизовано.

 

Для этого типа уравнений мы применяем квадратную формулу, чтобы найти корни.

Квадратная формула для нахождения корней,

x = [-b ± √(b 2 -4ac)] / 2a

Теперь давайте найдем корни приведенного выше уравнения.

x 2 +2x-6 = 0

Здесь a = 1, b=2 и c= -6.

Подставив эти значения в формулу,

x = [-2 ± √(4 – (4*1*-6))] / 2*1

→ x = [-2 ± √(4+24) ] / 2

→ x = [-2 ± √28] / 2

Когда мы получаем неполный квадрат в квадратном корне, мы обычно пытаемся выразить его как произведение двух чисел, одно из которых является совершенным площадь. Это для упрощения. Здесь 28 можно выразить как произведение 4 и 7.

→ x = [-2 ± √(4*7)] / 2

→ x = [-2 ± 2√7] / 2

→ x = 2[ -1 ± √7] / 2

→ x = -1 ± √7

Следовательно, √7-1 и -√7-1 являются корнями этого уравнения.

 

Рассмотрим другой пример.

Решите для x: x 2 = 24 – 10x

Решение :

Перепишем уравнение в стандартной квадратичной форме, которые при сложении дают +10, а при умножении дают -24? 12 и -2.

Так что это можно решить методом факторинга. Но давайте решим ее новым методом, применяя квадратную формулу.

Здесь a = 1, b = 10 и c = -24.

х = [-10 ± √(100 – 4*1*-24)] / 2*1

х = [-10 ± √(100-(-96))] / 2

х = [- 10 ± √196] / 2

x = [-10 ± 14] / 2

x = 2 или x = -12 — корни.

 

Дискриминант

Для уравнения ax 2 +bx+c = 0, b 2 -4ac называется дискриминантом и помогает определить природу корней квадратного уравнения.

Если b 2 -4ac > 0, то корни действительны и различны.

Если b 2 -4ac = 0, то корни вещественные и равные.

Если b 2 -4ac < 0, то корни не вещественные (они комплексные).

 

Рассмотрим следующий пример:

Задача: Найдите характер корней уравнения x 2 +x+12 = 0.

Решение : 3 -402 9005 b 2

2

2

2

2

2

2 47 для этого уравнения. Значит, у него сложные корни. Давайте проверим это.

→ [-1±√(1-48)] / 2(1)

→ [-1±√-47] / 2

√-47 обычно записывается как i √47, что указывает на то, что это мнимое число.

Следовательно проверено.

Квадратичные уравнения Викторина: решить следующую


Проблема 1: Нажмите здесь

Ответ 1: Нажмите здесь


Проблема 2: . Нажмите здесь

666666.

Проблема 3: Нажмите здесь

Ответ 3: Нажмите здесь


 

Пройдите этот очень доступный онлайн-курс по квадратным уравнениям. От решения, построения графика и написания квадратного уравнения вы узнаете все шаг за шагом. Нажмите ниже.

Квадратные уравнения; Ваше полное руководство


Песня MBA | Начните здесь | Истории успеха | проверка реальности | База знаний | Стипендии | Услуги

История квадратичной формулы

Ученикам старших классов и даже младшим знакомы с квадратичной формулой: «противоположное b, плюс-минус квадратный корень из b в квадрате минус 4ac, все делится на 2a». Эта формула позволяет найти корень квадратных уравнений вида: ax 2 + bx + c = 0.

Откуда взялась эта формула? Зачем древним цивилизациям вообще нужно было решать уравнения такой формы? В следующей статье, взятой из h3g2, исследуется происхождение этой знаменитой формулы.

Оригинал статьи: https://h3g2.com/approved_entry/A2982567

Это квадратичная формула, которой нас учат в школе:

x 1,2 =( -b /2 a ) ± (1/2 a )( b 2 -4 ac ) 1/2

дает решение общей формы 1 квадратного уравнения: 0 0 0 2 9 0 ax 2  +  bx  +  c  = 0

Развитие или вывод математической идеи обычно настолько логично, выводимо и прямолинейно, насколько это возможно. Это приводит к распространенному представлению о том, что ее историческое развитие столь же непрерывно, логично и прямолинейно: один математик подхватывает идею там, где ее оставил другой математик.

