Корни тангенса: Арктангенс, арккотангенс, уравнения tg x = a, ctg x = a — урок. Алгебра, 10 класс.

alexxlab / / Разное

Mathway | Популярные задачи

1Найти точное значениеsin(30)
2Найти точное значениеsin(45)
3Найти точное значениеsin(30 град. )
4Найти точное значениеsin(60 град. )
5Найти точное значениеtan(30 град. )
6Найти точное значениеarcsin(-1)
7Найти точное значениеsin(pi/6)
8
Найти точное значение		cos(pi/4)
9Найти точное значениеsin(45 град. )
10Найти точное значениеsin(pi/3)
11Найти точное значениеarctan(-1)
12Найти точное значениеcos(45 град. )
13Найти точное значениеcos(30 град. )
14Найти точное значениеtan(60)
15
Найти точное значение		csc(45 град. )
16Найти точное значениеtan(60 град. )
17Найти точное значениеsec(30 град. )
18Найти точное значениеcos(60 град. )
19Найти точное значениеcos(150)
20Найти точное значениеsin(60)
21Найти точное значениеcos(pi/2)
22Найти точное значениеtan(45 град. )
23Найти точное значениеarctan(- квадратный корень из 3)
24Найти точное значениеcsc(60 град. )
25Найти точное значениеsec(45 град. )
26Найти точное значениеcsc(30 град. )
27Найти точное значение sin(0)
28Найти точное значениеsin(120)
29Найти точное значениеcos(90)
30Преобразовать из радианов в градусыpi/3
31Найти точное значениеtan(30)
32Преобразовать из градусов в радианы45
33Найти точное значениеcos(45)
34Упроститьsin(theta)^2+cos(theta)^2
35Преобразовать из радианов в градусыpi/6
36Найти точное значениеcot(30 град. )
37Найти точное значениеarccos(-1)
38Найти точное значениеarctan(0)
39Найти точное значениеcot(60 град. )
40Преобразовать из градусов в радианы30
41Преобразовать из радианов в градусы(2pi)/3
42Найти точное значениеsin((5pi)/3)
43Найти точное значениеsin((3pi)/4)
44Найти точное значениеtan(pi/2)
45Найти точное значениеsin(300)
46Найти точное значениеcos(30)
47Найти точное значениеcos(60)
48Найти точное значениеcos(0)
49Найти точное значениеcos(135)
50Найти точное значениеcos((5pi)/3)
51Найти точное значениеcos(210)
52Найти точное значениеsec(60 град. )
53Найти точное значениеsin(300 град. )
54Преобразовать из градусов в радианы135
55Преобразовать из градусов в радианы150
56Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/6
57Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/3
58Преобразовать из градусов в радианы89 град.
59Преобразовать из градусов в радианы60
60Найти точное значениеsin(135 град. )
61Найти точное значениеsin(150)
62Найти точное значениеsin(240 град. )
63Найти точное значениеcot(45 град. )
64Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/4
65Найти точное значениеsin(225)
66Найти точное значениеsin(240)
67Найти точное значение
cos(150 град. )
68Найти точное значениеtan(45)
69Вычислитьsin(30 град. )
70Найти точное значениеsec(0)
71Найти точное значениеcos((5pi)/6)
72Найти точное значениеcsc(30)
73Найти точное значениеarcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74Найти точное значениеtan((5pi)/3)
75Найти точное значениеtan(0)
76Вычислитьsin(60 град. )
77Найти точное значениеarctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78Преобразовать из радианов в градусы(3pi)/4
79Найти точное значениеsin((7pi)/4)
80Найти точное значениеarcsin(-1/2)
81Найти точное значениеsin((4pi)/3)
82Найти точное значениеcsc(45)
83Упроститьarctan( квадратный корень из 3)
84Найти точное значениеsin(135)
85Найти точное значениеsin(105)
86Найти точное значениеsin(150 град.
)
87Найти точное значениеsin((2pi)/3)
88Найти точное значениеtan((2pi)/3)
89Преобразовать из радианов в градусыpi/4
90Найти точное значениеsin(pi/2)
91Найти точное значениеsec(45)
92Найти точное значениеcos((5pi)/4)
93Найти точное значение
cos((7pi)/6)
94Найти точное значениеarcsin(0)
95Найти точное значениеsin(120 град. )
96Найти точное значениеtan((7pi)/6)
97Найти точное значениеcos(270)
98Найти точное значениеsin((7pi)/6)
99Найти точное значениеarcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100Преобразовать из градусов в радианы88 град.

