Исследование графика квадратичной функции с модулем
Математика-
царица
Всех наук
«Быть сильным хорошо,
быть умным лучше вдвое»
«Учиться можно только весело.
Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом».
Анатоль Франс
Цели урока:
- Образовательные:
Повторение построения графика квадратичной функции
изучение новой темы.
- Развивающие: развитие исследовательских умений и навыков самостоятельной работы, умение анализировать и на основе экспериментальных данных делать выводы .
- Воспитательные: воспитывать последовательность, ответственность, самостоятельность, настойчивость, дисциплинированность.
Найти нули функции:
Давайте узнаем следующие графики функций :
“ В меня поэты влюблены, Буквально все восхищены.
Гипербола
Угадайте следующий график.
“ А я бесхитростна, проста – Такой характер у меня. Смеются надо мной друзья: Мол, нет извилин у меня. Но я с дороги не сверну, Ведь жить иначе не могу”.
Прямая
Найти область определения функции
Алгебраическое определение корня
График любой квадратичной
функции – парабола.
Квадратичная функция
Квадратичной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида
y = a x 2 + b x + c , где a , b и с — некоторые числа, причём а ≠ 0.
Падение баскетбольного мяча
Вращающийся сосуд с жидкостью
Параболический фонтан
Библиотека с крышей в форме параболы в Норвегии
Укажите алгоритм построения графиков функций:
!
Тема урока:
«Построение графика квадратичной функции, содержащий модуль»
Построение графика функции
y=(x-4) 2 -8.
16
I этап.
Построение
параболы
y=x 2
y=x 2 .
y=(x-4) 2
y=(x-4) 2_ 8
y
.
.
.
.
II этап.
Сдвиг вдоль
оси абсцисс
на 4 единицы
вправо.
.
.
.
.
.
1
x
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
1
.
4
III этап.
Сдвиг вдоль
оси ординат
на 8 единиц
вниз.
.
.
.
.
.
.
-8
16
17
y = x 2 – 4x – 2
y
1.Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
2.Координаты вершины:
m = -b/2a = -(-4)/2 = 2;
n = y(2) = 2 2 — 4∙2 – 2 = -6
3.
4
3
2
1
0
x
-2
1
3
4
4
6
5
5
6
2
-1
-3
-1
-2
-3
х
у
0
-2
1
-5
3
-5
4
-2
-4
-5
-6
Древняя китайская мудрость Скажи мне — и я забуду, Покажи мне — и я запомню, Вовлеки меня – и я пойму
Практическая работа.
2-6*abs(x)
Построение графика функции
1. Построить график функции
2 .Часть графика, где т.е в верхней полуплоскости, оставить без изменения .
3 .Часть графика, которая
расположена в нижней
полуплоскости, отобразить
симметрично относительно оси абсцисс.
Построение графика функции
1 .Построить график функции
2. Часть графика при ,
т.е в правой полуплоскости, оставить без изменения и отобразить симметрично относительно ОУ
Чем отличаются графики функций
Определите , при каких значениях параметра с прямая у=с имеет с графиком функции у=Ix 2 -2x-3Iтри общие точки.
у=Ix 2 -2x-3I
у=с
Функция и живопись,
что между ними общего?
The Code of Da Vinchi
Домашнее задание:
в тетрадях записать полученные на уроке выводы.
Ну кто придумал эту математику !
У меня всё получилось!!!
Надо решить ещё пару примеров.
Спасибо за работу!
Постройте график функции y x2 4x 3. Квадратичная и кубическая функции. Основные свойства квадратичной функции
Словари. Энциклопедии. История. Литература. Русский язык » Русский язык » Постройте график функции y x2 4x 3. Квадратичная и кубическая функции. Основные свойства квадратичной функции
Разберем как строить график с модулем.
Найдем точки при переходе которых знак модулей меняется.
Каждое выражения, которое под модулем приравниваем к 0. У нас их два x-3 и x+3.
x-3=0 и x+3=0
x=3 и x=-3
У нас числовая прямая разделится на три интервала (-∞;-3)U(-3;3)U(3;+∞). На каждом интервале нужно определить знак под модульных выражений.
1. Это сделать очень просто, рассмотрим первый интервал (-∞;-3).
Возьмем с этого отрезка любое значение, например, -4 и подставим в каждое под модульное уравнение вместо значения х.
