\(\cos\)\(\frac{π}{3}\)\(=\)\(\frac{1}{2}\)
\(\cos2=-0,416…\)
Содержание:
Аргумент и значение
Косинус острого угла
Косинус острого угла можно определить с помощью прямоугольного треугольника — он равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
Пример:
1) Пусть дан угол и нужно определить косинус этого угла.
2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.
3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить косинус.
Косинус острого угла больше \(0\) и меньше \(1\)
Если при решении задачи косинус острого угла получился больше 1 или отрицательным, то значит где-то в решении есть ошибка.
Косинус числа
Числовая окружность позволяет определить косинус любого числа, но обычно находят косинус чисел как-то связанных с Пи: \(\frac{π}{2}\), \(\frac{3π}{4}\), \(-2π\).
Например, для числа \(\frac{π}{6}\) — косинус будет равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). А для числа \(-\)\(\frac{3π}{4}\) он будет равен \(-\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) (приблизительно \(-0,71\)).
Косинус для других часто встречающихся в практике чисел смотри в тригонометрической таблице.
Значение косинуса всегда лежит в пределах от \(-1\) до \(1\). При этом вычислен косинус может быть для абсолютно любого угла и числа.
Косинус любого угла
Благодаря числовой окружности можно определять косинус не только острого угла, но и тупого, отрицательного, и даже большего, чем \(360°\) (полный оборот). Как это делать — проще один раз увидеть, чем \(100\) раз услышать, поэтому смотрите картинку.
Теперь пояснение: пусть нужно определить косинус угла КОА с градусной мерой в \(150°\). Совмещаем точку О с центром окружности, а сторону ОК – с осью \(x\). После этого откладываем \(150°\) против часовой стрелки. Тогда ордината точки А покажет нам косинус этого угла.
Если же нас интересует угол с градусной мерой, например, в \(-60°\) (угол КОВ), делаем также, но \(60°\) откладываем по часовой стрелке.
И, наконец, угол больше \(360°\) (угол КОС) — всё аналогично тупому, только пройдя по часовой стрелке полный оборот, отправляемся на второй круг и «добираем нехватку градусов». Конкретно в нашем случае угол \(405°\) отложен как \(360° + 45°\).
Несложно догадаться, что для откладывания угла, например, в \(960°\), надо сделать уже два оборота (\(360°+360°+240°\)), а для угла в \(2640°\) — целых семь.
Стоит запомнить, что:
Косинус прямого угла равен нулю. Косинус тупого угла — отрицателен.
Знаки косинуса по четвертям
С помощью оси косинусов (то есть, оси абсцисс, выделенной на рисунке красным цветом) легко определить знаки косинусов по четвертям числовой (тригонометрической) окружности:
— там, где значения на оси от \(0\) до \(1\), косинус будет иметь знак плюс (I и IV четверти – зеленая область),
— котангенсом и синусом того же угла (или числа): формулой \(ctgx=\)\(\frac{\cos{x}}{\sinx}\)
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри здесь.
Функция \(y=\cos{x}\)
Если отложить по оси \(x\) углы в радианах, а по оси \(y\) — соответствующие этим углам значения косинуса, мы получим следующий график:
График данной функции называется косинусоида и обладает следующими свойствами:
— область определения – любое значение икса: \(D(\cos{x} )=R\)
— область значений – от \(-1\) до \(1\) включительно: \(E(\cos{x} )=[-1;1]\)
— четная: \(\cos(-x)=\cos{x}\)
— периодическая с периодом \(2π\): \(\cos(x+2π)=\cos{x}\)
ось абсцисс: \((\)\(\frac{π}{2}\)\(+πn\),\(;0)\), где \(n ϵ Z\)
ось ординат: \((0;1)\)
— промежутки знакопостоянства:
функция положительна на интервалах: \((-\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πn;\) \(\frac{π}{2}\)\(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
функция отрицательна на интервалах: \((\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πn;\)\(\frac{3π}{2}\)\(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
— промежутки возрастания и убывания:
функция возрастает на интервалах: \((π+2πn;2π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
функция убывает на интервалах: \((2πn;π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
— максимумы и минимумы функции:
функция имеет максимальное значение \(y=1\) в точках \(x=2πn\), где \(n ϵ Z\)
функция имеет минимальное значение \(y=-1\) в точках \(x=π+2πn\), где \(n ϵ Z\).
