Квадратное уравнение с комплексным неизвестным определение – 12. Квадратное уравнение с комплексным неизвестным

12. Квадратное уравнение с комплексным неизвестным

Рассмотрим уравнение Z² = a, где a – заданное действительное число, Z – неизвестное.

Это уравнение:

имеет один корень, если a = 0.

имеет два действительных корня Z_1,2=, если a > 0.

не имеет действительных корней, если a < 0. Но имеет два комплексных корня.

Запишем число a в виде a = (– 1)(– a) = i²= i²()². Тогда уравнение Z² = a запишется в виде: Z² – i²()² = 0

т.е. (Z – i)(Z + i) = 0

Следовательно, уравнение имеет два корня: Z_1,2 = i

Введенное понятие корня из отрицательного числа позволяет записать корни любого квадратного уравнения с действительными коэффициентами

aZ² + bZ + c = 0

По известной общей формуле

Z_1,2= (10)

Итак, при любых действительных a(a0), b, c корни уравнения можно находить по формуле 10. При это если дискриминант, т.е. подкоренное выражение в формуле 10

D = b² – 4ac

положителен, то уравнение

aZ² + bZ + c = 0 два действительных различных корня.

Если D = 0, то уравнение

aZ² + bZ + c = 0 имеет один корень.

Если D < 0, то уравнение

aZ² + bZ + c = 0 имеет два различных комплексных корня.

Комплексные корни квадратного уравнения обладают такими же свойствами, как и известные нам свойства действительных корней.

Сформулируем основные из них:

Пусть Z₁,Z₂ – корни квадратного уравнения aZ² + bZ + c = 0, a0. Тогда справедливы свойства:

Теорема Виета: Z₁ + Z₂ = –

Z₁Z₂ =

2. При всех комплексных Z справедлива формула

aZ² + bZ + c = a(Z – Z₁)(Z – Z₂)

Пример 5:

Z² – 6·Z + 10 = 0

Д = b² – 4·a·c

Д = 6² – 4·10 = – 4

– 4 = i²·4

Z_1,2 =

Z_1,2 =

Ответ: Z₁ = Z₂ = 3 + i

Пример 6:

3·Z² +2·Z + 1 = 0

Д = b² – 4·a·c

Д = 4 – 12 = – 8

Д = –1·8 = 8·i²

Z_1,2 = =

Z_1,2 =

Z₁ = – ()

Z₂ = –

Ответ: Z₁ = Z₂ = –

Пример 7:

Z⁴ – 8·Z² – 9 = 0

Z² = t

t² – 8·t – 9 = 0

Д = b² – 4·a·c = 64 + 36 = 100

t_1,2 = = = 4

t₁ = 9 t₂ = – 1

Z² = 9 Z² = – 1

Z_1,2 =3 Z =

Z_3,4 =i

Ответ: Z_1,2 =3, Z_3,4 =i

Пример 8:

Z⁴ + 2·Z² – 15 = 0

Z² = t

t² + 2·t – 15 = 0

Д = b² – 4·a·c = 4 + 60 = 64

t_1,2 = = = –14

t₁ = – 5 t₂ = 3

Z² = – 5 Z² = 3

Z² = – 1·5 Z_3,4 =

Z² = i²·5

Z_1,2 =i

Ответ: Z_1,2 =i, Z_3,4 =

Пример 9:

Z² = 24 – 10·i

Пусть Z = X + Y·i

(X + Y·i)² = X² + 2·X·Y·i –Y²

X² + 2·X·Y·i – Y² = 24 – 10·i

(X² – Y²) + 2·X·Y·i = 24 – 10·i

Y = –

X² – = 24

умножим на X²0

X⁴ – 24·X² – 25 = 0

X² = t

t² – 24·t – 25 = 0

t₁·t₂ = – 25

t₁ + t₂ = 24

t₁ = 25 t₂ = – 1

X² = 25 X² = – 1 — нет решений

X_1,2 = 5

X₁ = 5 X₂ = – 5

Y₁ = – Y₂ =

Y₁ = – 1 Y₂ = 1

Тогда:

Z_1,2 =(5 – i)

Ответ: Z_1,2 =(5 – i)

ЗАДАЧИ:

1)

X² + 3·X·Y + Y² = 6

X + Y = 2

X² + 3·X·Y + Y² = 6

X = 2 – Y

(2 – Y)² + 3·(2 – Y)·Y + Y² = 6

4 – 4·Y + Y² + 6·Y – 3·Y² + Y² = 6

–Y² + 2Y – 2 = 0 /–1

Y² – 2Y + 2 = 0

Д = b² – 4·a·c = 4 – 8 = – 4

– 4 = – 1·4 = 4· i²

Y_1,2 = = = 1 i

Y₁ = 1– i Y₂ = 1 + i

X₁ = 1 + i X₂ = 1– i

Ответ: {1 + i; 1– i}? {1– i; 1 + i}

2)

Z³ + ⁵ = 0

Z²⁴ = 1 11⁴ = 1

— Возведем в квадрат

— Возведем в куб

¹⁰¹² = 1

¹⁰¹⁰ ² = 1

()¹⁰² = 1

()¹⁰² = 1

т.к.  = A + Bi

= A – Bi

 = (A + Bi)·(A – Bi) = A² – (Bi)² = A² + B² = ² = 

т.е. ²⁰·² = 1

Возьмем модуль от обоих частей последнего уравнения:

²⁰·² = 1

²² = 1

т.е.

= 1

Тогда из уравнения получим

² = 1

т.е.

= 1

₁ = 1 ₂ = –1

Подставим эти значения в первое уравнение данной системы и найдем численное значение Z

1) ₁ = 1

Z⁶ = 1

1 = 1·(cos(2) + i·sin(2)), 

Z = r(cos + isin)

r⁶(cos6 + isin6) = cos(2) + i·sin(2), 

r⁶ = 1 6 = 2

r = 1  = , 

Z = cos+ i·sin, 

 = 0,1,2…

 = 0

Z₁ = cos0+ isin0 = 1 + 0 = 1

Z₁ = 1

 = 1

Z₂ = cos + i·sin = i = i

Z₂ =i

 = 2

Z₃ = cos+ i·sin = –i

Z₃ = –i

 = 3

Z₄ = cos + i·sin = –1 + 0 = –1

Z₄ = –1

 = 4

Z₅ = cos + i·sin = –i

Z₅ = –i

 = 5

Z₆ = cos + i·sin = i

Z₆ = i

Ответ: Z₁ = 1, Z₂ =i, Z₃ = –i, Z₄ = –1, Z₅ = –i, Z₆ = i

2) ₂ = –1

Z⁶ = –1

–1 = 1·(cos( + 2) + i·sin( + 2)), 

Пусть Z = r(cos + isin), тогда данное уравнение запишется в виде:

r⁶(cos6 + isin6) = cos( + 2) + i·sin( + 2), 

r⁶ = 1 6 =  + 2

r = 1  = , 

Z = cos() + i·sin(), 

 = 0,1,2…

 = 0

Z₁ = cos + i·sin = i

Z₁ =i

 = 1

Z₂ = cos() + i·sin() = 0 + i = i

Z₂ = i

 = 2

Z₃ = cos() + i·sin() = –i

Z₃ = –i

 = 3

Z₄ = cos() + i·sin() = –i

Z₄ = –i

 = 4

Z₅ = cos() + i·sin() = 0 – i = – i

Z₅ = – i

 = 5

Z₆ = cos() + i·sin() = i

Z₆ =i

Ответ: Z₁ =i, Z₂ = i, Z₃ = –i, Z

4 = –i, Z₅ = – i, Z₆ =i

3) Доказать, что сумма двух комплексных чисел не превосходит сумму модулей этих чисел.

1 СПОСОБ:

Пусть Z₁=X+Yi и Z₂=U+Vi

Доказать что:

Предположим противоположное:

> / т.к. корень существует только из неотрицательного числа, то можно возвести в квадрат обе части неравенства.

X²+2·X·U+U²+Y²+2·Y·V+V² > X²+Y²+U²+V²+2·

2·(X·U+Y·V) > 2·

Если мы предположили верно, то X·U+Y·V > 0, а поэтому возведем в квадрат:

X²·U²+2·XU·Y·V+Y²·V² > X²·U² + X²·V²+Y²·U²+Y²·V²

2·X·Y·V·U > X²·V²+Y²·U²

X²·V²+Y²·U² – 2·X·Y·V·U < 0

(X·V + Y·U)² < 0

Это невозможно, т.к. A² 0, значит полученное нами неравенство неверно.

что и требовалось доказать

2 СПОСОБ:

Пусть Z₁ и Z₂ – два произвольных комплексных числа. Z₁– соответствует точке A, Z₂ – соответствует точке B.

В силу неравенства треугольника

т.е.

Что и требовалось доказать.

Литература

1. М. Я. Выгодский; Справочник по элементарной математике: —

2. Государственное издательство физико–математической литературы; Москва; 1960

3. Г.И. Кручович «Сборник задач по курсу высшей математике», М. «Высшая школа», 1973 год.

4. В.С. Шипачев. «Высшая математика», М. «Высшая школа», 1985 год.

studfiles.net

Решение квадратных уравнений в поле комплексных чисел » Аналитическая геометрия f(x)dx.Ru

п.7. Решение квадратных уравнений в поле комплексных чисел.

   Вывод формулы корней квадратного уравнения в поле комплексных чисел ничем не отличается от такового в поле действительных чисел (как, впрочем, и в любом поле, в том числе и в конечном). Вспомним этот вывод.

Теорема. Пусть , z – комплексная переменная. Тогда квадратное уравнение  имеет ровно два корня (они могут быть равными), которые можно найти по формуле: .

Доказательство. Выделим полный квадрат в левой части квадратного уравнения:

.

Теперь квадратное уравнение можно записать в виде:

 . Здесь мы применили следствие из п.6. Доказываемая формула очевидно следует из последнего равенства.

Теорема доказана.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Вычисляем дискриминант

. Вычисляем корни из дискриминанта по формуле квадратных корней из комплексного числа:

.

Вычисляем корни уравнения по формуле корней квадратного уравнения:

 или ; .

Ответ: .

   Замечание. Аналогично решаются квадратные уравнения с действительными коэффициентами, но с отрицательным дискриминантом.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Вычислим дискриминант. . Отсюда следует, что действительных корней квадратное уравнение не имеет, но, согласно теореме, оно имеет два корня в поле комплексных чисел. Для вычисления корня из дискриминанта применяем следствие из предыдущего п.6, смотри там же пример. Получаем:

. Теперь подставляем в формулу корней квадратного уравнения: .

Ответ: .

Возможно найдутся ответы здесь:

fxdx.ru

«Квадратное уравнение с комплексным неизвестным

Конспект урока на тему: «Квадратное уравнение с комплексным неизвестным».

x² + a =0 {если a>0}

x² = —a

Вывод: данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Но теперь мы с вами знаем комплексные числа (a+bi), попробуем решить его.

x² = a i² {поскольку мы с вами знаем из прошлого конспекта, что i² = -1}

x² — a i² = 0 {разложим выражение по формуле разность квадратов}

(x – i)(x + i) = 0

x = i x = — i

Таким образом мы получим ответы x_1,2 = ± i

Пример:

x² + 25 =0

x² = -25

x² = 25 i²

x² — 25 i² = 0

(x – i)(x + i) = 0

x = 5 i x = — 5 i

Ответ: x_1,2 = ± 5 i

Попробуем решить полное квадратное уравнение с помощью комплексных чисел

аz² + вz + с= 0

где а, в, с – действительные числа, а≠0, имеет корни.

Пример:

Ответ:

infourok.ru

Квадратное уравнение с комплексными коэффициентами

Вы ввели следующее выражение

Результат решения заданного уравнения

---

Расчет квадратных  уравнений, содержащие комплексные коэффициенты

Как известно, квадратное уравнение:   имеет корни, которые вычисляются по простой форумуле  .

Онлайн  решений очень много, наш же бот, вычисляет квадратное уравнение, если его коэффициенты являются комплексными числами.

В русскоязычном секторе Интернета, такого сервиса нет, и наш бот будет тут первым.

Хотелось бы заметить, что коэффициентами квадратного уравнения могут быть не только комплексные числовые значения, но и произвольное комплексное выражение. Это несомненно расширяет возможности представленного сервиса, и дает определенные преимущества.

Ну и естественно, для тех кто хорошо учился в школе, и понимающих, что комплексные числа это лишь расширенное представление наших «обычных» действительных  чисел, следует вывод, что данный сервис правильно считает  и в том случае, если числа  в коэффициентах имеют  действительные значения.

Для того, что бы по известным корням можно было построить произвольное уравнение, в том числе и квадратное с комплексными коэфициентами можно воспользоватся ресурсом Создание полинома (многочлена) одной переменной онлайн

Синтаксис 

Для всех кто пользуется XMPP клиентами:  ur2_i <элементы уравнения>

Коэффициенты уравнения могут быть как действительными так и мнимыми значениями.

Более того, каждый коэффициент может быть выражен не только числом, но и каким либо выражением

Элементы уравнения вводятся по принципу слева направо, от элемента с более высокой степенью переменной х, к более низкой.

Каждый элемент уравнения должен быть разделен пробелами.

Примеры 

Пишем в поле ввода коэффициенты

4 8-i -i

Не забудьте, что как минимум одним пробелом разделяются эти значения

ответ будет следующий

Вы ввели следующее выражение

Результат решения заданного уравнения

Решаем комплексное уравнение: x^2 + (2-0.25i)*x + (0-0.25i)= 0  Первый корень уравнения = -0.0078432583508+0.125i  Второй корень уравнения = -1.9921567416492+0.125i

Давайте проверим, а правильно ли  нам посчитал бот эти корни. Для этого воспользуемся Аргумент и значения функции комплексной переменной и посчитаем чему же будет равно значение функции, при полученных корнях

При выборе первого корня ответ будет такой:

Вы ввели следующую функицю

Табличное представление значений функции

Переменная x Значение функции f(x) -0.007843258+0.125005019i 0+0.000009959i

Несмотря на небольшую погрешность, результат  говорит нам о том что  расчеты проведены верно

---

Здесь  мы видим, что коэффициенты представлены в виде комплексных выражений, но для бота это не помеха.

пишем  в запросе

2-i ln(1+sin(i)) -3

и получаем результат

Вы ввели следующее выражение

Результат решения заданного уравнения

Решаем комплексное уравнение: x^2 + (0.0003584355453+0.4330639593925i)*x + (-1.2-0.6i)= 0  Первый корень уравнения = 1.1073006922543+0.0543883355731i  Второй корень уравнения = -1.1076591277997-0.4874522949657i

Удачи в расчетах!

 

 

• Комплексное число. Общие параметры числа. >>

abakbot.ru

Учебно-методический материал по теме: Комплексные числа. Лекция 2. Решение квадратных уравнений с действительными и комплексными коэффициентами.

Решение квадратных уравнений с действительными и комплексными коэффициентами.

Квадратное уравнение с действительными или комплексными коэффициентами a, b, c всегда имеет 2 корня.

В зависимости от значения дискриминанта D = b2 − 4ac уравнения с действительными коэффициентами возможны следующие случаи:

Если коэффициенты квадратного уравнения комплексные, то возможны 2 случая:

• D – действительное число
• D – комплексное число

Определение. Число ω называется квадратным корнем из комплексного числа z, если ω2 = z.

Теорема. Пусть z = a + bi – отличное от нуля комплексное число. Тогда существуют два взаимно противоположных комплексных числа, квадраты которых равны z. Если b≠0, то эти числа выражаются формулой:

где

Например,

Решить уравнение:

Задания для работы в классе:

Виленкин Н. Я. Алгебра и математический анализ 11 класс

Стр. 188, № 338, 337, 339 (нечетные цифры)

Домашнее задание. № 338, 337, 339 (четные цифры)

Решение квадратных уравнений с действительными и комплексными коэффициентами.

Квадратное уравнение с действительными или комплексными коэффициентами a, b, c всегда имеет 2 корня.

В зависимости от значения дискриминанта D = b2 − 4ac уравнения с действительными коэффициентами возможны следующие случаи:

Если коэффициенты квадратного уравнения комплексные, то возможны 2 случая:

• D – действительное число
• D – комплексное число

Определение. Число ω называется квадратным корнем из комплексного числа z, если ω2 = z.

Теорема. Пусть z = a + bi – отличное от нуля комплексное число. Тогда существуют два взаимно противоположных комплексных числа, квадраты которых равны z. Если b≠0, то эти числа выражаются формулой:

где

Например,

Решить уравнение:

Задания для работы в классе:

Виленкин Н. Я. Алгебра и математический анализ 11 класс

Стр. 188, № 338, 337, 339 (нечетные цифры)

Домашнее задание. № 338, 337, 339 (четные цифры)

nsportal.ru

Решение квадратных уравнений с действительными и комплексными коэффициентами

Решение квадратных уравнений с действительными и комплексными коэффициентами.
Квадратное уравнение с действительными или комплексными коэффициентами a, b, c всегда имеет 2 корня.

В зависимости от значения дискриминанта D = b² − 4ac уравнения с действительными коэффициентами возможны следующие случаи:

Если коэффициенты квадратного уравнения комплексные, то возможны 2 случая:

• 
  D – действительное число
  
• 
  D – комплексное число
  

Определение. Число ω называется квадратным корнем из комплексного числа z, если ω² = z.

Теорема. Пусть z = a + bi – отличное от нуля комплексное число. Тогда существуют два взаимно противоположных комплексных числа, квадраты которых равны z. Если b≠0, то эти числа выражаются формулой:

где
Например,
Решить уравнение:

• 
  
  

• 
  
  

Задания для работы в классе:

Виленкин Н. Я. Алгебра и математический анализ 11 класс

Стр. 188, № 338, 337, 339 (нечетные цифры)
Домашнее задание. № 338, 337, 339 (четные цифры)

Решение квадратных уравнений с действительными и комплексными коэффициентами.
Квадратное уравнение с действительными или комплексными коэффициентами a, b, c всегда имеет 2 корня.

В зависимости от значения дискриминанта D = b² − 4ac уравнения с действительными коэффициентами возможны следующие случаи:

Если коэффициенты квадратного уравнения комплексные, то возможны 2 случая:

• 
  D – действительное число
  
• 
  D – комплексное число
  

Определение. Число ω называется квадратным корнем из комплексного числа z, если ω² = z.

Теорема. Пусть z = a + bi – отличное от нуля комплексное число. Тогда существуют два взаимно противоположных комплексных числа, квадраты которых равны z. Если b≠0, то эти числа выражаются формулой:

где
Например,
Решить уравнение:

• 
  
  

• 
  
  

Задания для работы в классе:

Виленкин Н. Я. Алгебра и математический анализ 11 класс

Стр. 188, № 338, 337, 339 (нечетные цифры)
Домашнее задание. № 338, 337, 339 (четные цифры)

al.na5bal.ru

Квадратное уравнение с комплексными коэффициентами

Вы ввели следующее выражение

Результат решения заданного уравнения

---

Расчет квадратных  уравнений, содержащие комплексные коэффициенты

Как известно, квадратное уравнение:   имеет корни, которые вычисляются по простой форумуле  .

Онлайн  решений очень много, наш же бот, вычисляет квадратное уравнение, если его коэффициенты являются комплексными числами.

В русскоязычном секторе Интернета, такого сервиса нет, и наш бот будет тут первым.

Хотелось бы заметить, что коэффициентами квадратного уравнения могут быть не только комплексные числовые значения, но и произвольное комплексное выражение. Это несомненно расширяет возможности представленного сервиса, и дает определенные преимущества.

Ну и естественно, для тех кто хорошо учился в школе, и понимающих, что комплексные числа это лишь расширенное представление наших «обычных» действительных  чисел, следует вывод, что данный сервис правильно считает  и в том случае, если числа  в коэффициентах имеют  действительные значения.

Для того, что бы по известным корням можно было построить произвольное уравнение, в том числе и квадратное с комплексными коэфициентами можно воспользоватся ресурсом Создание полинома (многочлена) одной переменной онлайн

Синтаксис 

Для всех кто пользуется XMPP клиентами:  ur2_i <элементы уравнения>

Коэффициенты уравнения могут быть как действительными так и мнимыми значениями.

Более того, каждый коэффициент может быть выражен не только числом, но и каким либо выражением

Элементы уравнения вводятся по принципу слева направо, от элемента с более высокой степенью переменной х, к более низкой.

Каждый элемент уравнения должен быть разделен пробелами.

Примеры 

Пишем в поле ввода коэффициенты

4 8-i -i

Не забудьте, что как минимум одним пробелом разделяются эти значения

ответ будет следующий

Вы ввели следующее выражение

Результат решения заданного уравнения

Решаем комплексное уравнение: x^2 + (2-0.25i)*x + (0-0.25i)= 0  Первый корень уравнения = -0.0078432583508+0.125i  Второй корень уравнения = -1.9921567416492+0.125i

Давайте проверим, а правильно ли  нам посчитал бот эти корни. Для этого воспользуемся Аргумент и значения функции комплексной переменной и посчитаем чему же будет равно значение функции, при полученных корнях

При выборе первого корня ответ будет такой:

Вы ввели следующую функицю

Табличное представление значений функции

Переменная x Значение функции f(x) -0.007843258+0.125005019i 0+0.000009959i

Несмотря на небольшую погрешность, результат  говорит нам о том что  расчеты проведены верно

---

Здесь  мы видим, что коэффициенты представлены в виде комплексных выражений, но для бота это не помеха.

пишем  в запросе

2-i ln(1+sin(i)) -3

и получаем результат

Вы ввели следующее выражение

Результат решения заданного уравнения

Решаем комплексное уравнение: x^2 + (0.0003584355453+0.4330639593925i)*x + (-1.2-0.6i)= 0  Первый корень уравнения = 1.1073006922543+0.0543883355731i  Второй корень уравнения = -1.1076591277997-0.4874522949657i

Удачи в расчетах!

 

 

abakbot.ru