Квадратный корень из 72: Чему равен корень 72 — ответ на Uchi.ru

Домашнее задание.

П. 11 № 290, 292, 294, 303.

Учебник «Алгебра 8» Макарычев Ю.Н. под редакцией Теляковского С.А.

Как найти корень из числа. Извлечение корней: способы, примеры, решения

Пришло время разобрать способы извлечения корней . Они базируются на свойствах корней , в частности, на равенстве , которое справедливо для любого неотрицательного числа b.

Ниже мы по очереди рассмотрим основные способы извлечения корней.

Начнем с самого простого случая – с извлечения корней из натуральных чисел с использованием таблицы квадратов, таблицы кубов и т.п.

Если же таблицы квадратов, кубов и т.п. нет под руками, то логично воспользоваться способом извлечения корня, который подразумевает разложение подкоренного числа на простые множители.

Отдельно стоит остановиться на , что возможно для корней с нечетными показателями.

Наконец, рассмотрим способ, позволяющий последовательно находить разряды значения корня.

Приступим.

Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д.

В самых простых случаях извлекать корни позволяют таблицы квадратов, кубов и т.д. Что же представляют собой эти таблицы?

Таблица квадратов целых чисел от 0 до 99 включительно (она показана ниже) состоит из двух зон. Первая зона таблицы располагается на сером фоне, она с помощью выбора определенной строки и определенного столбца позволяет составить число от 0 до 99 . Для примера выберем строку 8 десятков и столбец 3 единицы, этим мы зафиксировали число 83 . Вторая зона занимает оставшуюся часть таблицы. Каждая ее ячейка находится на пересечении определенной строки и определенного столбца, и содержит квадрат соответствующего числа от 0 до 99 . На пересечении выбранной нами строки 8 десятков и столбца 3 единицы находится ячейка с числом 6 889 , которое является квадратом числа 83 .

Таблицы кубов, таблицы четвертых степеней чисел от 0 до 99 и так далее аналогичны таблице квадратов, только они во второй зоне содержат кубы, четвертые степени и т. д. соответствующих чисел.

Таблицы квадратов, кубов, четвертых степеней и т.д. позволяют извлекать квадратные корни, кубические корни, корни четвертой степени и т.д. соответственно из чисел, находящихся в этих таблицах. Объясним принцип их применения при извлечении корней.

Допустим, нам нужно извлечь корень n -ой степени из числа a , при этом число a содержится в таблице n -ых степеней. По этой таблице находим число b такое, что a=b n . Тогда , следовательно, число b будет искомым корнем n -ой степени.

В качестве примера покажем, как с помощью таблицы кубов извлекается кубический корень из 19 683 . Находим число 19 683 в таблице кубов, из нее находим, что это число является кубом числа 27 , следовательно, .

Понятно, что таблицы n -ых степеней очень удобны при извлечении корней. Однако их частенько не оказывается под руками, а их составление требует определенного времени. Более того, часто приходится извлекать корни из чисел, которые не содержатся в соответствующих таблицах. В этих случаях приходится прибегать к другим методам извлечения корней.

Разложение подкоренного числа на простые множители

Достаточно удобным способом, позволяющим провести извлечение корня из натурального числа (если конечно корень извлекается), является разложение подкоренного числа на простые множители. Его суть заключается в следующем : после его достаточно легко представить в виде степени с нужным показателем, что позволяет получить значение корня. Поясним этот момент.

Пусть из натурального числа a извлекается корень n -ой степени, и его значение равно b . В этом случае верно равенство a=b n . Число b как любое натуральное число можно представить в виде произведения всех своих простых множителей p 1 , p 2 , …, p m в виде p 1 ·p 2 ·…·p m , а подкоренное число a в этом случае представляется как (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Так как разложение числа на простые множители единственно, то разложение подкоренного числа a на простые множители будет иметь вид (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , что дает возможность вычислить значение корня как .

Заметим, что если разложение на простые множители подкоренного числа a не может быть представлено в виде (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , то корень n -ой степени из такого числа a нацело не извлекается.

Разберемся с этим при решении примеров.

Пример.

Извлеките квадратный корень из 144 .

Решение.

Если обратиться к таблице квадратов, данной в предыдущем пункте, то хорошо видно, что 144=12 2 , откуда понятно, что квадратный корень из 144 равен 12 .

Но в свете данного пункта нас интересует, как извлекается корень с помощью разложения подкоренного числа 144 на простые множители. Разберем этот способ решения.

Разложим 144 на простые множители:

То есть, 144=2·2·2·2·3·3 . На основании с полученным разложением можно провести такие преобразования: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2 ·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2 . Следовательно, .

Используя свойства степени и свойства корней , решение можно было оформить и немного иначе: .

Ответ:

Для закрепления материала рассмотрим решения еще двух примеров.

Пример.

Вычислите значение корня .

Решение.

Разложение на простые множители подкоренного числа 243 имеет вид 243=3 5 . Таким образом, .

Ответ:

Пример.

Является ли значение корня целым числом?

Решение.

Чтобы ответить на этот вопрос, разложим подкоренное число на простые множители и посмотрим, представимо ли оно в виде куба целого числа.

Имеем 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2 . Полученное разложение не представляется в виде куба целого числа, так как степень простого множителя 7 не кратна трем. Следовательно, кубический корень из числа 285 768 не извлекается нацело.

Ответ:

Нет.

