Секанс | это… Что такое Секанс?
Рис. 1
Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса
Тригонометрические функции — вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), секанс (sec x) и косеканс (cosec x), последняя пара функций в настоящее время сравнительно малоупотребительна (про ещё менее употребляемые функции см. здесь). В англоязычной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x. Обычно тригонометрические функции определяются геометрически, но можно определить их аналитически через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на комплексные числа.
Содержание
|
1.1 Определение тригонометрических функций для острых угловСпособы определения
Геометрическое определение
Рис. 2
Определение тригонометрических функций
Обычно тригонометрические функции определяются геометрически.
- Синусом называется отношение
- Косинусом называется отношение
- Тангенс определяется как
- Котангенс определяется как
- Секанс определяется как
- Косеканс определяется как
Рис. 3.
Тригонометрические функции угла α в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице.
Ясно, что значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности R в силу свойств подобных фигур. Часто этот радиус принимают равным величине единичного отрезка, тогда синус равен просто ординате
На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.Если α — действительное число, то синусом α в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна α, аналогично для прочих тригонометрических функций.
Определение тригонометрических функций для острых углов
Рис. 4.
Тригонометрические функции острого угла
Во многих учебниках элементарной геометрии до настоящего времени тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть OAB — треугольник с углом α. Тогда:
- Синусом α называется отношение AB/OB (противолежащего катета к гипотенузе)
- Косинусом α называется отношение ОА/OB (прилежащего катета к гипотенузе)
- Тангенсом α называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему)
- Котангенсом α называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему)
- Секансом α называется отношение ОB/OA (гипотенузы к прилежащему катету)
- Косекансом α называется отношение ОB/AB (гипотенузы к противолежащему катету)
Построив систему координат с началом в точке O, направлением оси абсцисс вдоль OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее.
Данное определение имеет некоторое педагогическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач про тупоугольные треугольники (см. Теорема синусов, Теорема косинусов).
Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений
Функции косинус и синус можно определить как чётное (косинус) и нечётное (синус) решение дифференциального уравнения
с начальными условиями cos(0) = sin'(0) = 1, то есть как функций одной переменной, вторая производная которых равна самой функции, взятой со знаком минус:
Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений
Функции косинус и синус можно определить как непрерывные решения (f и g соответственно) системы функциональных уравнений:
Определение тригонометрических функций через ряды
Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу.
Пользуясь этими формулами, а также уравнениями и можно найти разложения в ряд Тейлора и других тригонометрических функций:
- где Bn — числа Бернулли.
- где En — числа Эйлера.
Значения тригонометрических функций для некоторых углов
Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице.
Значения косинуса и синуса на окружности.
| 0°(0 рад) | 30° (π/6) | 45° (π/4) | 60° (π/3) | 90° (π/2) | 180° (π) | 270° (3π/2) | 360° (2π) | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Значения тригонометрических функций нестандартных углов
Свойства тригонометрических функций
Простейшие тождества
Так как синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:
Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:
Чётность
Косинус и секанс — чётные.
Периодичность
Функции y = sin α, y = cos α, y = sec α, y = cosec α — периодические с периодом 2π. Функции: y = tg α, y = ctg α — c периодом π
Формулы приведения
Здесь f — любая тригонометрическая функция, g — соответствующая ей другая функция из пары (то есть косинус для синуса, синус для косинуса и аналогично для остальных функций). Нужный знак в правой части равенства определяется следующим образом: предположим что угол α находится в первой четверти, тогда определяем знаки значений функций в левой и правой части равенства и в случае их несовпадения перед правой частью пишем знак -, например:
Формулы сложения
Другие тригонометрические тождества.
Однопараметрическое представление
Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.
Производные и интегралы
Все тригонометрические функции непрерывно дифференцируемы на всей области определения:
Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:
- См. также Список интегралов от тригонометрических функций
История
Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива»), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар»
, обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха».
При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus, имеющим то же значение.Современное обозначение синуса sin и косинуса cos введено Леонардом Эйлером в XVIII веке.