Смотрите также:
Синус
Тангенс
Котангенс
Решение уравнения \(\cosx=a\)
Как написать cos(1) — CodeRoad
Вы можете вычислить cos(1) , используя разложение Тейлора этой функции:
Вы можете найти более подробную информацию в Википедии , см. Реализацию ниже:
import math
def factorial(n):
if n == 0:
return 1
else:
return n * factorial(n-1)
def cos(order):
a = 0
for i in range(0, order):
a += ((-1)**i)/(factorial(2*i)*1.0)
return a
print cos(10)
print math.cos(1)
Это дает в качестве вывода:
0.540302305868
0.540302305868
EDIT: По-видимому, косинус реализован в аппаратном обеспечении с использованием алгоритма CORDIC, который использует таблицу поиска для вычисления atan . Ниже приведена реализация алгоритма Python CORDIS, основанная на этом вопросе группы Google :
#atans = [math.atan(2.0**(-i)) for i in range(0,40)] atans =[0.7853981633974483, 0.4636476090008061, 0.24497866312686414, 0.12435499454676144, 0.06241880999595735, 0.031239833430268277, 0.015623728620476831, 0.007812341060101111, 0.0039062301319669718, 0.0019531225164788188, 0.0009765621895593195, 0.0004882812111948983, 0.00024414062014936177, 0.00012207031189367021, 6.103515617420877e-05, 3.0517578115526096e-05, 1.5258789061315762e-05, 7.62939453110197e-06, 3.814697265606496e-06, 1.907348632810187e-06, 9.536743164059608e-07, 4.7683715820308884e-07, 2.3841857910155797e-07, 1.1920928955078068e-07, 5.960464477539055e-08, 2.9802322387695303e-08, 1.4901161193847655e-08, 7.450580596923828e-09, 3.725290298461914e-09, 1.862645149230957e-09, 9.313225746154785e-10, 4.656612873077393e-10, 2.3283064365386963e-10, 1.1641532182693481e-10, 5.820766091346741e-11, 2.9103830456733704e-11, 1.4551915228366852e-11, 7.275957614183426e-12, 3.637978807091713e-12, 1.8189894035458565e-12] def cosine_sine_cordic(beta,N=40): # in hardware, put this in a table. def K_vals(n): K = [] acc = 1.0 for i in range(0, n): acc = acc * (1.0/(1 + 2.0**(-2*i))**0.5) K.append(acc) return K #K = K_vals(N) K = 0.6072529350088812561694 x = 1 y = 0 for i in range(0,N): d = 1.0 if beta < 0: d = -1.0 (x,y) = (x - (d*(2.0**(-i))*y), (d*(2.0**(-i))*x) + y) # in hardware put the atan values in a table beta = beta - (d*atans[i]) return (K*x, K*y) if __name__ == '__main__': beta = 1 cos_val, sin_val = cosine_sine_cordic(beta) print "Actual cos: " + str(math.cos(beta)) print "Cordic cos: " + str(cos_val)
Это дает в качестве вывода:
Actual cos: 0.540302305868
Cordic cos: 0.540302305869
| 1 | Найти точное значение | sin(30) | |
| 2 | Найти точное значение | sin(45) | |
| 3 | Найти точное значение | sin(30 град. ) | |
| 4 | Найти точное значение | sin(60 град. ) | |
| 5 | Найти точное значение | tan(30 град. ) | |
| 6 | Найти точное значение | arcsin(-1) | |
| 7 | Найти точное значение | sin(pi/6) | |
| 8 | Найти точное значение | cos(pi/4) | |
| 9 | Найти точное значение | sin(45 град. ) | |
| 10 | Найти точное значение | sin(pi/3) | |
| 11 | Найти точное значение | arctan(-1) | |
| 12 | Найти точное значение | cos(45 град. ) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(30 град. ) | |
| 14 | Найти точное значение | tan(60) | |
| 15 | Найти точное значение | csc(45 град. ) | |
| 16 | Найти точное значение | tan(60 град. ) | |
| 17 | Найти точное значение | sec(30 град. ) | |
| 18 | Найти точное значение | cos(60 град. ) | |
| 19 | Найти точное значение | cos(150) | |
| 20 | Найти точное значение | sin(60) | |
| 21 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 22 | Найти точное значение | tan(45 град. ) | |
| 23 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень 3) | |
| 24 | Найти точное значение | csc(60 град. ) | |
| 25 | Найти точное значение | sec(45 град. ) | |
| 26 | Найти точное значение | csc(30 град. ) | |
| 27 | Найти точное значение | sin(0) | |
| 28 | Найти точное значение | sin(120) | |
| 29 | Найти точное значение | cos(90) | |
| 30 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/3 | |
| 31 | Найти точное значение | tan(30) | |