Извлечение корней из дробных чисел

Пришло время разобраться, как извлекается корень из дробного числа. Пусть дробное подкоренное число записано в виде как p/q . Согласно свойству корня из частного справедливо следующее равенство . Из этого равенства следует правило извлечения корня из дроби : корень из дроби равен частному от деления корня из числителя на корень из знаменателя.

Разберем пример извлечения корня из дроби.

Пример.

Чему равен квадратный корень из обыкновенной дроби 25/169 .

Решение.

По таблице квадратов находим, что квадратный корень из числителя исходной дроби равен 5 , а квадратный корень из знаменателя равен 13 . Тогда . На этом извлечение корня из обыкновенной дроби 25/169 завершено.

Ответ:

Корень из десятичной дроби или смешанного числа извлекается после замены подкоренных чисел обыкновенными дробями.

Пример.

Извлеките кубический корень из десятичной дроби 474,552 .

Решение.

Представим исходную десятичную дробь в виде обыкновенной дроби: 474,552=474552/1000 . Тогда . Осталось извлечь кубические корни, находящиеся в числителе и знаменателе полученной дроби. Так как 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13= (2·3·13) 3 =78 3 и 1 000=10 3 , то и . Осталось лишь завершить вычисления .

Ответ:

.

Извлечение корня из отрицательного числа

Отдельно стоит остановиться на извлечении корней из отрицательных чисел. При изучении корней мы сказали, что когда показатель корня является нечетным числом, то под знаком корня может находиться отрицательное число. Таким записям мы придали следующий смысл: для отрицательного числа −a и нечетного показателя корня 2·n−1 справедливо . Это равенство дает правило извлечения корней нечетной степени из отрицательных чисел : чтобы извлечь корень из отрицательного числа нужно извлечь корень из противоположного ему положительного числа, и перед полученным результатом поставить знак минус.

Рассмотрим решение примера.

Пример.

Найдите значение корня .

Решение.

Преобразуем исходное выражение, чтобы под знаком корня оказалось положительное число: . Теперь смешанное число заменим обыкновенной дробью: . Применяем правило извлечения корня из обыкновенной дроби: . Осталось вычислить корни в числителе и знаменателе полученной дроби: .

Приведем краткую запись решения: .

Ответ:

.

Порязрядное нахождение значения корня

В общем случае под корнем находится число, которое при помощи разобранных выше приемов не удается представить в виде n -ой степени какого-либо числа. Но при этом бывает необходимость знать значение данного корня, хотя бы с точностью до некоторого знака. В этом случае для извлечения корня можно воспользоваться алгоритмом, который позволяет последовательно получить достаточное количество значений разрядов искомого числа.

На первом шаге данного алгоритма нужно выяснить, каков старший разряд значения корня. Для этого последовательно возводятся в степень n числа 0, 10, 100, … до того момента, когда будет получено число, превосходящее подкоренное число. Тогда число, которое мы возводили в степень n на предыдущем этапе, укажет соответствующий старший разряд.

Для примера рассмотрим этот шаг алгоритма при извлечении квадратного корня из пяти. Берем числа 0, 10, 100, … и возводим их в квадрат, пока не получим число, превосходящее 5 . Имеем 0 2 =05 , значит, старшим разрядом будет разряд единиц. Значение этого разряда, а также более младших, будет найдено на следующих шагах алгоритма извлечения корня.

Все следующие шаги алгоритма имеют целью последовательное уточнение значения корня за счет того, что находятся значения следующих разрядов искомого значения корня, начиная со старшего и продвигаясь к младшим. К примеру, значение корня на первом шаге получается 2 , на втором – 2,2 , на третьем – 2,23 , и так далее 2,236067977… . Опишем, как происходит нахождение значений разрядов.

Нахождение разрядов проводится за счет перебора их возможных значений 0, 1, 2, …, 9 . При этом параллельно вычисляются n -ые степени соответствующих чисел, и они сравниваются с подкоренным числом. Если на каком-то этапе значение степени превзойдет подкоренное число, то значение разряда, соответствующее предыдущему значению, считается найденным, и производится переход к следующему шагу алгоритма извлечения корня, если же этого не происходит, то значение этого разряда равно 9 .

Поясним эти моменты все на том же примере извлечения квадратного корня из пяти.

Сначала находим значение разряда единиц. Будем перебирать значения 0, 1, 2, …, 9 , вычисляя соответственно 0 2 , 1 2 , …, 9 2 до того момента, пока не получим значение, большее подкоренного числа 5 . Все эти вычисления удобно представлять в виде таблицы:

Так значение разряда единиц равно 2 (так как 2 2 5 ). Переходим к нахождению значения разряда десятых. При этом будем возводить в квадрат числа 2,0, 2,1, 2,2, …, 2,9 , сравнивая полученные значения с подкоренным числом 5 :

Так как 2,2 2 5 , то значение разряда десятых равно 2 . Можно переходить к нахождению значения разряда сотых:

Так найдено следующее значение корня из пяти, оно равно 2,23 . И так можно продолжать дальше находить значения : 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Для закрепления материала разберем извлечение корня с точностью до сотых при помощи рассмотренного алгоритма.

Сначала определяем старший разряд. Для этого возводим в куб числа 0, 10, 100 и т.д. пока не получим число, превосходящее 2 151,186 . Имеем 0 3 =02 151,186 , таким образом, старшим разрядом является разряд десятков.

Определим его значение.

Так как 10 3 2 151,186 , то значение разряда десятков равно 1 . Переходим к единицам.

Таким образом, значение разряда единиц равно 2 . Переходим к десятым.