Mathway | Популярные задачи

1Найти точное значениеsin(30)
2Найти точное значениеsin(45)
3Найти точное значениеsin(30 град. )
4Найти точное значениеsin(60 град. )
5Найти точное значение
tan(30 град. )
6Найти точное значениеarcsin(-1)
7Найти точное значениеsin(pi/6)
8Найти точное значениеcos(pi/4)
9Найти точное значениеsin(45 град. )
10Найти точное значениеsin(pi/3)
11Найти точное значениеarctan(-1)
12Найти точное значениеcos(45 град. )
13Найти точное значениеcos(30 град. )
14Найти точное значениеtan(60)
15Найти точное значениеcsc(45 град. )
16Найти точное значениеtan(60 град. )
17Найти точное значениеsec(30 град. )
18Найти точное значениеcos(60 град. )
19Найти точное значениеcos(150)
20Найти точное значениеsin(60)
21Найти точное значениеcos(pi/2)
22Найти точное значениеtan(45 град. )
23Найти точное значениеarctan(- квадратный корень из 3)
24Найти точное значениеcsc(60 град. )
25Найти точное значениеsec(45 град. )
26Найти точное значениеcsc(30 град. )
27Найти точное значениеsin(0)
28Найти точное значениеsin(120)
29Найти точное значениеcos(90)
30Преобразовать из радианов в градусыpi/3
31Найти точное значениеtan(30)
32Преобразовать из градусов в радианы45
33Найти точное значениеcos(45)
34Упроститьsin(theta)^2+cos(theta)^2
35Преобразовать из радианов в градусыpi/6
36Найти точное значениеcot(30 град. )
37Найти точное значениеarccos(-1)
38Найти точное значениеarctan(0)
39Найти точное значениеcot(60 град. )
40Преобразовать из градусов в радианы30
41Преобразовать из радианов в градусы(2pi)/3
42Найти точное значениеsin((5pi)/3)
43Найти точное значениеsin((3pi)/4)
44Найти точное значениеtan(pi/2)
45Найти точное значениеsin(300)
46Найти точное значениеcos(30)
47Найти точное значениеcos(60)
48Найти точное значениеcos(0)
49Найти точное значениеcos(135)
50Найти точное значениеcos((5pi)/3)
51Найти точное значениеcos(210)
52Найти точное значениеsec(60 град. )
53Найти точное значениеsin(300 град. )
54Преобразовать из градусов в радианы135
55Преобразовать из градусов в радианы150
56Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/6
57Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/3
58Преобразовать из градусов в радианы89 град.
59Преобразовать из градусов в радианы60
60Найти точное значениеsin(135 град. )
61Найти точное значениеsin(150)
62Найти точное значениеsin(240 град. )
63Найти точное значениеcot(45 град. )
64Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/4
65Найти точное значениеsin(225)
66Найти точное значениеsin(240)
67Найти точное значениеcos(150 град. )
68Найти точное значениеtan(45)
69Вычислитьsin(30 град. )
70Найти точное значениеsec(0)
71Найти точное значениеcos((5pi)/6)
72Найти точное значениеcsc(30)
73Найти точное значениеarcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74Найти точное значениеtan((5pi)/3)
75Найти точное значениеtan(0)
76Вычислитьsin(60 град. )
77Найти точное значениеarctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78Преобразовать из радианов в градусы(3pi)/4
79Найти точное значениеsin((7pi)/4)
80Найти точное значениеarcsin(-1/2)
81Найти точное значениеsin((4pi)/3)
82Найти точное значениеcsc(45)
83Упроститьarctan( квадратный корень из 3)
84Найти точное значениеsin(135)
85Найти точное значениеsin(105)
86Найти точное значениеsin(150 град. )
87Найти точное значениеsin((2pi)/3)
88Найти точное значениеtan((2pi)/3)
89Преобразовать из радианов в градусыpi/4
90Найти точное значениеsin(pi/2)
91Найти точное значениеsec(45)
92Найти точное значениеcos((5pi)/4)
93Найти точное значениеcos((7pi)/6)
94Найти точное значениеarcsin(0)
95Найти точное значениеsin(120 град. )
96Найти точное значениеtan((7pi)/6)
97Найти точное значениеcos(270)
98Найти точное значениеsin((7pi)/6)
99Найти точное значениеarcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100Преобразовать из градусов в радианы88 град.