| 32 | Преобразовать из градусов в радианы | 45 | |
| 33 | Найти точное значение | cos(45) | |
| 34 | Упростить | sin(theta)^2+cos(theta)^2 | |
| 35 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
| 36 | Найти точное значение | cot(30 град. ) | |
| 37 | Найти точное значение | arccos(-1) | |
| 38 | Найти точное значение | arctan(0) | |
| 39 | Найти точное значение | cot(60 град. ) | |
| 40 | Преобразовать из градусов в радианы | 30 | |
| 41 | Преобразовать из радианов в градусы | (2pi)/3 | |
| 42 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
| 43 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 44 | Найти точное значение | tan(pi/2) | |
| 45 | Найти точное значение | sin(300) | |
| 46 | Найти точное значение | cos(30) | |
| 47 | Найти точное значение | cos(60) | |
| 48 | Найти точное значение | cos(0) | |
| 49 | Найти точное значение | cos(135) | |
| 50 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
| 51 | Найти точное значение | cos(210) | |
| 52 | Найти точное значение | sec(60 град. ) | |
| 53 | Найти точное значение | sin(300 град. ) | |
| 54 | Преобразовать из градусов в радианы | 135 | |
| 55 | Преобразовать из градусов в радианы | 150 | |
| 56 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/6 | |
| 57 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/3 | |
| 58 | Преобразовать из градусов в радианы | 89 град. | |
| 59 | Преобразовать из градусов в радианы | 60 | |
| 60 | Найти точное значение | sin(135 град. ) | |
| 61 | Найти точное значение | sin(150) | |
| 62 | Найти точное значение | sin(240 град. ) | |
| 63 | Найти точное значение | cot(45 град. ) | |
| 64 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/4 | |
| 65 | Найти точное значение | sin(225) | |
| 66 | Найти точное значение | sin(240) | |
| 67 | Найти точное значение | cos(150 град. ) | |
| 68 | Найти точное значение | tan(45) | |
| 69 | Вычислить | sin(30 град. ) | |
| 70 | Найти точное значение | sec(0) | |
| 71 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
| 72 | Найти точное значение | csc(30) | |
| 73 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень 2)/2) | |
| 74 | Найти точное значение | tan((5pi)/3) | |
| 75 | Найти точное значение | tan(0) | |
| 76 | Вычислить | sin(60 град. ) | |
| 77 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень 3)/3) | |
| 78 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
| 79 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
| 80 | Найти точное значение | arcsin(-1/2) | |
| 81 | Найти точное значение | sin((4pi)/3) | |
| 82 | Найти точное значение | csc(45) | |
| 83 | Упростить | arctan( квадратный корень 3) | |
| 84 | Найти точное значение | sin(135) | |
| 85 | Найти точное значение | sin(105) | |
| 86 | Найти точное значение | sin(150 град. ) | |
| 87 | Найти точное значение | sin((2pi)/3) | |
| 88 | Найти точное значение | tan((2pi)/3) | |
| 89 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/4 | |
| 90 | Найти точное значение | sin(pi/2) | |
| 91 | Найти точное значение | sec(45) | |
| 92 | Найти точное значение | cos((5pi)/4) | |
| 93 | Найти точное значение | cos((7pi)/6) | |
| 94 | Найти точное значение | arcsin(0) | |
| 95 | Найти точное значение | sin(120 град.3 | |
| 6 | Risolvere per ? | cos(x)=1/2 | |
| 7 | Risolvere per x | sin(x)=-1/2 | |
| 8 | Преобразовать из градусов в радианы | 225 | |
| 9 | Risolvere per ? | cos(x)=( квадратный корень 2)/2 | |
| 10 | Risolvere per x | cos(x)=( квадратный корень 3)/2 | |
| 11 | Risolvere per x | sin(x)=( квадратный корень 3)/2 | |
| 12 | График | g(x)=3/4* корень пятой степени x | |
| 13 | Найти центр и радиус | x^2+y^2=9 | |
| 14 | Преобразовать из градусов в радианы | 120 град.2+n-72)=1/(n+9) |
Теорема Косинусов и Синусов треугольника. Формулы и примеры
Формулировка и доказательство теоремы косинусов
Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Формула Теоремы Пифагора:
a2> + b2> = c2>, где a, b — катеты, с — гипотенуза.
