Косинусов и синусов сложение и вычитание: Формулы сложения и вычитания тригонометрических функций. Формулы сложения

В поисках смысла синуса-4: marta_inj — LiveJournal

?

Category:

• Наука
• Cancel

Дифференцирование применяется широко, даже очень. С помощью производной определяют скорости изменений: больше производная — быстрее меняется, меньше производная — медленней меняется, отрицательная производная — движение назад, убывание значения. Однако сам смысл операции ускользает, причем категорически.
Вот первая производная синуса равна косинусу, вторая — минус синусу.

Смотрим на чертеж, из которого выводятся все основные тригонометрические тождества. Где здесь (-sin)? Нет его! Он, может, и есть, но за пределами этой плоскости. Как и (-cos).

Однако если совместить полярную систему координат и комплексную плоскость, то увидим, что дифференцирование синуса указывает на движение синуса по часовой стрелке по комплексной плоскости.

А (-sin) и (-cos) — это вытаскивание скрытых в полярной системе координат значений в мир действительных чисел. И увидим, что четвертая производная синуса выводит операцию на второй круг.

И такие развороты на 90 градусов по часовой стрелке обнаруживаются при дифференцировании других тригонометрических выражений, правда, только первой степени.

Из обсуждения экспоненты:
… Когда–то было замечено, что четвёртая производная от синуса равна синусу, то же с косинусами. А вторая производная синуса (косинуса) равна минус синусу (косинусу). Вот только первая производная подкачала: синусы переводит в косинусы, косинусы в минус синусы. Хотя, тоже ведь недалеко уводит, верно?.. … Что будет, если интегрировать синус в косинус по периоду? Ноль. А квадрат — уже не ноль. А что, если интегрировать их произведение? Синус на косинус — синус двойного угла — ноль. И это очень круто. Потому что обобщается на интегрирование произведений синусов и косинусов с синусами и косинусами по любым кратным углам — получается ноль.

А это значит, что… Короче, благодаря этому любую периодическую функцию можно разложить в ряд Фурье (сумма с коэффициентами синусов и косинусов кратных углов). Любую непериодическую — в интеграл Фурье. Фурье — голова. Я бы ему палец в рот не положил бы…
… А потом открыли мнимую единицу и комплексную арифметику. После чего придумали способ связать синусы и косинусы (привет круги и вообще все периодические процессы) и экспоненту — вот когда самый смак с жирком потёк. Благодаря безумной простоте экспоненты и дивному свойству синусов и косинусов раскладывать любую функцию стало возможным описывать практически любые процессы. Наиболее простые и, по удивительному совпадению, самые полезные представляются комплексными экспонентами.

Tags: Геометрия, Смысл математики

Subscribe

• Взгляд в глаза

  Все знают, что как правило, не хочется смотреть в глаза человеку, которому врёшь, или который просто тебе неприятен, или с которым не хочется…

• Рост вширь

  Есть методика выращивания маленьких плодовых деревьев в кадках и горшках. Фишка в том, что, когда корням некуда расти, дерево — при достаточном…

• Матрицы и их смысл. Часть 6 — Скалярное и векторное произведение

  Сначала повторю часть 5. Что такое вектор? Отрезок, но с направлением. Обозначается стрелкой, указывающей направление, и эта самая стрелка делает…

Photo

Hint http://pics.livejournal.com/igrick/pic/000r1edq

Math.ru

Израиль Моисеевич Гельфанд, Сергей Михайлович Львовский, Андрей Леонович Тоом

М., МЦНМО, 2002. 199 с.
ISBN ISBN 5-94057-050-X; Тираж 10000 экз.

Загрузить (Mb) djvu (-) pdf (1.74) ps (-) html (-) tex (-)

Эта книга, написанная группой авторов под руководством одного из крупнейших математиков 20 века академика И. М.Гельфанда, призвана опровергнуть расхожее мнение о тригонометрии как скучном и непонятном разделе школьного курса математики. Читателю предлагается взглянуть на знакомый предмет по-новому. Изложение, сопровождающееся большим количеством задач, начинается ?с нуля? и доходит до материала, выходящего довольно далеко за рамки школьной программы; тригонометрические формулы иллюстрируются примерами из физики и геометрии.

Отдельная глава посвящена типичным приемам решения тригонометрических задач, предлагаемых на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения.

Книга будет незаменимым помощником для школьников старших классов, преподавателей, родителей и всех, интересующихся математикой.