х=-4
x-3=-4-3=-7 и x+3=-4+3=-1
У обоих выражений знаки отрицательный, значит перед знаком модуля в уравнении ставим минус, а вместо знака модуля ставим скобки и получим искомое уравнение на интервале (-∞;-3).
y=— (x-3)-(— (x+3))=-х+3+х+3=6
На интервале (-∞;-3) получился график линейной функции (прямой) у=6
2. Рассмотрим второй интервал (-3;3). Найдем как будет выглядеть уравнение графика на этом отрезке. Возьмем любое число от -3 до 3, например, 0. Подставим вместо значения х значение 0.
х=0
x-3=0-3=-3 и x+3=0+3=3
У первого выражения x-3 знак отрицательный получился, а у второго выражения x+3 положительный. Следовательно, перед выражением x-3 запишем знак минус, а перед вторым выражением знак плюс.
y=— (x-3)-(+ (x+3))=-х+3-х-3=-2x
На интервале (-3;3) получился график линейной функции (прямой) у=-2х
3.
Рассмотрим третий интервал (3;+∞). Возьмем с этого отрезка любое значение, например 5, и подставим в каждое под модульное уравнение вместо значения х.
х=5
x-3=5-3=2 и x+3=5+3=8
У обоих выражений знаки получились положительными, значит перед знаком модуля в уравнении ставим плюс, а вместо знака модуля ставим скобки и получим искомое уравнение на интервале (3;+∞).
y=+ (x-3)-(+ (x+3))=х-3-х-3=-6
На интервале (3;+∞) получился график линейной функции (прямой) у=-6
4. Теперь подведем итог.Постоим график y=|x-3|-|x+3|.
На интервале (-∞;-3) строим график линейной функции (прямой) у=6.
На интервале (-3;3) строим график линейной функции (прямой) у=-2х.
Чтобы построить график у=-2х подберем несколько точек.
x=-3 y=-2*(-3)=6 получилась точка (-3;6)
x=0 y=-2*0=0 получилась точка (0;0)
x=3 y=-2*(3)=-6 получилась точка (3;-6)
На интервале (3;+∞) строим график линейной функции (прямой) у=-6.
5.
Теперь проанализируем результат и ответим на вопрос задания найдем значение k, при которых прямая y=kx имеет с графиком y=|x-3|-|x+3| данной функции ровно одну общую точку.
Прямая y=kx при любом значении k всегда будет проходить через точку (0;0). Поэтому мы можем изменить только наклон данной прямой y=kx, а за наклон у нас отвечает коэффициент k.
Если k будет любое положительное число, то будет одно пересечение прямой y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3|. Этот вариант нам подходит.
Если k будет принимать значение (-2;0), то пересечений прямой y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| будет три.Этот вариант нам не подходит.
Если k=-2, решений будет множество [-2;2], потому что прямая y=kx будет совпадать с графиком y=|x-3|-|x+3| на данном участке. Этот вариант нам не подходит.
Если k будет меньше -2, то прямая y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| будет иметь одно пересечение.Этот вариант нам подходит.
Если k=0, то пересечений прямой y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| также будет одно.
Ответ: при k принадлежащей интервалу (-∞;-2)U; график f(х) = х + 2 – это прямая, параллельная прямой f(х) = х, но сдвинутая на две единицы вверх и поэтому проходящая через точку с координатами (0,2) (потому что постоянная равна 2).
Построение графика сложной функции
Найдите нули функции. Нули функции – это значения переменной «х», при которых у = 0, то есть это точки пересечения графика с осью Х. Имейте в виду, что нули имеют не все функции, но это первый шаг процесса построения графика любой функции. Чтобы найти нули функции, приравняйте ее к нулю. Например:
Найдите и отметьте горизонтальные асимптоты. Асимптота – это прямая, к которой график функции приближается, но никогда не пересекает ее (то есть в этой области функция не определена, например, при делении на 0). Асимптоту отметьте пунктирной линией. Если переменная «х» находится в знаменателе дроби (например, y = 1 4 − x 2 {\displaystyle y={\frac {1}{4-x^{2}}}}
), приравняйте знаменатель к нулю и найдите «х».
В полученных значения переменной «х» функция не определена (в нашем примере проведите пунктирные линии через х = 2 и х = -2), потому что на 0 делить нельзя. Но асимптоты существуют не только в случаях, когда функция содержит дробное выражение. Поэтому рекомендуется пользоваться здравым смыслом:
«Натуральный логарифм» — 0,1. Натуральные логарифмы. 4. «Логарифмический дартс». 0,04. 7. 121.
«Степенная функция 9 класс» — У. Кубическая парабола. У = х3. 9 класс учитель Ладошкина И.А. У = х2. Гипербола. 0. У = хn, у = х-n где n – заданное натуральное число. Х. Показатель – четное натуральное число (2n).
«Квадратичная функция» — 1 Определение квадратичной функции 2 Свойства функции 3 Графики функции 4 Квадратичные неравенства 5 Вывод. Свойства: Неравенства: Подготовил ученик 8А класса Герлиц Андрей. План: График: -Промежутки монотонности при а > 0 при а
«Квадратичная функция и её график» — Решение.у=4x А(0,5:1) 1=1 А-принадлежит. При а=1 формула у=аx принимает вид.
«8 класс квадратичная функция» — 1) Построить вершину параболы. Построение графика квадратичной функции. x. -7. Построить график функции. Алгебра 8 класс Учитель 496 школы Бовина Т. В. -1. План построения. 2) Построить ось симметрии x=-1. y.
Как построить параболу? Существует несколько способов построения графика квадратичной функции. Каждый из них имеет свои плюсы и минусы. Рассмотрим два способа.
Начнём с построения графика квадратичной функции вида y=x²+bx+c и y= -x²+bx+c.
Пример.
Построить график функции y=x²+2x-3.
Решение:
y=x²+2x-3 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы
От вершины (-1;-4) строим график параболы y=x²(как от начала координат. Вместо (0;0) — вершина (-1;-4). От (-1;-4) идём вправо на 1 единицу и вверх на 1 единицу, затем влево на 1 и вверх на 1; далее: 2 — вправо, 4 — вверх, 2- влево, 4 — вверх; 3 — вправо, 9 — вверх, 3 — влево, 9 — вверх.
Если этих 7 точек недостаточно, далее — 4 вправо, 16 — вверх и т. д.).
График квадратичной функции y= -x²+bx+c — парабола, ветви которой направлены вниз. Для построения графика ищем координаты вершины и от неё строим параболу y= -x².
Пример.
Построить график функции y= -x²+2x+8.
Решение:
y= -x²+2x+8 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз. Координаты вершины параболы
От вершины строим параболу y= -x² (1 — вправо, 1- вниз; 1 — влево, 1 — вниз; 2 — вправо, 4 — вниз; 2 — влево, 4 — вниз и т. д.):
Этот способ позволяет построить параболу быстро и не вызывает затруднений, если вы умеете строить графики функций y=x² и y= -x². Недостаток: если координаты вершины — дробные числа, строить график не очень удобно. Если требуется знать точные значения точек пересечения графика с осью Ох, придется дополнительно решить уравнение x²+bx+c=0 (или —x²+bx+c=0), даже если эти точки непосредственно можно определить по рисунку.
Другой способ построения параболы — по точкам, то есть можно найти несколько точек графика и через них провести параболу (с учетом того, что прямая x=хₒ является её осью симметрии). Обычно для этого берут вершину параболы, точки пересечения графика с осями координат и 1-2 дополнительные точки.
Построить график функции y=x²+5x+4.
Решение:
y=x²+5x+4 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы
то есть вершина параболы — точка (-2,5; -2,25).
Ищем . В точке пересечения с осью Ох y=0: x²+5x+4=0. Корни квадратного уравнения х1=-1, х2=-4, то есть получили две точки графике (-1; 0) и (-4; 0).
В точке пересечения графика с осью Оy х=0: y=0²+5∙0+4=4. Получили точку (0; 4).
Для уточнения графика можно найти дополнительную точку. Возьмем х=1, тогда y=1²+5∙1+4=10, то есть еще одна точка графика — (1; 10). Отмечаем эти точки на координатной плоскости. С учетом симметрии параболы относительно прямой, проходящей через её вершину, отметим еще две точки: (-5; 6) и (-6; 10) и проведем через них параболу:
Построить график функции y= -x²-3x.
Решение:
y= -x²-3x — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз. Координаты вершины параболы
Вершина (-1,5; 2,25) — первая точка параболы.
В точках пересечения графика с осью абсцисс y=0, то есть решаем уравнение -x²-3x=0. Его корни — х=0 и х=-3, то есть (0;0) и (-3; 0) — еще две точки графика. Точка (о; 0) является также точкой пересечения параболы с осью ординат.
При х=1 y=-1²-3∙1=-4, то есть (1; -4) — дополнительная точка для построения графика.
Построение параболы по точкам — более трудоёмкий, по сравнению с первым, способ. Если парабола не пересекает ось Oх, дополнительных точек потребуется больше.
Прежде чем продолжить построение графиков квадратичных функций вида y=ax²+bx+c, рассмотрим построение графиков функций с помощью геометрических преобразований. Графики функций вида y=x²+c также удобнее всего строить, используя одно из таких преобразований — параллельный перенос.
Рубрика: |
Функция y=x^2 называется квадратичной функцией.
Графиком квадратичной функции является парабола. Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.
Квадратичная функция
Рис 1. Общий вид параболы
Как видно из графика, он симметричен относительно оси Оу. Ось Оу называется осью симметрии параболы. Это значит, что если провести на графике прямую параллельную оси Ох выше это оси. То она пересечет параболу в двух точках. Расстояние от этих точек до оси Оу будет одинаковым.
Ось симметрии разделяет график параболы как бы на две части. Эти части называются ветвями параболы. А точка параболы которая лежит на оси симметрии называется вершиной параболы. То есть ось симметрии проходит через вершину параболы. Координаты этой точки (0;0).
Основные свойства квадратичной функции
1. При х =0, у=0, и у>0 при х0
2. Минимальное значение квадратичная функция достигает в своей вершине. Ymin при x=0; Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.
3. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке }
2+bx+c[/латекс] Квадратичные функции образуют параболы при построении графика в координатной плоскости, поэтому при построении квадратичного графика можно довольно быстро убедиться, что у вас правильная форма.
Как и в случае с линиями на плоскости, создание таблицы входных и выходных значений, а затем нанесение точек покажет форму. Но в отличие от прямых линий между точками, парабола представляет собой гладкую кривую. Позже в этом модуле вы познакомитесь с некоторыми другими хорошими методами быстрого и точного построения графика квадратного уравнения. 9{2}[/латекс].
Начните с таблицы значений. Затем подумайте о каждой строке таблицы как об упорядоченной паре.
| х | ф ( х ) |
|---|---|
| [латекс]−2[/латекс] | [латекс]4[/латекс] |
| [латекс]−1[/латекс] | [латекс]1[/латекс] |
| [латекс]0[/латекс] | [латекс]0[/латекс] |
| [латекс]1[/латекс] | [латекс]1[/латекс] |
| [латекс]2[/латекс] | [латекс]4[/латекс] |
Постройте точки [латекс](-2,4), (-1,1), (0,0), (1,1), (2,4)[/латекс]
Поскольку точки , а не на линии, вы не можете использовать линейку.
Соедините точки как можно лучше, используя плавную кривую (не ряд прямых линий). Возможно, вы захотите найти и нанести на карту дополнительные точки (например, выделенные здесь синим цветом). Размещение стрелок на концах линий означает, что они продолжаются в этом направлении всегда. 9{2}+bx+c[/latex] где [latex] a\ne 0[/latex]. На базовом графике выше [латекс]а=1[/латекс], [латекс]b=0[/латекс] и [латекс]с=0[/латекс].
В следующем видео показан пример построения квадратичной функции с использованием таблицы значений.
Изменение на изменяет ширину параболы и то, открывается ли она вверх ([latex]a>0[/latex]) или вниз ([latex]a<0[/latex]). Если а положительно, вершина является самой низкой точкой, если а отрицательно, вершина является самой высокой точкой.
В следующем примере показано, как изменение значения a повлияет на график функции. 9{2}}-3[/latex]
1)
2)
Показать решение
Изменение [латекс]b[/латекс] перемещает линию отражения, которая представляет собой вертикальную линию, проходящую через вершину (верхнюю или нижнюю точку) параболы. Знание того, как вычислить вершину параболы, может помочь понять, как изменение значения [latex]b[/latex] в функции изменит ее график.
Чтобы найти вершину параболы, используйте формулу [латекс] \displaystyle \left( \frac{-b}{2a},f\left( \frac{-b}{2a} \right) \right) [/латекс]. 92-3\влево(\dfrac{3}{4}\вправо)+4=2\влево(\dfrac{9}{16}\вправо)-\dfrac{9}{4}+4=\dfrac{ 18}{16}-\dfrac{9}{4}+4=\dfrac{9}{8}-\dfrac{9}{4}+4=\dfrac{9}{8}-\dfrac{18 {8}+\dfrac{32}{8}=\dfrac{23}{8}[/latex].
Вершина находится в точке [latex]\left(\dfrac{3}{4},\dfrac{23}{8}\right)[/latex]. Это означает, что через эту точку проходит и вертикальная линия отражения.
Нелегко сказать, как изменение значений для [latex]b[/latex] изменит график квадратичной функции, но если вы найдете вершину, вы можете сказать, как изменится график. 9{2}}+bx+c[/latex], где a , b и c — действительные числа,
- Парабола открывается вверх, если [latex]a > 0[/latex] и вниз если [латекс]а < 0[/латекс].
- a изменяет ширину параболы. Парабола становится уже, если [латекс]|а|> 1[/латекс], и шире, если [латекс]|а|<1[/латекс].
- Вершина зависит от значений a, b и c. Вершина [латекс]\влево(\dfrac{-b}{2a},f\влево(\dfrac{-b}{2a}\вправо)\вправо)[/латекс].
В последнем примере мы показали, как вы можете использовать свойства параболы, чтобы помочь вам построить график, не вычисляя исчерпывающую таблицу значений.
В следующем видео показан еще один пример построения квадратичной функции с использованием вершины.
Создание графика функции — это один из способов понять взаимосвязь между входными и выходными данными этой функции.
Создать график можно, выбрав значения для 9{2}+bx+c[/latex], где a , b и c — действительные числа, а [latex]a\ne0[/latex]. Значение a определяет ширину и направление параболы, а вершина зависит от значений a , b и c . Вершина [латекс] \displaystyle \left( \dfrac{-b}{2a},f\left( \dfrac{-b}{2a} \right) \right)[/latex].
Модуль Stata для точечной диаграммы с линейной и/или квадратичной аппроксимацией, автоматически аннотируемой
Автор
Перечислено:
- Николас Дж. Кокс
(Университет Дарема)
Зарегистрировано:
- Николас Кокс
Язык программирования
Stata
Abstract
aaplot представляет собой точечную диаграмму для yvar и xvar с наложением линейной и/или квадратичной аппроксимации. Уравнение(я) и статистика R-квадрата показанных подгонок также показаны в верхней части графика.
Если показан только один фит, используется подзаголовок. Размер выборки и среднеквадратичная ошибка (среднеквадратические ошибки) показаны в примечании.
Предлагаемая ссылка
Обработчик: RePEc:boc:bocode:s457286
Примечание. Этот модуль следует установить из Stata, набрав «ssc install aaplot». Модуль доступен на условиях GPL v3 (https://www.gnu.org/licenses/gpl-3.0.txt). Пользователям Windows не следует пытаться загружать эти файлы с помощью веб-браузера.
как
HTMLHTML с абстракциейпростой текстпростой текст с абстракциейBibTeXRIS (EndNote, RefMan, ProCite)ReDIFJSON
Скачать полный текст от издателя
URL-адрес файла: http://fmwww.
bc.edu/repec/bocode/a/aaplot.ado Функция файла: код программы
Ограничение на загрузку: нет
URL-адрес файла: http:// fmwww.bc.edu/repec/bocode/a/aaplot.sthlp
Функция файла: файл справки
Ограничение на загрузку: нет
—>
Подробнее об этом изделии
Ключевые слова
регрессия; график рассеяния; квадратичная подгонка; Стата;Все эти ключевые слова.
Статистика
Доступ и статистика загрузкиИсправления
Все материалы на этом сайте предоставлены соответствующими издателями и авторами. Вы можете помочь исправить ошибки и упущения. При запросе исправления укажите дескриптор этого элемента: RePEc:boc:bocode:s457286 . См. общую информацию о том, как исправить материал в RePEc.
По техническим вопросам, касающимся этого элемента, или для исправления его авторов, названия, реферата, библиографической информации или информации для загрузки, обращайтесь: .