Из формулы следует: a2 = c2 — b2
К полученному выражению прибавим и отнимем квадрат второго катета:
Но так как b = c * cos α, то
Эту формулу мы получили для катетов в прямоугольном треугольнике, но аналогичная связь между стороной а и косинусом противолежащего угла справедлива и для произвольного треугольника.
Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. |
Формула теоремы косинусов:
a2 = b2 + c2 — 2bc cos α
В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:
BC2 = (x2 — x1)2 + (y2 — y1)2
В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).
BC2 = a2 = (b cos α — c)2 + b2sin2α = b2cos2α + b2sin2α — 2bc cos α + c2 = b2(cos2α + sin2α) — 2bc cos α + c2
cos2α + sin2α = 1 — основное тригонометрическое тождество.
b2(cos2α + sin2α) — 2bc cos α + c2 = b2 + c2 — 2bc cos α
Что и требовалось доказать.
Следствие из теоремы косинусов: теорему косинусов также можно использовать для определения косинуса угла треугольника:
- Когда b2 + c2 — a2 > 0, угол α будет острым.
- Когда b2 + c2 — a2 = 0, угол α будет прямым.
- Когда b2 + c2 — a2 < 0, угол α будет тупым.
Запоминаем
Когда угол α прямой, то теорема косинусов превращаеся в теорему Пифагора.
Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.
Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:
- AD = b * cos α,
- DB = c – b * cos α.
Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:
- h2 = b2 — (b * cos α)2
- h2 = a2 — (c – b * cos α)2
Приравниваем правые части уравнений:
- b2 — (b * cos α)2 = a2 — (c — b * cos α)2
либо
- a2 = b2 + c2 — 2bc * cos α
Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.
Определим стороны b и c:
- b2 = a2 + c2 — 2ac * cos β;
- c2 = a2 + b2 — 2ab * cos γ.
Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника
Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:
a2 = b2 + c2 — 2bc cos α
b2 = c2 + a2 — 2ca cos β
c2 = a2 + b2 — 2ab cos γ
Таким образом, теорема косинусов обобщает теорему Пифагора. Закон косинуса может быть использован для любого вида треугольника.
Описание формулы косинуса угла из теоремы косинусов
Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:
Аналогично:
Определение угла с помощью косинуса
А теперь обратим внимание на углы.
Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).
Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.
Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α
Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.
Предел изменения косинуса: -1 < cos α < 1.
Предел изменения синуса: 0 < sin α ≤ 1.
- Если cos α > 0, то α ∈ (0°;90°)
- Если cos α < 0, то α ∈ (90°;180°)
- Если cos α = 0, то α = 90°
Примеры решения задач
При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.
Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.
∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.
Как решаем:
- Так как АМ + МВ = 9, а AM/MB = 1/2, то АМ = 3, МВ = 6.
Из треугольника АВС найдем cos B: - Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ:
Ответ: СМ = √33.
Пример 2. Дан треугольник АВС, в котором a2 + b2 < c2. Доказать, что ∠C — тупой угол.
Как доказываем:
- Для доказательства нужно вспомнить теорему косинусов для угла ∠C:
- Так как a2 + b2 < c2, то cos C < 0, следовательно, ∠C — тупой.
Что и требовалось доказать.
Эта задача нам показала, что с помощью теоремы косинусов можно определить тупой угол или острый.
- Если c2 = a2 + b2, то ∠C = 90°.
- Если c2 < a2 + b2, то ∠C — острый.
Косинус — что это такое
Обновлено 21 июля 2021- Косинус — это …
- История изучения
- Таблица косинусов
- Вместо заключения
Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня мы расскажем, что такое КОСИНУС.
Это слово, уверены, многим знакомо. Хотя бы потому что его проходят в школе. И многие наверняка точно определят, что это некий математический термин.
Но лишь единицы, которые действительно увлечены алгеброй и геометрией, вспомнят определение КОСИНУСА.
А между тем, без этих знаний не обойтись при сдаче ЕГЭ. Так что для старшеклассников это статья будет наиболее интересна. А для остальных – это хорошая возможность вспомнить подзабытые знания.
