Использование тригонометрических тождеств — Задача 3
Я хочу поговорить еще об одном пифагорейском тождестве, и оно исходит из исходного пифагорейского тождества косинус в квадрате плюс синус в квадрате равно 1. Чтобы получить его, я просто делю обе части этого уравнения на синус в квадрате тета , и я получаю квадрат котангенса тета плюс 1 равно квадрату косеканса тета, и у нас будет возможность использовать это в следующем доказательстве.
Задача требует подтвердить личность; котангенс в квадрате минус тангенс в квадрате над котангенсом плюс тангенс величина в квадрате равна 1 минус 2 синус в квадрате тета, и значение этого выражения появится позже, когда мы будем изучать тождество двойного угла, так что это тождество двойного угла для косинуса.
В любом случае, когда вы доказываете тригонометрическую идентичность, хорошо начать с одной стороны, выполнить алгебраические манипуляции и использовать все тригонометрические идентичности, чтобы добраться до другой стороны, вот что я собираюсь сделать, я начну с наименьшей стороны.
Теперь этот числитель представляет собой разность квадратов, так что я просто возьму его на множители, и я получу котангенс тета минус тангенс тета, умноженный на котангенс тета плюс тангенс тета, и это то, что у меня есть в знаменателе котангенс тета плюс тангенс тета в квадрате, поэтому я получу хорошую отмену и позвольте мне сделать это. Позвольте мне отменить один из них с этим, и у меня есть котангенс тета минус тангенс тета над котангенс тета плюс тангенс тета.
Куда нам двигаться дальше? Уловка очевидна, но если я умножу на котангенс тета на котангенс тета, помните, что котангенс есть величина, обратная тангенсу, поэтому, когда я умножаю эти два числа, я получаю единицу, и, конечно же, когда я умножаю котангенс и котангенс, я получаю котангенс в квадрате, поэтому я смогу использовать свою новую личность. Котангенс в квадрате тета минус 1 и котангенс в квадрате тета плюс 1.
Теперь котангенс в квадрате тета плюс 1 есть косеканс в квадрате тета, поэтому позвольте мне сделать эту замену. Котангенс в квадрате тета минус 1 над косекансом в квадрате тета, и в этот момент я хочу использовать трюк переключения на синусы и косинусы.
Это равно косинусу в квадрате тета и синусу в квадрате тета минус 1 больше, и это равно 1 больше квадрату тета. Теперь у меня есть сложная дробь, которая на самом деле не выглядит такой простой, но я мог бы легко упростить ее, используя прием разрыва дроби, который умножается на наименьший общий знаменатель меньших дробей, эти маленькие дроби здесь и здесь, и это синус в квадрате, поэтому я умножаю верх на синус в квадрате, а низ на синус в квадрате и просто не забываю распределить этот синус в квадрате на оба члена.
Теперь сверху я получу отмену, так что сверху я получу косинус в квадрате. Косинус в квадрате тета минус У меня здесь знак минус, так что минус синус в квадрате тета, синус в квадрате и внизу у меня просто 1, что ж, это хорошо. Еще одна вещь, которую мне нужно получить, чтобы получить 1 минус 2 синуса в квадрате тета пифагорейского тождества, я хочу использовать пифагорейское тождество на этом, и это форма исходного пифагорейского тождества, которое мы имели здесь; косинус в квадрате тета равен 1 минус синус в квадрате тета, поэтому позвольте мне сделать эту замену.
Косинус в квадрате становится 1 минус синус в квадрате, и у меня есть еще минус синус в квадрате, и тогда мы получаем его, окончательный ответ 1 минус 2 синуса в квадрате тета. Вот и все, поэтому мы доказали, что это уродливое месиво на самом деле равно 1 минус 2 синус в квадрате тэта, и мы поставили маленькую рамку в конце нашего доказательства.