---

Содержание

1. Первое знакомство с тригонометрией
  ? 1. Как измерить крутизну
    1.1. Синус
    1.2. Измерение углов
  ? 2. Тангенс
  ? 3. Косинус
  ? 4.

Малые углы

2. Начальные свойства тригонометрических функций
  ? 5. Часы, или современный взгляд на тригонометрию
    5.1. Часы и процессы
    5.2. Скорость
  ? 6. Определение тригонометрических функций
    6.1. Ось тангенсов
    6.2. Знаки тригонометрических функций
  ? 7. Простейшие формулы
  ? 8. Периоды тригонометрических функций
  ? 9. Формулы приведения
  ? 10. Простейшие тригонометрические уравнения
  ? 11. Графики синуса и косинуса
  ? 12. Графики тангенса и котангенса
  ? 13. Чему равно sin x + cos x?

3. Решение треугольников
  ? 14. Теорема косинусов
  ? 15. Вокруг площади треугольника
  ? 16. Теорема синусов

4. Формулы сложения и их следствия
  ? 17. Векторы

    17.1. Направленные отрезки и векторы
    17.2. Сложение векторов
    17.3. Вычитание и умножение на число
    17.4. О векторах в физике
  ? 18. Скалярное произведение
  ? 19. Тригонометрические формулы сложения
  ? 20. Формула вспомогательного угла, или сложение колебаний равной частоты
  ? 21. Двойные, тройные и половинные углы
  ? 22. Преобразование произведения в сумму и суммы в произведение
  ? 23. Производные тригонометрических функций

5. Тригонометрия для абитуриентов
  ? 24. Как решать тригонометрические уравнения
  ? 25. Отбор чисел на тригонометрическом круге
  ? 26. Как решать тригонометрические неравенства
  ? 27. Задачи на повторение

6. Комплексные числа

  ? 28. Что такое комплексные числа
  ? 29. Модуль и аргумент комплексного числа
  ? 30. Показательная функция и формула Эйлера

Ответы и указания к некоторым задачам

Предметный указатель

---

Загрузить (Mb) djvu (-) pdf (1. 74) ps (-) html (-) tex (-)

Постоянный адрес этой страницы: http://math.ru/lib/287

7.2: Идентичности сложения и вычитания

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

13871

• Дэвид Липпман и Мелони Расмуссен
• The OpenTextBookStore

Раздел 7.2 Тождества сложения и вычитания

В этом разделе мы начинаем расширять наш репертуар тригонометрических тождеств.

Тождества суммы и разности

\[\cos (\alpha -\beta )=\cos (\alpha )\cos (\beta )+\sin (\alpha )\sin (\beta )\]

\[\cos (\alpha +\beta)=\cos (\alpha)\cos (\beta)-\sin (\alpha)\sin (\beta)\]

\[\sin (\alpha +\ бета)=\sin (\alpha)\cos (\beta)+\cos (\alpha)\sin (\beta)\]

\[\sin (\alpha -\beta )=\sin (\alpha )\cos (\beta )-\cos (\alpha )\sin (\beta )\]

Докажем тождество разности углов для косинуса. Остальные тождества могут быть получены из этого.

Доказательство тождества разности углов для косинуса

Рассмотрим две точки на единичной окружности:

\(P\) под углом \(\alpha\) от положительной оси \(x\) с координаты \(\left(\cos (\alpha ),\sin (\alpha )\right)\) и \(Q\) под углом \(\beta\) с координатами \(\left(\cos (\beta),\sin (\beta)\right)\).

Обратите внимание, что мера угла \(POQ\) равна \(\alpha\) – \(\beta\). Обозначьте еще две точки:

\(C\) под углом \(\alpha\) – \(\beta\), с координатами \(\left(\cos (\alpha -\beta ),\sin ( \alpha -\beta )\right)\),

\(D\) в точке (1, 0).

Обратите внимание, что расстояние от \(C\) до \(D\) такое же, как расстояние от \(P\) до \(Q\), потому что треугольник \(COD\) является вращением треугольника \( ПОК\).

Использование формулы расстояния для нахождения расстояния от \(P\) до \(Q\) дает 9{2} (\alpha -\beta )}\nonumber\]

Применение тождества Пифагора и упрощение

\[\sqrt{-2\cos (\alpha -\beta )+2}\nonumber\]

Поскольку два расстояния одинаковы, мы устанавливаем эти две формулы равными друг другу и упрощаем

\[\sqrt{2-2\cos (\alpha)\cos (\beta)-2\sin (\alpha)\sin (\beta)} =\sqrt{-2\cos (\alpha -\beta)+2}\nonumber\]
\[2-2\cos (\alpha)\cos (\beta)-2\sin ( \alpha )\sin (\beta )=-2\cos (\alpha -\beta )+2\nonumber\]
\[\cos (\alpha )\cos (\beta )+\sin (\alpha )\ sin (\beta)=\cos (\alpha -\beta)\nonumber\]

Это позволяет установить личность.