Косинус — это …
Со словом КОСИНУС школьники впервые знакомятся в 8 классе. И происходит это, когда проходят тему прямоугольных треугольников. Напомним, это такие треугольники, у которых две стороны пересекаются под прямым углом (90 градусов).
Выглядят они вот так:
У этого треугольника стороны АВ и ВС образуют между собой прямой угол. И напомним, по научному они называются КАТЕТАМИ. Этот термин имеет древнегреческие корни, произошло от «káthetos» и дословно переводится как «отвесный, опущенный, перпендикуляр».
А линия АС, которая соединяет два катета между собой, как многие знают из школьного курса, называется ГИПОТЕНУЗА. Этот термин также родом из Древней Греции. Слово «ὑποτείνουσα» переводится как «натянутая».
К чему мы так подробно это рассказали? Ну, во-первых, никогда не бывает лишним освежить в памяти старые знания. А во-вторых, это имеет непосредственное отношение к нашей теме.
Косинус – это отношения прилежащего катета к гипотенузе.
Так звучит официальное определение КОСИНУСА. Но у внимательных читателей может возникнуть вопрос, а что такое «прилежащий катет»? И к чему он собственно «прилегает»?
Вопрос правильный. Дело в том, что КОСИНУС имеет прямое отношение к углам. А точнее, является их тригонометрической функцией. И в данном случае, надо просто понимать, о каком угле идет речь.
Вновь вернемся к нашему треугольнику АВС.
Если нам надо найти КОСИНУС угла с вершиной в точке А, то он будет равен отношению АВ (прилежащий катет) к АС (гипотенуза). А если нужно найти КОСИНУС угла с вершиной в точке С, то для него прилежащим катетом будет уже СВ, и уже его надо соотносить с гипотенузой АС.
Вот так это будет выглядеть более наглядно:
И если описывать формулы для конкретного примера, то выглядеть они будут так:
История изучения
Всегда интересно, откуда взялось то или иное слово. И как раз у КОСИНУСА это весьма интересная история. Она начинается еще в IV веке, и связана с именем индийского астронома и математика Ариабхты.
Он ввел специальный термин, которым называл дугу. Это было слово «ардхаджива», образованное от «ардха» (половина) и «джива» (тетива лука).
Спустя 500 лет уже арабские математики решили заменить этот сложный для их произношения термин на привычное себе слово «джайб». В переводе оно обозначало «выпуклость».
И наконец, еще немного позднее европейцы стали переводить арабские математические тексты и встретили этот термин. Для них слово «джайб» также было чужеродным, поэтому они заменили его на латинское «Sinus», что в переводе означает «кривизна, изгиб».
А вот слово КОСИНУС – это производное от СИНУС. Оно возникло от выражения «completely sinus», что в переводе означает «дополнительный синус» или «синус дополнительной дуги».
Фактически уже тогда математики установили главную зависимость между синусом и косинусом. И выражается она в следующей формуле:
Таблица косинусов
Для каждого угла можно найти и рассчитать свой косинус.
Приведем самые популярные значения:
- 0 градусов – COS=1
- 30 градусов – COS=√3/2
- 45 градусов – COS=√2/2
- 60 градусов – COS=½
- 90 градусов – COS=0
- 180 градусов – COS=-1
- 270 градусов – COS=0
- 360 градусов – COS=-1
И еще одна важная зависимость. Если мы возьмем плоскость в 180 градусов:
В этом случае между углами α и β существует простая зависимость:
И тогда можно представить следующую формулу:
Данное утверждение будет верно при любых углах.
Вместо заключения
Есть еще две тригонометрические функции, которые широко используются в математике и изучаются в школе. Это ТАНГЕНС и КОТАНГЕНС.
Тангенс – это отношение противоположного катета к прилежащему. Также его можно представить как деление синуса на косинус.
Котангенс – это противоположная тангенсу функция, то есть отношение прилежащего катета к противолежащему. Или деление косинуса на синус.
Вот и все, что мы хотели рассказать про КОСИНУС.
Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ruопределение, формула, таблица, график, свойства
Определение
Косинус острого угла α (cos α) – это отношение прилежащего катета (b) к гипотенузе (c) в прямоугольном треугольнике.
cos α = b / c
Например:
b = 4
c = 5
cos α = b / c = 4 / 5 = 0.8
График косинуса
Функция косинуса пишется как y = cos (x). График называется косинусоидой и в общем виде выглядит следующим образом:
Косинусоида – периодическая функция с основным периодом T = 2π.