Так как даже 12,9 3 меньше подкоренного числа 2 151,186 , то значение разряда десятых равно 9 . Осталось выполнить последний шаг алгоритма, он нам даст значение корня с требуемой точностью.

На этом этапе найдено значение корня с точностью до сотых: .

В заключение этой статьи хочется сказать, что существует масса других способов извлечения корней. Но для большинства задач достаточно тех, которые мы изучили выше.

Список литературы.

• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 — 11 классов общеобразовательных учреждений.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).

Формулы корней. Свойства квадратных корней.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

В предыдущем уроке мы разобрались, что такое квадратный корень . Пришла пора разобраться, какие существуют формулы для корней , каковы свойства корней , и что со всем этим можно делать.

Формулы корней, свойства корней и правила действий с корнями — это, по сути, одно и то же. Формул для квадратных корней на удивление немного. Что, безусловно, радует! Вернее, понаписать всяких формул можно много, но для практической и уверенной работы с корнями достаточно всего трёх. Все остальное из этих трёх проистекает. Хотя и в трех формулах корней многие плутают, да…

Начнём с самой простой. Вот она:

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Для вычисления квадратного корня без калькулятора существует несколько методов.

Как найти корень из числа – 1 способ

• Один из методов заключается в разложении на множители того числа, которое находится под корнем. Эти составляющие в результате умножения образуют подкоренное значение. Точность полученного результата зависит от числа под корнем.
• Например, если взять число 1 600 и начать раскладывать его на множители, то рассуждение построится таким образом: данное число кратно 100, значит, его можно разделить на 25; так как корень из числа 25 извлекается, то число является квадратным и подходит для дальнейших вычислений; при делении получаем еще одно число – 64. Это число тоже квадратное, поэтому корень извлекается хорошо; после этих расчетов под корнем можно записать число 1600 в виде произведения 25 и 64.

• Одно из правил извлечения корня гласит, что корень из произведения множителей равен числу, которое получается при умножении корней из каждого множителя. Это значит, что: √(25*64) = √25 * √64. Если из 25 и 64 извлечь корни, то получим такое выражение: 5 * 8 = 40. То есть, квадратный корень из числа 1600 равен 40.
• Но бывает так, что число, находящееся под корнем, не раскладывается на два множителя, из которых извлекается целый корень. Обычно такое можно осуществить только для одного из множителей. Поэтому чаще всего найти абсолютно точный ответ в таком уравнении не получается.
• В таком случае можно высчитать только приблизительное значение. Поэтому нужно извлечь корень из множителя, который является квадратным числом. Это значение затем умножить на корень из второго числа, которое не является квадратным членом уравнения.
• Выглядит это таким образом, например, возьмем число 320. Его можно разложить на 64 и 5. Из 64 целый корень извлечь можно, а из 5 – нет. Поэтому, выражение будет выглядеть так: √320 = √(64*5) = √64*√5 = 8√5.
• Если есть необходимость, то можно найти приблизительное значение этого результата, вычислив
  √5 ≈ 2,236, следовательно, √320 = 8 * 2,236 = 17,88 ≈ 18.
• Также число под корнем можно разложить на несколько простых множителей, а одинаковые можно вынести из-под него. Пример: √75 = √(5*5*3) = 5√3 ≈ 8,66 ≈ 9.

Как найти корень из числа – 2 способ

• Другой способ заключается в делении в столбик. Деление происходит аналогично, но только искать нужно квадратные числа, из которых потом извлекать корень.
• В этом случае квадратное число пишем сверху и отнимаем его в левой части, а извлеченный корень снизу.
• Теперь второе значение нужно удвоить и записать снизу справа в виде: число_х_=. Пропуски необходимо заполнить числом, которое будет меньше или равно необходимому значению слева – все как в обычном делении.
• При необходимости этот результат снова вычитается слева. Такие вычисления продолжаются до тех пор, пока результат не будет достигнут. Нули также можно добавлять, пока не получите нужное количество знаков после запятой.

На первый взгляд может показаться, что процедура разложения квадратного корня на множители сложная и неприступная. Но это не так. В этой статье мы расскажем вам, как подступиться к квадратному корню и множителям, а также легко и просто разложить квадратный корень, воспользовавшись двумя проверенными методами.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Разложение корня на множители

Для начала определим цель процедуры разложения квадратного корня на множители. Цель — упростить квадратный корень и записать его в удобном для вычислений виде.

Определение 1

Разложение квадратного корня на множители — нахождение двух или нескольких чисел, которые, при условии перемножения их друг на друга, дадут число равное исходному. Например: 4×4 = 16.

Если вы найдете множители, то сможете легко упростить выражение с квадратным корнем или вовсе его упразднить:

Пример 1

Разделите подкоренное число на 2, если оно четное.

Подкоренное число всегда следует делить на простые числа, поскольку любое значение простого числа можно разложить на простые множители. Если у вас нечетное число, то попробуйте разделить его на 3. Не делится на 3? Делите дальше на 5, 7, 9 и т.д.

Запишите выражение в виде корня произведения двух чисел.

Например, можно упростить таким способом 98: = 98 ÷ 2 = 49 . Из этого следует, что 2 × 49 = 98 , поэтому можно переписать задачу следующим образом: 98 = (2 × 49) .

Продолжите раскладывать числа, пока под корнем не останется произведение двух одинаковых чисел и других чисел.