Пифагорейские тождества — формулы, вывод, примеры
Пифагорейские тождества, как следует из названия, получены из теоремы Пифагора. Согласно этой теореме, в любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (наибольшая сторона) равен сумме квадратов двух других сторон (катетов). Эта теорема может быть применена к тригонометрическим отношениям (как они определены для прямоугольного треугольника), что приводит к тождествам Пифагора.
Давайте узнаем больше о пифагорейских тождествах вместе с их доказательством, примерами и другими практическими задачами.
1. | Что такое пифагорейские тождества? |
2. | Вывод пифагорейских тождеств |
3. | Применение пифагорейских тождеств |
4. | Часто задаваемые вопросы о пифагорейских тождествах |
Что такое пифагорейские тождества?
Тождества Пифагора — важные тождества в тригонометрии, полученные из теоремы Пифагора. Эти тождества используются при решении многих тригонометрических задач, где задано одно тригонометрическое соотношение, а необходимо найти другие соотношения. Фундаментальное пифагорейское тождество дает отношение между sin и cos, и это наиболее часто используемое пифагорейское тождество, которое гласит:
- sin 2 θ + cos 2 θ = 1 (что дает соотношение между sin и cos)
Есть еще два пифагорейских тождества:
- sec 2 θ — tan 2 θ = 1 (которое дает отношение между sec и tan)
- csc 2 θ — кроватка 2 θ = 1 (что дает связь между csc и кроваткой)
Пифагорейские триггеры
Все пифагорейские тригонометрические тождества упомянуты ниже вместе.
Каждое из них может быть записано в различных формах с помощью алгебраических операций. т. е. каждое тождество Пифагора можно записать в 3 формах следующим образом:
- sin 2 θ + cos 2 θ = 1 ⇒ 1 — sin 2 θ = cos 2 0 ⇒ 6 cos θ θ = sin 2 θ
- с 2 θ — тангенс 2 θ = 1 ⇒ с 2 θ = 1 + тангенс 2 θ ⇒ сек 2 θ — 1 = тангенс 2 θ
- csc 2 θ — кроватка 2 θ = 1 ⇒ csc 2 θ = 1 + кроватка 2 θ ⇒ csc 2 θ 9090 — 1 = 5 θ 9090
Вывод пифагорейских тождеств
Мы собираемся доказать тождества Пифагора, используя теорему Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в точке C. Тогда AB — гипотенуза. Предположим, что AB = c, BC = a и CA = b для нашего удобства. Предположим, что угол при B равен θ.
На рисунке выше:
- Противоположная сторона (от θ) = b
- Прилегающая сторона (θ) = a
- Гипотенуза = c
Давайте сначала определим все тригонометрические соотношения, которые в дальнейшем будут полезны при выводе тождеств Пифагора в тригонометрии.
- sin θ = (противоположное)/(гипотенуза) = b / c ⇒ csc θ = c / b
- потому что θ = (прилегающий)/(гипотенуза) = а/с ⇒ сек θ = с/а
- загар θ = (напротив) / (прилегающий) = b / a ⇒ кроватка θ = a / b
Докажем каждое тождество пифагорейских триггеров одно за другим.
Доказательство пифагорской идентификации sin²θ + cos²θ = 1
Применение теоремы Pythagoras к треугольнику, мы получаем
A 2 + B 2 = C 2
Divident Dividend Dividending на оба Sides на C . 2 ,
а 2 / с 2 + б 2 / с 2 = с 2 / с 2 90
6 + (б/в) 2 = 1
(cos θ) 2 + (sin θ) 2 = 1 (или)
sin 2 θ0
Отсюда доказано.
ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ ПИТАГОРЕСОВАЯ ИДЕНТИКА SEC²θ — TAN²θ = 1
Опять же, по теореме Pythagoras
A 2 + B 2 = C 2
Разделив каждый термин на обеих местах на 2 ,
,
. а 2 / а 2 + б 2 / а 2 = в 2 / а 21 + (б / а) 2 = (в / а) 2
1 + (90 θ 0 6 ) 6 (20 θ 0 6 ) сек θ) 2 (или)
сек 2 θ — тангенс 2 θ = 1
Отсюда доказано.