Термины «тангенс» (от лат. tangens — касающийся) и «секанс» (лат. secans — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583)
Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770.
См. также
- Гиперболические функции
- Обратные тригонометрические функции
- Редко используемые тригонометрические функции
- Эллиптические функции
- Теорема косинусов
- Теорема синусов
- Тригонометрические формулы
- Четырёхзначные математические таблицы (Таблицы Брадиса)
- Функция Гудермана связывает тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных чисел.
Ссылки
- GonioLab: Проясненная Единичная Окружность, Тригонометрические и Гиперболические функции (Java Web Start)
- Weisstein, Eric W. Тригонометрические функции на сайте Wolfram MathWorld.(англ.)
- Онлайн калькулятор: вычисление значений тригонометрических функций
Вычислить и найти косеканс онлайн
Пример решили: 752 раза Сегодня решили: 0 раз
Введите градусы или радианы
Угол Градусы (°)Радианы (rad)
Вычисление косеканса
Скачать решение в PDF
Порекомендуйте наш сервис друзьям
Вконтакте
Одноклассники
Google+
В прямоугольном треугольнике с острым углом α справедливо следующее соотношение:
косеканс угла α равен отношению гипотенузы к противолежащему катету.
Формула вычисления косеканса:
$$ cosec \: \color{red}{\alpha} = { c \over b} $$
График функции y = cosec(x):
Примеры решений
- Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если длина катета, противолежащего углу 38º равна 4 см. {\circ})}= \frac{23}{1.122} =20,5 см $$
Ответ:
$$ H = 20,5 см $$
{\circ})}= \frac{23}{1.122} =20,5 см $$Попробуйте другие сервисы
Перевод градусов в радианы
Вычисление косинуса
Вычисление синуса
Вычисление тангенса
Вычисление котангенса
История решений
- Синус
- Косинус
- Касательная
- Котангенс
- Секанс
- Косеканс
- Домен = R — nπ
- Диапазон = (-∞, -1] U [+1, +∞)
- . Когда x = 0, sin x = 0 и, следовательно, csc x = не определено
- Когда x = π/6, sin x = ½, csc x = 2
- Когда x = π/4, sin x = 1/√2, csc x = √2
- Когда x = π/3, sin x = √3/2, csc x = 2/√3
- Когда x = π/2, sin x = 1, csc x = 1
- 1 + кроватка²x = csc²x
- csc (π — x) = csc x
- csc (π/2 — x) = сек x
- csc (-x) = csc х
- csc х = 1 / грех х
- csc x = сек (π/2 — x)
- График cosec x симметричен относительно оси x.
- Функция косеканса является нечетной функцией, то есть csc (-x) = -csc x
- График косеканса не имеет пересечений по оси x, то есть график косеканса не пересекает ось x ни в одной точке.
- Значение csc x положительно, если sin x положительно, и отрицательно, если sin x отрицательно.
- Период csc x равен 2π радианам (360 градусов).
- Cosec x не определен при целых кратных π.
- Косеканс является обратной величиной функции синуса.
- Равен отношению гипотенузы к перпендикуляру прямоугольного треугольника.
- График косеканса имеет вертикальные асимптоты и не имеет пересечений по оси x.
- Функция косеканса определяется целым числом, кратным π.
- Косинус
- Тригонометрическая таблица
- Тригонометрические отношения
- csc х = 1/sin х
- csc x = гипотенуза/перпендикуляр ИЛИ гипотенуза/противоположная сторона
Пример 1: Если длины сторон прямоугольного треугольника ABC равны 13, 12 и 5 единицам, найдите значение cosec A.
Решение:
:
Используя формулу косеканса
cosec A = гипотенуза / сторона, противоположная углу A
= AB / BC = 13/5
Ответ: cosec A = 13/5
Пример 2: Найдите cosec P, если sin P = 3 / 5.