Возьмем наш пример (2 × 49) :

Поскольку 2 уже и так максимально упрощено, необходимо упростить 49 . Ищем простое число, на которое можно разделить 49 . Очевидно, что ни 3 , ни 5 не подходят. Остается 7: 49 ÷ 7 = 7 , поэтому 7 × 7 = 49 .

Записываем пример в следующем виде: (2 × 49) = (2 × 7 × 7) .

Упростите выражение с квадратным корнем.

Поскольку в скобках у нас произведение 2 и двух одинаковых чисел (7) , то мы можем вынести за знак корня число 7 .

Пример 2

(2 × 7 × 7) = (2) × (7 × 7) = (2) × 7 = 7 (2) .

В тот момент, когда под корнем оказалось два одинаковых числа, останавливайтесь с разложением чисел на множители. Конечно, если вы использовали все возможности по максимуму.

Запомните: существуют корни, которые можно упрощать многократно.

В таком случае, числа, которые мы выносим из-под корня, и числа, которые стоят перед ним, перемножаются.

Пример 3

180 = (2 × 90) 180 = (2 × 2 × 45) 180 = 2 45

но 45 можно разложить на множители и еще раз упростить корень.

180 = 2 (3 × 15) 180 = 2 (3 × 3 × 5) 180 = 2 × 3 5 180 = 6 5

Когда невозможно получить два одинаковых числа под знаком корня, это значит, что упростить такой корень нельзя.

Если после разложения подкоренного выражения на произведение простых чисел, у вас не получилось получить два одинаковых числа, то такой корень упростить нельзя.

Пример 4

70 = 35 × 2 , поэтому 70 = (35 × 2)

35 = 7 × 5 , поэтому (35 × 2) = (7 × 5 × 2)

Как видим, все три множителя — простые числа, которые нельзя разложить на множители. Среди них нет одинаковых чисел, поэтому не представляется возможным вынести целое число из-под корня. Упростить 70 нельзя.

Полный квадрат

Запомните несколько квадратов простых чисел.

Квадрат числа получается, если умножить его на самого себя, т.е. при возведении в квадрат. Если вы запомните десяток квадратов простых чисел, то это очень упростить вам жизнь в дальнейшем упрощении корней.

Пример 5

1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 10 2 = 100

В случае если под знаком корня квадратного корня находится полный квадрат, то стоит убрать знак корня и записать квадратный корень данного полного квадрата.

Сложно? Нет:

Пример 6

1 = 1 4 = 2 9 = 3 16 = 4 25 = 5 36 = 6 49 = 7 64 = 8 81 = 9 100 = 10

Попробуйте разложить число под знаком корня на произведения полного квадрата и другого числа.

Если вы видите, что подкоренное выражение раскладывается на произведение полного квадрата и какого-либо числа, то, запомнив несколько примеров, вы существенно сэкономите время и нервы:

Пример 7

50 = (25 × 2) = 5 2 . Если подкоренное число оканчивается на 25, 50 или 75, вы всегда можете разложить его на произведение 25 и какого-то числа.

1700 = (100 × 17) = 10 17 . Если подкоренное число оканчивается на 00, вы всегда можете разложить его на произведение 100 и какого-то числа.

72 = (9 × 8) = 3 8 . Если сумма цифр подкоренного числа равна 9, вы всегда можете разложить его на произведение 9 и какого-то числа.

Попробуйте разложить подкоренное число на произведение нескольких полных квадратов: вынесите их из-под знака корня и перемножьте.

Пример 8

72 = (9 × 8) 72 = (9 × 4 × 2) 72 = 9 × 4 × 2 72 = 3 × 2 × 2 72 = 6 2

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Цель упрощения квадратного корня – это переписать его в такой форме, которую проще использовать в вычислениях. Разложение числа на множители – это нахождение двух или нескольких чисел, которые при перемножении дадут исходное число, например, 3 х 3 = 9. Найдя множители, вы сможете упростить квадратный корень или вообще избавиться от него. Например, √9 = √(3×3) = 3.

Если подкоренное число четное, разделите его на 2. Если подкоренное число нечетное, попробуйте разделить его на 3 (если число на 3 не делится, делите его на 5, 7 и так далее по списку простых чисел). Делите подкоренное число исключительно на простые числа, так как любое число можно разложить на простые множители. Например, вам не нужно делить подкоренное число на 4, так как 4 делится на 2, а вы уже разделили подкоренное число на 2.

Перепишите задачу как корень из произведения двух чисел. Например, упростим √98: 98 ÷ 2 = 49, поэтому 98 = 2 x 49. Перепишите задачу так: √98 = √(2 x 49).

Гениальный алгоритм создания лабиринтов в игре Entombed, который до сих пор не могут разгадать / Хабр

В 2017 двое ученых, канадец John Aycock и британка Tara Copplestone, опубликовали анализ классической игры Entombed для игровой приставки Atari 2600. Механика этой игры, выпущенной в 1982, крайне проста: археолог, управляемый игроком, должен пробраться по прокручивающимся снизу вверх катакомбам, уворачиваясь от зомби.

У Atari 2600 было всего 128 байт ОЗУ; тем не менее, кажущийся бесконечным лабиринт при каждом запуске был новым, т.е. генерировался в памяти. Как же программистам это удалось? Вот комментарий Стивена Сидли — программиста, 38 лет назад создавшего эту игру:

Основную часть генератора лабиринтов написал какой-то уволившийся торчок. Я связался с ним, чтобы выяснить, как его алгоритм работал. Он ответил, что придумал этот алгоритм, когда был вусмерть накурен и вдобавок пьян, что написал его сразу на ассемблере прежде чем вырубился, а потом даже близко не мог вспомнить, в чем его алгоритм состоял.

