Квадратное уравнение с дискриминантом: Квадратные уравнения — урок. Алгебра, 8 класс.

Содержание

Дискриминант квадратного уравнения

Квадратное уравнение это уравнение которое выглядит как ax² + dx + c = 0. В нем значение а,в и с любые числа, при этом а не равно нулю.

Все квадратные уравнения разделяются на несколько видов, а именно:

-Уравнения в которых только один корень.
-Уравнения с двумя разными корнями.
-Уравнения в которых корней нет совсем.

Это и различает линейные уравнения в которых корень всегда единый, от квадратных. Для того что бы понять какое количество корней в выражении и нужен Дискриминант квадратного уравнения.

Допустим наше уравнение ax² + dx + c =0. Значит дискриминант квадратного уравнения —

D = b² — 4 ac

И это нужно запомнить навсегда. С помощью этого уравнения мы и определяем количество корней в квадратном уравнении. И делаем мы это следующим образом:

— Когда D меньше нуля, в уравнении нет корней.

— Когда D равно нулю, имеется только один корень.
— Когда D больше нуля, соответственно, в уравнении два корня.
Запомните что дискриминант показывает сколько корней в уравнении, не меняя знаков.

Рассмотрим для наглядности:

Нужно выяснить какое количество корней в данном квадратном уравнении.

1) х² — 8х + 12 = 0
2 )5х²+ 3х + 7 = 0
3) х²-6х + 9 = 0

Вписываем значения в первое уравнение, находим дискриминант.
а = 1, b = -8, c = 12
D = (-8)² — 4 * 1 * 12 = 64 — 48 = 16
Дискриминант со знаком плюс, значит в данном равенстве два корня.

Делаем тоже самое со вторым уравнением
a = 1, b = 3, c = 7
D = 3² — 4 * 5 * 7 = 9 — 140 = — 131
Значение минусовое, значит корней в данном равенстве нет.

Следующее уравнение разложим по аналогии.
а = 1, b = -6, с = 9

D = (-6)²— 4 * 1 * 9 = 36 — 36 = 0

как следствие имеем один корень в уравнении.

Важно что в каждом уравнении мы выписывали коэффициенты. Конечно это не много длительный процесс, но это помогло нам не запутаться и предотвратило появление ошибок. Если очень часто решать подобные уравнения, то вычисления сможете производить мысленно и заранее знать сколько у уравнения корней.

Рассмотрим еще один пример:

1) х² — 2х — 3 = 0
2) 15 — 2х — х² = 0
3) х² + 12х + 36 = 0

Раскладываем первое
а = 1, b = -2, с = -3
D =(-2) ²— 4 * 1 * (-3) = 16, что больше нуля, значит два корня, выведем их
х₁ = 2+?16/2 * 1 = 3, х₂ = 2-?16/2 * 1 = -1.

Раскладываем второе
а = -1, b = -2, с = 15
D = (-2)² — 4 * 4 * (-1) * 15 = 64, что больше нуля и так же имеет два корня. Выведем их:
х₁ = 2+?64/2 * (-1) = -5, х₂ = 2-?64/2 *(-1) = 3.

Раскладываем третье
а = 1, b = 12, с = 36
D = 12 ² — 4 * 1 * 36 =0, что равно нулю и имеет один корень
х = -12 + ?0/2 * 1 = -6.
Решать данные уравнения не сложно.

Если нам дано неполное квадратное уравнение. Такое как

1х² + 9х = 0
2х² — 16 = 0

Данные уравнения отличаются от тех что были выше, так как оно не полное, в нем нет третьего значения. Но не смотря на это оно проще чем полное квадратное уравнение и в нем дискриминант искать не нужно.

_{Что делать когда срочно нужна дипломная работа или реферат, а времени на его написание нет? Всё это и многое другое можно заказать на сайте Deeplom.by (http://deeplom.by/) и получить высший балл.}

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Квадратное уравнение. Краткий конспект с примерами

Данное уравнение имеет вид , где – числа, при этом .

Начнём с частных случаев. Если коэффициенты «бэ» и «цэ» равны нулю, то уравнение можно сократить на «а» и записать его виде . Это уравнение имеет два совпавших или, как говорят математики, кратных корня: .

Если нулю равен коэффициент «бэ», то квадратное уравнение принимает вид и тут две ветки. Если оба коэффициента положительны или оба отрицательны, то уравнение имеет два комплексных корня, типичный пример уже был выше: . Если же коэффициенты
разных знаков, то дело сводится к уравнению , которое имеет два корня: и . Так, уравнение имеет корни , в чём легко убедиться прямой подстановкой.

