Косинус квадрат плюс косинус квадрат равно 1: Доказательство основного тригонометрического тождества (видео)

Использование тригонометрических тождеств — Задача 3

Я хочу поговорить еще об одном пифагорейском тождестве, и оно исходит из исходного пифагорейского тождества косинус в квадрате плюс синус в квадрате равно 1. Чтобы получить его, я просто делю обе части этого уравнения на синус в квадрате тета , и я получаю квадрат котангенса тета плюс 1 равно квадрату косеканса тета, и у нас будет возможность использовать это в следующем доказательстве.

Задача требует подтвердить личность; котангенс в квадрате минус тангенс в квадрате над котангенсом плюс тангенс величина в квадрате равна 1 минус 2 синус в квадрате тета, и значение этого выражения появится позже, когда мы будем изучать тождество двойного угла, так что это тождество двойного угла для косинуса.

В любом случае, когда вы доказываете тригонометрическую идентичность, хорошо начать с одной стороны, выполнить алгебраические манипуляции и использовать все тригонометрические идентичности, чтобы добраться до другой стороны, вот что я собираюсь сделать, я начну с наименьшей стороны.

Теперь этот числитель представляет собой разность квадратов, так что я просто возьму его на множители, и я получу котангенс тета минус тангенс тета, умноженный на котангенс тета плюс тангенс тета, и это то, что у меня есть в знаменателе котангенс тета плюс тангенс тета в квадрате, поэтому я получу хорошую отмену и позвольте мне сделать это. Позвольте мне отменить один из них с этим, и у меня есть котангенс тета минус тангенс тета над котангенс тета плюс тангенс тета.

Куда нам двигаться дальше? Уловка очевидна, но если я умножу на котангенс тета на котангенс тета, помните, что котангенс есть величина, обратная тангенсу, поэтому, когда я умножаю эти два числа, я получаю единицу, и, конечно же, когда я умножаю котангенс и котангенс, я получаю котангенс в квадрате, поэтому я смогу использовать свою новую личность. Котангенс в квадрате тета минус 1 и котангенс в квадрате тета плюс 1.

Теперь котангенс в квадрате тета плюс 1 есть косеканс в квадрате тета, поэтому позвольте мне сделать эту замену. Котангенс в квадрате тета минус 1 над косекансом в квадрате тета, и в этот момент я хочу использовать трюк переключения на синусы и косинусы.

Это равно косинусу в квадрате тета и синусу в квадрате тета минус 1 больше, и это равно 1 больше квадрату тета. Теперь у меня есть сложная дробь, которая на самом деле не выглядит такой простой, но я мог бы легко упростить ее, используя прием разрыва дроби, который умножается на наименьший общий знаменатель меньших дробей, эти маленькие дроби здесь и здесь, и это синус в квадрате, поэтому я умножаю верх на синус в квадрате, а низ на синус в квадрате и просто не забываю распределить этот синус в квадрате на оба члена.

Теперь сверху я получу отмену, так что сверху я получу косинус в квадрате. Косинус в квадрате тета минус У меня здесь знак минус, так что минус синус в квадрате тета, синус в квадрате и внизу у меня просто 1, что ж, это хорошо. Еще одна вещь, которую мне нужно получить, чтобы получить 1 минус 2 синуса в квадрате тета пифагорейского тождества, я хочу использовать пифагорейское тождество на этом, и это форма исходного пифагорейского тождества, которое мы имели здесь; косинус в квадрате тета равен 1 минус синус в квадрате тета, поэтому позвольте мне сделать эту замену.

Косинус в квадрате становится 1 минус синус в квадрате, и у меня есть еще минус синус в квадрате, и тогда мы получаем его, окончательный ответ 1 минус 2 синуса в квадрате тета. Вот и все, поэтому мы доказали, что это уродливое месиво на самом деле равно 1 минус 2 синус в квадрате тэта, и мы поставили маленькую рамку в конце нашего доказательства.