Генераторы лабиринтов

В Википедии перечислены дюжина разных алгоритмов для генерации лабиринтов. Наибольший интерес для игровых приставок представляет «алгоритм Эллера», созданный в том же 1982 Мартином Эллером из Microsoft. Алгоритм Эллера позволяет построчно создавать связные лабиринты без циклов, причем для генерации лабиринта неограниченной высоты достаточно хранить в памяти только пару последних строк. Казалось бы, это как раз то, что нужно для Entombed! Но увы, с игровой механикой вертикального скроллера алгоритм Эллера несовместим, потому что в получившемся лабиринте регулярно приходится обходить препятствия сверху. Для демонстрации этого я слегка модифицировал алгоритм Эллера, чтобы лабиринт создавался в матрице из «стен» и «проходов», как и в Entombed:

Более изощренные алгоритмы, использующие рекурсию и т.п., не уложились бы в 128 байт ОЗУ. Итак, требования к алгоритму для Entombed такие:

1. Построчная генерация лабиринтов неограниченной высоты;
2. В создаваемых лабиринтах должно быть как можно меньше несвязных участков; (у игрока есть ограниченная возможность «пробивать стены», так что редкие несвязности не представляет проблемы)
3. Создаваемые лабиринты должны состоять в основном из ветвящихся и соединяющихся вертикальных проходов — так, чтобы для прохождения лабиринта не требовалось движение вверх;
4. Для генерации новых строк лабиринта должны использоваться только несколько последних сгенерированных строк. (Поскольку у Atari 2600 нет видеобуфера, то все видимые на экране строки лабиринта должны в каком-то виде храниться в 128 байтах основной памяти).

Кто и как создал этот алгоритм?

Двое ученых, называющих себя «археологами видеоигр», решили начать свои изыскания именно с Entombed — игры про археолога в лабиринте. В ходе своего исследования они разыскали Стивена Сидли, и спросили его, какой алгоритм он использовал для генерации лабиринта. Как уже было упомянуто, Сидли им ответил, что даже автор алгоритма не мог вспомнить, в чем его алгоритм состоял, а сам Сидли — тем более. Затем исследователи попытались найти «торчка», создавшего этот алгоритм; вторая половина истории нашлась в интервью, опубликованном в 2008:

Генератор лабиринтов для Entombed создали Дункан [Duncan Muirhead] и я [Paul Allen Newell]. Как-то вечером после работы мы с Дунканом пошли выпить, и у нас завязалось обсуждение того, возможно ли генерировать бесконечный лабиринт, в котором всегда есть проход. Тогда мы не думали о создании игры, нас интересовала сама задача генерации лабиринта. Алгоритм мы придумали вместе, и поскольку я умел программировать для VCS [Atari 2600], то за выходные я создал работоспособный прототип. Нас обоих впечатлило, насколько реализация получилась элегантной. Потом мы показали этот прототип начальству, и они решили, что из него получится отличная игра. Мне это уже не было интересно, так что я доделал Towering Inferno, задействовав там часть нашего алгоритма, и уволился. После моего ухода фирма наняла Стивена Сидли, и передала генератор лабиринтов ему. Существенную часть моего кода ему пришлось удалить, чтобы освободить место для игровой механики. [У Atari 2600, кроме жестких ограничений по объемам ОЗУ и ПЗУ, было еще и требование, чтобы генерация каждой строки пикселей занимала ровно 76 тактов примечание автора].

Сидли упомянул, что код генератора лабиринтов был написан на ассемблере 6502 безо всяких комментариев. Это само по себе похоже на подвиг: как отметилkhim, там «набор команд столь ограничен и крив, что при написании программ возникает в основном вопрос «а как на этом чуде вообще хоть что-то написать»?» Тем не менее, исследователи расковыряли код игры, и выяснили, что лабиринт генерируется следующим образом: для каждой из восьми ячеек генерируемой строки рассматриваются пять уже сгенерированных ячеек (три сверху и две слева), и в соответствии с «магической таблицей» выбирается состояние новой ячейки (проход, стена, либо случайный выбор). Две самые левые ячейки всегда заполнены, и в памяти не хранятся. Правая половина лабиринта — просто зеркальное отражение левой.

Таинственная таблица в сердце неразгаданного алгоритма

Свойства генерируемого лабиринта зависят от того, какое состояние новой ячейки задается для каждой пятерки сгенерированных ранее. Таблица, вшитая в Entombed, немало озадачила исследователей: «Мы не заметили в ней никаких закономерностей, даже когда мы несколькими способами представили ее в виде карты Карно. » Сидли высказался в том же духе: «Для меня она остается загадкой: я так и не смог ее распутать, и использовал ее как черный ящик.» Впрочем, отсутствие закономерностей в таблице — некоторое преувеличение: например, на карте Карно видно, что при c=1 (стена слева сверху от текущей ячейки) не будет генерироваться X=1 (стена в текущей ячейке).

BBC в своем репортаже про «цифровую археологию» прибегла к еще более драматичным преувеличениям: «Таблица составлена поистине гениально: при каждом запуске игры создается новый лабиринт, по которому можно пройти из начала в конец. Если бы значения в этой таблице были хоть немного другими, то скорее всего, лабиринт получался бы непроходимым. Это просто необъяснимо.» Перепост на hackaday.com сформулирован еще увереннее: «Загадочная таблица всегда создает проходимые лабиринты, но стоит в ней поменять любые биты, и головоломка станет неразрешимой.» На самом же деле, и лабиринт не всегда получался связным, как видно на видеозаписи игры; и небольшие изменения в таблице не оказывают заметного влияния на получающиеся лабиринты: я сделал версию на JavaScript, в которой вы можете сами поиграть с «загадочной таблицей» — менять ее прямо «на ходу» и следить, как в результате меняется лабиринт. Вероятно, гарантия связности лабиринта, о которой упоминал и Paul Newell в своем интервью, была потеряна вместе с удаленной частью кода.

Археология видеоигр

John Aycock прокомментировал, как Entombed стала объектом его исследования: он готовил для своих студентов задание на реверс-инжиниринг, и выбрал относительно малоизвестную игру, потому что для популярных игр студенты могли бы найти в сети уже разобранный код. Если в игре, выбранной наугад, встретилась такая выдающаяся находка — не значит ли это, что практически в любой игре того времени найдутся блестящие программистские решения, стоит лишь копнуть поглубже? Стивен Сидли сравнил разработку для Atari 2600, с ее убогим набором команд, 128 байтами ОЗУ, и 76 тактами на каждую строку пикселей, — с «восхождением на Эверест без кислородных баллонов»: сами ограничения платформы вынуждали программистов изобретать гениальные алгоритмы.

«Копнуть поглубже» — это не только метафора. Исследование классических видеоигр осложняется как недолговечностью носителей, на которых они были записаны, так и отношением к старым играм как к неинтересному мусору. В 1983 Atari вывалила на свалку 47 тонн картриджей для Atari 2600 — не меньше десятка полных грузовиков! Раздавленные асфальтовым катком и залитые сверху бетоном, эти картриджи лежали тридцать лет, пока в 2014 «цифровые археологи» не получили разрешение на раскопки и извлечение уцелевших картриджей. Ни один из выкопанных картриджей не работал, но как минимум один из них удалось восстановить, перепаяв компоненты.

Поведение Atari, залившей картриджи бетоном, чтобы защитить их от «расхитителей» — весьма типично для правообладателей, которые легче предадут свои наработки вечному забвению, чем потерпят «упущенную выгоду» от того, что их интеллектуальная собственность кому-то достанется бесплатно. Но возможно, еще не поздно защитить «виртуальный культурный слой» 20-го века, разрешив свободное копирование программ, давно утративших коммерческую ценность?

ГДЗ по Алгебре 8 класс Колягин

Авторы:Колягин, Ткачева, Фёдорова

Изд-во:Просвещение 2019-2020-2021

Вид УМК:учебник

Чем подробнее изложены решения, с указанием алгоритма и логики осуществляемых действий, расписаны варианты нахождения правильного ответа, тем больше шансов, что школьники не просто перепишут результат себе в тетрадь, а разберутся в технологии его получения. Для этого следует выбирать максимально качественные решебники, ориентируясь на отзывы и рекомендации специалистов и пользователей. Среди тех, что рекомендуются особенно часто — гдз по алгебре за 8 класс Колягин к популярному учебному пособию по дисциплине. Чтобы работа была максимально полезной, стоит выделить на нее время в своем ежедневном расписании. Эксперты предлагают затратить на это хотя бы час. И — стараться не допускать долгих, превышающих две недели, пропусков в таких занятиях во избежание забывания материала и последующего его форсированного наверстывания, приводящего к усталости.

Приоритетные категории пользователей онлайн справочников

В числе тех, кто регулярно применяет сборник ответов по алгебре 8 класс Колягина, чаще всего можно встретить таких пользователей:

• восьмиклассников, которые часто отсутствуют на уроках из-за слабого здоровья или поездок на творческие, спортивные сборы и соревнования, конкурсные мероприятия. С помощью этого ресурса они смогут самостоятельно разобраться, как решать и оформлять решение алгебраических заданий во время своего отсутствия в школе;
• готовящихся к ОГЭ и ЕГЭ выпускников, повторяющих курс алгебры за 8-й класс, сверяющих особенности правильного оформления ответов с теми, которыми пользовались они, уточнить свои знания;
• подростков, планирующих участвовать в математических олимпиадах, особенно тех из них, которые изучают школьный курс дисциплины по другим программам, учебным материалам и желают дополнить свои знания тем и разделов;
• школьных учителей, которым надо оперативно завершить проверку большого количества ученических тетрадей в условиях ограниченного времени в связи с необходимостью решения других, более срочных задач;
• родителей восьмиклассников, решивших проверить качество знаний своего ребенка, уровень его готовности к предстоящей в классе проверке.

Какую пользу несут готовые решения по алгебре за 8 класс (авторы Колягин, Ткачева)?

Хотя и сегодня встречаются те, кто уверен, что еуроки ГДЗ пригодны исключительно для списывания ответов теми, кто не хочет заниматься сам, все больше родителей и педагогов соглашается с полезностью этого ресурса. Среди их аргументов о преимуществах таких материалов:

• возможность найти решение на сложную задачу, которую не получается понять самостоятельно;
• сверка ответов с эталонными до проверки работы учителем, а значит — без риска получить плохую оценку;
• грамотно сформированный поиск, позволяющий быстро найти и использовать верный результат;
• соответствие данных требованиям образовательных Стандартов.

Изучив сборники готовых ответов, поняв, как грамотно решать и оформлять работу, школьники приобретут ценные навыки самоконтроля, самопроверки и умения достигать своих целей в условиях ограниченного времени.