На примере формулы квадрата будет показано, что историческое развитие математики вовсе не прямолинейно. Вместо этого можно обнаружить параллельное развитие, взаимосвязь и слияние, которые — чтобы еще больше усложнить этот материал — также взаимосвязаны с социальными, культурными, политическими и религиозными вопросами.

Так называемая квадратичная формула была выведена в течение нескольких тысячелетий до ее нынешнего вида, которому большинство из нас учат в школе. Эта запись будет строго сосредоточена на историческом развитии квадратичной формулы. Некоторый математический фон может быть полезен для полного понимания описанного развития, однако математика, используемая в этой статье, будет сведена к необходимому минимуму.

Исходная задача 2000 г. (или около того) до н.

э.

Египетские, китайские и вавилонские инженеры были очень умными людьми – они знали, как площадь квадрата зависит от длины его стороны. Они знали, что можно хранить в девять раз больше тюков сена, если площадь квадратного чердака утроится. Они также узнали, как рассчитать площадь более сложных конструкций, таких как прямоугольники, Т-образные формы и так далее. Однако они не знали, как рассчитать стороны фигур — длину сторон, начиная с заданной площади, — что часто действительно требовалось их клиентам. Итак, это исходная задача: определенная форма 1  должны быть масштабированы с общей площадью, и, в конце концов, необходимы длины сторон или стен, чтобы сделать рабочий план этажа.

1500 до н.э. Начало — Египет

Первым аспектом, который в конечном итоге привел к квадратному уравнению, было признание того, что оно связано с очень прагматичной проблемой, которая, в свою очередь, требовала «быстрого и грязного» решения. В этом контексте мы должны отметить, что египетская математика не знала уравнений и чисел, как мы знаем в наши дни; вместо этого он носит описательный, риторический характер, и иногда ему очень трудно следовать. Известно, что египетские мудрецы (инженеры, писцы и жрецы) знали об этом недостатке — но они придумали способ обойти эту проблему: вместо того, чтобы выучить операцию, или формулу, по которой можно было вычислить стороны из площади, они вычислили площадь всех возможных сторон и форм квадратов и прямоугольников и составили справочную таблицу. Этот метод работает во многом так же, как мы учим таблицу умножения наизусть в школе, вместо того, чтобы правильно выполнять операцию.

Итак, если кто-то хотел чердак определенной формы и определенной вместимости для хранения тюков папируса, инженер подходил к своему столу и находил наиболее подходящую конструкцию. У инженеров не было времени рассчитать все формы и стороны, чтобы сделать собственный стол. Вместо этого таблица, которую они использовали, была репродукцией основной справочной таблицы. Переписчики не знали, имеет ли смысл то, что они копировали, поскольку они ничего не знали о математике. Так что, очевидно, иногда вкрадывались ошибки, и копии копий были известны как менее достоверные 9. 0022 2 . Эти таблицы существуют до сих пор, и можно увидеть, где закрались ошибки при копировании документов.

400 г. до н.э. Следующий шаг — Вавилон и Китай

Египетский метод работал хорошо, но более общее решение — без таблиц — казалось желательным. Вот где в дело вступают вавилонские выродки. Вавилонская математика имела большое преимущество перед той, что использовалась в Египте, а именно, они использовали систему счисления, очень похожую на ту, которую мы используем сегодня, хотя и на основе шестнадцатеричной системы счисления или с основанием 60. С этой системой было намного проще выполнять сложение и умножение, поэтому инженеры около 1000 г. до н.э. всегда могли перепроверить значения в своих таблицах. К 400 г. до н.э. они нашли более общий метод под названием «заполнение квадрата» для решения общих задач, связанных с площадями. Нет никаких указаний на то, что эти люди использовали конкретную математическую процедуру для поиска решений, поэтому, вероятно, были задействованы некоторые обоснованные предположения. Примерно в то же время или чуть позже этот метод появляется и в китайских документах. Китайцы, как и египтяне, также не использовали числовую систему, но двойная проверка простых математических операций стала удивительно легкой благодаря широкому использованию счетов.