Пифагорейские тождества — формулы, вывод, примеры

Пифагорейские тождества, как следует из названия, получены из теоремы Пифагора. Согласно этой теореме, в любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (наибольшая сторона) равен сумме квадратов двух других сторон (катетов). Эта теорема может быть применена к тригонометрическим отношениям (как они определены для прямоугольного треугольника), что приводит к тождествам Пифагора.

Давайте узнаем больше о пифагорейских тождествах вместе с их доказательством, примерами и другими практическими задачами.

1. Что такое пифагорейские тождества?
2. Вывод пифагорейских тождеств
3. Применение пифагорейских тождеств
4. Часто задаваемые вопросы о пифагорейских тождествах

Что такое пифагорейские тождества?

Тождества Пифагора — важные тождества в тригонометрии, полученные из теоремы Пифагора. Эти тождества используются при решении многих тригонометрических задач, где задано одно тригонометрическое соотношение, а необходимо найти другие соотношения. Фундаментальное пифагорейское тождество дает отношение между sin и cos, и это наиболее часто используемое пифагорейское тождество, которое гласит:

  • sin 2 θ + cos 2 θ = 1 (что дает соотношение между sin и cos)

Есть еще два пифагорейских тождества:

  • sec 2 θ — tan 2 θ = 1 (которое дает отношение между sec и tan)
  • csc 2 θ — кроватка 2 θ = 1 (что дает связь между csc и кроваткой)

Пифагорейские триггеры

Все пифагорейские тригонометрические тождества упомянуты ниже вместе.

Каждое из них может быть записано в различных формах с помощью алгебраических операций. т. е. каждое тождество Пифагора можно записать в 3 формах следующим образом:

  • sin 2 θ + cos 2 θ = 1 ⇒ 1 — sin 2 θ = cos 2 0 ⇒ 6 cos θ θ = sin 2 θ
  • с 2 θ — тангенс 2 θ = 1 ⇒ с 2 θ = 1 + тангенс 2 θ ⇒ сек 2 θ — 1 = тангенс 2 θ
  • csc 2 θ — кроватка 2 θ = 1 ⇒ csc 2 θ = 1 + кроватка 2 θ ⇒ csc 2 θ 9090 — 1 = 5 θ 9090

Вывод пифагорейских тождеств

Мы собираемся доказать тождества Пифагора, используя теорему Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в точке C. Тогда AB — гипотенуза. Предположим, что AB = c, BC = a и CA = b для нашего удобства. Предположим, что угол при B равен θ.

На рисунке выше:

  • Противоположная сторона (от θ) = b
  • Прилегающая сторона (θ) = a
  • Гипотенуза = c

Давайте сначала определим все тригонометрические соотношения, которые в дальнейшем будут полезны при выводе тождеств Пифагора в тригонометрии.

  • sin θ = (противоположное)/(гипотенуза) = b / c ⇒ csc θ = c / b
  • потому что θ = (прилегающий)/(гипотенуза) = а/с ⇒ сек θ = с/а
  • загар θ = (напротив) / (прилегающий) = b / a ⇒ кроватка θ = a / b

Докажем каждое тождество пифагорейских триггеров одно за другим.

Доказательство пифагорской идентификации sin²θ + cos²θ = 1

Применение теоремы Pythagoras к треугольнику, мы получаем

A 2 + B 2 = C 2

Divident Dividend Dividending на оба Sides на C . 2 ,

а 2 / с 2 + б 2 / с 2 = с 2 / с 2 90

6 + (б/в) 2 = 1

(cos θ) 2 + (sin θ) 2 = 1 (или)

sin 2 θ0

Отсюда доказано.

ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ ПИТАГОРЕСОВАЯ ИДЕНТИКА SEC²θ — TAN²θ = 1

Опять же, по теореме Pythagoras

A 2 + B 2 = C 2

Разделив каждый термин на обеих местах на 2 ,

,

. а 2 / а 2 + б 2 / а 2 = в 2 / а 2

1 + (б / а) 2 = (в / а) 2

1 + (90 θ 0 6 ) 6 (20 θ 0 6 ) сек θ) 2 (или)

сек 2 θ — тангенс 2 θ = 1

Отсюда доказано.