Решение: Используя формулу косеканса, мы знаем, что
cosec P = 1 / sin P
= 1 / (3 / 5)
= 5/3
Ответ: cosec P = 5/3
Пример 3: Рассчитайте значение cosec x, если угол x равен π/4 радиан.
Решение: Использование тригонометрической таблицы,
cosec x = cosec (π/4)
= 1 / sin (π/4)
= 1/(1/√2) = √2
Ответ: cosec x = √2
Косеканс — формула, график, область, диапазон
Функция косеканса является обратной величиной синуса тригонометрической функции. Косеканс — одна из шести основных тригонометрических функций, сокращенно обозначаемая как csc x или cosec x, где x — угол. В прямоугольном треугольнике косеканс равен отношению гипотенузы к перпендикуляру. Поскольку это величина, обратная синусу, мы записываем ее как csc x = 1 / sin x.
В этой статье мы рассмотрим концепцию функции косеканса и поймем ее формулу.
Мы построим график косеканса, используя его домен и диапазон, исследуем тригонометрические тождества косеканса x, его значения и свойства. Мы решим несколько примеров, основанных на концепции csc x, чтобы лучше понять ее приложения.
| 1. | Что такое функция косеканса? |
| 2. | Формула функции косеканса |
| 3. | Домен и диапазон Cosec x |
| 4. | График косеканса |
| 5. | Косеканс Тождества |
| 6. | Свойства функции косеканса |
| 7. | Значения косеканса |
| 8. | Часто задаваемые вопросы о функции косеканс |
Что такое функция косеканса?
Косеканс является обратной величиной синуса. У нас есть шесть важных тригонометрических функций:
Поскольку это величина, обратная sin x, она определяется как отношение длины гипотенузы к длине перпендикуляра прямоугольного треугольника.
Рассмотрим единичный круг с точками O в центре, P на окружности и Q внутри круга и соедините их, как показано выше. Поскольку это единичный круг, длина OP равна 1 единице. Считайте, что мера угла POQ равна x градусов. Тогда, используя определение косеканса, мы имеем
csc x = OP/PQ
= 1/PQ
Формула функции косеканса
Так как функция косеканса является обратной величиной функции синуса, мы можем записать ее формулу как и csc x является обратной величиной sin x, мы можем записать формулу для функции косеканса как
Cosec x = гипотенуза / перпендикуляр
Домен и диапазон Cosec x
Как мы обсуждали ранее, косеканс является обратной величиной функции синуса, то есть csc x = 1 / sin x, cosec x определяется для всех действительных чисел, за исключением значений, где sin x равен нулю. Мы знаем, что sin x равен для всех целых кратных pi, то есть sin x = 0 подразумевает, что x = nπ, где n — целое число.
Таким образом, cosec x определен для всех действительных чисел, кроме nπ. Теперь мы знаем, что диапазон sin x равен [-1, 1], а csc x является обратной величиной sin x, поэтому диапазоном csc x являются все действительные числа, кроме (-1, 1). Таким образом, область определения и диапазон косеканса равны
График косеканса
Теперь, когда мы знаем область определения и диапазон косеканса, давайте теперь построим его график. Как мы знаем, cosec x определен для всех действительных чисел, кроме значений, где sin x равен нулю. Итак, у нас есть вертикальные асимптоты в точках, где csc x не определено. Кроме того, используя значения sin x, мы имеем y = csc x как
Итак, нанеся указанные выше точки на график и соединив их, мы получим график косеканса следующим образом:
Косеканс Тождества
Давайте теперь пройдемся по некоторым важным тригонометрическим тождествам функции косеканса.
Мы используем эти тождества для упрощения и решения различных тригонометрических задач.
Свойства функции косеканса
Мы поняли, что функция косеканса является обратной величиной функции синуса и ее формулы. Давайте теперь рассмотрим некоторые важные свойства функции косеканса, чтобы лучше понять ее.
Значения косеканса
Для решения различных тригонометрических задач мы используем тригонометрическую таблицу для запоминания значений наиболее часто используемых тригонометрических функций. В приведенной ниже таблице показаны значения функции косеканса, которые помогают упростить задачи, их легко понять и запомнить.
