Круг тангенсов: Тригонометрический круг. Значения тангенса и котангенса на круге

касание круга-определение, формула и примеры

, написанные

Malcolm McKinsey

11 января 2023

Проверка по фактам

Пол Маццола

TANGEN Окружность — это прямая линия, которая касается окружности в одной точке, называемой точкой касания. В точке касания касательная окружности перпендикулярна радиусу.

Здесь у нас круг A  где AT‾\overline{AT}AT – радиус, а TP↔\overleftrightarrow{TP}TP – касательная к окружности.

Это означает, что AT‾\overline{AT}AT перпендикулярно TP↔\overleftrightarrow{TP}TP.

Давайте рассмотрим пример, где AT‾=5\overline{AT}=5AT=5 и TP↔=12\overleftrightarrow{TP}=12TP=12. Как найти длину AP‾\overline{AP}AP?

Угол  T  является прямым, поскольку радиус перпендикулярен касательной в точке касания, AT‾⊥TP↔\overline{AT}\perp \overleftrightarrow{TP}AT⊥TP.

Это означает, что мы можем использовать теорему Пифагора , чтобы найти AP‾\overline{AP}AP.

Окружности

Окружности — это множество всех точек на заданном расстоянии от точки. Это означает, что круг — это не все пространство внутри него; это изогнутая линия вокруг точки, которая замыкается в пространстве. У круга есть центр, который является точкой посередине и дает название кругу. Круг может иметь:

• радиус (расстояние от центра до круга)

• хорда (отрезок прямой от окружности до другой точки окружности, не проходящий через центр)

• секанс (прямая, проходящая через две точки окружности)

• диаметр (хорда, проходящая через центр)

• окружность (расстояние вокруг самой окружности.

Вот круг на полях, который показывает сглаженную культуру, центральную точку, радиус, секущую, хорду и диаметр:

Касательная к окружности

Обратите внимание, что диаметр соединяется с центральной точкой и двумя точками на окружности. Хорда и секущая соединяют только две точки окружности. Касательная соединяется только с одной точкой окружности.

Что такое тангенс?

Касательная  – это прямая (или отрезок прямой), пересекающая окружность ровно в одной точке. Для этого касательная также должна проходить под прямым углом к ​​радиусу (или диаметру), который пересекает ту же точку.

В наших кругах на полях U, если мы внимательно посмотрим, мы увидим касательную линию справа, отрезок линии FO. Это была крошечная тропинка, по которой шли создатели кругов, чтобы добраться до места на поле, где они начали формировать свои круги на полях. Круги на полях почти всегда «появляются» очень близко к дорогам и имеют некоторые признаки касательных, поэтому большинство исследователей говорят, что они сделаны человеческими шутниками.

Слово «касательная»  происходит от латинского термина, означающего «касаться», потому что касательная едва касается окружности. Касательные, конечно, также намекают на то, что письмо или высказывание отклоняются от темы, например, когда писатель уходит по касательной и указывает, что большинству фермеров не нравится, когда их посевы вытаптывают вандалы из этого или любого другого мира.

Окружность касательной линии

Прямые и отрезки не единственные геометрические фигуры, которые могут образовывать касательные. Одна окружность может касаться другой, просто разделяя одну точку. Два круга могут быть вложенными (один внутри другого) или соседними, например:

Вложенные и смежные круги

Вы также можете окружить свой первый круг на полях шестью кругами того же диаметра, что и первый. Это формирует гнездо из семи кругов на полях, где каждый внешний круг касается ровно трех других кругов, а первоначальный центральный круг касается ровно шести кругов: объяснить круги на полях) связаны с касательными. Мы уже прокрались мимо вас, как и многие создатели кругов на полях, крадущиеся по касательной: касательная перпендикулярна радиусу.

Вторая теорема называется Теорема о двух касательных.  В нем говорится, что если две касательные одной и той же окружности проведены из общей точки вне круга, то эти две касательные конгруэнтны.