Доказательство тождества Пифагора csc²θ — cot²θ = 1
По теореме Пифагора,
a 2 + b 2 = c 2
065 2
,A 2 / B 2 + B 2 / B 2 = C 2 / B 2
(A / B) 2 + 1 = (C / B) 2 + 1 = (C / B) 2 + 1. / b) 2
(COT θ) 2 + 1 = (CSC θ) 2 (OR)
CSC 2 θ — COT 2 θ = 1
arced.
Применение пифагорейских тождеств
- Тождества Пифагора используются для доказательства других тригонометрических тождеств.
Пример: Докажите идентичность sin 4 x — cos 4 x = sin 2 x — cos 2 x.
Решение:
Мы можем написать
LHS = sin 4 x — cos 4 x = (sin 2 x) 2 — (cos 2 x) 2
Используя формулу a² — b²,
= (sin 2 x — cos 2 x) (sin 2 x + cos 2 x)
Используя пифагорейские тождества, sin 2 х + cos 2 х = 1.
= (sin 2 x — cos 2 x) (1)
= sin 2 x — cos
= RHS
Значит доказано. - Тождества Пифагора полезны при решении задач, связанных с высотами и расстояниями.
- Тождества Пифагора используются для нахождения любого тригонометрического соотношения, когда задано другое тригонометрическое соотношение.
Пример: Найти cos x, если sin x = 3/5 и x находится в диапазоне 1 ст квадрант.
Решение:
Из пифагорейских тождеств,
cos 2 x = 1 — sin 2 x
cos x = ±√1 — sin²x
= ±√1 — (3/5)²
= ±√1 — (9/25)
= ±√16/25
= ± 4/5
Поскольку x находится в первом квадранте, cos x положителен. Итак, cos x = 4 / 5.
Связанные темы:
- Формулы полууглов
- Формулы касательной
- Формулы двойного угла
- Тригонометрические формулы
- Формулы косинуса
- Тригонометрические функции
Часто задаваемые вопросы о пифагорейских тождествах
Список всех Пифагорейских Тождеств.
Вот три пифагорейских тождества. Каждая идентичность может быть записана альтернативными способами, как показано.
Пифагорейская идентичность | Альтернативные способы |
---|---|
sin 2 θ + cos 2 θ = 1 | 1 — sin 2 θ = cos 2 θ (или) 1 — cos 2 θ = sin 2 θ |
сек 2 θ — рыжевато-коричневый 2 θ = 1 | 1 + тангенс 2 θ = сек 2 θ (или) сек 2 θ — 1 = тангенс 2 θ |
csc 2 θ — детская кроватка 2 θ = 1 | 1 + детская кроватка 2 θ = csc 2 θ (или) csc 2 θ — 1 = детская кроватка 2 θ |
Как доказать пифагорейские тождества в тригонометрии?
AB 2 + BC 2 = AC 2 … (1)
Разделив обе стороны на AC 2 ,
(АВ/АС) 2 + (ВС/АС) 2 = 1
sin 2 x + cos 2 x = 1
Точно так же, разделив обе части (1) на AB 2 и BC 2 , мы можем получить два других пифагорейских тождества.
Что такое Пифагорейский список тождеств?
Вот список пифагорейских тождеств:
- sin 2 x + cos 2 x = 1
- 1 + тангенс 2 x = сек 2 х
- 1 + детская кроватка 2 x = csc 2 x
Сколько у нас пифагорейских идентичностей?
У нас есть 3 тождества Пифагора в тригонометрии. Они следующие:
- sin 2 θ + cos 2 θ = 1
- сек 2 θ — загар 2 θ = 1
- csc 2 θ — детская кроватка 2 θ = 1
Как вы используете пифагорейские тождества?
Тождества Пифагора используются для доказательства других тригонометрических тождеств, нахождения значения тригонометрического отношения с использованием любого другого тригонометрического отношения и для решения задач, связанных с высотами и расстояниями.