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Записав \(\cos (\alpha +\beta )\) как \(\cos \left(\alpha -\left(-\beta \right)\ справа)\), тождество суммы углов для косинуса следует из доказанного выше тождества разности углов.

Ответить

\[\ begin {array}{l} {\ cos (\ alpha + \ beta) = \ cos (\ alpha — (- \ beta))} \\ {\ cos (\ alpha) \ cos (- \ beta ) + \ грех (\ альфа) \ грех (- \ бета)} \\ {\ соз (\ альфа) \ соз (\ бета) + \ грех (\ альфа) (- \ грех (\ бета))} \\ {\ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) — \ sin (\ alpha) \ sin (\ beta)} \ end {array} \ nonumber \] 9\circ )\nonumber\] Вычислить

\[=\dfrac{\sqrt{3} }{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2} }{2} -\dfrac{1}{2} \cdot \ dfrac{\sqrt{2} }{2}\nonumber\] Просто
\[=\dfrac{\sqrt{6} -\sqrt{2} }{4}\nonumber\]

Упражнение \(\PageIndex{ 2}\)

Найдите точное значение \(\sin\left(\dfrac{\pi }{12}\right)\).

Ответить

\[\ sin \left(\dfrac{\pi }{12} \right)=\sin \left(\dfrac{\pi }{3} -\dfrac{\pi }{4} \right)=\ sin \left(\dfrac{\pi} {3} \right)\cos \left(\dfrac{\pi} {4} \right)-\cos \left(\dfrac{\pi} {3} \right )\sin\left(\dfrac{\pi }{4} \right)\nonumber\]
\[=\dfrac{\sqrt{3} }{2} \dfrac{\sqrt{2} }{2} -\dfrac{1}{2} \dfrac{\sqrt{2}} {2}\ четырехъядерный \dfrac{\sqrt{6} -\sqrt{2} }{4}\номер\]

Пример \(\PageIndex{2}\)

Переписать \(\sin \left(x-\dfrac{\pi }{4} \right)\) через sin(\(x\)) и потому что (\ (х \)).

Решение

\[\sin \left(x-\dfrac{\pi }{4} \right)\nonumber\]Использовать тождество разности углов для синуса
\[=\sin \left(x \right)\cos \left(\dfrac{\pi} {4} \right)-\cos \left(x\right)\sin \left(\dfrac{\pi} }{4} \right)\nonumber\ ] Оцените косинус и синус и переставьте
\[=\dfrac{\sqrt{2}} {2} \sin\left(x\right)-\dfrac{\sqrt{2}} {2} \cos \left(x\right)\nonumber\ ]

Кроме того, эти тождества можно использовать для упрощения выражений или доказательства новых тождеств.

Пример \(\PageIndex{3}\)

Докажите )} = \ dfrac {\ tan (a) + \ tan (b)} {\ tan (a) — \ tan (b)} \).

Решение

Как и с любой личностью, нам нужно сначала решить, с какой стороны начать. Поскольку левая часть включает сумму и разность углов, мы могли бы начать с нее.0034

\[\dfrac{\sin (a+b)}{\sin (a-b)}\nonumber\] Применить сумму и разность тождеств углов
\[=\dfrac{\sin (a)\cos (b )+\cos (a)\sin (b)}{\sin (a)\cos (b)-\cos (a)\sin (b)}\nonumber\]

Поскольку сразу не очевидно, как продолжайте, мы могли бы начать с другой стороны и посмотреть, будет ли путь более очевидным.

\[\dfrac{\tan (a)+\tan (b)}{\tan (a)-\tan (b)}\nonumber\] Переписывание касательных с использованием тождества касательных
\[=\dfrac{ \ dfrac {\ sin (a)} {\ cos (a)} + \ dfrac {\ sin (b)} {\ cos (b)}} {\ dfrac {\ sin (a)} {\ cos (a) } -\dfrac{\sin (b)}{\cos (b)} }\nonumber\]Умножение вершины и низа на cos(\(a\))cos(\(b\))
\[=\dfrac{\left(\dfrac{\sin (a)}{\cos (a)} +\dfrac{\sin (b)}{\cos (b)} \right)\cos (a )\cos (b)}{\left(\dfrac{\sin (a)}{\cos (a)} -\dfrac{\sin (b)}{\cos (b)} \right)\cos ( a)\cos (b)}\nonumber\]Распределение и упрощение
\[=\dfrac{\sin (a)\cos (b)+\sin (b)\cos (a)}{\sin (a) \cos (b)-\sin (b)\cos (a)}\nonumber\]Из приведенного выше мы узнаем это
\[=\dfrac{\sin (a+b)}{\sin (ab)}\ nonumber\]Установление тождества

Эти тождества также можно использовать для решения уравнений.

Пример \(\PageIndex{4}\)

Решить \(\sin (x)\sin (2x)+\cos (x)\cos (2x)=\dfrac{\sqrt{3}} {2} \).

Решение

Признав левую часть уравнения результатом тождества разности углов для косинуса, мы можем упростить уравнение

\[\sin (x)\sin (2x)+\cos ( x)\cos (2x)=\dfrac{\sqrt{3} }{2}\nonumber\]Применить разность углов тождества
\[\cos (x-2x)=\dfrac{\sqrt{3} } {2}\nonumber\]
\[\cos (-x)=\dfrac{\sqrt{3} }{2}\nonumber\]Используйте тождество отрицательного угла
\[\cos (x)=\dfrac{\sqrt{3} }{2}\nonumber\]

Поскольку это особое значение косинуса, которое мы узнаем из единичного круга, мы можем быстро записать ответы:

\[\begin{array}{l} {x=\dfrac{\pi }{6} +2\pi k} \\ {x=\dfrac{11\pi }{6} +2\pi k} \ end{array}\nonumber\], где \(k\) — целое число

Объединение волн одинакового периода

Синусоидальная функция вида \(f(x)=A\sin (Bx+C)\) можно переписать, используя тождество суммы углов.

Пример \(\PageIndex{5}\)

Перепишите \(f(x)=4\sin\left(3x+\dfrac{\pi }{3}\right)\) как сумму синуса и косинуса.

Решение

\[4\sin \left(3x+\dfrac{\pi }{3} \right)\nonumber\]Использование суммы углов тождества
\[=4\left(\sin \left (3x\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+\cos\left(3x\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\ right)\nonumber\]Вычисление синуса и косинуса
\[=4\left(\sin \left(3x\right)\cdot \dfrac{1}{2} +\cos \left(3x\right)\cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2} \right)\nonumber\]Распределите и упростите
\[=2\sin \left(3x\right)+2\sqrt{3} \cos \left(3x\right)\nonumber\]

Обратите внимание, что результат представляет собой удлинение синуса, добавленное к другому растяжение косинуса, но оба имеют одинаковое горизонтальное сжатие, что приводит к одному и тому же периоду.

Теперь мы можем спросить, можно ли обратить этот процесс вспять – может ли комбинация синуса и косинуса одного периода быть записана как одна синусоидальная функция? Чтобы изучить это, мы рассмотрим в целом процедуру, использованную в приведенном выше примере.

\[f(x)=A\sin (Bx+C)\nonumber\]Использовать тождество суммы углов
\[=A\left(\sin (Bx)\cos (C)+\cos (Bx )\sin (C)\right)\nonumber\]Распределите \(A\)
\[=A\sin (Bx)\cos (C)+A\cos (Bx)\sin (C)\nonumber\ ] Немного переставьте термины
\[=A\cos (C)\sin (Bx)+A\sin (C)\cos (Bx)\nonumber\]

На основе этого результата, если у нас есть выражение форму \(m\sin (Bx)+n\cos (Bx)\), мы могли бы переписать ее как единую синусоидальную функцию, если бы мы могли найти значения A и C 9{2}\quad \cos (C)=\dfrac{m}{A}\text{ и }\sin (C)=\dfrac{n}{A}\]

Вы можете использовать любой из двух последних уравнения для возможных значений C . Поскольку обычно будет два возможных решения, нам нужно будет рассмотреть оба, чтобы определить, в каком квадранте находится C , и определить, какое решение для C удовлетворяет обоим уравнениям.

Пример \(\PageIndex{6}\)

Перепишите \(4\sqrt{3} \sin (2x)-4\cos (2x)\) как одну синусоидальную функцию. 9{2} =16\cdot 3+16=64\), поэтому \(A = 8\).

Решение для \(C\),

\[\cos (C)=\dfrac{4\sqrt{3} }{8} =\dfrac{\sqrt{3} }{2}\text{ так }C=\dfrac{\pi }{6}\text{ или }C=\dfrac{11\pi }{6}\nonumber\]

Однако обратите внимание \(\sin (C)=\dfrac{- 4}{8} =-\dfrac{1}{2}\). Синус отрицательный в третьем и четвертом квадранте, поэтому угол, который работает для обоих, равен \(C=\dfrac{11\pi }{6}\).

Объединение этих результатов дает нам выражение

\[8\sin \left(2x+\dfrac{11\pi }{6} \right)\nonumber\] 9{2} =36\quad A=6\nonnumber\]
\[\cos (C)=\dfrac{-3\sqrt{2} }{6} =\dfrac{-\sqrt{2} }{2 } \ quad \ sin (C) = \ dfrac {3 \ sqrt {2}} {6} = \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} \ quad C = \ dfrac {3 \ pi} {4} \ нечисло\]
\[6\sin \left(5x+\dfrac{3\pi }{4} \right)\нечисло\]

Преобразование комбинации синуса и косинуса с равными периодами в виде одной синусоидальной функции обеспечивает подход к решению некоторых уравнений.

Пример \(\PageIndex{7}\)

Решите \(3\sin (2x)+4\cos (2x)=1\), чтобы найти два положительных решения. 9{-1} \left(\dfrac{3}{5} \right)\приблизительно 0,927\text{ или }C=2\pi -0,927=5,356\nonnumber\]

Так как \(\sin (C)= \dfrac{4}{5}\), положительное значение, нам нужен угол в первом квадранте, \(C = 0,927\).

Используя это, наше уравнение принимает вид

\[5\sin \left(2x+0,927\right)=1\nonnumber\] Разделить на 5
\[\sin \left(2x+0,927\right)=\dfrac {1}{5}\nonumber\] Сделайте замену \(u = 2x + 0,927\)
\[\sin \left(u\right)=\dfrac{1}{5}\nonumber\] Обратное дает первое решение 9{-1} \left(\dfrac{1}{5} \right)\приблизительно 0,201\nonumber\] По симметрии второе решение равно
\[u=\pi -0,201=2,940\nonumber\] Третье решение будет
\[u=2\pi +0.201=6.485\nonnumber\]

Отменив подстановку, мы можем найти два положительных решения для \(x\).

\[\begin{array}{ccccc}{2x+0,927=0,201}&{\text{или}}&{2x+0,927=2,940}&{\text{или}}&{2x+0,927=6,485 }\\{2x=-0,726}&{}&{2x=2,013}&{}&{2x=5,558}\\{x=-0,363}&{}&{x=1,007}&{}&{x =2,779}\end{array}\nonumber\]

Поскольку первое из них отрицательное, мы исключаем его и сохраняем два положительных решения, \(x=1,007\) и \(x=2,779\).

Тождества произведения на сумму и суммы на произведение

Тождества произведения на сумму

\[\begin{array}{l} {\sin (\alpha )\cos (\beta ) = \ dfrac {1} {2} \ влево (\ грех (\ альфа + \ бета) + \ грех (\ альфа — \ бета) \ вправо)} \\ {\ грех (\ альфа) \ грех (\ бета ) = \ dfrac {1} {2} \ влево (\ соз (\ альфа — \ бета) — \ соз (\ альфа + \ бета) \ справа)} \\ {\ соз (\ альфа) \ соз (\ бета )=\dfrac{1}{2} \left(\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )\right)} \end{array}\]

Докажем первое из них, используя тождества суммы и разности углов из начала раздела. Доказательства двух других тождеств аналогичны и оставлены в качестве упражнения.

Доказательство идентичности произведения на сумму для sin(\(\alpha\))cos(\(\beta\))

Вспомнить тождества суммы и разности углов из предыдущих

\[\sin (\alpha +\beta)=\sin (\alpha)\cos (\beta)+\cos (\alpha)\sin (\beta)\nonumber\]
\[\sin (\alpha -\beta)= \sin (\alpha)\cos (\beta)-\cos (\alpha)\sin (\beta)\nonumber\]

Складывая эти два уравнения, мы получаем

\[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )=2\sin (\alpha )\cos (\beta )\nonumber\]

Разделив на 2, получаем тождество

\[\sin (\alpha )\cos (\beta )=\dfrac{1}{2} \left(\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )\right)\nonumber\]

Пример \(\PageIndex{8}\)

Запишите \(\sin (2t)\sin (4t)\) в виде суммы или разности.

Решение

Использование тождества произведения синусов

\[\sin (2t)\sin (4t)=\dfrac{1}{2} \left(\cos (2t-4t)-\cos (2t+4t)\right)\nonumber\]
\ [=\dfrac{1}{2} \left(\cos (-2t)-\cos (6t)\right)\nonumber\]При желании примените тождество отрицательного угла
\[=\dfrac{1}{ 2} \left(\cos (2t)-\cos (6t)\right)\nonumber\]Распределить
\[=\dfrac{1}{2} \cos (2t)-\dfrac{1}{2} \cos (6t)\nonumber\]

Упражнение \(\PageIndex{4}\)

Вычислить \(\cos \left(\dfrac{11\pi }{12} \right)\cos \left(\ dfrac{\pi }{12} \right)\).

Ответить

\[\cos \left(\dfrac{11\pi }{12} \right)\cos \left(\dfrac{\pi }{12} \right)=\dfrac{1}{2} \left( \cos \left(\dfrac{11\pi} }{12} +\dfrac{\pi }{12} \right)+\cos \left(\dfrac{11\pi} }{12} -\dfrac{\pi }{12} \right)\right)\nonumber\]
\[=\dfrac{1}{2} \left(\cos \left(\pi \right)+\cos \left(\dfrac{5\) pi }{6} \right)\right)=\dfrac{1}{2} \left(-1-\dfrac{\sqrt{3} }{2} \right)\nonumber\]
\[=\ dfrac{-2-\sqrt{3} }{4}\номер\]

Тождества суммы и произведения

\[\sin \left(u\right)+\sin \left(v\right)=2\sin \left(\dfrac{u+v}{2} \ right)\cos\left(\dfrac{u-v}{2} \right)\]
\[\sin\left(u\right)-\sin\left(v\right)=2\sin\left(\ dfrac{u-v}{2} \right)\cos \left(\dfrac{u+v}{2} \right)\]
\[\cos \left(u\right)+\cos \left(v\ справа) = 2\cos \left(\dfrac{u+v}{2} \right)\cos \left(\dfrac{u-v}{2} \right)\]
\[\cos \left(u\ вправо)-\cos\влево(v\вправо)=-2\sin\влево(\dfrac{u+v}{2}\вправо)\sin\влево(\dfrac{u-v}{2}\вправо)\ ]

Мы снова докажем одно из них, а остальное оставим в качестве упражнения.

Доказательство идентичности суммы и произведения для функции синуса

Мы определяем две новые переменные:

\[\begin{array}{l} {u=\alpha +\beta} \\ {v= \alpha -\beta } \end{array}\nonumber\]

Сложение этих уравнений дает \(u+v=2\alpha\), что дает \(\alpha =\dfrac{u+v}{2}\ )

Вычитание уравнений дает \(u-v=2\beta\) или \(\beta =\dfrac{u-v}{2}\)

Подстановка этих выражений в тождество произведения на сумму

\[\sin (\alpha)\cos (\beta)=\dfrac{1}{2} \left(\sin (\alpha +\beta)+\sin (\alpha -\beta)\right) \nonumber\] дает

\[\sin \left(\dfrac{u+v}{2} \right)\cos \left(\dfrac{u-v}{2} \right)=\dfrac{1}{ 2} \left(\sin \left(u\right)+\sin \left(v\right)\right)\nonumber\]Умножить на 2 с обеих сторон

\[2\sin \left(\dfrac{ u+v}{2} \right)\cos \left(\dfrac{u-v}{2} \right)=\sin \left(u\right)+\sin \left(v\right)\nonumber\] Установление личности

Упражнение \(\PageIndex{5}\)

Обратите внимание, что при использовании тождества отрицательного угла \(\sin \left(u\right)-\sin \left(v\right)=\sin (u)+\sin (-v)\). Используйте это вместе с идентичностью суммы синусов, чтобы доказать идентичность суммы и произведения для \(\sin\left(u\right)-\sin\left(v\right)\).

Ответить

\[\sin (u)-\sin (v)\nonumber\]Использовать тождество отрицательного угла для синуса
\[\sin (u) + \sin (-v)\nonumber\]Использовать тождество суммы к произведению для синуса
\[2\text{sin} (\dfrac{u + (-v)}{2}) \text{cos} (\dfrac{u — (-v)}{2})\nonumber\] Удалить скобки 9\circ \right)\nonumber\]Вычислить
\[=-2\cdot \dfrac{\sqrt{2} }{2} \cdot \dfrac{-1}{2} =\dfrac{\sqrt{2} }{2}\nonumber\]

Пример \(\PageIndex{10}\)

Докажите тождество \(\dfrac{\cos (4t)-\cos (2t)}{\sin (4t)+\ sin (2t)} =-\tan (t)\).

Решение

Поскольку левая часть кажется более сложной, мы можем начать с нее и упростить.

\[\dfrac{\cos (4t)-\cos (2t)}{\sin (4t)+\sin (2t)}\nonumber\]Используйте тождества суммы-произведения
\[=\dfrac {-2\sin\left(\dfrac{4t+2t}{2}\right)\sin\left(\dfrac{4t-2t}{2}\right)}{2\sin\left(\dfrac{ 4t+2t}{2} \right)\cos \left(\dfrac{4t-2t}{2} \right)}\nonumber\]Упростить
\[=\dfrac{-2\sin\left(3t\right)\sin\left(t\right)}{2\sin\left(3t\right)\cos\left(t\right)}\ nonumber\]Упростить дальше
\[=\dfrac{-\sin \left(t\right)}{\cos \left(t\right)}\nonumber\]Переписать как касательную
\[=-\tan ( t)\nonumber\]Установление идентичности

Пример \(\PageIndex{11}\)

Решить \(\sin \left(\pi {\kern 1pt} t\right)+\sin \left(3\ pi {\kern 1pt} t\right)=\cos (\pi {\kern 1pt} t)\) для всех решений с \(0\le t<2\).

Решение

В таком уравнении не сразу понятно, как действовать. Одним из вариантов было бы объединить две синусоидальные функции в левой части уравнения. Другим было бы переместить косинус в левую часть уравнения и объединить его с одним из синусов. Без особой веской причины мы начнем с объединения синусов в левой части уравнения и посмотрим, как все получится.

\[\sin \left(\pi {\kern 1pt} t\right)+\sin \left(3\pi {\kern 1pt} t\right)=\cos (\pi {\kern 1pt} t )\nonumber\]Применить сумму к идентификатору продукта слева
\[2\sin \left(\dfrac{\pi {\kern 1pt} t+3\pi {\kern 1pt} t}{2} \right)\cos \left(\dfrac{\pi {\kern 1pt} t-3\pi {\kern 1pt} t}{2} \right)=\cos (\pi {\kern 1pt} t)\nonumber\]Упростить
\[2\sin \left(2\pi {\kern 1pt} t\right)\cos \left(-\pi {\kern 1pt} t\right)=\cos (\pi {\kern 1pt} t)\nonumber\] Применить тождество отрицательного угла
\ [2\sin\left(2\pi {\kern 1pt} t\right)\cos \left(\pi {\kern 1pt} t\right)=\cos (\pi {\kern 1pt} t)\nonumber \] Измените уравнение так, чтобы оно равнялось 0 с одной стороны
\[2\sin \left(2\pi {\kern 1pt} t\right)\cos \left(\pi {\kern 1pt} t\right)-\ cos (\pi {\kern 1pt} t)=0\nonumber\]Вычтем косинус
\[\cos \left(\pi {\kern 1pt} t\right)\left(2\sin \left(2\pi {\kern 1pt} t\right)-1\right)=0\nonnumber\ ]

Используя теорему о нулевом произведении, мы знаем, что по крайней мере один из двух множителей должен быть равен нулю. Первый фактор, \(\cos\left(\pi {\kern 1pt} t\right)\), имеет период \(P=\dfrac{2\pi}{\pi} =2\), поэтому решение интервал \(0\le t<2\) представляет собой один полный цикл этой функции.

\[\cos \left(\pi {\kern 1pt} t\right)=0\nonnumber\]Подстановка \(u=\pi {\kern 1pt} t\)
\[\cos \left(u\right)=0\nonumber\]За один цикл это имеет решения
\[u=\dfrac{\pi }{2}\text{ или }u=\dfrac{3 \pi }{2}\nonumber\]Отмените замену
\[\pi {\kern 1pt} t=\dfrac{\pi} {2}\text{, так что }t=\dfrac{1}{2} \nonumber\]
\[\pi {\kern 1pt} t=\dfrac{3\pi}{2}\text{, поэтому }t=\dfrac{3}{2}\nonumber\]

Второй фактор, \(2\sin\left(2\pi {\kern 1pt} t\right)-1\), имеет период \(P=\dfrac{2\pi}{2\pi} =1\) , поэтому интервал решения \(0\le t<2\) содержит два полных цикла этой функции.

\[2\sin \left(2\pi {\kern 1pt} t\right)-1=0\nonnumber\] Изолировать синус
\[\sin \left(2\pi {\kern 1pt} t \right)=\dfrac{1}{2}\nonumber\] Замените \(u=2\pi {\kern 1pt} t\)
\[\sin (u)=\dfrac{1}{2}\ nonumber\] На одном цикле это имеет решения
\[u=\dfrac{\pi }{6}\text{или}u=\dfrac{5\pi}{6}\nonumber\] На втором цикле решения:
\[u=2\pi +\dfrac{\pi }{6} =\dfrac{13\pi }{6}\text{или}u=2\pi +\dfrac{5\pi} {6} =\dfrac{17\pi }{6}\nonumber\] Отменить замену
\[2\pi {\kern 1pt} t=\dfrac{\pi} {6}\text{, поэтому} t=\dfrac{1}{12}\nonumber\]
\[2\pi {\ kern 1pt} t=\dfrac{5\pi }{6}\text{, поэтому }t=\dfrac{5}{12}\nonumber\]
\[2\pi {\kern 1pt} t=\dfrac {13\pi} {6}\text{, поэтому} t=\dfrac{13}{12}\nonumber\]
\[2\pi {\kern 1pt} t=\dfrac{17\pi} {6 }\text{, поэтому }t=\dfrac{17}{12}\nonumber\]

Всего мы нашли шесть решений для \(0\le t<2\), что можно подтвердить, посмотрев на график .

\[t=\dfrac{1}{12},\dfrac{5}{12},\dfrac{1}{2},\dfrac{13}{12},\dfrac{3}{2} ,\dfrac{17}{12}\номер\]

Важные темы этого раздела

• Тождества суммы и разности
• Объединение волн равных периодов
• Тождества произведение-сумма
• Тождества суммы и произведения
• Завершение корректуры

---

Эта страница под названием 7.2: Сложение и вычитание идентификаторов распространяется под лицензией CC BY-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Дэвидом Липпманом и Мелони Расмуссен (The OpenTextBookStore) через исходный контент, отредактированный в соответствии со стилем и стандарты платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Дэвид Липпман и Мелони Расмуссен

   Лицензия

   СС BY-SA

   Версия лицензии

   4,0

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   1. источник@http://www. opentextbookstore.com/details.php?id=30

Как использовать тождества на вычитание в задаче на триггер

Автор: Мэри Джейн Стерлинг и

Обновлено: 26 марта 2016 г.

Учебник по тригонометрии для чайников

Изучить книгу Купить на Amazon

Значения функций углов можно найти, используя тождества сложения углов. И у вас есть больше возможностей для нахождения значений функций углов, когда вы используете вычитание в задаче тригонометрии. Например, вы можете определить синус 15 градусов, используя 45 градусов и 30 градусов, а также соответствующие значения функции и тождество.

Тождества вычитания или разности находят функцию разности углов α и β:

Обратите внимание, как каждое из тождеств вычитания похоже на соответствующее ему тождество суммы углов. Для правила синусов знак между двумя произведениями изменился с + на –, что кажется логичным. Для косинуса верно обратное. В правиле сложения для косинуса есть -, а в правиле вычитания (или разности) есть +. В правиле касательной есть и +, и –; операция в числителе отражает тип идентичности.

Только исходные три триггерные функции имеют по-настоящему полезные разностные тождества — тождества для обратных функций чертовски сложны. Если вам нужна разность обратной функции, лучше всего использовать соответствующее базовое тождество и найти обратную величину числового ответа после того, как вы все закончите.

Чтобы увидеть одно из тождеств вычитания в действии, посмотрите следующий пример, который показывает, как можно найти синус 15 градусов.

1. Определите два угла с разницей в 15 градусов.

   Для простоты используйте 45 и 30.

2. Подставить углы в тождество для синуса разности.

3. Замените термины значениями функции и упростите ответ.

Использование радианов вводит дроби в картину, например, нахождение тангенса π/12 с использованием тождества для тангенса разности.

1. Определите, какие углы вам нужны, чтобы получить разницу.

2. Подставить углы в тождество для тангенса разности.

3. Замените термины значениями функции и упростите ответ.

   Результат довольно беспорядочный. Вы можете упростить его еще больше, умножив числитель и знаменатель на 9.0632 сопряжение (те же члены, разные знаки) знаменателя и упрощение результата:

В следующем примере используется идентичность косинуса разности вместе с углом, измеряющим 0 градусов, для определения идентичности противоположного угла. Это показывает, насколько универсальны и удобны триггерные идентификаторы — и как они все так хорошо уживаются вместе.

В этом примере найдите

, используя тождество для разности углов.

1. Определите, какие углы вам нужны, чтобы получить разницу.

   No related posts.