Постройте график функции y x 3 x 2: Mathway | Популярные задачи

2-4 — Учеба и наука

#математика

#алгебра

#срочно

Ответы

23. 03.16

Владимир Читать ответы

Евгений Читать ответы

Андрей Андреевич Читать ответы

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика

Похожие вопросы

Решено

f(x)=7x^6-x^4/4+5x^2-6 найти производную функции

2. 2-3x+1 — Учеба и наука

Ответы

Михаил Александров 19. 01.15

Владимир от 50 p. Читать ответы

Евгений от 0 p. Читать ответы

Андрей Андреевич от 70 p. Читать ответы

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика

Похожие вопросы

до перерыва шахматисты играли 4/5…

В буфете тарелок было в…

в преддверии хоккейного матча «Метеор-Вымпел» стала известна информация о купленных билетах. На южную трибуну был продано более 4/17 билетов, на…

в пакете лежат конфеты если.. .

по норме маляр за 4…

Пользуйтесь нашим приложением

Постройте график функции y 3x 2 6x. Постройте график функции y=

Построение графиков функций, содержащих модули, обычно вызывает немалые затруднения у школьников. Однако, все не так плохо. Достаточно запомнить несколько алгоритмов решения таких задач, и вы сможете без труда построить график даже самой на вид сложной функции. Давайте разберемся, что же это за алгоритмы.

1. Построение графика функции y = |f(x)|

Заметим, что множество значений функций y = |f(x)| : y ≥ 0. Таким образом, графики таких функций всегда расположены полностью в верхней полуплоскости.

Построение графика функции y = |f(x)| состоит из следующих простых четырех этапов.

1) Построить аккуратно и внимательно график функции y = f(x).

2) Оставить без изменения все точки графика, которые находятся выше оси 0x или на ней.

3) Часть графика, которая лежит ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

Пример 1. Изобразить график функции y = |x 2 – 4x + 3|

1) Строим график функции y = x 2 – 4x + 3. Очевидно, что график данной функции – парабола. Найдем координаты всех точек пересечения параболы с осями координат и координаты вершины параболы.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Следовательно, парабола пересекает ось 0x в точках (3, 0) и (1, 0).

y = 0 2 – 4 · 0 + 3 = 3.

Следовательно, парабола пересекает ось 0y в точке (0, 3).

Координаты вершины параболы:

x в = -(-4/2) = 2, y в = 2 2 – 4 · 2 + 3 = -1.

Следовательно, точка (2, -1) является вершиной данной параболы.

Рисуем параболу, используя полученные данные (рис. 1)

2) Часть графика, лежащую ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно оси 0x.

3) Получаем график исходной функции (рис. 2 , изображен пунктиром).

2. Построение графика функции y = f(|x|)

Заметим, что функции вида y = f(|x|) являются четными:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Значит, графики таких функций симметричны относительно оси 0y.

Построение графика функции y = f(|x|) состоит из следующей несложной цепочки действий.

1) Построить график функции y = f(x).

2) Оставить ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

3) Отобразить указанную в пункте (2) часть графика симметрично оси 0y.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 2. Изобразить график функции y = x 2 – 4 · |x| + 3

Так как x 2 = |x| 2 , то исходную функцию можно переписать в следующем виде: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. А теперь можем применять предложенный выше алгоритм.

1) Строим аккуратно и внимательно график функции y = x 2 – 4 · x + 3 (см. также рис. 1 ).

2) Оставляем ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

3) Отображаем правую часть графика симметрично оси 0y.

(рис. 3) .

Пример 3. Изобразить график функции y = log 2 |x|

Применяем схему, данную выше.

1) Строим график функции y = log 2 x (рис. 4) .

3. Построение графика функции y = |f(|x|)|

Заметим, что функции вида y = |f(|x|)| тоже являются четными. Действительно, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), и поэтому, их графики симметричны относительно оси 0y. Множество значений таких функций: y ≥ 0. Значит, графики таких функций расположены полностью в верхней полуплоскости.

Чтобы построить график функции y = |f(|x|)|, необходимо:

1) Построить аккуратно график функции y = f(|x|).

2) Оставить без изменений ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 4. Изобразить график функции y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Заметим, что x 2 = |x| 2 . Значит, вместо исходной функции y = -x 2 + 2|x| – 1

можно использовать функцию y = -|x| 2 + 2|x| – 1, так как их графики совпадают.

Строим график y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Для этого применяем алгоритм 2.

a) Строим график функции y = -x 2 + 2x – 1 (рис. 6) .

b) Оставляем ту часть графика, которая расположена в правой полуплоскости.

c) Отображаем полученную часть графика симметрично оси 0y.

d) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 7) .

2) Выше оси 0х точек нет, точки на оси 0х оставляем без изменения.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно 0x.

4) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 8)

.

Пример 5. Построить график функции y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Сначала необходимо построить график функции y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Для этого возвращаемся к алгоритму 2.

a) Аккуратно строим график функции y = (2x – 4) / (x + 3) (рис. 9) .

Заметим, что данная функция является дробно-линейной и ее график есть гипербола. Для построения кривой сначала необходимо найти асимптоты графика. Горизонтальная – y = 2/1 (отношение коэффициентов при x в числителе и знаменателе дроби), вертикальная – x = -3.

2) Ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней, оставим без изменений.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразим симметрично относительно 0x.

4) Окончательный график изображен на рисунке (рис. 11) .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Разберем как строить график с модулем.

Найдем точки при переходе которых знак модулей меняется.
Каждое выражения, которое под модулем приравниваем к 0. У нас их два x-3 и x+3.
x-3=0 и x+3=0
x=3 и x=-3

У нас числовая прямая разделится на три интервала (-∞;-3)U(-3;3)U(3;+∞). На каждом интервале нужно определить знак под модульных выражений.