функций — Касательные и корни уравнений.

Во-первых, вы сделали что-то великое: вы рассмотрели задачу, которой, вероятно, не было в вашем учебнике, тщательно проанализировали ее, сделали ошибки и исправили их. Это ужасно!

Хорошо, продолжаю отвечать на ваши вопросы (и встречно отвечать на некоторые).

Во-первых, понятие «тангенс», которое вы используете, обычно не называется (теми, кто занимается вычислениями) «тангенсом». Ваше представление о том, что прямая $L$ касается кривой $C$, состоит в том, что $L$ и $C$ имеют общую точку $P$ и в этой точке $P$ имеют одинаковый наклон, а вблизи $P$ кривая $C$ лежит по одну сторону от $L$. Это почти правильно… за исключением того, что пункт «одна сторона» не включен в определение. Поэтому мы часто говорим, что если $f$ — функция, график которой представляет собой кривую $C$, а $L$ и $C$ пересекаются в точке $P$ и имеют один и тот же наклон в точке $P$, то «$L$ касательная к $f$ в точке $P$», независимо от того, пересекаются ли там $L$ и $C$.

Тем не менее, для многочленов это интересная и полезная концепция.

Позвольте мне перейти к разговору о функциях.

Если $f(x)$ — полиномиальная функция и $g(x) = mx + b$ — прямая (т. е. $m$ отлична от нуля) и $f(a) = g(a)$ для какое-то $a$, то мы говорим, что $f$ и $g$ пересекаются, или «соглашаемся на нулевой порядок»; если $f(a) = g(a) = 0$, мы говорим, что они имеют общий корень. Если наклоны $f$ и $g$ одинаковы, то мы говорим, что они «согласуются с первым порядком». В этом случае уравнение $f(x) — g(x) = 0$ имеет (по крайней мере) двойной корень в $a$, и действительно, для полиномов это можно назвать «определением» производной: линейная функция $g$, обладающая тем свойством, что $f(x) — g(x)$ имеет двойной корень в точке $a$ [или наклон этой прямой], может быть названа производной $f$ в точке $a$ .

Корень может иметь более высокий порядок; это может быть тройной корень или корень четвертой степени и т. д. И, как вы заметили, для повторяющихся корней с нечетным числом (когда $f$ является многочленом) это указывает на пересечение в точке $x = a$, тогда как для четных количество повторяющихся корней, это указывает на то, что вблизи $x = a$ график $f$ лежит по одну сторону от своей касательной. 2} & x \ne 0 \end{case} $$ Его касательная в точке $x = 0$ является осью $x$ (что требует некоторой работы, чтобы показать!), но эта касательная бесконечно часто пересекает график $f$ в любой окрестности $x = 0$. Ой!