Свойства косинуса
Ниже в табличном виде представлены основные свойства косинуса с формулами:
| Свойство | Формула |
| Симметричность | cos (-α) = cos α |
| Симметричность | cos (90°- α) = sin α |
| Пифагорейская тригонометрическая идентичность | sin2 α + cos2 α = 1 |
| cos α = sin α / tg α | |
| cos α = 1 / sec α | |
| Косинус двойного угла | cos 2α = cos2α — sin2α |
| Косинус суммы углов | cos (α+β) = cos α cos β — sin α sin β |
| Косинус разности углов | cos (α-β) = cos α cos β + sin α sin β |
| Сумма косинусов | |
| Разность косинусов | |
| Произведение косинусов | |
| Произведение косинуса и синуса | |
| Производная косинуса | cos’ x = -sin x |
| Интеграл косинуса | ∫ cos x dx = sin x + C |
| Формула Эйлера | cos x = (eix + e—ix) / 2 |
microexcel.ru
Обратная к косинусу функция
Арккосинус x – это обратная к косинусу функция x, при -1≤x≤1.
Если косинус у равняется х (cos y = x), значит арккосинус x равен у:
arccos x = cos-1 x = y
Например:
arccos 1 = cos-1 1 = 0° (0 рад)
Таблица косинусов
| x (°) | x (рад) | cos x |
| 180° | π | -1 |
| 150° | 5π/6 | -√3/2 |
| 135° | 3π/4 | -√2/2 |
| 120° | 2π/3 | -1/2 |
| 90° | π/2 | 0 |
| 60° | π/3 | 1/2 |
| 45° | π/4 | √2/2 |
| 30° | π/6 | √3/2 |
| 0° | 0 | 1 |
microexcel.ru
cos (x) | функция косинуса
cos (x), функция косинуса.
Определение косинуса
В прямоугольном треугольнике ABC синус α, sin (α) равен определяется как отношение между стороной, прилегающей к углу α, и сторона, противоположная прямому углу (гипотенуза):
cos α = b / c
Пример
b = 3 дюйма
c = 5 дюймов
cos α = b / c = 3/5 = 0.6
График косинуса
TBD
Правила косинуса
| Название правила | Правило |
|---|---|
| Симметрия | cos (- θ ) = cos θ |
| Симметрия | cos (90 ° — θ ) = sin θ |
| Пифагорейская идентичность | sin 2 (α) + cos 2 (α) = 1 |
| cos θ = sin θ / tan θ | |
| cos θ = 1 / сек θ | |
| Двойной угол | cos 2 θ = cos 2 θ — sin 2 θ |
| Сумма углов | cos ( α + β ) = cos α cos β — sin α sin β |
| Разница углов | cos ( α-β ) = cos α cos β + sin α sin β |
| Сумма к продукту | cos α + cos β = 2 cos [( α + β ) / 2] cos [( α-β ) / 2] |
| Отличия от продукта | cos α — cos β = — 2 sin [( α + β ) / 2] sin [( α-β ) / 2] |
| Закон косинусов | |
| Производная | cos ‘ x = — sin x |
| Интегральный | ∫ cos x d x = sin x + C |
| Формула Эйлера | cos x = ( e ix + e — ix ) / 2 |
Функция обратного косинуса
Арккосинус x определяется как функция, обратная косинусу x, когда -1≤x≤1.
Когда косинус y равен x:
cos y = x
Тогда арккосинус x равен функции обратного косинуса x, которая равна y:
arccos x = cos -1 x = y
Пример
arccos 1 = cos -1 1 = 0 рад = 0 °
См .: Функция Arccos
Таблица косинусов
| x (°) | x (рад) | cos x |
|---|---|---|
| 180 ° | π | -1 |
| 150 ° | 5π / 6 | -√3 / 2 |
| 135 ° | 3π / 4 | -√2 / 2 |
| 120 ° | 2π / 3 | -1/2 |
| 90 ° | π / 2 | 0 |
| 60 ° | π / 3 | 1/2 |
| 45 ° | π / 4 | √2 / 2 |
| 30 ° | π / 6 | √3 / 2 |
| 0 ° | 0 | 1 |
См. Также
математических слов: обратный косинус
обратный
Косинус
cos -1
Cos -1
arccos
Arccos
функция, обратная косинусу.