300BC Геометрия — эллинистическое Средиземноморье

Первые попытки найти более общую формулу для решения квадратных уравнений восходят к геометрии (и тригонометрии) топ-бананов Пифагора (500 г. до н.э. в Кротоне, Италия) и Евклида (300 г. до н.э. в Александрии, Египет), который использовал строго геометрический подход и нашел общую процедуру решения квадратного уравнения. Пифагор заметил, что отношения между площадью квадрата и соответствующей длиной стороны — квадратным корнем — не всегда были целыми числами, но он отказывался допускать пропорции, отличные от рациональных. Евклид пошел еще дальше и обнаружил, что эта пропорция тоже может быть нерациональной. Он пришел к выводу, что иррациональные числа существуют.

Опус Евклида Элементы охватывал более или менее всю математику, необходимую для технических приложений с теоретической точки зрения. Однако в нем не использовались те же обозначения с формулами и числами, которые мы используем в настоящее время. По этой причине было невозможно вычислить квадратный корень из любого числа вручную, чтобы получить хорошее приближение для точного значения корня, к чему стремились архитекторы и инженеры. Потому что вся (по крайней мере, теоретически значимая) математика казалась законченной 3  но в остальном бесполезный, множество войн, происходящих в Европе, а также раннее Средневековье заставили математический мир в Европе замолчать до 13-го века. В этот период математика также претерпела большой сдвиг, превратившись из прагматической науки в более мистическую, философскую дисциплину.

700AD All Numbers — India

Индийская математика использовала десятичную систему (которую мы используем) по крайней мере с 600 г. н.э. Одним из наиболее важных влияний на индуистскую математику было то, что она широко использовалась в торговле. Средний индуистский торговец довольно быстро справлялся с простой математикой. Если бы у кого-то был долг, числа были бы отрицательными, если бы у кого-то был кредит, числа были бы положительными. Кроме того, если бы у кого-то не было ни кредита, ни долга, сумма чисел равнялась бы нулю. Ноль — важное число в истории математики, и его относительно позднее появление связано с тем, что многим культурам было трудно понять «ничто». Концепция «ничего», как и «шунья», пустота или концепция «равновесия», уже укоренилась в индуистской культуре.

Около 700 г. н.э. общее решение квадратного уравнения, на этот раз с использованием чисел, было предложено индийским математиком по имени Брахмагупта, который, среди прочего, использовал иррациональные числа; он также распознал два корня в решении. Окончательное, полное решение, каким мы его знаем сегодня, было получено около 1100 г. н.э. другим индуистским математиком по имени Баскхара 4 . Басхара первым обнаружил, что любое положительное число имеет два квадратных корня.

820AD Мощная исламская наука — Персия

Около 820 г. н.э. недалеко от Багдада Мохаммад бин Муса Аль-Хваризми, известный исламский математик 5  , знавший индуистскую математику, также вывел квадратное уравнение. Используемая им алгебра была полностью риторической, и он отвергал отрицательные решения. Этот конкретный вывод квадратичной формулы был привезен в Европу еврейским математиком/астрономом Авраамом бар Хийей (чье латинизированное имя Савасорда), который жил в Барселоне около 1100 г.

1500 г. н.э.0451

В эпоху Возрождения в Европе академическое внимание вернулось к оригинальным математическим задачам. К 1545 году Джироламо Кардано, типичный ученый эпохи Возрождения (т.е. интересующийся алхимией, оккультизмом и т.п.) и один из лучших алгебраистов своего времени, составил работы, связанные с квадратными уравнениями, т.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.