Теорема о секущей касательной объясняет взаимосвязь между касательной и секущей одной и той же окружности.

Теорема о тангенсе и секансе

С точкой I, общей для тангенса LI и секанса EN , мы можем установить следующее уравнение:

Хотя это может звучать как колдовство инопланетян, эта формула означает, что квадрат длины касательного отрезка равен произведению длины секущей за пределами круга на длину всей секущей.

Резюме урока

Хотя мы, возможно, не разгадали загадку кругов на полях, теперь вы можете идентифицировать части круга, определять и распознавать касательную окружности, демонстрировать, как круги могут касаться других кругов, и Вспомнить и объяснить три теоремы, касающиеся касательных окружностей.

Видео: Касательные окружности

Стенограмма видео

В этом видео мы научимся использовать свойства касательных окружностей, чтобы найти недостающие углы или стороны длины. Это часть более широкой темы с теоремами о кругах, в которых основное внимание уделяется свойствам углов, образованных внутри кругов хорды, касательные и радиусы. На этом уроке мы будем уделяя особое внимание свойствам углов и длин, образованных касательными, нарисованными от внешних точек к окружности. Однако вы должны быть знакомы с общими свойствами угла, такими как сумма углов на прямой линии и сумма углов в треугольнике.

Прежде всего помните, что Касательная к окружности – это прямая, пересекающая окружность в одной точка. Не проходит внутри круга, но вместо этого просто встречается с кругом в точке на его окружности.

Первый ключевой объект, который мы собираемся рассмотреть так: касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке точка касания. Это означает, что если мы нарисуем по радиусу окружности от точки на окружности, где касательная касается окружности, то угол между касательной и радиусом будет прямой угол. Теперь, конечно, также верно, что касательная будет перпендикулярна диаметру окружности в этой точке, так как это просто продолжение радиуса. Но это радиус, к которому мы стремимся использовать при цитировании этого результата. Теперь для доказательства этого требуется некоторые другие теоремы о кругах, в том числе одна, называемая альтернативным сегментом теорема. Итак, мы не будем вдаваться в это здесь. Тем не менее, мы увидим доказательство еще одно ключевое свойство далее в этом видео. Итак, мы все равно получим представление о том, как для доказательства этих теорем.

Теперь рассмотрим несколько примеров используя это первое свойство.

Учитывая, что отрезок 𝐴𝐵 касательная к окружности 𝑀, а угол 𝑀𝐵𝐹 равен 123 градусам, определить величину угла 𝐴𝑀𝐵.

Угол 𝐴𝑀𝐵 — это угол, образованный когда мы путешествуем из 𝐴 в 𝑀 в 𝐵. Итак, это угол, отмеченный оранжевым цветом на фигуре. Угол 𝑀𝐵𝐹 — это угол, образованный при мы путешествуем из 𝑀 в 𝐵 в 𝐹. Итак, это угол, который теперь обозначен в розовый, и его мера составляет 123 градуса. Мы видим, что угол, под которым мы ищущий — угол 𝐴𝑀𝐵 — содержится внутри треугольника. Если мы сможем решить два других углов в этом треугольнике, то мы можем использовать тот факт, что сумма углов в любом треугольнике составляет 180 градусов, чтобы найти угол, который мы ищем.

Сначала рассмотрим угол 𝑀𝐵𝐴. Один из наших самых основных угловых фактов в том, что сумма углов на прямой равна 180 градусам. И этот угол находится на прямой линию с углом, который мы уже отметили как 123 градуса. Итак, мы можем сказать, что угол 𝑀𝐵𝐹 плюс угол 𝑀𝐵𝐴 равен 180 градусам. Как уже говорилось, мы уже знаем мера угла 𝑀𝐵𝐹. Итак, мы можем заменить это ценить. Теперь у нас есть уравнение, которое мы можем решить, чтобы найти меру угла 𝑀𝐵𝐴.

Нам нужно вычесть 123 из каждого стороны этого уравнения. Делая это, мы находим этот угол 𝑀𝐵𝐴 составляет 57 градусов.

Итак, мы нашли один из углов в треугольник 𝑀𝐵𝐴. Можем ли мы найти еще один? А угол 𝑀𝐴𝐵? Ну, это угол, образованный где касательная к окружности — это линия 𝐴𝐵 — пересекает радиус круг 𝐴𝑀. И мы знаем, что касательная к Окружность перпендикулярна радиусу в точке касания. Итак, мы знаем, что угол 𝑀𝐴𝐵 равен 90 градусов. Это прямой угол. Таким образом, мы нашли два углы треугольника 𝐴𝐵𝑀. И используя сумму углов в треугольника, мы можем найти третий.

У нас есть уравнение угла 𝐴𝑀𝐵 плюс 90 градусов плюс 57 градусов равно 180 градусов. 90 плюс 57 будет 147. И вычитая 147 градусов из каждая часть уравнения дает угол 𝐴𝑀𝐵 равный 33 градусам. Итак, используя два факта об основных углах а также ключевой результат, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке касания мы нашли, что угол 𝐴𝑀𝐵 равен 33 градусов.

Теперь рассмотрим второй применение этого важного результата.

Учитывая, что отрезок 𝐴𝐵 касательной к окружности 𝑀 в 𝐴, 𝐴𝑀 равно 8,6 см, а 𝑀𝐵 равно 12,3 сантиметров, найдите длину отрезка 𝐴𝐵 и округлите результат до ближайший десятый.

Начнем с добавления информацию, указанную в вопросе, на схему. 𝐴𝑀 составляет 8,6 сантиметра. Вот такая длина. 𝑀𝐵 составляет 12,3 сантиметра. Вот такая длина. И длина, которую мы ищем найти длину отрезка 𝐴𝐵. Теперь мы замечаем, что у нас есть треугольник, треугольник 𝐴𝑀𝐵, в котором мы знаем длины двух сторон. Ваша первая мысль тогда может быть, что мы могли бы применить теорему Пифагора. Но помните, пифагорейцы теорема верна только в прямоугольных треугольниках. Итак, мы должны рассмотреть, является ли треугольник 𝐴𝑀𝐵 прямоугольный.

Другая ключевая информация задано в вопросе, что отрезок 𝐴𝐵 касается окружности 𝑀 в 𝐴. Ключевое свойство касательных к окружности заключается в том, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке контакт. Итак, отрезок 𝐴𝐵 равен перпендикулярно радиусу 𝐴𝑀. И поэтому мы имеем право угол при 𝐴 в нашем треугольнике 𝐴𝑀𝐵. Мы действительно имеем право треугольник. Итак, мы можем применить Теорема Пифагора для вычисления длины третьей стороны.

Теорема Пифагора говорит нам что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов двух меньших сторон, которые мы можно представить как 𝑎, а 𝑏 равно квадрату наибольшей стороны треугольник, который мы можем представить как 𝑐. Помните, что самая длинная сторона или гипотенуза всегда сторона, прямо противоположная прямому углу. Так что в данном случае это сторона 𝑀𝐵. Подставив 𝐴𝐵 и 8.6 вместо две более короткие стороны треугольника и 12,3 для самой длинной стороны или гипотенузы, мы есть уравнение 𝐴𝐵 в квадрате плюс 8,6 в квадрате равно 12,3 в квадрате. Мы можем оценить 8,6 в квадрате и 12,3 в квадрате, а затем вычесть 73,96 — это 8,6 в квадрате — с каждой стороны, что дает 𝐴𝐵 в квадрате равно 77,33.

Решим это уравнение квадратом укоренение. И мы собираемся взять только положительное значение здесь, поскольку 𝐴𝐵 имеет физический смысл как длина стороны в этом треугольник. Вычисляя этот квадратный корень на калькулятор, находим, что 𝐴𝐵 равно 8,79374. Помните, однако, что мы были попросили округлить результат с точностью до десятых. Итак, поскольку есть девятка в столбик сотых, округляем в большую сторону, давая 𝐴𝐵 равно 8,8 сантиметра.

Итак, в этой задаче, применяя ключевое свойство, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке контакта, мы смогли сделать вывод, что треугольник 𝑀𝐴𝐵 был прямоугольным. И, следовательно, мы можем применить Теорема Пифагора для вычисления длины его третьей стороны. Мы обнаружили, что длина 𝐴𝐵 до ближайшая десятая равна 8,8 сантиметра.

Теперь рассмотрим последний пример. того, как мы можем применить это первое свойство.

Учитывая, что отрезок 𝐴𝐵 касательной к окружности 𝑀, а угол 𝐴𝐵𝑀 равен 49 градусам, определить мера угла 𝐴𝐷𝐵.

Угол 𝐴𝐷𝐵 — это угол, образованный когда мы путешествуем из 𝐴 в 𝐷 в 𝐵. Итак, это угол, отмеченный оранжевым цветом на диаграмме. Угол 𝐴𝐵𝑀 — это угол, образованный когда мы путешествуем из 𝐴 в 𝐵 в 𝑀. Теперь этот угол отмечен розовым цветом. на диаграмме с его мерой 49градусов. Из предоставленной информации мы не могут вычислить угол 𝐴𝐷𝐵 напрямую. Нам нужно будет найти меры некоторых других углов на рисунке сначала. Другая ключевая информация Однако в вопросе указано, что линия 𝐴𝐵 является касательной к окружности 𝑀.

И ключевое свойство касательных окружностей состоит в том, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке контакта.

Точка пересечения касательной круг — это точка 𝐴. А радиус здесь и есть линия сегмент 𝐴𝑀. Итак, мы знаем, что угол 𝐵𝐴𝑀 составляет 90 градусов. Итак, теперь мы знаем еще один ракурс внутри фигуры. Мы до сих пор не умеем считать угол 𝐴𝐷𝐵 прямо. Итак, давайте посмотрим, какие другие ракурсы мы может получиться. У нас есть треугольник. На самом деле это прямоугольный треугольник, треугольник 𝐴𝑀𝐵. И мы знаем два его угла, прямой угол и угол 49градусов. Итак, используя тот факт, что углы в сумма треугольника равна 180 градусов, мы можем вычислить третий угол в этом треугольнике.

У нас есть этот угол 𝐴𝑀𝐵 плюс 90 градусов плюс 49 градусов равно 180 градусов. 90 плюс 49 равно 139.

И вычитая это из 180, мы найдите этот угол 𝐴𝑀𝐵 равен 41 градусу. Итак, теперь мы знаем другой угол в наша схема. Нам все еще не хватает информация для расчета угла 𝐴𝐷𝐵. Но теперь мы можем вычислить другой угол, угол 𝐴𝑀𝐷. Мы знаем, что углы на любом сумма прямых до 180 градусов. Итак, угол 𝐴𝑀𝐷 плюс угол мы только что вычислили, что 41 градус должен равняться 180 градусам. Следовательно, угол 𝐴𝑀𝐷 равен до 180 градусов минус 41 градус. это 139градусов.

Итак, мы нашли почти все углы на рисунке, но все же не тот, который мы искали. Завершающим этапом является рассмотрение треугольник 𝐴𝑀𝐷, в котором нам известен один угол в 139 градусов. Мы должны заметить, что оба 𝑀𝐷 и 𝑀𝐴 — радиусы окружности 𝑀. И поэтому они одинаковы длина. Это означает, что треугольник 𝑀𝐷𝐴 является равнобедренный треугольник. И это также означает, что угол 𝑀𝐷𝐴 будет равен углу 𝑀𝐴𝐷. Таким образом, мы можем найти меру каждого угла путем вычитания третьего угла, 139градусов, от общей суммы углов в треугольнике, 180 градусов, а затем половину остатка. Это дает каждому из этих углов быть 20,5 градусов. Теперь угол 𝑀𝐷𝐴 на самом деле является тот же угол, что и угол 𝐴𝐷𝐵. Они оба относятся к этому углу здесь. И так, мы завершили проблема.

Используя некоторые из основных факты об углах в треугольниках и углах в прямых и затем ключ свойство, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке контакта, мы нашли, что угол 𝐴𝐷𝐵 равен 20,5 градусов.

Итак, мы увидели три применения первого ключевого свойства касательных окружностей. Давайте теперь представим второй свойство. Это: касательные, проведенные к окружности из одной и той же внешней точки равны по длине.

На нашей диаграмме две касательные проведены из внешней точки 𝐴. Итак, длина линии 𝐴𝐵 будет равно 𝐴𝐶. Теперь мы можем доказать это свойство используя конгруэнтные треугольники и первое свойство. Добавим пару строк в наш диаграммы, во-первых, радиусы 𝑀𝐵 и 𝑀𝐶 и, во-вторых, линия, соединяющая наши внешняя точка 𝐴 в центр окружности 𝑀. Теперь мы собираемся рассмотреть два треугольника 𝐴𝐵𝑀 и 𝐴𝐶𝑀.

Мы знаем из первого свойства что обе касательные будут перпендикулярны радиусу в точке касания. Итак, мы знаем этот угол 𝐴𝐵𝑀 и каждый угол 𝐴𝐶𝑀 равен 90 градусов. Но, в частности, они равны друг друга. Мы также знаем, что отрезки 𝐵𝑀 и 𝐶𝑀 — радиусы круга. А значит, они будут равны длина. А линия 𝐴𝑀 — общая сторона в этих двух треугольниках. На самом деле это гипотенуза два треугольника. Мы показали тогда, что эти два треугольники имеют прямой угол, общую гипотенузу и одну две более короткие стороны треугольника также равны по длине. Следовательно, два треугольника равны конгруэнтны по RHS. Это прямой угол-гипотенуза-сторона условие конгруэнтности. Если два треугольника равны, тогда длины их третьих сторон — это 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 — должны быть одинаковыми. Итак, мы показали, что 𝐴𝐵 действительно равно 𝐴𝐶 и, таким образом, доказано это свойство.

Давайте посмотрим на одно приложение этого.

Найдите значение 𝑥.

На схеме видно, что мы есть окружность, а затем две прямые 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶, каждая из которых касается круг. Две касательные проведены из той же внешней точки, точки 𝐴. Одним из ключевых свойств касательных окружностей состоит в том, что касательные, проведенные из одной и той же внешней точки, равны в длина. Итак, мы знаем, что отрезок 𝐴𝐵 по длине равен отрезку 𝐴𝐶. Нам дана длина 𝐴𝐵. Это 21 сантиметр. И нам дали выражение на длину 𝐴𝐶. Два 𝑥 плюс пять сантиметры. Итак, приравняв их, мы можем составить уравнение, два 𝑥 плюс пять равно 21.

Теперь мы можем решить это уравнение, чтобы определить значение 𝑥. Сначала вычитаем пять из каждого сторону, что дает два 𝑥 равно 16, а затем разделить на два, что дает 𝑥 равно восьми. Затем, используя ключевое свойство, касательные, проведенные из одной и той же внешней точки, равны по длине, мы нашли значение 𝑥. 𝑥 равно восьми.

Этот пример включает решение простое линейное уравнение. Но более сложные примеры этот тип может включать настройку и решение одновременных уравнений. Алгебра может быть сложнее, но задействованные принципы будут теми же самыми.