И, наконец, сладкий случай, когда : – выносим «икс» за скобки: и корни выкатываются на блюдечко с голубой каёмочкой: , даже пример приводить неловко 🙂

Теперь общий случай , где все коэффициенты отличны от нуля.
И сразу то самое уравнение: .

Чтобы решить такое уравнение, нужно вычислить дискриминант – по формуле:

На втором шаге извлекаем квадратный корень из дискриминанта:

Если корень получился «плохим», например, то без паники. Перепроверьте дискриминант. Если квадратное уравнение появилось в ходе решения задачи, то, возможно, вы допустили ошибку где-то ранее. Но бывает и так, что в условии опечатка либо… так и было задумано!
Потому что в любом случае квадратное уравнение разрешимо и имеет ровно два корня:

1) Если , то уравнение имеет два сопряжённых комплексных корня. Это выходит за рамки школьной программы, но для страждущих я ещё раз поставил ссылку 🙂

2) Если , то уравнение имеет два совпавших (кратных) действительных корня, которые определяются по формуле .

3) И, наконец, . Здесь уравнение имеет два действительных корня:
, – обычно их располагают в порядке возрастания.

В нашем примере:
и

Не забываем о проверке! Самостоятельно подставьте найденные значения в уравнение и убедитесь, что получаются верные равенства.

Следует отметить, что рассмотренный алгоритм формально применИм и для любого частного случая, которые мы разобрали в начале параграфа. А в его заключение – ОЧЕНЬ важная и обещанная вещь:

В практических задачах часто требуется разложить квадратный трёхчлен на множители. Для этого нужно решить уравнение и воспользоваться формулой:

, где – корни данного уравнения.

Так, уравнение имеет корни , и по формуле:

– самостоятельно перемножьте суммы и убедитесь, что получается исходный трёхчлен. Это, кстати, легко сделать устно.

2.4. Неравенства

2.2. Преобразование уравнений

| Оглавление |

Дискриминант квадратного уравнения — Концепция

Дискриминант является частью квадратной формулы, лежащей под квадратным корнем. Дискриминант квадратного уравнения

важен, потому что он сообщает нам количество и тип решений. Эта информация полезна, потому что она служит двойной проверкой при решении квадратных уравнений любым из четырех методов (разложение на множители, завершение квадрата, использование квадратных корней и использование квадратной формулы).
дискриминант тип решения количество решений тип корней количество корней
Дискриминант квадратного уравнения является частью квадратной формулы. На самом деле это та часть, которая находится под квадратным корнем. Итак, дискриминация, которую вы услышите, равна b в квадрате минус 4ac, что, надеюсь, вам знакомо, потому что вы знаете формулу квадрата. И на самом деле дискриминант говорит нам, какой тип решения и сколько решений будут иметь наши квадратные уравнения. Это не говорит нам, что они собой представляют. Он просто сообщает нам тип и номер.
ХОРОШО?
Как это работает, в основном есть четыре сценария. Я предпочитаю не запоминать их, но я собираюсь пройтись по каждому из них, а затем вы можете использовать логику или запомнить их, чтобы понять их.
Хорошо. Итак, каким же может быть дискриминант? Есть разные варианты. Во-первых, это будет больше нуля и идеальный квадрат. Итак, под этим я подразумеваю 16, 25, любое число больше нуля и идеальный квадрат.
Итак, дискриминант — это то, что находится под квадратным корнем, поэтому, если это идеальный квадрат, вы сможете извлечь из него квадратный корень, а наш квадратный корень исчез из нашей квадратичной формулы. Это говорит нам о том, что у нас есть два рациональных решения. Идеальный квадрат. Вы можете извлечь квадратный корень. Квадратный корень уходит.
Хорошо, дискриминант больше нуля и не является полным квадратом. Итак, это будет, скажем, 10, 20, что-то в этом роде, где мы не можем извлечь квадратный корень. Это говорит нам о том, что мы помещаем его под знак квадратного корня. Наш квадратный корень никуда не исчезнет.
У нас все еще есть квадратный корень из числа, из которого мы можем извлечь квадратный корень, так что в итоге мы получим два иррациональных числа. Итак, у нас есть квадратный корень, и у нас есть плюс квадратный корень, минус квадратный корень. Итак, у нас есть два иррациональных решения.
Дискриманант равен нулю. Хорошо, что это делает с точки зрения нашей квадратичной формулы, так это заставляет весь квадратный корень исчезнуть. Итак, у вас есть плюс-минус квадратный корень из нуля, исчезает, и мы просто остаемся с отрицательным значением b больше 2а.
Итак, в данном случае у нас есть одно рациональное решение, одно дробное решение. И последний сценарий для нашего дискриминанта — он меньше нуля. Хорошо, это означает отрицательное число. Дискриминант отрицателен, что означает, что то, что входит в квадратный корень, отрицательно, что означает, что у нас есть два воображаемых решения.
Квадратный корень из отрицательного числа является мнимым. И поэтому у нас не будет никаких реальных решений; мы просто собираемся иметь воображаемые решения. ХОРОШО.
Итак, дискриминант — это то, что стоит под квадратным корнем в квадратной формуле и говорит нам о количестве и типе решений этого квадратного уравнения.
Вы можете запомнить эти четыре разные вещи. В общем, я просто предпочитаю использовать логику, хорошо? Знайте, что такое дискриминант, знайте, что он находится под квадратным корнем, и тогда вы знаете, как ведет себя квадратный корень, достаточно, чтобы иметь возможность вывести их в любое время, когда вам нужно.
Дискриминантный — объяснение, формула и взаимосвязь между корнями и дискриминантом
Математика
Дискриминант
: 4.27k
В случае квадратных уравнений дискриминант обычно используется для определения характера корней. Хотя определить дискриминант для любого многочлена сложно, мы можем использовать формулы для получения дискриминанта квадратных и кубических уравнений.
В арифметике дискриминант многочлена является функцией коэффициентов многочлена. Это полезно для выяснения того, какие решения имеет полиномиальное уравнение, без необходимости их нахождения. Название «дискриминант» происходит от того факта, что он различает решения уравнения (как равные и неравные, действительные и недействительные).
Обычно обозначается Δ или D. Значением дискриминанта может быть любое действительное число (т. е. положительное, отрицательное или 0).
Квадратичный означает переменную, которая умножается сама на себя. Операция по существу включает возведение в квадрат. Общее квадратное уравнение –
ax2 + bx + c = 0
С помощью этой формулы можно найти корни квадратного уравнения. Этот корень относится к значению, представленному «x».
Формула и связь между корнями и дискриминантом
Дискриминант любого полинома (Δ или D) определяется через его коэффициенты. Дискриминантные формулы для кубического уравнения и квадратного уравнения:
Дискриминантная формула квадратного уравнения:
ax2 bx + c = 0 равно
Δ или D = b2 − 4ac
Дискриминантная формула кубического уравнения:
ax + bx³ + cx² + d = 0 is
Δ или D = b2c2 − 4ac3 − 4b3d −27a2d2 + 18abcd
Связь между корнями и дискриминантом
Значения x, которые удовлетворяют уравнению, известны как корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0.
Чтобы найти их, используйте квадратную формулу:
X = \[\frac{-b\ pm \sqrt{D}}{2a}\]
Хотя мы не можем обнаружить корни, используя только дискриминант, мы можем определить природу корней следующим образом.
Если дискриминант положительный:
Квадратное уравнение имеет два действительных корня, если
D > 0.
Это потому, что корни D > 0 представлены x =
\[\frac{-b\pm \sqrt{\textrm {Положительное число}}}{2a}\]
И действительное число всегда является квадратным корнем положительного числа.
Когда дискриминант квадратного уравнения больше 0, оно имеет два отдельных корня с действительными числами.
Если дискриминант отрицательный:
Квадратное уравнение имеет два разных комплексных корня, если
D < 0.
Это потому, что корни D < 0 даются x =
\[\frac{-b\pm \sqrt{\textrm{ Отрицательное число}}}{2a}\]
, поэтому, когда вы извлекаете квадратный корень из отрицательного числа, вы всегда получаете мнимое число.
Если дискриминант равен нулю:
Квадратное уравнение имеет два равных действительных корня, если D = 0.
Это потому, что корни D = 0 даются x = \[\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}\ ]
и 0 будет квадратным корнем. Таким образом, уравнение принимает вид x = −b/2a, что является единственным числом. Когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю, оно имеет только один действительный корень.
Например, данное квадратное уравнение имеет вид –
6×2 + 10x – 1 = 0
Из приведенного выше уравнения видно, что:
a = 6,
b = 10,
c = −1
Применение чисел в дискриминанте –
b2 − 4ac
= 102 – 4 (6) (−1)
= 100 + 24
= 124
Учитывая, что дискриминант является положительным числом, у квадратного уравнения есть два решения.
Что следует помнить при использовании квадратичной формулы
Убедитесь, что 2a и квадратный корень из целого (b2 − 4ac) помещены в знаменатель.
Следите за отрицательным значением b2. Поскольку оно не может быть отрицательным, обязательно измените его на положительное. Квадрат положительного или отрицательного всегда будет положительным.
No related posts.