Основная идея : найти cos -1 (½), мы спрашиваем «что угол имеет косинус, равный ½? » ответ 60 °. В результате мы говорим cos -1 (½) = 60 °. В радианах это cos -1 (½). = π / 3.
Подробнее : На самом деле существует много углов, у которых косинус равен ½. Мы действительно спрашиваем, «какой самый простой, самый основной угол, который косинус равен ½? «Как и прежде, ответ 60 °.Таким образом, cos -1 (½) = 60 ° или cos -1 (½) = π / 3.
Подробности : Что такое cos -1 (–½)? Выбираем ли мы 120 °, –120 °, 240 °, или под другим углом? Ответ — 120 °. Обратным косинусом выбираем угол в верхней половине блока. круг. Таким образом, cos -1 (–½) = 120 ° или cos -1 (–½) = 2π / 3.
В другими словами, диапазон cos -1 равен ограничивается [0, 180 °] или [0, π].
Примечание: arccos означает «арккосинус», или радианная мера дуги на окружности, соответствующая заданное значение косинуса.
Техническое примечание : Поскольку ни одна из шести триггерных функций не синусоида, косинус, тангенс, косеканс, секанс и котангенс взаимно однозначны, их обратные не являются функциями. Каждая триггерная функция может иметь свой домен ограничен, однако, чтобы сделать его инверсию функцией.Некоторые математики пишут эти ограниченные триггерные функции и их переворачивается с заглавной буквы (например, Cos или Cos -1 ). Однако большинство математиков не следуют этой практике. Этот веб-сайт не делает различий между заглавными и не заглавными буквами триггерные функции.
См. также
Обратный тригонометрия, обратная триггерные функции, интервальное обозначение
Обратный косинус и обратный синус
Обратный косинус и обратный синус
Стандартные триггерные функции являются периодическими, то есть они повторяются.Таким образом, одно и то же выходное значение появляется для нескольких входных значений функции. Это делает невозможным построение обратных функций. Для решения уравнений, включающих триггерные функции, обязательно наличие обратных функций. Таким образом, математики должны ограничить функцию триггера, чтобы создать эти инверсии.
Чтобы определить обратную функцию, исходная функция должна быть взаимно однозначно . Для существования взаимно однозначного соответствия (1) каждое значение в домене должно соответствовать ровно одному значению в диапазоне, и (2) каждое значение в диапазоне должно соответствовать ровно одному значению в домене.Первое ограничение распространяется на все функции; второй нет. Например, синусоидальная функция не удовлетворяет второму ограничению, поскольку одно и то же значение в диапазоне соответствует многим значениям в домене (см. Рисунок 1).
Рисунок 1
Функция синуса не является взаимно однозначной.
Чтобы определить обратные функции для синуса и косинуса, области этих функций ограничены. Ограничение, которое накладывается на значения области значений функции косинуса, составляет 0 ≤ x ≤ π (см. Рисунок 2).Эта ограниченная функция называется косинусом. Обратите внимание на заглавную букву «C» в косинусе.
Рисунок 2
График функции ограниченного косинуса.
Функция обратного косинуса определяется как функция, обратная ограниченной функции косинуса Cos −1 (cos x ) = x ≤ x ≤ π. Следовательно,
Рисунок 3
График функции обратного косинуса.
Тождества для косинуса и обратного косинуса:
Развитие функции обратного синуса аналогично развитию функции косинуса. Ограничение, которое накладывается на значения домена синусоидальной функции, составляет
.Эта ограниченная функция называется синусом (см. Рисунок 4). Обратите внимание на заглавную букву «S» в слове «синус».
Рисунок 4
График ограниченной синусоидальной функции.
Функция обратного синуса (см. Рисунок 5) определяется как обратная функция ограниченной синусоидальной функции y = Sin x ,
Рисунок 5
График функции обратной синусоиды.
Следовательно,
Идентичности для синуса и обратного синуса:
Графики функций y = Cos x и y = Cos −1 x являются отражениями друг друга относительно линии y = x . Графики функций y = Sin x и y = Sin −1 x также являются отражениями друг друга относительно линии y = x (см. Рисунок 6).
Рисунок 6
Симметрия обратного синуса и косинуса.