1. Это сделать очень просто, рассмотрим первый интервал (-∞;-3). Возьмем с этого отрезка любое значение, например, -4 и подставим в каждое под модульное уравнение вместо значения х.
х=-4
x-3=-4-3=-7 и x+3=-4+3=-1

У обоих выражений знаки отрицательный, значит перед знаком модуля в уравнении ставим минус, а вместо знака модуля ставим скобки и получим искомое уравнение на интервале (-∞;-3).

y=— (x-3)-(— (x+3))=-х+3+х+3=6

На интервале (-∞;-3) получился график линейной функции (прямой) у=6

2. Рассмотрим второй интервал (-3;3). Найдем как будет выглядеть уравнение графика на этом отрезке. Возьмем любое число от -3 до 3, например, 0. Подставим вместо значения х значение 0.
х=0
x-3=0-3=-3 и x+3=0+3=3

У первого выражения x-3 знак отрицательный получился, а у второго выражения x+3 положительный. Следовательно, перед выражением x-3 запишем знак минус, а перед вторым выражением знак плюс.

y=— (x-3)-(+ (x+3))=-х+3-х-3=-2x

На интервале (-3;3) получился график линейной функции (прямой) у=-2х

3.Рассмотрим третий интервал (3;+∞). Возьмем с этого отрезка любое значение, например 5, и подставим в каждое под модульное уравнение вместо значения х.

х=5
x-3=5-3=2 и x+3=5+3=8

У обоих выражений знаки получились положительными, значит перед знаком модуля в уравнении ставим плюс, а вместо знака модуля ставим скобки и получим искомое уравнение на интервале (3;+∞).

y=+ (x-3)-(+ (x+3))=х-3-х-3=-6

На интервале (3;+∞) получился график линейной функции (прямой) у=-6

4. Теперь подведем итог.Постоим график y=|x-3|-|x+3|.
На интервале (-∞;-3) строим график линейной функции (прямой) у=6.
На интервале (-3;3) строим график линейной функции (прямой) у=-2х.
Чтобы построить график у=-2х подберем несколько точек.
x=-3 y=-2*(-3)=6 получилась точка (-3;6)
x=0 y=-2*0=0 получилась точка (0;0)
x=3 y=-2*(3)=-6 получилась точка (3;-6)
На интервале (3;+∞) строим график линейной функции (прямой) у=-6.

5. Теперь проанализируем результат и ответим на вопрос задания найдем значение k, при которых прямая y=kx имеет с графиком y=|x-3|-|x+3| данной функции ровно одну общую точку.

Прямая y=kx при любом значении k всегда будет проходить через точку (0;0). Поэтому мы можем изменить только наклон данной прямой y=kx, а за наклон у нас отвечает коэффициент k.

Если k будет любое положительное число, то будет одно пересечение прямой y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3|. Этот вариант нам подходит.

Если k будет принимать значение (-2;0), то пересечений прямой y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| будет три.Этот вариант нам не подходит.

Если k=-2, решений будет множество [-2;2], потому что прямая y=kx будет совпадать с графиком y=|x-3|-|x+3| на данном участке. Этот вариант нам не подходит.

Если k будет меньше -2, то прямая y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| будет иметь одно пересечение.Этот вариант нам подходит.

Если k=0, то пересечений прямой y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| также будет одно. 3$.
2. Найдем точку А, координата x, которой равна 1,5. Мы видим, что координата функции находится между значениями 3 и 4 (см. рис. 2). Значит надо заказать 4 куба.

Функция вида у = х 2 называется квадратичной , графиком функции является парабола с вершиной в точке (0;0) , ветви параболы направлены вверх, график симметричен относительно оси ординат.

Построим график функции y = x 2 . Составим таблицу соответственных значений x и y:

Свойства функции y = x 2:

• График функции неограниченно продолжается вверх справа и слева от оси y.
• Если x ≠ 0, то y > 0. Так как квадрат любого числа, отличного от нуля положителен, то все точки графика кроме (0,0), расположены выше оси x.
• Противоположным значениям x соответствует одно и то же значение y. Это следует из того, что (-x) 2 = x 2 для любого значения x. Значит, точки графика, имеющие противоположные абсциссы, симметричны относительно оси y.

Функция вида у = х 3 называется кубической , графиком функции является кубическая парабола с вершиной в точке (0;0) , график симметричен относительно начала координат.

Построим график функции y = x 3
Составим таблицу соответственных значений x и y, округляя значения y до сотых:

График функции y = x 3 называется кубической параболой.

Свойства функции y = x 3:

• График функции неограниченно продолжается вверх справа от оси y и неограниченно продолжается вниз слева от оси y.
• Если x = 0, то y = 0. То есть график функции проходит через начало координат
• Если x > 0, то y > 0, если x отрицательного числа — отрицательное число. Значит график функции расположен в первой и третьей координатных четвертях.
• Противоположным значениям x соответствует противоположные значения y. Это следует из того, что (-x) 3 = -x 3 для любого значения x. Значит, точки графика, имеющие противоположные абсциссы, симметричны относительно начала координат.

Вопросы к конспектам

Даны точки . Какая из них принадлежит графику функции y = x 2 ?

Точка А(a, b) принадлежит графику функции y = x 3 . Какая из точек В(–а;b), С(а; -b) и D (– а; –b) также принадлежит этому графику?

Разберем как строить график с модулем.

Найдем точки при переходе которых знак модулей меняется.
Каждое выражения, которое под модулем приравниваем к 0. У нас их два x-3 и x+3.
x-3=0 и x+3=0
x=3 и x=-3

У нас числовая прямая разделится на три интервала (-∞;-3)U(-3;3)U(3;+∞). На каждом интервале нужно определить знак под модульных выражений.

1. Это сделать очень просто, рассмотрим первый интервал (-∞;-3). Возьмем с этого отрезка любое значение, например, -4 и подставим в каждое под модульное уравнение вместо значения х.
х=-4
x-3=-4-3=-7 и x+3=-4+3=-1

У обоих выражений знаки отрицательный, значит перед знаком модуля в уравнении ставим минус, а вместо знака модуля ставим скобки и получим искомое уравнение на интервале (-∞;-3).

y=— (x-3)-(— (x+3))=-х+3+х+3=6

На интервале (-∞;-3) получился график линейной функции (прямой) у=6

2. Рассмотрим второй интервал (-3;3). Найдем как будет выглядеть уравнение графика на этом отрезке. Возьмем любое число от -3 до 3, например, 0. Подставим вместо значения х значение 0.
х=0
x-3=0-3=-3 и x+3=0+3=3

У первого выражения x-3 знак отрицательный получился, а у второго выражения x+3 положительный. Следовательно, перед выражением x-3 запишем знак минус, а перед вторым выражением знак плюс.

y=— (x-3)-(+ (x+3))=-х+3-х-3=-2x

На интервале (-3;3) получился график линейной функции (прямой) у=-2х

3.Рассмотрим третий интервал (3;+∞). Возьмем с этого отрезка любое значение, например 5, и подставим в каждое под модульное уравнение вместо значения х.

х=5
x-3=5-3=2 и x+3=5+3=8

У обоих выражений знаки получились положительными, значит перед знаком модуля в уравнении ставим плюс, а вместо знака модуля ставим скобки и получим искомое уравнение на интервале (3;+∞).

y=+ (x-3)-(+ (x+3))=х-3-х-3=-6

На интервале (3;+∞) получился график линейной функции (прямой) у=-6

4. Теперь подведем итог.Постоим график y=|x-3|-|x+3|.
На интервале (-∞;-3) строим график линейной функции (прямой) у=6.
На интервале (-3;3) строим график линейной функции (прямой) у=-2х.
Чтобы построить график у=-2х подберем несколько точек.
x=-3 y=-2*(-3)=6 получилась точка (-3;6)
x=0 y=-2*0=0 получилась точка (0;0)
x=3 y=-2*(3)=-6 получилась точка (3;-6)
На интервале (3;+∞) строим график линейной функции (прямой) у=-6.

5. Теперь проанализируем результат и ответим на вопрос задания найдем значение k, при которых прямая y=kx имеет с графиком y=|x-3|-|x+3| данной функции ровно одну общую точку.

Прямая y=kx при любом значении k всегда будет проходить через точку (0;0). Поэтому мы можем изменить только наклон данной прямой y=kx, а за наклон у нас отвечает коэффициент k.

Если k будет любое положительное число, то будет одно пересечение прямой y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3|. Этот вариант нам подходит.

Если k будет принимать значение (-2;0), то пересечений прямой y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| будет три. Этот вариант нам не подходит.

Если k=-2, решений будет множество [-2;2], потому что прямая y=kx будет совпадать с графиком y=|x-3|-|x+3| на данном участке. Этот вариант нам не подходит.

Если k будет меньше -2, то прямая y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| будет иметь одно пересечение.Этот вариант нам подходит.

Если k=0, то пересечений прямой y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| также будет одно.Этот вариант нам подходит.

Ответ: при k принадлежащей интервалу (-∞;-2)U}

3-8 9 Оценить квадратный корень из 12 10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить квадратный корень из 18 93-8 9 Оценить квадратный корень из 12 10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить квадратный корень из 18 92

График параболы — Темы предварительного исчисления

Темы в

ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ РАБОТА

Содержание | Главная

5

Постоянная функция

Функция идентификации

Функция абсолютного значения

y = x ² : Парабола

г.

Функция квадратного корня

Кубическая функция

Обратная функция

НИЖЕ ПРИВЕДЕНЫ ГРАФИКИ, которые встречаются в аналитической геометрии и исчислении. Учащийся должен уметь зарисовывать их — и узнавать — исключительно по форме. Точки ставить не обязательно.

Постоянная функция

Вот график y = f ( x ) = 3. Это прямая линия, параллельная оси x . Она называется постоянной функцией, потому что каждому значению x соответствует одно и то же значение y : 3.

Является ли постоянная функция однозначной? Да, потому что каждому значению x соответствует одно и только одно значение y . 3.

Постоянная функция имеет вид

г = с ,

, где c — константа, то есть число.

Функция тождества и функция абсолютного значения

y = x называется функцией тождества, потому что значение y идентично значению x . Пары координат ( x , x ).

В функции абсолютного значения отрицательных значений и в функции тождества отражаются в положительную сторону. Для, |− x | = | х | = х . Пары координат: ( x , | x |).

Пример.

а) Какова область определения функции идентичности?

Нет естественного ограничения на значения x . Следовательно, домен, в котором «живет» функция, включает в себя каждое действительное число.

г.

−x

Прежде всего обратите внимание, что бесконечность «» — это не число и не место. Это слово вместе с символом, которое мы используем для обозначения: нет предела значениям x , которые мы могли бы назвать.

Обратите внимание, что мы пишем « x меньше, чем ». Равно до бесконечности не имеет смысла.

б) Каков диапазон функции тождества?

Диапазон значений и , которые соответствуют значениям в домене. Изучение графика покажет, что y также будут принимать все действительные значения.

−y

Функция параболы и квадратного корня

В параболе y = x ² пары координат равны ( x , x ² ). На графике находятся следующие точки: (1, 1), (−1, 1), (2, 4), (−2, 4) и так далее.

г.

График функции квадратного корня связан с y = x ² . Это его инверсия. Пары координат: ( x , ). Например, (1, 1), (4, 2), (9, 3) и т. д.

Обратите внимание, что функция извлечения квадратного корня определена только для неотрицательных значений x . Ибо квадратный корень из отрицательного числа не реален.

Также этот символ относится к одному неотрицательному числу, называемому главным квадратным корнем. (См. урок 26 алгебры, пример 2.)   y = значит, это функция.

Задача 1.   Какова область определения функции y = x ² и каков ее диапазон?

Эта функция определена для всех значений x : −∞ x

Что касается диапазона, то наименьшее значение и равно 0. Максимальное значение не ограничено. 0 ≤ г ∞.

г. Проблема 2.   Какова область определения функции квадратного корня и каков ее диапазон?

Функция квадратного корня определена только для неотрицательных значений x . Домен:   x ≥ 0,

Что касается диапазона, то наименьшее значение и равно 0. Максимальное значение не ограничено. 0 ≤ г

Кубическая функция

Кубическая функция равна y = x ³ . Когда x отрицательно, y отрицательно: нечетные степени отрицательного числа отрицательны.

Проблема 3.   Какова область определения кубической функции и каков ее диапазон?

Домен:  −∞ x

Диапазон:  −∞ г

Обратная функция

Когда x — это очень большое положительное число — в крайнем правом углу оси x — его обратное значение — очень маленькое положительное число. График очень близок к оси x .

Когда x  — это очень 91 827 маленькое 91 828 положительное число, близкое к 91 827 x 91 828 = 0, его обратное значение является очень большим положительным числом.

Аналогичные свойства сохраняются, когда x является отрицательным.

Обратите внимание, однако, что x не может быть 0.  0 – это единственное значение, которое необходимо исключить из домена.

Подробнее об этом мы поговорим в теме 18.

*

Опять же, это основные графики. Как увидит учащийся, другие графики будут модификациями этих.

Постоянная функция

Функция идентификации

Функция абсолютного значения

Парабола

Функция квадратного корня

Кубическая функция

Обратная функция

Следующая тема: Словарь полиномиальных функций

Содержание | Главная

---

Пожалуйста, сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставался онлайн.
Даже 1 доллар поможет.

---

Copyright © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Электронная почта: [email protected]

14.1: Функции нескольких переменных

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

4536

Цели обучения

• Распознать функцию двух переменных и определить ее область определения и диапазон.
• Нарисуйте график функции двух переменных.
• Нарисуйте несколько трасс или кривых уровня функции двух переменных.
• Распознать функцию трех или более переменных и определить ее поверхности уровня.

Наш первый шаг — объяснить, что такое функция более чем одной переменной, начиная с функций двух независимых переменных. 2\) на уникальное действительное число з . Множество \(D\) называется областью определения функции. Диапазон \(f\) – это множество всех действительных чисел z , у которых есть хотя бы одна упорядоченная пара \((x,y)∈D\), такая что \(f(x,y)=z\) как показано на рисунке \(\PageIndex{1}\).

Рисунок \(\PageIndex{1}\): Область определения функции двух переменных состоит из упорядоченных пар \((x,y)\).

Определение домена функции двух переменных включает в себя учет любых ограничений домена, которые могут существовать. Давайте взглянем. 92\). Чтобы определить диапазон, сначала выберите значение для z . Нам нужно найти решение уравнения \(f(x,y)=z,\) или \(3x−5y+2=z.\). Одно такое решение можно получить, сначала установив \(y=0\ ), что дает уравнение \(3x+2=z\). Решением этого уравнения является \(x=\dfrac{z−2}{3}\), что дает упорядоченную пару \(\left(\dfrac{z−2}{3},0\right)\) как решение уравнения \(f(x,y)=z\) для любого значения \(z\). Следовательно, областью действия функции являются все действительные числа или \(R\).

92≤4\), границей которого является окружность радиуса \(2\). Диапазон: \([0,6].\)

График функций двух переменных

Предположим, мы хотим построить график функции \(z=(x,y).\). Эта функция имеет две независимые переменные (\(x\) и \(y\)) и одну зависимую переменная \((z)\). При построении графика функции \(y=f(x)\) одной переменной мы используем декартову плоскость. Мы можем изобразить любую упорядоченную пару \((x,y)\) на плоскости, и с каждой точкой на плоскости связана упорядоченная пара \((x,y)\). В функции двух переменных каждая упорядоченная пара \((x,y)\) в области определения функции отображается в вещественное число \(z\). Следовательно, график функции \(f\) состоит из упорядоченных троек \((x,y,z)\). График функции \(z=(x,y)\) двух переменных называется поверхностью.

Чтобы лучше понять концепцию построения набора упорядоченных троек для получения поверхности в трехмерном пространстве, представьте, что система координат \((x,y)\) лежит плоско. Тогда с каждой точкой в ​​области определения функции f связано уникальное z -значение. Если z положительна, то точка графика находится выше плоскости xy , если z отрицательна, то точка графика расположена ниже плоскости xy . Множество всех нанесенных на график точек становится двумерной поверхностью, являющейся графиком функции \(f\). 92 ≤ 16. \end{align*}\]

Это круг радиуса \(4\) с центром в \((3,2)\). Еще одно ограничение состоит в том, что и \(x\), и \(y\) должны быть неотрицательными. Когда \(x=3\) и \(y=2, f(x,y)=16.\) Обратите внимание, что любое значение может быть нецелым числом; например, в месяц можно продать \(2,5\) тыс. орехов. Таким образом, домен содержит тысячи точек, поэтому мы можем рассматривать все точки в пределах диска. Для любого \(z<16\) можно решить уравнение \(f(x,y)=16:\)

92 =16−з. \end{align*}\]

Так как \(z<16,\) мы знаем, что \(16−z>0,\), то предыдущее уравнение описывает окружность с радиусом \(\sqrt{16−z} \) с центром в точке \((3,2)\). Следовательно. диапазон \(f(x,y)\) равен \(\{z∈\mathbb{R}|z≤16\}.\) График \(f(x,y)\) также является параболоид, и этот параболоид направлен вниз, как показано на рисунке.

Рисунок \(\PageIndex{5}\): График заданной функции двух переменных также является параболоидом.

Кривые уровня

Если туристы идут по извилистым тропам, они могут использовать топографическую карту, показывающую, насколько круто меняются тропы. А 9Топографическая карта 2146 содержит изогнутые линии, называемые изолиниями. Каждая контурная линия соответствует точкам на карте с одинаковой высотой (рис. \(\PageIndex{6}\)). Линия уровня функции двух переменных \(f(x,y)\) полностью аналогична изолинии на топографической карте.

Рисунок \(\PageIndex{6}\): (a) Топографическая карта Башни Дьявола, Вайоминг. Линии, расположенные близко друг к другу, указывают на очень крутую местность. (b) Перспективное фото Башни Дьявола показывает, насколько круты ее стороны. Обратите внимание, что вершина башни имеет ту же форму, что и центр топографической карты. 92=5. \nonumber \]

Это уравнение описывает окружность с центром в начале координат и радиусом \(\sqrt{5}\). Использование значений \(c\) между \(0\) и \(3\) дает другие круги, также центрированные в начале координат. Если \(c=3\), то окружность имеет радиус \(0\), поэтому она состоит только из начала координат. Рисунок \(\PageIndex{7}\) представляет собой график кривых уровня этой функции, соответствующих \(c=0,1,2,\) и \(3\). Обратите внимание, что в предыдущем выводе возможно, что мы ввели дополнительные решения, возведя в квадрат обе стороны. Здесь это не так, потому что диапазон функции квадратного корня неотрицательный. 92} \end{align*}\]

Теперь, когда у нас есть \(f\) в этой форме, мы можем видеть, насколько большим может быть подкоренное число. Поскольку мы вычитаем из \(16,\) два полных квадрата, мы знаем, что значение подкоренного числа не может быть больше, чем \(16.\). В точке \((1, -2),\) мы можем видеть подкоренное число будет равно 16 (поскольку в этот момент мы будем вычитать \(0\) из \(16\). Это дает нам максимальное значение \(f\), то есть \(f(1, -2) = \sqrt{16} = 4.\)

Таким образом, диапазон этой функции равен \([0, 4].\) 92\). Вертикальная трасса функции может быть либо набором точек, решающим уравнение \(f(a,y)=z\) для данной константы \(x=a\), либо \(f(x,b )=z\) для заданной константы \(y=b.\)

Пример \(\PageIndex{5}\): поиск вертикальных следов

Поиск вертикальных следов для функции \(f(x,y)= \sin x \cos y\), соответствующие \(x=−\dfrac{π}{4},0,\) и \(\dfrac{π}{4}\), и \(y=−\dfrac {π}{4},0\) и \(\dfrac{π}{4}\).

Решение

Первое множество \(x=−\dfrac{π}{4}\) в уравнении \(z=\sin x \cos y:\)

\(z=\sin(-\dfrac{π}{4})\cos y=-\dfrac{\sqrt{2}\cos y}{2}≈-0,7071\cos y.\)

Это описывает косинусный график на плоскости \(x=−\dfrac{π}{4}\). Другие значения z приведены в следующей таблице.

Вертикальные трассы, параллельные \(xz-плоскости\) для функции \(f(x,y)=\sin x \cos y\)

\(с\)	Вертикальная трассировка для \(x=c\)
\(−\dfrac{π}{4}\)	\(z=-\dfrac{\sqrt{2}\cos y}{2}\)
0	\(г=0\)
\(\dfrac{π}{4}\)	\(z=\dfrac{\sqrt{2}\cos y}{2}\)

Аналогичным образом мы можем подставить \(y-значения\) в уравнение \(f(x,y)\), чтобы получить трассы в \(yz-плоскости,\), как указано в следующую таблицу.

Вертикальные трассы, параллельные \(yz-плоскости\) для функции \(f(x,y)=\sin x \cos y\)

\(г\)	Вертикальная трассировка для \(y=d\)
\(\dfrac{π}{4}\)	\(z=\dfrac{\sqrt{2}\sin x}{2}\)
0	\(z=\sinx\)
\(−\dfrac{π}{4}\)	\(z=\dfrac{\sqrt{2}\sin x}{2}\)

Три трассы в \(xz-плоскости\) являются функциями косинуса; три следа в \(yz-плоскости\) являются синусоидальными функциями. Эти кривые появляются на пересечениях поверхности с плоскостями \(x=−\dfrac{π}{4},x=0,x=\dfrac{π}{4}\) и \(y=−\dfrac {π}{4},y=0,y=\dfrac{π}{4}\), как показано на следующем рисунке. 92\). Эта функция описывает параболу, раскрывающуюся вниз в плоскости \(y=3\).

Функции двух переменных могут создавать эффектные поверхности. На рисунке \(\PageIndex{11}\) показаны два примера.

Рисунок \(\PageIndex{11}\): Примеры поверхностей, представляющих функции двух переменных: (а) комбинация степенной функции и синусоидальной функции и (б) комбинация тригонометрической, экспоненциальной и логарифмической функций.

Функции более чем двух переменных 92)\sin t−(3x+5y)\cos t. \nonumber \]

В первой функции \((x,y,z)\) представляет точку в пространстве, а функция \(f\) отображает каждую точку в пространстве в четвертую величину, такую ​​как температура или скорость ветра. Во второй функции \((x,y)\) может представлять точку на плоскости, а \(t\) может представлять время. Функция может сопоставить точку на плоскости третьей величине (например, давлению) в данный момент времени \(t\). Метод нахождения области определения функции более чем двух переменных аналогичен методу для функций одной или двух переменных. 92−4\} \номер\]

Функции двух переменных имеют кривые уровня, которые отображаются как кривые в \(xy-плоскости.\) Однако, когда функция имеет три переменные, кривые становятся поверхностями, поэтому мы можем определить поверхности уровня для функций трех переменных .

Определение: поверхность уровня функции трех переменных

Дана функция \(f(x,y,z)\) и число \(c\) в диапазоне \(f\), поверхность функции трех переменных 93\) и могут быть изучены с помощью кривых уровня и вертикальных следов.

Набор кривых уровня называется контурной картой.

Ключевые уравнения

• Вертикальная трассировка

\(f(a,y)=z\) для \(x=a\) или \(f(x,b)=z\) для \(y=b\)

• Ровная поверхность функция трех переменных

\(f(x,y,z)=c\)

Глоссарий

контурная карта

график различных кривых уровня заданной функции \(f(x,y)\) 92\) на уникальное вещественное число \(z\)

график функции двух переменных

набор упорядоченных троек \((x,y,z)\), который удовлетворяет уравнению \(z=f(x,y)\) в трехмерном декартовом пространстве

кривая уровня функции двух переменных

множество точек, удовлетворяющих уравнению \(f(x,y)=c\) для некоторого действительного числа \(c\) в диапазоне \(f\)

поверхность уровня функции трех переменных

множество точек, удовлетворяющих уравнению \(f(x,y,z)=c\) для некоторого действительного числа \(c\) в диапазоне \(f\)

поверхность

график функции двух переменных \(z=f(x,y)\)

вертикальная трасса

множество упорядоченных троек \((c,y,z)\), которое решает уравнение \(f(c,y)=z\) для данной константы \(x=c\), или множество упорядоченных троек \((x,d,z)\), которая решает уравнение \(f(x,d)=z\) для заданной константы \(y=d\)

---

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или страница

   Показать страницу TOC

   нет

   Включено

   да

2. Теги

   На этой странице нет тегов.

Преобразование функций — построение графиков, правил, приемов

Преобразование функций означает, что кривая, представляющая график, либо «двигается влево/вправо/вверх/вниз», либо «расширяется, либо сжимается», либо «отражает». Например, график функции f(x) = x ² + 3 получается простым перемещением графика g(x) = x ² на 3 единицы вверх. Преобразования функций очень полезны при графическом отображении функций, просто перемещая/расширяя/сжимая/отражая кривую без необходимости строить ее с нуля.

В этой статье мы увидим, каковы правила преобразования функций, и мы увидим, как выполнять преобразования различных типов функций, а также примеры.

1.	Что такое преобразования функций? г.
2.	Перевод функций
3.	Расширение функций
4.	Отражение функций
5.	Правила преобразования функций
6.	Описание преобразований функций
7.	Графические преобразования функций
8.	Часто задаваемые вопросы о преобразованиях функций

Что такое преобразования функций?

Преобразование функции либо «перемещает», либо «меняет размер», либо «отображает» график родительской функции. В основном существует три типа преобразований функций :

• Преобразование
• Расширение
• Отражение

Среди этих преобразований только расширение изменяет размер исходной фигуры, но два других преобразования изменяют положение фигуры, но не размер фигуры. Мы можем видеть, что означает каждое из этих преобразований функций в таблице ниже.

Трансформация	Функция	Изменения положения/размера
Перевод	Сдвигает или перемещает кривую.	Изменение позиции
Расширение	Растягивает или сжимает кривую.	Изменение размера
Отражение	Переворачивает кривую и создает зеркальное отображение.	Изменение позиции

Говоря математическим языком, преобразование функции y = f(x) обычно выглядит как y = a f(b(x + c)) + d. Здесь a, b, c и d — любые действительные числа, представляющие преобразования. Обратите внимание, что все внешние числа (за скобками) представляют вертикальные преобразования, а все внутренние числа представляют горизонтальные преобразования. Также обратите внимание, что сложение/вычитание указывает на перевод, а умножение/деление представляет собой расширение. Любой знак минус умножает означает, что это отражение. Здесь,

• «а» обозначает вертикальное расширение
• ‘b’ обозначает горизонтальное расширение
• ‘c’ представляет горизонтальный перевод
• ‘d’ представляет вертикальный перевод

Давайте подробно изучим каждое из этих преобразований функций.

Перевод функций

Смещение происходит, когда каждая точка на графике (представляющая функцию) перемещается на одинаковую величину в одном и том же направлении. Существует два типа перевода функций.

• Горизонтальные перемещения
• Вертикальные перемещения

Горизонтальное перемещение функций :

В этом преобразовании функция перемещается влево или вправо. Это превращает функцию y = f (x) в форму y = f (x ± k), где «k» представляет собой горизонтальный перенос. Здесь

• , если k > 0, то функция перемещается влево на k единиц.
• , если k < 0, то функция перемещается вправо на k единиц.

Здесь исходная функция y = x ² (y = f(x)) сдвинута на 3 единицы вправо, чтобы получить преобразованную функцию y = (x — 3) ² (y = f(x) — 3)).

Вертикальный перевод функций :

В этом переводе функция перемещается либо вверх, либо вниз. Это превращает функцию y = f (x) в форму f (x) ± k, где «k» представляет собой вертикальный перенос. Здесь

• , если k > 0, то функция перемещается вверх на k единиц.
• , если k < 0, то функция перемещается вниз на k единиц.

Здесь исходная функция y = x ² (y = f(x)) смещена на 2 единицы вверх, чтобы получить преобразованную функцию y = x ² + 2 (y = f(x) + 2).

Расширение функций

Расширение – это растяжение или сжатие. Если график расширяется параллельно оси x, все значения x увеличиваются на один и тот же масштабный коэффициент. Точно так же, если он расширяется параллельно оси y, все значения y увеличиваются на один и тот же масштабный коэффициент. Существует два типа дилатации.

• Горизонтальное расширение
• Вертикальное расширение

Горизонтальное расширение

Горизонтальное расширение (также известное как горизонтальное масштабирование) функции либо растягивает, либо сжимает кривую по горизонтали. Он изменяет функцию y = f(x) на форму y = f(kx) с масштабным коэффициентом «1/k», параллельным оси x. Здесь

• Если k > 1, то граф сжимается.
• Если 0 < k < 1, то график растягивается.

При таком расширении будут изменены только координаты x, но не будут изменены координаты y. Каждая старая координата x умножается на 1/k, чтобы найти новую координату x. На следующем графике исходная функция y = x ³ растянута по горизонтали с масштабным коэффициентом 3, чтобы получить график преобразованной функции y = (x/3) ³ . Например, точка (1,1) исходного графика преобразуется в (3, 1) нового графика.

Вертикальное расширение

Вертикальное расширение (также известное как вертикальное масштабирование) функции либо растягивает, либо сжимает кривую по вертикали. Он изменяет функцию y = f (x) в форму y = k f (x) с масштабным коэффициентом «k», параллельным оси y. Здесь

• Если k > 1, то граф растягивается.
• Если 0 < k < 1, то граф сжимается.

При таком расширении будут изменены только координаты y, но не будут изменены координаты x. Каждая старая координата y умножается на k, чтобы найти новую координату y. На следующем графике исходная функция y = x ³ растягивается по вертикали с коэффициентом масштабирования 3, чтобы получить преобразованный график функции y = 3x ³ . Например, точка (1, 1) (на исходном графике) соответствует (1, 3) на новом графике.

Отражение функций

Отражение функции — это просто изображение кривой относительно оси x или оси y. Это происходит всякий раз, когда мы видим, что где-то в функции происходит умножение знака минус. Здесь,

• y = — f(x) является отражением y = f(x) относительно оси x.
• y = f(-x) является отражением y = f(x) относительно оси y.

Обратите внимание на приведенный ниже график, где исходный график y = (x + 2) ² отражен относительно каждой из осей x и y.

Здесь обратите внимание, что при отображении функции

• относительно оси x меняются только знаки координат y, а координаты x не изменяются.
• относительно оси y меняются только знаки координат x, а координаты y не изменяются.

Правила преобразования функций

До сих пор мы понимали типы преобразований функций и то, как сложение/вычитание/умножение/деление числа и умножение знака минус отражает график. Сведем в таблицу все правила преобразования функций вместе.

Преобразование функции	Правило	Результат
Перевод	По горизонтали: у = f(x + k)	Движется влево, если k > 0 Смещается вправо, если k < 0
	По вертикали: y = f(x) + k	Перемещение вверх, если k > 0 Смещается вниз, если k < 0
Расширение	Горизонтально: y = f(kx)	Растягивается, когда 0 < k < 1 Сжимается при k > 1
	По вертикали: y = k f(x)	Растягивается, когда k > 1 Сжимается, когда 0 < k < 1
Отражение	По оси x: y = — f(x)	Отражает график, где ось x действует как зеркало.
	О оси Y: y = f(-x)	Отражает график, где ось Y действует как зеркало.

Приведенные выше правила сбивают с толку и их трудно запомнить? Давайте рассмотрим несколько важных советов, чтобы запомнить эти правила.

Советы и подсказки, которые следует помнить Преобразования функций:

• Если какая-то операция заключена в скобки, обратите внимание, что она связана с «горизонтальной», и в этом случае все произойдет наоборот, чем мы думаем.
  Например, мы можем думать, что f(x + 2) преобразует f(x) вправо, потому что это +, но на самом деле оно смещается влево на 2 единицы.
  Точно так же мы можем думать, что f(3x) растягивает f(x), но нет, он сжимает f(x) в масштабном коэффициенте 1/3.
• Если какая-то операция находится за скобками, обратите внимание, что она относится к «вертикальной» и в этом случае все будет происходить прямо (а не наоборот).
  Например, f(x) + 2 перемещает f(x) «вверх», это там символ «+».
  Точно так же 3 f(x) растягивает f(x) на масштабный коэффициент 3, поскольку 3 > 1.
• Если какое-то число прибавляется/вычитается, то это связано с «переводом». Например, f(x + 2) — это горизонтальное смещение, а f(x) + 2 — вертикальное смещение.
• Если какое-то число умножается/делится, то это связано с «расширением». Например, f(2x) — горизонтальное расширение, а 2 f(x) — вертикальное расширение.
• Если задуматься, здесь как раз противоположно первому и второму трюкам. Если знак минус находится внутри скобки, он относится к оси y, а если знак минус находится вне скобки, он относится к оси x.

Описание преобразований функций

Приведенные выше правила можно использовать для описания любого функционального преобразования. Например, если вопрос состоит в том, как влияет преобразование g(x) = — 3f(x + 5) + 2 на y = f(x), то сначала проследим последовательность операций, которые нужно было применить к f(x) x), чтобы получить g(x), а затем использовать приведенные выше правила для определения преобразований. Здесь, чтобы получить g(x) из f(x)

• , сначала f(x) превращается в f(x + 5). т. е. горизонтальный сдвиг на 5 единиц влево.
• Затем оно превращается в 3 f(x + 5). т. е. вертикальное расширение с масштабным коэффициентом 3,
• Тогда оно изменится на -3 f(x + 5). т. е. отражение относительно оси x.
• Наконец, оно меняется на -3 f(x + 5) + 2, т. е. вертикальное смещение на 2 единицы вверх.

Таким образом, g(x) получается из f(x) горизонтальным сдвигом на 5 единиц влево, вертикальным расширением с масштабным коэффициентом 3, отражением относительно оси x и вертикальным сдвигом на 2 единицы вверх. Мы также можем описать преобразования функций, используя описанные выше приемы. Попробуйте прямо сейчас.

Графическое преобразование функций

Определить преобразование, глядя на исходный и преобразованный графики, легко, потому что, просто взглянув на график, мы можем сказать, что график перемещается вверх на 2 единицы или влево на 3 единицы и т. д. Но когда дан график, построение графика преобразование функции иногда затруднено. Следующие шаги значительно упрощают графические преобразования . Здесь мы преобразуем функцию y = f(x) в y = a f(b (x + c)) + d.

• Шаг 1: Запишите некоторые координаты исходной кривой, которые определяют ее форму. т. е. теперь мы знаем старые координаты x и y.
• Шаг 2: Чтобы найти новую координату x каждой точки, просто установите «b (x + c) = старая координата x» и решите это для x.
• Шаг 3: Чтобы найти новую координату Y каждой точки, просто примените все внешние операции (скобки) к старой координате Y. т. е. найдите ay + d, чтобы найти каждую новую координату y, где y — старая координата y.

Мы можем лучше понять эти шаги, используя приведенный ниже пример.

Пример: Следующий график представляет f(x). Постройте график преобразования функции y = 2 f(x/2) + 3.

Решение:

Мы можем ясно видеть, что (-3, 2), (-1, 2), (2, -1 ) и (6, 1) определяют форму графика. Найдем новые координаты x и y каждой из этих точек.

Старые точки	Новые очки
(-3, 2)	Новая координата x: x/2 = -3 ⇒ x = -6
	Новая координата y: 2(2) + 3 = 7
	Новая точка: (-6, 7)
(-1, 2)	Новая координата x: x/2 = -1 ⇒ x = -2
	Новая координата y: 2(2) + 3 = 7
	Новая точка: (-2, 7)
(2, -1)	Новая координата x: x/2 = 2 ⇒ x = 4
	Новая координата y: 2(-1) + 3 = 1
	Новая точка: (4, 1)
(6, 1)	Новая координата x: x/2 = 6 ⇒ x = 12
	Новая координата y: 2(1) + 3 = 5
	Новая точка: (12, 5)

Теперь мы нанесем все старые и новые точки на координатную плоскость и проследим за преобразованиями.

☛ Похожие темы:

• Матрица преобразования
• Линейно-дробное преобразование

Часто задаваемые вопросы о преобразованиях функций

Что такое преобразования функций?

преобразований функций определяют, как графически изображать движение функции и как изменяется ее форма. В основном существует три типа преобразования функций: перевод, расширение и отражение.

Как найти преобразование функции?

Чтобы найти преобразования функций, мы должны определить, является ли это перемещением, расширением или отражением, а иногда это смесь некоторых/всех преобразований. Для функции y = f(x),

• , если число добавляется или вычитается внутри скобки, то это горизонтальный перенос. Если число отрицательное, то горизонтальное преобразование происходит с правой стороны. Если число положительное, то горизонтальное преобразование происходит с левой стороны.
• Если число добавляется или вычитается вне скобок, то это вертикальный перевод. Если число положительное, то вертикальный перенос происходит вверх. Если число отрицательное, то вертикальный перевод происходит вниз.
• Если число умножается или делится внутри скобок, то это расширение по горизонтали. Если число > 1, то это горизонтальное сжатие. Если число находится между 0 и 1, то это горизонтальное растяжение.
• Если число умножается или делится вне скобок, то это расширение по вертикали. Если число > 1, то это вертикальное растяжение. Если число находится в диапазоне от 0 до 1, то это вертикальное сжатие.
• Если функция умножается на знак минус внутри скобки, то это отражение относительно оси y.
• Если функция умножается на знак минус вне скобок, то это отражение относительно оси x.

Как объяснить преобразования функций?

Чтобы объяснить преобразования функций, мы должны применить правила преобразования функций. Например, 3 f(x + 2) — 5 получается путем применения следующих функциональных преобразований к f(x):

• горизонтального перемещения на 2 единицы влево.
• Расширение по вертикали с коэффициентом масштабирования 3.
• Вертикальное перемещение на 5 единиц вниз.

Каковы правила преобразования функций?

Правила преобразования функций для каждого из переноса, расширения и отражения:

• Горизонтальный перенос: имеет вид f(x + k) и перемещает f(x) на k единиц влево, если k > 0 и k единиц вправо, если k < 0,
  Вертикальный перевод: имеет форму f(x) + k и сдвигает f(x) на k единиц вверх, если k > 0, и на k единиц вниз, если k < 0.
• Горизонтальное растяжение: оно имеет вид f(kx) и сжимает f(x), если k > 1, и растягивает f(x), если 0 < k < 1,
  Вертикальное растяжение: имеет форму k f(x) и сжимает f(x), если 0 1.
• Отражение относительно оси x имеет вид — f(x).
  Отражение относительно оси y имеет вид f(-x).

Какие существуют типы преобразования функций?

В основном существует три типа преобразования функций.