Найди ответ по номеру задания

1234567891011121314151617181920

2122232425262728293031323334353637383940

4142434445464748495051525354555657585960

6162636465666768697071727374757677787980

81828384858687888990919293949596979899100

101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120

121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140

141142143144145146147148149150151152153154155156157158159160

161162163164165166167168169170171172173174175176177178179180

181182183184185186187188189190191192193194195196197198199200

201202203204205206207208209210211212213214215216217218219220

221222223224225226227228229230231232233234235236237238239240

241242243244245246247248249250251252253254255256257258259260

261262263264265266267268269270271272273274275276277278279280

281282283284285286287288289290291292293294295296297298299300

301302303304305306307308309310311312313314315316317318319320

321322323324325326327328329330331332333334335336337338339340

341342343344345346347348349350351352353354355356357358359360

361362363364365366367368369370371372373374375376377378379380

381382383384385386387388389390391392393394395396397398399400

401402403404405406407408409410411412413414415416417418419420

421422423424425426427428429430431432433434435436437438439440

441442443444445446447448449450451452453454455456457458459460

461462463464465466467468469470471472473474475476477478479480

481482483484485486487488489490491492493494495496497498499500

501502503504505506507508509510511512513514515516517518519520

521522523524525526527528529530531532533534535536537538539540

541542543544545546547548549550551552553554555556557558559560

561562563564565566567568569570571572573574575576577578579580

581582583584585586587588589590591592593594595596597598599600

Квадратный корень из 72 — Как найти квадратный корень из 72?

LearnPracticeDownload

72 не является идеальным квадратом. Оно представлено как √ 72. Квадратный корень из 72 можно только упростить. В этом мини-уроке мы научимся находить квадратный корень из 72 методом деления в большую сторону вместе с решенными примерами. Давайте посмотрим, что такое квадратный корень из 72 .

• Квадратный корень из 72 : √ 72 = 8,4852
• Квадрат 72: 72 ² = 5184

Что такое квадратный корень из 72?

Исходное число, квадрат которого равен 72, является квадратным корнем из 72. Сможете ли вы найти, что это за число? Видно, что не существует целых чисел, квадрат которых дает 72,9.0003

√ 72 = 8,4852

Чтобы проверить этот ответ, мы можем найти (8,4852) ² и увидеть, что мы получаем число 71,99861904. Это число очень близко к 72 при округлении до ближайшего значения.

Является ли квадратный корень из 72 рациональным или иррациональным?

Любое число, которое завершается или не завершается и имеет повторяющийся шаблон в своей десятичной части, является рациональным числом. Мы видели, что √ 72 = 8,48528137423857. Это десятичное число не является завершающим, а десятичная часть не имеет повторяющегося шаблона. Так что это НЕ рациональное число. Следовательно, √ 72 – иррациональное число.

В важных примечаниях:

• 72 лежит между 64 и 81. Следовательно, √ 72 Lies между √ 64 и √ 81, т. е.
• Квадратный корень из несовершенного квадратного числа в простейшей радикальной форме можно найти с помощью метода простой факторизации. Например: 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3. Итак, √ 72 = √ (2 × 2 × 2 × 3 × 3) = 6 √ 2,

Как найти квадратный корень из 72?

Существуют разные способы извлечения квадратного корня из любого числа. Мы можем найти квадратный корень из 72, используя метод деления в большую сторону.
Нажмите здесь, чтобы узнать больше об этом.

Упрощенная радикальная форма квадратного корня из 72

72 — составное число. Следовательно множители 72 – 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 и 72. Когда мы находим квадратный корень из любого числа, мы берем по одному числу из каждой пары одинаковых чисел. из его простой факторизации, и мы их умножаем. Разложение числа 72 на множители равно 2 × 2 × 2 × 3 × 3, в котором есть 1 пара одинаковых чисел. Таким образом, простейшая радикальная форма √ 72 равно 6 √ 2.

Квадратный корень из 72 методом деления в длину

Квадратный корень из 72 можно найти с помощью деления в длину следующим образом.

• Шаг 1 : На этом шаге мы объединяем в пары цифры заданного числа, начиная с цифры на месте. Мы ставим горизонтальную черту, чтобы обозначить сопряжение.
• Шаг 2 :   Теперь нам нужно найти число, которое при возведении в квадрат дает значение, меньшее или равное 72. Как мы знаем, 8 × 8 = 64 < 72. Полученный делитель равен 8, а частное равно 8.
• Шаг 3 :   Теперь мы должны уменьшить 00 и умножить частное на 2, что дает нам 16. 
• Шаг 4 : 4 записывается вместо нового делителя, потому что при умножении 164 на 4 получается 656, что меньше 800. Полученный ответ теперь равен 144, и мы опускаем 00.
• Шаг 5 : Частное теперь равно 84, и оно умножается на 2. Это дает 168, которое затем станет начальной цифрой нового делителя.
• Шаг 6 : 7 записывается вместо нового делителя, потому что при умножении 1688 на 8 получается 13504, что меньше 14400. Полученный ответ теперь равен 896, и мы опускаем 00.
• Шаг 7 : Частное теперь равно 848, и оно умножается на 2. Это дает 1696, которое затем станет начальной цифрой нового делителя.
• Шаг 8 : 5 записывается вместо нового делителя, потому что при умножении 16965 на 8 получается 84825, что меньше 89600. Полученный ответ теперь 4775 и сносим 00.

Итак, мы получили √ 72 = 8,485. Повторив этот процесс дальше, мы получим √ 72 = 8,48528137423857

Исследуйте квадратные корни, используя иллюстрации и интерактивные примеры.

• Квадратный корень из 61
• Квадратный корень из 63
• Квадратный корень из 65
• Квадратный корень из 68
• Квадратный корень из 85

Think Tank:

• √ -72 и — √ 72 одинаковы?
• Является ли √ -72 реальным числом?

1. Пример 1 : Дэнни должен доказать, что 72 не является полным квадратом. Как он это докажет?

   Решение

   Дэнни знает, что для того, чтобы число было полным квадратом, его квадратный корень должен быть целым числом.
   Найдя квадратный корень из 72, он получит 8,485, что не является целым числом.

   Следовательно, он может доказать, что 72 не является полным квадратом.

2. Пример 2 : Радиус круга площадью 72π квадратных дюймов равен длине квадрата площадью 72 квадратных дюйма?

   Решение

   Радиус находится по формуле площади круга: πr ² квадратных дюймов. По данной информации

   πr ²  = 72π 
   r ² = 72

   Извлекая квадратный корень с обеих сторон, √ r ² = √ 72. Мы знаем, что квадратный корень из r ² равен r.
   Квадратный корень из 72 равен 8,48 дюйма.

   Длина квадрата находится по формуле площади квадрата. Согласно предоставленной информации,

   Площадь = длина × длина
   Таким образом, длина = √ Площадь = √ 72 = 8,48 дюйма

   Следовательно, радиус круга площадью 72π квадратных дюймов равен длине квадрата площадью 72 квадратных дюйма.

перейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

перейти к слайдуперейти к слайду

Можно ли упростить квадратный корень из 72?

Да, квадратный корень из 72 можно упростить и выразить в радикальной форме как 6 √ 2.

Чему равен квадратный корень из 72, округленный до ближайшей десятой?

Округление квадратного корня из 72 до ближайшей десятой означает наличие одной цифры после запятой.
√ 72 = 8,485 можно округлить до ближайшей десятой до 8,5.

Есть ли у числа 72 квадратный корень?

Квадратный корень из 72 можно записать как 6 √ 2, и его нельзя упростить, поскольку это не полный квадрат.

Чему равен квадратный корень из 72 в упрощенном виде?

72 не является полным квадратом и, следовательно, его квадратный корень не является целым числом. √ 72 = 8,48528137423857 (приблизительно)

Является ли квадратный корень из 72 рациональным или иррациональным?

Квадратный корень из 72 иррационален.

Является ли квадратный корень из 72 действительным числом?

Да, квадратный корень из 72 – действительное число.

Рабочие листы по математике и визуальная программа

Mathway | Популярные проблемы

Квадратный корень из 72 (√72)

Здесь мы определим, проанализируем, упростим и вычислим квадратный корень из 72. Мы начнем с определения, а затем ответим на некоторые общие вопросы. вопросы о квадратном корне из 72. Затем мы покажем вам различные способы вычисления квадратного корня из 72 с и без компьютер или калькулятор. У нас есть много информации, чтобы поделиться, так что давайте начнем!

Корень квадратный из 72 определение
Квадратный корень из 72 в математической форме записывается со знаком радикала, например, √72. Мы называем это квадратным корнем из 72 в радикальной форме. Квадратный корень из 72 — это величина (q), которая при умножении сама на себя будет равна 72.

√72 = q × q = q ²

Является ли 72 полным квадратом?
72 является полным квадратом, если квадратный корень из 72 равен целому числу. Как мы рассчитали дальше внизу на этой странице квадратный корень из 72 не является целым числом.

72 не является идеальным квадратом.

Является ли квадратный корень из 72 рациональным или иррациональным?
Квадратный корень из 72 является рациональным числом, если 72 является полным квадратом. Это иррациональное число, если оно не является полным квадратом. Поскольку 72 не является полным квадратом, это иррациональное число. Это означает, что ответ на вопрос «квадратный корень из 72?» будет бесконечное количество десятичных знаков. Десятичные дроби не прекратятся, и вы не сможете превратить их в точную дробь.

√72 — иррациональное число

Можно ли упростить квадратный корень из 72?
Вы можете упростить 72, если сможете уменьшить 72 внутри корня. Мы называем этот процесс «упрощать сурд». Квадратный корень из 72 можно упростить.

√72 = 6√2

Как вычислить квадратный корень из 72 с помощью калькулятора
Самый простой и скучный способ вычислить квадратный корень из 72 — воспользоваться калькулятором! Просто введите 72, а затем √x, чтобы получить ответ. Мы сделали это с помощью нашего калькулятора и получили следующий ответ с 9десятичные числа:

√72 ≈ 8,485281374

Как вычислить квадратный корень из 72 на компьютере
получить квадратный корень из 72. Ниже приведен результат, который мы получили с 13 десятичными знаками. Мы называем это квадратным корнем из 72 в десятичной форме.

SQRT(72) ≈ 8,4852813742386

Чему равен квадратный корень из 72, округленный?
Квадратный корень из 72, округленный до ближайшей десятой, означает, что вам нужна одна цифра после запятой. Квадратный корень из 72, округленный до сотых, означает, что вы нужны две цифры после запятой. Квадратный корень из 72, округленный до ближайшей тысячной, означает, что вам нужны три цифры после запятой.

10-й: √72 ≈ 8,5

100-й: √72 ≈ 8,49

1000-й: √72 ≈ 8,485