Существует также стандартный пример (который я не буду приводить, потому что он, вероятно, использует вещи, с которыми вы еще не сталкивались) непостоянной функции $f$ со свойством $f(0) = 0$ и $ f'(0) = 0$, поэтому его касательная в точке $0$ является осью $x$. Но при $x = 0$ график $f$ пересекает свою касательную «в бесконечном порядке», т. е. если максимально хорошо аппроксимировать $f$ вблизи нуля полиномом степени $n$, то этот полином будет иметь $ n$ укореняется в $0$… и это верно для любого $n$. Мы говорим, что функция $f$ «чрезвычайно плоская» при $x = 0$. Такие функции на самом деле важны для «построения разделов единицы» (что бы это ни значило!) позже, т. е. они не просто дурацкие примеры, но на самом деле представляют собой важные явления в математике.

Мой ответ теперь почти такой же длинный, как и ваш вопрос, и я надеюсь, что ответил на большую часть того, что вы спросили.

Моя любимая книга, помогающая людям понять подобные вопросы, — « Исчисление » Майкла Спивака. Возможно, лучше было бы назвать ее чем-то вроде «Введение в анализ», но как бы вы ее ни называли, это сокровище.

Метод Ньютона

Метод Ньютона

Метод Ньютона

Попробуйте найти корень

        y = e x — 4x

Как ни старайся, не существует алгебраического метода, позволяющего найти этот корень. Аппроксимируем решение следующим образом:

График показывает, что решение находится между 0 и 2.

Наше первоначальное предположение: 

        x = 1  

Теперь проведите касательную через (1,f(1)). Следующий посмотрите, где касательная пересекает ось x. Касательная линия является близкой аппроксимация кривой для близких значений, следовательно, точка пересечения касательная близка к точке пересечения кривой с абсциссой. Касательная линия имеет уравнение

y — f(1) = f ‘(1)(x — 1)

Пересечение x происходит, когда y = 0, следовательно,

        -f(1) = f ‘(1)(x — 1)

решение для x,

ф(1)
Икс = 1 —                     
f ‘(1)

Этот x не будет истинным корнем, но будет будет лучшим предположением, чем x = 1. Мы будем использовать это (назовите это x 2 )  как наш второе предположение. Следующая игра в ту же игру:

е(х 2 )
х 3 = x 2 —                     
ф'(х 2 )

На графике ниже показана эта конструкция. Синяя линия первая касательная линия, а фиолетовая линия — вторая касательная линия.

       


Продолжайте этот процесс, чтобы получить

е (х n )
x n+1 = x n —                     
ф ‘(х н )


Для нашего примера это выражение

.

Используйте калькулятор или компьютер, чтобы найти значения.

х 1 = 1,     х 2 = 0, x 3 = 0,3333,     x 4 = 0,3572, х 5 = 0,3574,     х 6 = 0,3574

Мы видим, что 0,3574 — это корень с точностью до 4 десятичные разряды.

Упражнение

Оценка

       

 с использованием метода Ньютона.
Подсказка: найдите корень x 2 — 5.

Когда метод Ньютона не работает

  1. Если наша первая догадка  (или любые последующие догадки) точка, в которой проходит горизонтальная касательная, то эта линия никогда не будет ударить по оси x, и метод Ньютона не сможет найти корень. Если есть горизонтальная касательная, то производная равна нулю, и мы не может делиться на f ‘(x), так как формула требует.

  2. Если наши догадки колеблются туда-сюда, то метод Ньютона не будет работать.

  3.  Если есть два корня, у нас должно быть первое предположение вблизи интересующего нас корня, иначе метод Ньютона найдет неправильный корень.

  4. Если корней нет, то метод Ньютона не работает Найди это. (Это может быть неприятно, когда вы используете свой калькулятор найти корень.

Пример

Объясните, почему метод Ньютона не может найти корень

f(x) = x 1/3

с начальным предположением x = 1.

Раствор

У нас есть

f ‘(x)  =  1/3 x -2/3

так что

х п 1/3
х н+1 = х н — =  x n — 3x n   =  -2x n   
1/3 х -2/3

Это дает нам

х 1   =  1,        х 2 = -2(1) = -2

х 3  = -2(-2) = 4, х 4   =  -2(4)  =  -8

Эти числа растут (в абсолютном значении) вместо сходящийся.

No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *