Квадратных уравнений: Решение квадратных уравнений, примеры, тесты. Особые случаи. Разложение квадратного трехчлена на множители. Теорема Виета прямая, обратная

Способы решения квадратных уравнений

Александр Чиркин

8 ноября 2021

Уравнение, которое соответствует формуле a*x2 + b*x+ с=0, называется квадратным. Главное условие: а не должно равняться 0, поскольку тогда будем работать с линейным образцом. Коэффициенты с и b могут иметь любые цифровые значения. Уравнения такого типа были известны древним вавилонянам около 2 тыс. лет до н.э.

Довольно много задач решается через квадратные уравнения. Это первая ступень к решению показательных, логарифмических и других более сложных уравнений. Однако учащиеся знают лишь 1-2 метода работы с подобного вида уравнениями. На школьных занятиях по алгебре редко рассматриваются сложные случаи.

Как работать с квадратными уравнениями? 5 самых распространенных методов

Научиться решать этот тип уравнений несложно. Вы можете использовать как традиционные школьные методы, так и нестандартные. К примеру, графический способ без применения формул. Рисуете два графика, отмечаете необходимые абсциссы, которые и будут корнями уравнения. Но если вам сложно дается эта тема, впрочем, как и алгебра в целом, стоит обратиться к репетитору по математике.

Рассмотрим основные способы решений:

1. Решение с использованием теоремы Виета. В этом случае используем особый вид уравнений – приведенные, в которых а=1. Если корни этого уравнения характеризуются как действительные, то их сумма равна – р, а произведение – значению q. Например, х2 – 8х – 9=0. Произведение х1 и х2 равно –9, а сумма х1 и х2 – это 8; 9=1*9=3*3. Очевидно, что 8=9+(–1), х1=–1, х2=9.
2. Решение с помощью разложения на множители. В рамках этого метода уравнения можно решать 3-мя способами: через вынесение общего множителя за скобки; формулы, помогающие проводить сокращенное умножение; группирование. Например, 4х2 + 5х + 1=0; Применяя первый способ, получим 4*(х+1)*(х+1/4)=0.
3. Решение, основанное на полном квадрате и закономерностях его выделения.
   В этом случае заданный трехчлен записывается в виде суммы или разницы квадрата двучлена и числового или буквенного выражения. Возьмем такой пример: х2 + 6х – 7=0. Чтобы решить это уравнение, преобразуем его: (х +3)2 – 16=0. (х +3)2 = 16; х +3 = 4, х + 3 = –4; х = 1, х =–7.
4. Решение с применением формулы дискриминанта D=b2 – 4ac. Здесь имеет значение показатель дискриминанта. Если он больше 0, то применяем формулу: –b + √D / 2a. Если D=0, то получаем один корень, который вычисляется по формуле: –b / 2а. А вот если значение D меньше 0, то корней нет. Пример: х2 + 12x + 36 = 0; D = 122 – 4*1*36 = 0; x= –12+ √0 / 2*1 = –6.
5. Решение методом «перебрасывания». Например, есть уравнение 2х2 – 11х +15 = 0. Коэффициент 2 перебросим к свободному члену 15. Итого: у2 – 11у +30=0. Поскольку D больше 0, то по теореме обратной к закономерности Виета, получаем корни 5 и 6. Затем возвращаемся к корням данного уравнения: х1=у1 / a = 5/2= 2,5; x2=y2 / a= 6/2=3.

Что делать, если проблемы ребенка с математикой не решаются?

Математика – сложная абстрактная наука, которая дается далеко не каждому. В ее изучении важна последовательность и ежедневный упорный труд. Даже при сильном учителе в школе ребенок может отставать. И занимаясь дома самостоятельно, не всегда можно до конца понять тему. Зачастую школьники просто копируют примеры в учебниках, подставляя свои числа.

Родителям стоит подыскать для ребенка хорошие курсы, математический кружок или репетитора. Это отличная возможность основательно и даже углубленно изучить школьную программу и получить дополнительные знания и навыки. Найти частного педагога вы можете с помощью платформы Буки. Вам нужно всего лишь:

• выбрать город и предмет;
• определиться со способом обучения;
• воспользоваться поисковыми фильтрами;
• ознакомиться с анкетами репетиторов;
• отправить заявку понравившемуся учителю.

Активируйте JavaScript в браузере, чтобы участвовать в обсуждении.

Самый простой способ решения квадратичных уравнений упускается из виду в течение 4000 лет

Математика

15.12.2019

3 588 2 минут чтения

Профессор математики открыл новый способ решения квадратных уравнений. Это вычислительно эффективнее и проще для запоминания, чем традиционная квадратичная формула. Удивительно, что такой простой метод оставался незамеченным в течение 4000 лет.

В элементарной алгебре квадратные уравнения могут быть решены с использованием различных методов, таких как факторинг, построение графиков, построение квадратов и другие.

История квадратичной формулы — формула обеспечивает решение (я) квадратного уравнения — может быть прослежена до древне-вавилонского периода около 2000–1600 гг. До н.э. Многие великие математики оставили свой след на этом предмете, и формула стала одной из самых важных частей в алгебре.

Формула, однако, довольно сложна, и ее вычисления несколько запутаны. Это может быть сложной задачей для начинающих изучающих алгебру.

Недавно математик из Университета Карнеги-Меллона в Питтсбурге опубликовал более простое решение для любого квадратного уравнения. Этот новый метод прост в запоминании и эффективен в вычислительном отношении.

По словам его автора, По-Шен Ло, он имеет потенциал для демистификации квадратичной формулы для студентов во всем мире.

Альтернативный метод решения квадратичных задач

Самый первый шаг — посмотреть, можно ли разложить квадратное уравнение следующим образом:

Если факторизация возможна, то квадратичная функция равна нулю при X=R или X=S. Согласно традиционному методу, если сумма и произведение R и S равно -B и C соответственно, то {R, S} будет полным набором корней.

А вот теперь начинается поворот.

Два числа суммируют с -B именно тогда, когда их среднее значение равно -B / 2. Рассмотрим эти два числа в виде -B / 2 ± z, где z — неизвестная величина, а произведение этих чисел равно C.

Если z оказывается равным нулю, то мы разложим с R = S = (- B / 2), в противном случае,

Квадратный корень всегда существует (с учетом комплексных чисел), поэтому искомые R и S всегда существуют для любого квадратичного уравнения. Таким образом, исходные корни могут быть выражены как

А, это новая квадратичная формула; гораздо проще и легче запомнить, чем предыдущий.

Почему сейчас?

Новый метод интуитивно понятен и не требует запоминания формулы вообще. Однако, более интересный вопрос, почему никто не думал об этом раньше.

Автор исследовал 4000-летнюю историю по этой теме: он изучал различные подходы, построенные древними вавилонянами, греками, индийцами, арабами и китайцами, а также современными математиками, но не нашел ничего похожего на его метод.

По-Шен Ло считает, что это связано с тем, как традиционный метод доказывает, что квадратные уравнения имеют два корня. Обычно считается, что квадратное уравнение всегда имеет два корня, и эти корни имеют произведение C и -B.

Возможно, к тому времени, когда математика продвинулась до «приличного уровня», Вавилонская техника исчезла из недавней памяти, и люди нашли подход завершения квадрата достаточно хорошим, чтобы интегрироваться в основную учебную программу.

Теперь вопрос в том, как быстро и насколько широко он будет распространяться.

Ссылка: arXiv:1910.06709

Подпишитесь на нас:Дзен.Новости / Вконтакте / Telegram

2 — 4ac}}{2a}$$ Квадратное уравнение — из Wolfram MathWorld

 

Выражение $$b² — 4ac$$, которое появляется в квадратной формуле под квадратным корнем, играет важную роль при решении квадратных уравнений. Из-за своей важности: $$b² — 4ac$$ называется определителем квадратного уравнения $$ax² + bx + c = 0$$

Возможны три случая:

1. b² — 4ac > 0. В этом В этом случае уравнение имеет два различных действительных корня.
2. b² — 4ac = 0. В этом случае уравнение имеет один действительный корень. (так называемый двойной корень). 92 — 4 * 3 * 1}}{2 * 3}$$ $$x = \frac{4\pm\sqrt{16 — 12}}{6}$$ $$x = \frac{4\pm\ sqrt4}{6} = \frac{4\pm2}{6}$$ $$x_1 = 1 \space and \space x_2 = \frac{1}{3}$$

   Вы будете использовать это…

   Расчет расстояния, высоты и времени движения объектов.

   В приложениях, затрагивающих области объектов.

   В банковской сфере расчет ставок по кредитам и прибыли.

   Другие области применения, где квадратное уравнение имеет решающее значение: напольные часы, кролики, площади, пение, налоги, архитектура, солнечные часы, остановка, электроника, микрочипы, холодильники, подсолнухи, ускорение, бумага, планеты, баллистика, стрельба, прыжки. , астероиды, квантовая теория, хаос, окна, теннис, бадминтон, полет, радио, маятник, погода, падение, душ, дифференциальные уравнения, телескоп, гольф.

   Из журнала +Plus

     Видео

   Завершение площади

   Смотреть видео Академии Хана »
   Продолжительность: 13:45

     Видео

   Квадратичная формула 1

   Смотреть видео Академии Хана »
   Продолжительность: 5:35

   Практические задачи

   Заполнение квадрата »

   Квадратное уравнение »

   Стать экспертом по алгебре: квадратные уравнения

   Алгебра фокусируется на правилах, касающихся операций и отношений конструкций и понятий, которые вытекают из них. Алгебра охватывает многочлены, термины, уравнения и алгебраические структуры. Наряду с геометрией, топологией, дробями и теорией чисел алгебра является одним из основных разделов чистой математики. Квадратное уравнение является частью алгебры, и здесь мы рассмотрим квадратную формулу, геометрию, квадратичную факторизацию и приложения.

   Обзор квадратного уравнения

   Концепция квадратного уравнения представляет собой полиномиальное уравнение второй степени. Общая форма квадратичного уравнения:

   AX ² +BX +C = 0

   В этом уравнении x представляет переменный. , и c являются константами, где a   не равны 0. Если значение a  равно 0 , уравнение станет линейным уравнением. Чтобы уточнить уравнение, a — квадратичный коэффициент, b — линейный коэффициент, а c — постоянный или свободный член. Термин происходит от латинского слова quadratus , что означает квадратных . Методы решения этих уравнений включают разложение на множители, построение графиков, метод Ньютона и, чаще всего, квадратичную формулу.

   • Квадратное уравнение: отличный обзор квадратных уравнений.
   • Решение квадратных уравнений: Обсуждается, как решать квадратные уравнения.
   • Учебник: Учебник показывает, как решать квадратные уравнения.
   • Дополнительные сведения о квадратных уравнениях: общие сведения о квадратных уравнениях.
   • Solver: Объясняет, как решать квадратные уравнения.
   • Уравнения и функции: обзор квадратных уравнений и функций.
   • Квадратичные, кубические и квартичные уравнения: некоторые исторические сведения об этих типах уравнений.
   • Урок: онлайн-урок по квадратным уравнениям.

   Квадратная формула

   Квадратная формула — это метод, используемый для решения квадратного уравнения. Эта формула является наиболее часто используемым методом решения уравнения. Есть два решения квадратного уравнения, которые имеют действительные или комплексные коэффициенты. Этот метод называется roots . Здесь есть загвоздка в том, что эти два решения плывут на двух лодках. Это означает, что они могут быть или не быть реальными и могут быть или не быть различными.

   Корни квадратной формулы задаются как:

   и ± обозначают как

   , так и

   Эти уравнения дают решения квадратного уравнения.

   В приведенном выше квадратном уравнении b ² -4ac  называется дискриминантом . Название дано так потому, что этот конкретный объект имеет возможность различать возможные типы ответов, в том числе:

   Если  b ² -4ac  равно положительному , результатом являются два действительных решения.

   Если это  0 , результатом будет одно действительное решение с одинаковыми ответами.

   Если отрицательное , результатом будет сложное решение.

   • Корни куба: Содержит формулу для корней куба.
   • Доказательство: Посмотрите это видео, чтобы узнать о доказательстве квадратичной формулы.
   • Теория: Объясняет, как корни квадратного уравнения могут быть получены из квадратной формулы.
   • Формула: Отличное описание квадратичной формулы.
   • Квадратичная формула: содержит описание, вопросы моделирования и оценки.
   • Решение уравнений: В этом учебном пособии показано, как решать уравнения с помощью квадратной формулы.
   • Квадратика: Предлагает примеры и практические задачи.

   Геометрия

   Геометрия — раздел чистой математики, изучающий вопросы форм, размеров, взаимного расположения фигур и свойств пространства. Слово произошло от двух греческих слов: гео  означает землю и метри  означает измерение. Именно этот раздел математики считается древнейшей математической наукой. В алгебре есть понятие геометрии, которое называется алгебраической геометрией. Это поле является воплощением декартовой геометрии координат. Если вы возьмете приведенное выше квадратное уравнение, его решения также будут корнями квадратной функции. Это можно показать следующим образом:

   Поскольку и квадратное уравнение, и функция отображают значения x, то его можно сформулировать следующим образом:

   Аналогично в случае дискриминанта, если значение положительное, график касается оси x в двух точках. Если он равен нулю, то точка касания будет равна единице, а если результат отрицательный, то график не будет касаться оси x.

   • Метод панели высокого порядка: взгляд на квадратичную геометрию и квадратичную базисную функцию.
   • Квадратное уравнение: Обсуждается, как набросать квадратное уравнение с помощью программного обеспечения для динамической геометрии.
   • Квадратичное программирование: Предоставляет информацию о геометрии квадратичного программирования.
   • Линейная алгебра: обсуждает геометрию квадратных уравнений и линейную алгебру.
   • Аналитическая геометрия: Рассуждение о преподавании аналитической геометрии в связи с Декартом и квадратным уравнением.
   • Алгебраическая геометрия: подробные заметки для класса алгебраической геометрии.
   • Подробнее об алгебраической геометрии: исследование алгебраической геометрии и ее приложений.
   • Базовая геометрия: учебник по алгебре для базовой геометрии.

   Квадратичная факторизация

   Давайте теперь посмотрим, как используется факторизация для квадратных уравнений. Давайте воспользуемся для этой цели обычным квадратным уравнением, то есть приведенным выше уравнением. В этом методе самый простой и простой способ факторизации — найти общие факторы. Разберем на живом примере.

   Допустим, это коэффициент для квадратного уравнения ax ² +bx+c=0  но условие здесь состоит в том, что r должен быть только корнем квадратного уравнения топор ² +bx+c=0 . Из квадратной формулы следует, что:

   Если есть особый случай, т.е. b ² -4ac , в котором есть только один отдельный корень для квадратного числа, квадратный полином может быть разложен как

   • Квадратичная факторизация: показывает факторизацию путем удаления общих множителей, факторизации с совершенным квадратом и т. д.
   • Решения: В уроке рассказывается, как решать квадратные уравнения методом факторизации.
   • Трехчлены: Предоставляет информацию о факторизации квадратных трехчленов.
   • Факторизация: узнайте, как решать квадратные уравнения с помощью факторизации.
   • Остатки: взгляд на квадратичные остатки при факторизации.
   • Факторинг: В учебнике объясняется, как решать квадратные уравнения с помощью факторизации.
   • Группировка: Показывает, как разложить квадратный трехчлен на множители путем группировки.
   • Квадратичные поля: Предоставляет информацию о факторизации квадратичного поля.

   Приложения

   Квадратное уравнение может широко применяться. Если есть уравнение с переменной x , имеющей некоторую более высокую степень, уравнение можно решить, приведя уравнение к квадратному виду. Проблему легко решить, понизив степень переменной x . Квадратное уравнение находит свое применение и применимость при расчете траекторий движения снаряда, разработке электронных усилителей, архитектуре, технике и многих других приложениях.

   • Применение: показывает использование квадратных уравнений в реальном мире.

     No related posts.