Доказательство тождества Пифагора csc²θ — cot²θ = 1

По теореме Пифагора,

a 2 + b 2 = c 2

065 2

,

A 2 / B 2 + B 2 / B 2 = C 2 / B 2

(A / B) 2 + 1 = (C / B) 2 + 1 = (C / B) 2 + 1. / b) 2

(COT θ)

2 + 1 = (CSC θ) 2 (OR)

CSC 2 θ — COT 2 θ = 1

arced.

Применение пифагорейских тождеств

  • Тождества Пифагора используются для доказательства других тригонометрических тождеств.
    Пример: Докажите идентичность sin 4 x — cos 4 x = sin 2 x — cos 2 x.
    Решение:
    Мы можем написать
    LHS = sin 4 x — cos 4 x = (sin 2 x) 2 — (cos 2 x) 2
    Используя формулу a² — b²,
    = (sin 2 x — cos 2 x) (sin 2 x + cos 2 x)
    Используя пифагорейские тождества, sin 2 х + cos 2 х = 1.
    = (sin 2 x — cos 2 x) (1)
    = sin 2 x — cos
    2
    x
    = RHS
    Значит доказано.
  • Тождества Пифагора полезны при решении задач, связанных с высотами и расстояниями.
  • Тождества Пифагора используются для нахождения любого тригонометрического соотношения, когда задано другое тригонометрическое соотношение.
    Пример: Найти cos x, если sin x = 3/5 и x находится в диапазоне 1 ст квадрант.
    Решение:
    Из пифагорейских тождеств,
    cos 2 x = 1 — sin 2 x
    cos x = ±√1 — sin²x
    = ±√1 — (3/5)²
    = ±√1 — (9/25)
    = ±√16/25
    = ± 4/5
    Поскольку x находится в первом квадранте, cos x положителен. Итак, cos x = 4 / 5.

Связанные темы:

  • Формулы полууглов
  • Формулы касательной
  • Формулы двойного угла
  • Тригонометрические формулы
  • Формулы косинуса
  • Тригонометрические функции

Часто задаваемые вопросы о пифагорейских тождествах

Список всех Пифагорейских Тождеств.

Вот три пифагорейских тождества. Каждая идентичность может быть записана альтернативными способами, как показано.

Пифагорейская идентичность Альтернативные способы
sin 2 θ + cos 2 θ = 1 1 — sin 2 θ = cos 2 θ (или) 1 — cos 2 θ = sin 2 θ
сек 2 θ — рыжевато-коричневый 2 θ = 1 1 + тангенс 2 θ = сек 2 θ (или) сек 2 θ — 1 = тангенс 2 θ
csc 2 θ — детская кроватка 2 θ = 11 + детская кроватка 2 θ = csc 2 θ (или) csc 2 θ — 1 = детская кроватка 2 θ

Как доказать пифагорейские тождества в тригонометрии?

Для доказательства пифагорейских тождеств воспользуемся теоремой Пифагора. Например, если ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом в точке B, а x — угол в точке A, то:

AB 2 + BC 2 = AC 2 … (1)
Разделив обе стороны на AC 2 ,
(АВ/АС) 2 + (ВС/АС) 2 = 1
sin 2 x + cos 2 x = 1

Точно так же, разделив обе части (1) на AB 2 и BC 2 , мы можем получить два других пифагорейских тождества.

Что такое Пифагорейский список тождеств?

Вот список пифагорейских тождеств:

  • sin 2 x + cos 2 x = 1
  • 1 + тангенс 2 x = сек 2 х
  • 1 + детская кроватка 2 x = csc 2 x

Сколько у нас пифагорейских идентичностей?

У нас есть 3 тождества Пифагора в тригонометрии. Они следующие:

  • sin 2 θ + cos 2 θ = 1
  • сек 2 θ — загар 2 θ = 1
  • csc 2 θ — детская кроватка 2 θ = 1

Как вы используете пифагорейские тождества?

Тождества Пифагора используются для доказательства других тригонометрических тождеств, нахождения значения тригонометрического отношения с использованием любого другого тригонометрического отношения и для решения задач, связанных с высотами и расстояниями.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *