Криволинейный интеграл 2-го рода (криволинейный интеграл по координатам). Формула Грина. Решение задач и контрольных работ по высшей математике онлайн
Краткая теория
Пусть функция непрерывна в каждой точке гладкой кривой . Разбив произвольным образом кривую на частей и выбрав в каждой из них произвольно точку , построим интегральные суммы:
где – длины проекций частичных дуг , на соответствующие координатные оси. Тогда пределы:
называются криволинейными интегралами II рода или криволинейными интегралами по координатам.
Сумма интегралов:
обозначается как криволинейный интеграл
Если кривая замкнутая, то обозначают:
Основные свойства криволинейных интегралов II рода
При изменении направления интегрирования интеграл меняет свой знак:
Сказанное
верно и для замкнутой кривой, при этом выбор точки начала обхода безразличен.
Остальные свойства такие же, как и у криволинейного интеграла I рода.
Вычисление криволинейного интеграла II рода
1. Если пространственная кривая задана параметрическими уравнениями
причем перемещение от точки к точке происходит при изменении параметра от до , то
2. В частном случае для плоской кривой
причем перемещение от точки к точке происходит при изменении параметра от до . Криволинейный интеграл вычисляется по формуле:
3.
Если
плоская кривая
определена уравнением
, причем перемещение от
точки
к точке
происходит при изменении
от
до
, то
Формула Грина
Интеграл по замкнутому контуру можно преобразовать в двойной интеграл по области , ограниченной этим контуром, и наоборот, используя формулу Грина:
где функции и и их частные производные первого порядка должны быть непрерывными в области и на контуре .
При этом обход контура выбирается таким образом, что область остается слева.
Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
не зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
Если же, кроме того, есть замкнутая кривая, то
Примеры решения задач
Задача 1
Вычислить криволинейный интеграл
вдоль дуги циклоиды , от точки до точки
Решение
Искомый криволинейный интеграл можно вычислить по формуле:
Получаем:
Ответ:
Задача 2
Вычислить
данный криволинейный интеграл вдоль линии
.
Сделать чертеж.
где — дуга кривой от точки до точки
Решение
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Криволинейный интеграл можно вычислить по формуле:
Получаем:
Ответ:
Задача 3
Вычислить криволинейный интеграл:
вдоль отрезка
прямой от точки
до точки
. Сделать чертеж.
Решение
Вычислим уравнение прямой :
Криволинейный интеграл 2-го рода можно свести к определенному интегралу по следующей формуле:
Получаем:
Ответ:
Задача 4
Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:
где -контур четырехугольника
Решение
Сделаем чертеж области:
Вычислим криволинейный интеграл непосредственно:
Криволинейный интеграл можно вычислить по формулам:
или
Уравнение прямой :
Уравнение прямой :
Уравнение прямой :
Уравнение прямой :
Искомый интеграл:
По формуле Грина:
Искомый интеграл:
Ответ:
Задача 5
Применяя формулу Грина, вычислить интеграл
для
заданной линии
(пробегаемой в положительном направлении) и
подынтегральных функций
и
.
Решение
По формуле Грина:
Сделаем чертеж области :
Искомый интеграл:
Ответ:
Криволинейный интеграл I рода. Примеры
Определенные интегралы в случаях когда интегрирование проводится не вдоль отрезка, а некоторой кривой (на плоскости или в пространстве) называются криволинейными. Различают криволинейные интегралы І и ІІ рода.
Формулы криволинейного интегралу первого рода
Пусть в пространстве (на плоскости) задано параметрическое уравнение гладкой кривой f (x, y, z)
x=x(t), y=y(t), z=z(t).
tє[a, b].
Каждая из функций непрерывна на промежутке интегрирования.
Функция f(x, y, z)=0 описывает кривую в пространстве.
В таком случае криволинейный интеграл первого рода равен интегралу за параметром от функции умноженной на корень квадратный из суммы квадратов производных координат за параметром
Для случая кривой на плоскости формула неопределенного интегралу I роду упрощается
Когда кривая интегрирования задана явно y=y(x), формула перехода к определенному интегралу имеет вид
Пусть функция задана полярными координатами rho=rho(phi), phi1<phi<phi2.
Тогда криволинейный интеграл первого рода вдоль кривой вычисляется по формуле
На этом все формулы, что Вам нужны для вычисления интегралов, однако без готовых ответов трудно представить их приложение, поєтому перейдем к практической части.
Вычисление криволинейных интегралов I рода
Примеры подобрано из учебной программы для студентов ЛНУ им. И. Франко. Они охватывают широкий класс заданий, которые непременно встретите на контрольной работе и экзаменах. Поэтому внимательно разберите ответы к примерам и выучите приведенные наверху формулы вічисления криволинейных интегралов.
Пример 1.7 Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L — отрезок прямой z=x/2-2, что соединяет точки A(0;- 2) и B(4;0) в плоскости xOz.
Решение: Построим графически прямую и нанесем на нее точки ограничивающие дугу
За видом видим, что необходимо вычислить криволинейный интеграл I рода.
z=x/2-2, z’=1/2.
Подынтегральная функция примет значение
1/(x-z)=1/(x -(x/2-2))=1/(0,5x+2).
Найдем дифференциал дуги заданной кривой по формуле
Подставляем и находим криволинейный интеграл
Неопределенный интеграл сводится к логарифму, который не имеет особенностей (гладкая функция) на промежутке интегрирования.
Пример 1.10 Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L:
, где L — дуга кривой x=a*cos(t), y=a*sin(t), z=b*t, t[0;2pi].
Решение: Параметрическая кривая x=a*cos(t), y=a*sin(t), z=b*t, t[0;2pi] описывает часть винтовой линии.
Ее график на цилиндрической поверхности имеет вид.
Часть винтовой линии, которая отвечает промежутку [0;2pi] изображена красным цветом.
Подынтегральная функция равна x2+y2+z2.
Нужно вычислить криволинейный интеграл I рода.
Находим производные координат по параметру
x’t=a*sin(t), y’t=a*sin(t), z’t=b.
Дальше вычисляем дифференциал дуги параметрически заданной кривой согласно формуле:
Формулы дифференциалу дуги в декартовой, полярной и пространственной системах координат приведены в теоретическом материале и поэтому здесь на них задерживаться не будем.
Интегрированием вычисляем криволинейный интеграл
Интеграл не сложен в плане расчетов.
Пример 1.12 Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L, где L — дуга кривой x=cos(t), y=sin(t), z=t [0;2pi].
Решение: Имеем идентичное уравнение x=cos(t), y=sin(t), z=t — винтовой линии.
Для вычисления криволинейного интеграла I рода находим производные координат
x’t=-sin(t), y’t=cos(t), z’t=1.
Подставляем их в дифференциал дуги винтовой линии:
Превращаем подінтегральную функцию и находим криволинейный интеграл
Пример 1.14 Вычислить криволинейный интеграл int(x+y, dS)
вдоль дуги L — дуга кривой x=t, , z=t3, [0;1].
Решение: Прежде чем вычислить криволинейный интеграл I рода находим производные за параметром.
Подставляем их в формулу дифференциала дуги:
Определенный интеграл вычисляем в указанных пределах
Под интегралом раскрыли скобки и применили простые формулы интегрирования.
Пример 1.18 Вычислить криволинейный интеграл int (1/x2+y2+z2,ds)
вдоль дуги кривой L:
x=a*cos(t), y=a*sin(t), z=b*t, t[0;2pi].
Решение: Интегрировать опять придется вдоль винтовой линии.
Производные за параметром имеют вид
x’t=-a*sin(t), y’t=a*sin(t), z’t=b.
Вычисляем дифференциал дуги кривой:
Дальше превращаем криволинейный интеграл к определенному и находим его значение
При интегрировании будем иметь арктангенс.
В результате вычислений получили компактную формулу через параметры формы цилиндра.
Пример 1.20 Вычислить криволинейный интеграл int(x4/3+y4/3,ds) вдоль дуги L:
дуга астроиды x2/3+y2/3=a2/3.
Решение: Запишем параметрическое уравнение астроиды:
x=a*cos3(t), y=a*sin3(t), где t[0;2pi].
График астроиды в декартовой системе координат имеет вид
Для вычисления криволинейного интеграла I рода вычисляем производные за параметром
x’t=-3a*cos2(t)*sin(t), y’t=3a*cos(t)*sin2(t).
и подставляем в дифференциал дуги астроиды:
Криволинейный интеграл 1 рода находим методом замены переменной
Это позволяет перейти к простому понятному виду подынтегральной функции.
Пример 1.21 Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги лемнискаты (x2+y2)2=a2(x2-y2).
Решение: Для лемнискаты раньше рассматривали интегралы на нахождение площади.
Запишем уравнение лемнискаты в полярной системе координат, используя превращение координат:
Тогда из уравнения дуги
выражаем радиус-вектор и вычисляем производную за углом
Найдем дифференциал дуги по формуле:
Запишем подынтегральную функцию:
Вычисляем криволинейный интеграл первого роду как 4 интеграла по 1 четверти
Синус в первой четверти положителен, поэтому модуль опускаем.
Пример 1.25 Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L:
, где L — четверть круга x2+y2+z2=R2, y=x что лежит в первом октанте.
Решение: Имеем сферу x2+y2+z2=R2 и плоскость y=x, которая ее пересекает.
График дуги в пространстве имеет вид как на рисунку
В сечении получим круг, который проектируется на плоскость y=x уравнением X2+z2=R2, где
Такие манипуляции необходимы, чтобы параметризовать круг
Параметрическое уравнение круга:
x=R*cos(t), z=R*sin(t) и t[0;Pi/2] (I октант).
Тогда переменные выражаются зависимостью
Вычисляем производные
затем находим дифференциал дуги:
Подставляем все в интеграл и выполняем вычисление
Как Вы могли убедиться, ничего сложного в нахождении криволинейных интегралов первого рода нет. В теории известны формулы как переходить от криволинейных к определенным интегралам, ими и воспользовались. Сами же интегралы не сложны, да и кривые на практике подбираются таким образом, чтобы Вы с ними долго не возились на практических занятиях.
Все сводится к умению интегрировать, что в свою очередь требует знания таблицы основных интегралов.
Линейные интегралы
Линейные интегралы
Определение линейного интеграла
К этому времени вы должны привыкнуть к построению интеграла. Мы разбить геометрическую фигуру на мелкие части, умножить размер части на значение функции на этой части и добавить все продукты. Для одного переменной интеграции геометрическая фигура представляет собой отрезок прямой, для двойного интегрирования фигура представляет собой область, а для тройного интегрирования фигура представляет собой твердый.
Геометрическая фигура дня будет кривой. Если у нас есть
функцию, определенную на кривой, мы можем разбить кривую на крошечные сегменты линии,
умножьте длину сегментов линии на значение функции на сегменте
и сложить все продукты. Как всегда, в качестве длины возьмем ограничение
отрезков стремится к нулю. Это новое количество называется строкой .
интеграл и может быть определен в двух, трех и более измерениях.
Предположим, что провод имеет плотность f(x,y,z) при точку (x,y,z) на проводе. Затем линия интеграл будет равен полной массе провода. Ниже приведено определение в символы.
Определение линейного интеграла Пусть f — функция, заданная на кривой C конечной длины. Затем строка интеграл от f вдоль С (для два измерения) (для три измерения) |
Оценка линейных интегралов
Это определение само по себе не очень полезно для нахождения точной линии
интегралы. Если данные предоставлены, то мы можем использовать их в качестве руководства для
примерный ответ. К счастью, есть более простой способ найти строку
интеграл, когда кривая задана параметрически или в виде векторного значения
функция.
Пусть
r (т) = x (t) i + y(t) j
— дифференцируемая векторнозначная функция. Затем
Теперь мы готовы сформулировать теорему, которая показывает нам, как вычислить линию интеграл.
Теорема: линейные интегралы по Векторные функции со значениями Пусть r (t) = x (t) i + y(t) j a < т < б — дифференцируемый вектор со значением функция, определяющая гладкую кривую C. Затем и для трех измерений, если r (t) = x (t) i + y(t) j + z(t) k а < т < б затем |
Пример
Найти линейный интеграл
где C — эллипс
r (т) = (2cos t) i + (3sin t) j 0 < t < 2p
Вы можете использовать калькулятор или компьютер для вычисления конечного интеграла.
Раствор
Находим
Мы иметь интеграл
С с помощью машины получаем
15,87
Работа
Основное применение линейных интегралов — нахождение работы над объектом. в силовом поле. Если тело движется по кривой под действием силы поле F, то мы можем вычислить общую проделанную работу силовым полем, разрезая кривую на крошечные кусочки. Проделанная работа W вдоль каждого отрезка будет примерно равно до
дВт = F . тд
Теперь вспомним, что
р ‘(т)
Т =
|| р ‘(т)||
и тот
д.с. = || р ‘(т)||дт
Отсюда
дВт = F . р ‘(т)дт
Как обычно, складываем все мелкие работы и берем предел как
части становятся маленькими, чтобы в конечном итоге с интегралом.
Определение работы Пусть F векторное поле и C быть кривой, определяемой векторной функцией r . Тогда работа, выполненная F на объекте, движущемся вдоль C дается |
Пример
Найдите работу векторного поля
F (x,y,z) = x i + 3xy j — (x + z) k
на частицу, движущуюся по отрезку, идущему от (1,4,2) до (0,5,1)
Раствор
Сначала мы должны параметризовать кривую. У нас
r (т) = <1,4,2> + [<0,5,1> — <1,4,2>]t = <1 - т, 4 + т, 2 - т >
и
р ‘(т) = — i + j — k
Взяв скалярное произведение, мы получим
. F .
r ‘(t) = -x + 3xy + x + z = 3xy + z
= 3(1 — t)(4 + t) + (2 — t) = -3t 2 -10т + 14
Теперь просто интегрируем
Уведомление работа, совершаемая силовым полем над телом, движущимся по кривой, зависит от направление, в котором движется объект. На самом деле будет противоположное направление произвести отрицательную работу, выполненную в первоначальном направлении. Это ясно из того, что все то же самое, кроме порядка, в котором мы пишем и б.
Линейные интегралы в дифференциальной форме
Мы можем переписать r ‘(t)dt как
д р dx dy
ДЗ
дт = ( и + и + к ) дт
дт
дт дт
дт
= dx i + dy j + dz k
Так что если
F = M i + N j + P k
, затем
Ф .
r ‘(t)dt = Mdx + Ndy + Pdz
Это называется дифференциальной формой .
Пример
Найти
где C является частью спирали
r (t) = sin t i + стоимость t j + t k 0 < t < 2p
Раствор
Мы есть
r ‘(t) = cost t i — sin t j + k
так что
ydx + zdy = (cos 2 t — t sin t)dt
Это приводит нас к интегралу
с немного усилий (с помощью интегрирования по частям) получаем
3р
Назад к векторным полям и Домашняя страница векторной интеграции
Назад на домашнюю страницу векторного исчисления
Назад к математике Домашняя страница отдела
электронная почта Вопросы и предложения
Исчисление III.
Линейные интегралы Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечанияМобильное уведомление
Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т.е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
В этом разделе мы начнем рассмотрение исчисления с векторными полями (которые мы определим в первом разделе). В частности, мы рассмотрим новый тип интеграла, линейный интеграл и некоторые интерпретации линейного интеграла.
Мы также рассмотрим одну из наиболее важных теорем, касающихся линейных интегралов, — теорему Грина.
Вот список тем, затронутых в этой главе.
Векторные поля. В этом разделе мы вводим понятие векторного поля и приводим несколько примеров их графического отображения. Мы также возвращаемся к градиенту, который мы впервые увидели несколько глав назад.
Линейные интегралы – Часть I – В этом разделе мы начнем с краткого обзора кривых параметризации. Это навык, который потребуется для очень многих линейных интегралов, которые мы оцениваем, и поэтому его необходимо понимать. Затем мы формально определим первый вид линейного интеграла, который мы будем рассматривать: линейный интеграл по отношению к длине дуги.0005
Линейные интегралы – Часть II – В этом разделе мы продолжим рассмотрение линейных интегралов и определим второй вид линейного интеграла, который мы будем рассматривать: линейные интегралы по \(x\), \(y\), и/или \(z\). Мы также вводим альтернативную форму обозначения линейного интеграла такого типа, которая иногда будет полезна.