Пример 1: Используя рисунок 7, найдите точное значение Cos −1 .
Рисунок 7
Чертеж для примера 1.
Таким образом, y = 5π / 6 или y = 150 °.
Пример 2: Используя рисунок 8, найдите точное значение Sin −1 .
Рисунок 8
Чертеж для примера 2.3
Функция обратного косинуса — концепция
Поскольку косинус не является взаимно однозначной функцией, диапазон должен быть ограничен значением от 0 до пи, что называется ограниченной косинусной функцией.-1 (x) или arccos (x). Обратные функции меняют местами значения x и y, поэтому диапазон обратного косинуса составляет от 0 до пи, а область — от -1 до 1. При оценке проблем используйте тождества или начинайте с внутренней функции.
Я хочу поговорить об функции обратного косинуса. Мы начинаем с функции y, равной косинусу x. У меня есть график, и вы можете видеть, что y равно косинусу. X — это не функция 1 к 1, и мы можем найти только функции, обратные 1 к 1.Таким образом, мы должны ограничить область определения функции косинуса, и соглашение заключается в том, чтобы ограничить ее этим интервалом от 0 до пи, поэтому позвольте мне нарисовать ограниченную функцию косинуса. Только эта часть косинусного графика до числа пи и до нуля включительно. Итак, y равен косинусу x для x между 0 и пи, это ограниченная функция косинуса, от 1 до 1, и поэтому мы можем инвертировать его.
И мы называем это обратным y, равным обратному косинусу x, как это читается, этот верхний индекс отрицательный 1 не является показателем, это означает обратный косинус, и эта функция также называется y, равным арккосинусу x.Теперь я хочу изобразить наш косинус или обратный косинус, поэтому я начну с ключевых точек кривой косинуса. У меня 0, 1 пи больше 2, 0 и пи отрицательное 1, это эти 3 ключевые точки, и помните, когда вы строите график обратной функции, вы просто меняете координаты x и y, так что точка 0, 1 становится 1, 0 точка пи больше 2, 0 становится 0 пи больше 2, а точка пи, отрицательная 1, становится отрицательной 1 пи, и это будет где-то здесь. Позвольте мне соединить их, сохраняя при этом, что график функции и обратная ей функция должны быть симметричными относительно линии y = x, так что это довольно хороший график.
Теперь очень важна область значений, я отмечу здесь отрицательную единицу, область значений функции обратного косинуса находится между отрицательными 1 и 1, очень важна. И подумайте о том, что функция косинуса может выводить числа только между отрицательными 1 и 1, поэтому имеет смысл, что область определения функции обратного косинуса — это этот интервал, а диапазон будет между 0 и пи, потому что это была область ограниченного функция косинуса и все. Это график области обратного косинуса между отрицательными 1 и 1, диапазон от 0 до пи, и он имеет эти 3 ключевые точки.2____
5.
Пусть f (x) = 12tan x + 7 / sec x
f ‘(x) = ____
f ‘(-pie / 4) = ____
6. Найдите уравнение касательной к кривой
y = 6tan x в точке (pie / 4; 6). Уравнение этой касательной
строка
может быть записана в виде y = mx + b, где m равно: ______
, а где b: ______
7. Пусть
f (x) = 9xsinxcosx
f ‘(3pie / 2) = _____
8. Найдите уравнение касательной к кривой y = 3x cos
x
в точке (пирог; -3 пирога).2 (x)
D. y0 = sin (x) + tan (x) sec (x)
Функция ACOS — служба поддержки Office
В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции ACOS в Microsoft Excel.
Описание
Возвращает арккосинус или обратный косинус числа. Арккосинус — это угол, косинус которого равен числу . Возвращаемый угол указывается в радианах в диапазоне от 0 (ноль) до пи.
Синтаксис
ACOS (номер)
Аргументы функции ACOS следующие:
Замечание
Если вы хотите преобразовать результат из радиан в градусы, умножьте его на 180 / PI () или используйте функцию ГРАДУСЫ.
Пример
Скопируйте данные примера из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы формулы отображали результаты, выберите их, нажмите F2, а затем нажмите Enter. При необходимости вы можете настроить ширину столбца, чтобы увидеть все данные.
Формула | Описание | Результат |
|---|---|---|
= ACOS (-0.5) | Арккосинус -0,5 в радианах, 2 * пи / 3 | 2. |