X (радиан) | CSC x |
|---|---|
0 | Не определено |
№/6 | 2 |
№/4 | √2 |
п/3 | 2/√3 |
п/2 | 1 |
3π/2 | -1 |
2π | Не определено |
Важные замечания по функции косеканс
☛ Связанные темы:
Часто задаваемые вопросы о Cosecant
Что такое функция косеканса в тригонометрии?
Функция косеканса — одна из шести важных тригонометрических функций. Это обратная функция синуса и, следовательно, равна отношению гипотенузы к перпендикуляру прямоугольного треугольника.
Что такое формула функции косеканса?
Формулу функции косеканса можно записать двумя способами:
Что такое косеканс угла?
Косеканс угла равен отношению гипотенузы к противолежащему катету угла в прямоугольном треугольнике.
Мы также можем найти косеканс угла, используя тригонометрические тождества.
В чем разница между секансом и косекансом?
Функция секанса является обратной функцией косинуса, а функция косеканса является обратной функцией синуса. Секанс — это отношение гипотенузы к прилежащему катету, а косеканс — это отношение гипотенузы к противолежащему катету.
Является ли Csc обратной стороной Sin?
Нет, csc x не является инверсией sin. Это обратная функция синуса. Обратное значение sin называется обратным синусом или арксинусом.
Какова величина, обратная косекансу?
Функция, обратная косекансу, является функцией синуса. Записывается как sin x = 1/csc x
Что такое период косеканса?
Значения функции косеканса повторяются через каждые 2π радиан, поэтому период косеканса x равен 2π радианам (360 градусов).
Почему косеканс обратен синусу?
Мы знаем, что sin x — это отношение перпендикуляра к гипотенузе прямоугольного треугольника, а косеканс — это отношение перпендикуляра к гипотенузе, поэтому косеканс — это величина, обратная синусу.
Также произведение этих двух функций на угол всегда равно единице. Следовательно, косеканс есть обратная функция синуса.
Является ли график функции косеканса непрерывным?
График косеканса не является непрерывным, поскольку он имеет вертикальные асимптоты в точках, где функция косеканса не определена. Мы знаем, что cosec x не определен в целых числах, кратных pi, поэтому график косеканса имеет разрыв в точках nπ, где n — целое число.
Формула косеканса — Изучите формулу для расчета отношения косеканса
Косеканс — это одно из шести тригонометрических отношений, которое также обозначается как cosec или csc. Формула косеканса определяется делением длины гипотенузы на длину противоположной стороны в прямоугольном треугольнике. Между тригонометрическими отношениями косеканса и синуса существует интересная связь, которую мы увидим ниже. Давайте разберемся с формулой косеканса на решенном примере.
Что такое формула косеканса?
Для данного прямоугольного треугольника ABC, как показано ниже, где A — острый угол
AB = гипотенуза
AC = сторона, прилегающая к углу A и между углом A и прямым углом
BC = сторона, противоположная углу A
Формула косеканса дается следующим образом:
cosec A = гипотенуза / противолежащая сторона = AB / BC = c / a
Мы знаем, что
sin A = противолежащая сторона / гипотенуза
Косеканс является обратной величиной синуса.
Таким образом, cosec A через sin A определяется как
cosec A = 1 / sin A = 1 / (a / c) = c / a
Таким образом, мы можем сказать, что тригонометрические соотношения cosec и sin имеет между собой взаимные отношения.
Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.
Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций с помощью Cuemath.
Запись на бесплатный пробный урок
Решенные примеры с использованием формулы косеканса
перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы о формуле косеканса
Что такое формула косеканса?
Формула косеканса дает формулу косеканса тригонометрической функции для прямоугольного треугольника. Формула косеканса дается отношением гипотенузы и перпендикуляра (противоположная сторона) прямоугольного треугольника.
Что такое формула косеканса в терминах синуса?
Мы знаем, что функция косеканса является обратной функцией синуса.